目標(biāo)導(dǎo)航
知識精講
知識點(diǎn)01 銳角三角函數(shù)
1.正弦、余弦、正切的定義
如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：
(1)sinA=，這個比叫做∠A的正弦.
(2)csA=，這個比叫做∠A的余弦.
(3)tanA= ，這個比叫做∠A的正切.
要點(diǎn)詮釋：
(1)正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無關(guān).
(2)sinA、csA、tanA是一個整體符號，即表示∠A三個三角函數(shù)值，書寫時習(xí)慣上省略符號“∠”，
但不能寫成sin·A，對于用三個大寫字母表示一個角時，其三角函數(shù)中符號“∠”不能省略，應(yīng)寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.
(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.
(4)三角函數(shù)有時還可以表示成等.
2.銳角三角函數(shù)的定義
銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).
要點(diǎn)詮釋：
1. 函數(shù)值的取值范圍
對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，csA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、csA、tanA分別是對應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜csA＜1，tanA＞0.
2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：
余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，
那么：sinA=csB； csA=sinB；
同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cs2A=1；tanA=
3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值
30°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.
知識點(diǎn)02 解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：

角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；
邊邊關(guān)系：勾股定理，即；
邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

要點(diǎn)詮釋：
解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：
(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；
(2)已知一條邊和一個銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．
知識點(diǎn)03 解直角三角形的應(yīng)用
解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.
1.解這類問題的一般過程
(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.
(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.
(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.
(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.
2.常見應(yīng)用問題
(1)坡度：； 坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角與俯角：

要點(diǎn)詮釋：
1．解直角三角形的常見類型及解法
2．用解直角三角形的知識解決實(shí)際問題的基本方法是：

把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．
借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．
當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?br>3．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用
用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡潔。
如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡單：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
能力拓展
考法01 銳角三角函數(shù)
【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若將各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則∠A的正弦值是( )．
A．?dāng)U大2倍 B．縮小2倍 C．?dāng)U大4倍 D．不變
【答案】 D；
【解析】根據(jù)知sin∠A的值與∠A的大小有關(guān)，與的比值有關(guān)．
當(dāng)各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍時，其的比值不變．故選D.
【總結(jié)升華】 銳角三角函數(shù)正弦、余弦和正切反映了直角三角形中邊與邊的關(guān)系．
【即學(xué)即練1】已知，如圖，中，，，，求csA及tanA．
【答案】易證點(diǎn)B、C、D、E四點(diǎn)共圓，△ADE∽△ABC，
csA= tanA=
【即學(xué)即練2】如圖所示，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a，請你證明．

【答案】
證明：⊙O是△ABC的外接圓，設(shè)圓的半徑為R，連結(jié)AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，
連結(jié)CD，則∠B＝∠D．
∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°．即△ADC為直角三角形．
∴，∴．
同理可證：，．
∴．
考法02 特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算
【典例2】已知a＝3，且，則以a、b、c為邊長的三角形面積等于( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A；
【解析】根據(jù)題意知 解得
所以a＝3，b＝4，c＝5，即，其構(gòu)成的三角形為直角三角形，且∠C＝90°，
所以．
【總結(jié)升華】利用非負(fù)數(shù)之和等于0的性質(zhì)，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要記錯．
【即學(xué)即練3】計(jì)算：＋60°
【答案】原式=
=
考法03 解直角三角形
【典例3】如圖所示，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一點(diǎn)，若，則AD的長為( )．

A．2 B． C． D．1
【思路點(diǎn)撥】
如何用好是解題關(guān)解，因此要設(shè)法構(gòu)造直角三角形，若所求的元素不在直角三角形中，則應(yīng)將它轉(zhuǎn)化到直角三角形中去，轉(zhuǎn)化的途徑及方法很多，如可作輔助線構(gòu)造直角三角形，或找已知直角三角形中的邊或角替代所要求的元素等．
【答案】 A；
【解析】
作DE⊥AB于點(diǎn)E．
因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，所以∠A＝45°，所以AE＝DE．
又設(shè)DE＝x，則AE＝x，由．
知BE＝5x，所以AB＝6x，由勾股定理知AC2+BC2＝AB2，
所以62+62＝(6x)2，，AD＝AE＝．
【總結(jié)升華】在直角三角形中，若已知兩邊，宜先用勾股定理求出第三邊，再求銳角三角函數(shù)值；若已知一邊和角，應(yīng)先求另一角，再通過銳角三角函數(shù)列出含有未知元素和已知元素的等式求解．
考法04 銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識的綜合
【典例4】如圖，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．
（1）求BC的長；
（2）利用此圖形求tan15°的值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：=1.4，=1.7，=2.2）
【思路點(diǎn)撥】
（1）過A作AD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D，由含30°的直角三角形性質(zhì)得AD=AC=2，由三角函數(shù)求出CD=2，在Rt△ABD中，由三角函數(shù)求出BD=16，即可得出結(jié)果；
（2）在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM=AC，連接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=即可得出結(jié)果．
【答案與解析】
解：（1）過A作AD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D，如圖1所示：
在Rt△ADC中，AC=4，
∵∠C=150°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=AC=2，
CD=AC?cs30°=4×=2，
在Rt△ABD中，tanB===，
∴BD=16，
∴BC=BD﹣CD=16﹣2；
（2）在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM=AC，連接AM，如圖2所示：
∵∠ACB=150°，
∴∠AMC=∠MAC=15°，
tan15°=tan∠AMD===≈≈0.27≈0.3．
【總結(jié)升華】本題考查了銳角三角函數(shù)、含30°的直角三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握三角函數(shù)運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練4】如圖，設(shè)P是矩形ABCD的AD邊上一動點(diǎn)，于點(diǎn)E，于F，，．
求的值．

【答案】如圖，sin∠1= sin∠2=
由矩形ABCD知∠1=∠2，
則 PE=PAsin∠1，PF=PDsin∠2,sin∠1=，
所以PE+PF= PAsin∠1+ PDsin∠2=（PA+PD）sin∠1=
考法05 三角函數(shù)與實(shí)際問題
【典例5】如圖，某廣場一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且CB=5米．
（1）求鋼纜CD的長度；（精確到0.1米）
（2）若AD=2米，燈的頂端E距離A處1.6米，且∠EAB=120°，則燈的頂端E距離地面多少米？
（參考數(shù)據(jù)：tan40°=0.84，sin40°=0.64，cs40°=）
【答案與解析】
解：（1）在Rt△BCD中，，
∴≈6.7；
（2）在Rt△BCD中，BC=5，∴BD=5tan40°=4.2．
過E作AB的垂線，垂足為F，
在Rt△AFE中，AE=1.6，∠EAF=180°﹣120°=60°，
AF==0.8.
∴FB=AF+AD+BD=0.8+2+4.20=7米．
答：鋼纜CD的長度為6.7米，燈的頂端E距離地面7米．
【總結(jié)升華】構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.
【典例6】如圖所示，港口B位于港口O正西方向120km處，小島C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船從港口O出發(fā)，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度駛離港口O，同時一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30°的方向以60km/h的速度駛向小島C，在小島C用1h加裝補(bǔ)給物資后，立即按原來的速度給游船送去．
（1）快艇從港口B到小島C需要多長時間？
（2）若快艇從小島C到與游船相遇恰好用時1h，求v的值及相遇處與港口O的距離．
【答案與解析】
解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°，
∴∠BCO=90°．
在Rt△BCO中，∵OB=120，
∴BC=OB=60，
∴快艇從港口B到小島C的時間為：60÷60=1（小時）；
（2）過C作CD⊥OA，垂足為D，設(shè)相會處為點(diǎn)E．
則OC=OB?cs30°=60，CD=OC=30，OD=OC?cs30°=90，
∴DE=90﹣3v．
∵CE=60，CD2+DE2=CE2，
∴（30）2+（90﹣3v）2=602，
∴v=20或40，
∴當(dāng)v=20km/h時，OE=3×20=60km，
當(dāng)v=40km/h時，OE=3×40=120km．
【總結(jié)升華】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題， 理解方向角的定義，得出∠BCO=90°是解題的關(guān)鍵.
課程標(biāo)準(zhǔn)
1.了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確使用sinA 、cs A、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30°、
45°、60°的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會由一個特殊角的三角函數(shù)值求出這個角的度數(shù)；
2．能夠正確地使用計(jì)算器，由已知銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角的度數(shù)；
3．理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩
個銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實(shí)際問題；
4．通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想，通過解直角三角的學(xué)習(xí)，
體會數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，并結(jié)合實(shí)際問題對微積分的思想有所感受.
∠A
30°
45°
60°
sinA
csA
tanA
1
已知條件
解法步驟
Rt△ABC
兩
邊
兩直角邊(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜邊，一直角邊(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
邊
一
角
一直角邊
和一銳角
銳角、鄰邊
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
銳角、對邊
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜邊、銳角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，

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