目標導航
知識精講
知識點01 反比例函數(shù)的概念
一般地，形如 (為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).
要點詮釋：
在中，自變量的取值范圍是， ()可以寫成()的形式，也可以寫成的形式.
知識點02 反比例函數(shù)解析式的確定
反比例函數(shù)解析式的確定方法是待定系數(shù)法.由于反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要知道一對的對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出的值，從而確定其解析式.
知識點03 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
1.反比例函數(shù)的圖象
反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限．它們關于原點對稱，反比例函數(shù)的圖象與軸、軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交．
要點詮釋：
觀察反比例函數(shù)的圖象可得：和的值都不能為0，并且圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸，對稱中心是坐標原點．
①的圖象是軸對稱圖形，對稱軸為兩條直線；
②的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點（0，0）；
③(k≠0)在同一坐標系中的圖象關于軸對稱，也關于軸對稱.
注：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，
當時，兩圖象沒有交點；當時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關于原點成中心對稱.

2.反比例函數(shù)的性質(zhì)
（1）圖象位置與反比例函數(shù)性質(zhì)
當時，同號，圖象在第一、三象限，且在每個象限內(nèi)，隨的增大而減??；當時，異號，圖象在第二、四象限，且在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大.
（2）若點()在反比例函數(shù)的圖象上，則點（）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關于原點對稱.
（3）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)比較
（4）反比例函數(shù)y＝中的意義
①過雙曲線(≠0) 上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.
②過雙曲線(≠0) 上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.
知識點04 應用反比例函數(shù)解決實際問題須注意以下幾點
1．反比例函數(shù)在現(xiàn)實世界中普遍存在，在應用反比例函數(shù)知識解決實際問題時，要注意將實際問題轉化為數(shù)學問題.
2．列出函數(shù)關系式后，要注意自變量的取值范圍.
能力拓展
考法01 確定反比例函數(shù)的解析式
【典例1】在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=（x＞0，k＞0）的圖象經(jīng)過點A（m，n），B（2，1），且n＞1，過點B作y軸的垂線，垂足為C，若△ABC的面積為2，求點A的坐標．

【思路點撥】根據(jù)圖象和△ABC的面積求出n的值，根據(jù)B（2，1），求出反比例函數(shù)的解析式，把n代入解析式求出m即可．
【答案與解析】
解：∵B（2，1），
∴BC=2，
∵△ABC的面積為2，
∴×2×（n﹣1）=2，
解得：n=3，
∵B（2，1），∴k=2，
反比例函數(shù)解析式為：y=，
∴n=3時，m=，
∴點A的坐標為（，3）．
【總結升華】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，用待定系數(shù)法求出k、根據(jù)三角形的面積求出n的值是解題的關鍵，解答時，注意數(shù)形結合思想的準確運用．
【即學即練1】已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點P(2，－1)，且當 時，這兩個函數(shù)值互為相反數(shù)，求這兩個函數(shù)的關系式.
【答案】因為雙曲線經(jīng)過點P(2，－1)，所以．
所以反比例函數(shù)的關系式為，所以當時，．
當時，由題意知，所以直線經(jīng)過點(2，－1)和(1，2)，
所以有 解得
所以一次函數(shù)解析式為．
考法02 反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)
【典例2】已知反比例函數(shù)(＜0)的圖象上有兩點A()，B()，且，則的值是( )．
A．正數(shù) B．負數(shù) C．非負數(shù) D．不能確定
【思路點撥】一定要確定了A點和B點所在的象限，才能夠判定的值.
【答案】D；
【解析】分三種情形作圖求解．
(1)若，如圖①，有，＜0，即是負數(shù)；
(2)若，如圖②，有，＞0，即是正數(shù)；
(3)若，如圖③，有，＜0，即是負數(shù)．
所以的值不確定，故選D項．
【總結升華】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，比較函數(shù)值的大小時，要注意相應點所在的象限，不能一概而論.
【即學即練2】已知，點P（）在反比例函數(shù)的圖象上，則直線不經(jīng)過的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C；
提示：由，點P（）在反比例函數(shù)的圖象上，知反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，所以，直線經(jīng)過一、二、四象限.
【典例3】反比例函數(shù)y=（a＞0，a為常數(shù)）和y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點M在y=的圖象上，MC⊥x軸于點C，交y=的圖象于點A；MD⊥y軸于點D，交y=的圖象于點B，當點M在y=的圖象上運動時，以下結論：
①S△ODB=S△OCA；
②四邊形OAMB的面積不變；
③當點A是MC的中點時，則點B是MD的中點．
其中正確結論的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【思路點撥】①由反比例系數(shù)的幾何意義可得答案；
②由四邊形OAMB的面積=矩形OCMD面積﹣（三角形ODB面積+面積三角形OCA），解答可知；
③連接OM，點A是MC的中點可得△OAM和△OAC的面積相等，根據(jù)△ODM的面積=△OCM的面積、△ODB與△OCA的面積相等解答可得．
【答案】D．
【解析】解：①由于A、B在同一反比例函數(shù)y=圖象上，則△ODB與△OCA的面積相等，都為×2=1，正確；
②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA為定值，則四邊形MAOB的面積不會發(fā)生變化，正確；
③連接OM，點A是MC的中點，
則△OAM和△OAC的面積相等，
∵△ODM的面積=△OCM的面積=，△ODB與△OCA的面積相等，
∴△OBM與△OAM的面積相等，
∴△OBD和△OBM面積相等，
∴點B一定是MD的中點．正確；
故選：D．
【總結升華】本題考查了反比例函數(shù)y=（k≠0）中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．
【典例4】反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
【答案】C；
【解析】一次函數(shù)是經(jīng)過定點（1，0）,排除掉B、D答案；選項A中的符號自相矛盾，選項C符合要求.
【總結升華】還可以按照＞0，＜0分別畫出函數(shù)圖象，看哪一個選項符合要求.
【即學即練3】已知,且則函數(shù)與在同一坐標系中的圖象不可能是( ) .

【答案】B ；
提示：因為從B的圖像上分析，對于直線來說是，則，對于反比例函數(shù)來說，，所以相互之間是矛盾的，不可能存在這樣的圖形.
考法03 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合
【典例5】如圖所示，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)(≠0)的圖象與反比例函數(shù)(≠0)的圖象相交于A、B兩點．
求：(1)根據(jù)圖象寫出A、B兩點的坐標并分別求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
(2)根據(jù)圖象寫出：當為何值時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值．
【答案與解析】
解：(1)由圖象可知：點A的坐標為(2，)，點B的坐標為(－1，－1)．
∵ 反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(2，)，∴ ＝1．
∴ 反比例函數(shù)的解析式為：．
∵ 一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，點B(－1，－1)，
∴ 解得：
∴ 一次函數(shù)的解析式為．
(2)由圖象可知：當＞2或－l＜＜0時一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值．
【總結升華】一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值從圖象上看就是一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象上方的部分，這部分圖象的橫坐標的范圍為所求.
【即學即練4】如圖所示，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點P，PA⊥軸于點A，PB⊥軸于點B，一次函數(shù)的圖象分別交軸、軸于點C、點D，且，．
(1)求點D的坐標；
(2)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；
(3)根據(jù)圖象寫出當取何值時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？
【答案】
解：(1)由一次函數(shù)可知：D(0，3)
(2)設P(，)，則OA＝，，得．
由點C在直線上，得，＝－9，
DB＝3－b＝3－(＋3)＝－＝9，BP＝．
由，
∴ ＝6，∴ ，＝－6，＝－36．
∴ 一次函數(shù)的表達式為，反比例函數(shù)的表達式為．
(3)根據(jù)圖象可知：當＞6時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．
考法04 反比例函數(shù)的實際應用
【典例6】制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱達到60℃后，再進行操作，設該材料溫度為(℃)，從加熱開始計算的時間為．據(jù)了解，設該材料加熱時，溫度與時間成一次函數(shù)關系；停止加熱進行操作時，溫度與時間成反比例關系(如圖)．已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5min后溫度達到60℃．
(1)分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，與的函數(shù)關系式；
(2)根據(jù)工藝要求，當材料的溫度低于15℃時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時間？
【思路點撥】（1）首先根據(jù)題意，材料加熱時，溫度與時間成一次函數(shù)關系；停止加熱進行操作時，溫度與時間成反比例關系；將題中數(shù)據(jù)代入用待定系數(shù)法可得兩個函數(shù)的關系式；（2）把＝15代入中，進一步求解可得答案．
【答案與解析】
解：依題意知兩函數(shù)圖象的交點為(5，60)
(1)設材料加熱時，函數(shù)解析式為．
有
∴(0≤≤5)．
設進行制作時函數(shù)解析式為．
則，∴ (≥5)．
(2)依題意知＝15，＝20．
∴從開始加熱到停止操作共經(jīng)歷了20min．
【總結升華】把握住圖象的關鍵點，根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的定義，用待定系數(shù)法求解析式，并利用解析式解決實際問題.
分層提分
題組A 基礎過關練
1. 已知函數(shù)的反比例函數(shù)，且圖象在第二、四象限內(nèi)，則的值是（ ）．
A．2 B．－2 C．±2 D．
【答案】B；
【解析】由題意可知 解得＝－2．
2. 如圖是三個反比例函數(shù)、、在軸上方的圖象，由此觀察得到的大小關系（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B；
3. 如圖，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角頂點A在直上，其中A點的橫坐標為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于軸、軸，若雙曲線 (≠0)與有交點，則的取值范圍是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C；
【解析】雙曲線經(jīng)過點A和BC的中點，此時或，當時，雙曲線 與有交點.
4.如圖，A、B是雙曲線y=上的兩點，過A點作AC⊥x軸，交OB于D點，垂足為C．若△ADO的面積為1，D為OB的中點，則k的值為（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B；
【解析】過點B作BE⊥x軸于點E，
∵D為OB的中點，
∴CD是△OBE的中位線，即CD=BE．
設A（x，），則B（2x，），CD=，AD=﹣，
∵△ADO的面積為1，
∴AD?OC=1，（﹣）?x=1，解得y=，
∴k=x?=y=．故選B．
5. 函數(shù)y=的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C.
【解析】函數(shù)y=是反比例y=的圖象向左移動一個單位，
即函數(shù)y=是圖象是反比例y=的圖象雙曲線向左移動一個單位．故選C.
6. 如圖所示，在同一直角坐標系中，函數(shù)和函數(shù)(是常數(shù)且≠0)的圖象只可能是( )．
【答案】B；
【解析】可用排除法確定選項．由函數(shù)的解析式可知，其圖象應過點(0，1)，所以可排除C、D兩項；A項中，函數(shù)的圖象可知＜0，而由函數(shù)的圖象可知＞0，這是一個矛盾，可排除A項．
7. 如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與直線的交點為A，B，過點A作軸的平行線與過點B作軸的平行線相交于點C，則△ABC的面積為（ ）．
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A；
【解析】設點B的坐標為()，由對稱性知點A的坐標為．
∴ ．
∵ 點B()在雙曲線上，
∴ ．∴ ．
∴ ．
8. 如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(－1,－2).則當＞1時，函數(shù)值的取值范圍是（ ）
A. ＞1 B.0＜＜1 C. ＞2 D.0＜＜2
【答案】D；
【解析】在第一象限，隨的增大而減小，且＞0，所以當＞1時，0＜＜2 .
題組B 能力提升練
9.直線與雙曲線交于A（），B（）兩點，則 ＝___________．
【答案】20；
【解析】由題意，所以
.
10.已知與成正比例(比例系數(shù)為)，與成反比例(比例系數(shù)為)，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1，2)，(2，)，則的值為________.
【答案】9；
【解析】由題意，解得，，.
11. 在函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上有三個點（－2，），(－1，)，（，），函數(shù)值，，的大小為_________.
【答案】；
【解析】因為，圖象在二、四象限，因為－2＜－1，所以，而.
12.已知點A(，5)，B(2，)關于軸對稱，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C(，)，則這個反比例函數(shù)的表達式為____________.
【答案】；
【解析】由題意，，設反比例函數(shù)為，∴，
∴.
13.已知（），（），（）是反比例函數(shù)的圖象上的三個點，并且，則的大小關系是 .
【答案】；
【解析】在第二象限，反比例函數(shù)的值隨著的增大而增大.
14．設有反比例函數(shù)，(，)，(，)為其圖象上兩點，若，，則的取值范圍是_______．
【答案】；
【解析】由題意可判斷函數(shù)圖象在一、三象限，所以，得.
15．如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點C、D在x軸上，且BC∥AD，四邊形ABCD的面積為3，則這個反比例函數(shù)的解析式為 ．
【答案】y=﹣；
【解析】過A點向x軸作垂線，如圖：
根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可得：四邊形ABCD的面積為3，即|k|=3，
又∵函數(shù)圖象在二、四象限，
∴k=﹣3，即函數(shù)解析式為：y=﹣．
16．如圖所示是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，觀察圖象寫出當 時，的取值范圍為________．
【答案】或；
【解析】由圖象觀察，找圖象中一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)上方的部分.
題組C 培優(yōu)拔尖練
17. 如圖，在平面直徑坐標系中，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上有一點A（m，4），過點A作AB⊥x軸于點B，將點B向右平移2個單位長度得到點C，過點C作y軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點D，CD=
（1）點D的橫坐標為 （用含m的式子表示）；
（2）求反比例函數(shù)的解析式．
【解析】
解：（1）∵A（m，4），AB⊥x軸于點B，
∴B的坐標為（m，0），
∵將點B向右平移2個單位長度得到點C，
∴點C的坐標為：（m+2，0），
∵CD∥y軸，
∴點D的橫坐標為：m+2；
故答案為：m+2；
（2）∵CD∥y軸，CD=，
∴點D的坐標為：（m+2，），
∵A，D在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，
∴4m=（m+2），
解得：m=1，
∴點a的橫坐標為（1，4），
∴k=4m=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=．
18.如圖所示，已知雙曲線，經(jīng)過Rt△OAB斜邊OB的中點D，與直角邊AB交于點C，DE⊥OA，，求反比例函數(shù)的解析式．
【解析】
解：過點D作DM⊥AB于點M．
∴ DM∥OA，∴ ∠BDM＝∠BOA．
在△BDM和△EOD中
∴ △BDM≌△DOE(AAS)，
∴ ，．
設D()，則B()．
∵ ，
∴ ．
即，解得：．
∴ 反比例函數(shù)的解析式為．
19. 如圖所示，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B(－1，0)，且與反比例函數(shù)(為不等于0的常數(shù))的圖象在第一象限交于點A(1，)．求：
(1)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
(2)當1≤≤6時，反比例函數(shù)的取值范圍．
【解析】
解：(1)將點B(－1，0)代入得：0＝－1＋，∴ ＝1．
∴ 一次函數(shù)的解析式是．
∴ 點A(1，)在一次函數(shù)的圖象上，
將點A(1，)代入得：＝2．
即點A的坐標為(1，2)，代入得：，解得：＝2．
∴ 反比例函數(shù)的解析式是．
(2)對于反比例函數(shù)，當＞0時，隨的增大而減少，
而當＝l時，＝2；當＝6時，，
∴ 當1≤≤6時，反比例函數(shù)的取值范圍是．
20.如圖，反比例函數(shù)y=（k＞0）與正比例函數(shù)y=ax相交于A（1，k），B（﹣k，﹣1）兩點．
（1）求反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式；
（2）將正比例函數(shù)y=ax的圖象平移，得到一次函數(shù)y=ax+b的圖象，與函數(shù)y=（k＞0）的圖象交于C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2|?|y1﹣y2|=5，求b的值．
【解析】
解：（1）據(jù)題意得：點A（1，k）與點B（﹣k，﹣1）關于原點對稱，
∴k=1，
∴A（1，1），B（﹣1，﹣1），
∴反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式分別為y=，y=x；
（2）∵一次函數(shù)y=x+b的圖象過點（x1，y1）、（x2，y2），
∴，
②﹣①得，y2﹣y1=x2﹣x1，
∵|x1﹣x2|?|y1﹣y2|=5，
∴|x1﹣x2|=|y1﹣y2|=，
由得x2+bx﹣1=0，
解得，x1=，x2=，
∴|x1﹣x2|=|﹣|=||=，
解得b=±1．
課程標準
1．使學生理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，能判斷一個給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)；
2．能描點畫出反比例函數(shù)的圖象，會用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；
3．能根據(jù)圖象數(shù)形結合地分析并掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，能利用這些性質(zhì)分析和解決一些簡單的實際問題.

正比例函數(shù)
反比例函數(shù)
解析式
圖 像
直線
有兩個分支組成的曲線（雙曲線）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增減性
，隨的增大而增大
，隨的增大而減小
，在每個象限，隨的增大而減小
，在每個象限，隨的增大而增大

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