一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1. 下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴不是最簡(jiǎn)二次根式，故B正確．
2. 下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】A中，不是勾股數(shù)，故不符合要求；
B中，不是勾股數(shù)，故不符合要求；
C中，是勾股數(shù)，故符合要求；
D中，不是勾股數(shù)，故不符合要求；
3. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意，
B、，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意，
C、，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意，
D、，該選項(xiàng)正確，符合題意，
4. 如圖，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位線，則DE的長(zhǎng)為（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 2
【答案】D
【解析】∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB=4，
又∵DE是中位線，∴DE=BC=2．
5. 兩張全等的矩形紙片按如圖所示的方式交叉疊放，，．與交于點(diǎn)G，與交于點(diǎn)H，且，，則四邊形的周長(zhǎng)為（ ）

A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】D
【解析】∵兩張全等的矩形紙片按如圖所示的方式交叉疊放，，，，
∴，，
，，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形．
四邊形周長(zhǎng)為16．
6. 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，在上，且，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】如圖，連接BN，BD，BM，BM交AC于點(diǎn)E，
ABCD是正方形，則AC、BD互相垂直平分，
∴ND=NB，
當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)E不重合時(shí)，△NBM中NB+NM＞BM，
當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)E重合時(shí)，NB+NM=BM，
∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值為BM，
ABCD是正方形，則BC=CD=8，∠BCD=90°，
∴CM=CD-DM=8-2=6，
∴BM=，
∴DN+MN的最小值為10，
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7. 要使二次根式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是__________．
【答案】##
【解析】根據(jù)題意得：，解得：，
8. 已知為最簡(jiǎn)二次根式，且能夠與合并，則a的值是______________．
【答案】1
【解析】由最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，得
．解得，
9. 如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，，則______．
【答案】5
【解析】∵在中，∠，，，
∴由勾股定理得，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，
10. 如圖，在2×2網(wǎng)格中，線段AB的端點(diǎn)均在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，若每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則線段AB的長(zhǎng)為_(kāi)________________．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，利用勾股定理有，
11. 《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其地面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叺奶帲ㄈ鐖D），水深和蘆葦長(zhǎng)各多少尺？則該問(wèn)題的水深是______尺．
【答案】12
【解析】設(shè)水深x尺，則蘆葦長(zhǎng)尺，
在中，，
即，解得：，
∴，故水深12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺，
12. 如圖，在矩形中，，，點(diǎn)，點(diǎn)分別在，上，，若為矩形邊上一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，斜邊長(zhǎng)為_(kāi)____________
【答案】或或
【解析】∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
顯然點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，為直角三角形，
此時(shí)斜邊長(zhǎng)為；
當(dāng)點(diǎn)E為頂點(diǎn)時(shí)，為直角三角形，如圖，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴斜邊長(zhǎng)為；
當(dāng)點(diǎn)F為頂點(diǎn)時(shí)，為直角三角形，如圖，
∴，
過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，
∴是等腰直角三角形，
∴，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，
∴，
∴斜邊長(zhǎng)為；
綜上，斜邊長(zhǎng)為或或，
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13 （1）化簡(jiǎn)：．
（2）如圖，在中，，，，求的值．
解：（1）原式
；
（2），，
，
，
，
在中，．
14. 已知，，求下列各式的值．
（1）和；
（2）．
解：（1）∵，，
∴，；
（2）
15. 如圖，在平行四邊形中，，，，已知實(shí)數(shù)，滿足式子．求四邊形的周長(zhǎng)．
解：，
根據(jù)二次根式有意義的條件可知，，
解得，
，
平行四邊形，
，
，
，
，
，
四邊形平行四邊形，
四邊形的周長(zhǎng)．
16. 若，，是的三邊長(zhǎng)，且，，滿足．
（1）求，，的值；
（2）是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）由題意得：，
，
；
（2）是直角三角形，
，，
，
故是直角三角形．
17. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)已知兩點(diǎn)是格點(diǎn)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求畫(huà)圖保留畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法

（1）如圖，以線段為邊長(zhǎng)作菱形；
（2）如圖，以線段為邊作一個(gè)面積為的正方形．
解：（1）如圖所示，菱形即為所求；
或
（2）如圖所示，正方形即為所求．
四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18. 某居民小區(qū)有塊形狀為長(zhǎng)方形的綠地，長(zhǎng)方形綠地的長(zhǎng)為米，寬為米，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為米，寬為米．
（1）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）
（2）除去修建花壇的地方．其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)多少元？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）
解：（1）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)（米）
答：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是米；
（2）通道的面積
（平方米），
購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)（元）．
答：購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)元．
19. 【材料閱讀】
平面內(nèi)兩點(diǎn)，，則由勾股定理可得，這兩點(diǎn)間的距離．
例如，如圖1，，，則．
【直接應(yīng)用】
（1）已知，，求、兩點(diǎn)間的距離；
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，，，與軸正半軸的夾角是．
①求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②試判斷的形狀．
解：（1）由題意知，，
∴、兩點(diǎn)間的距離為；
（2）①解：如圖，過(guò)作軸于，
∴，
∴，
設(shè)，，
∴，
解得，，∴；
②解：由題意知，，，
∵，
∴，∴是直角三角形．
20. 如圖1為折疊便攜釣魚(yú)椅子，將其抽象成幾何圖形，如圖2所示，測(cè)得，，，，，，已知．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）求椅子最高點(diǎn)到地面的距離．
（1）證明：∵，，，
∴，，
則，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
延長(zhǎng)交于，
由（1）可知，，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
則，
∵，∴，
即：椅子最高點(diǎn)到地面的距離為．
五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21. 特例感知
化簡(jiǎn)：；
解：；
（1）請(qǐng)?jiān)跈M線上直接寫(xiě)出化簡(jiǎn)的結(jié)果：
①______；②______．
觀察發(fā)現(xiàn)
（2）第個(gè)式子是（為正整數(shù)），請(qǐng)求出該式子化簡(jiǎn)的結(jié)果（需要寫(xiě)出推理步驟）．
拓展應(yīng)用
（3）從上述結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算：
①；
②．
解：（1）①解：，
故答案為：；
②解：，
故答案為：；
（2）解：，
∴的化簡(jiǎn)結(jié)果為；
（3）解：
；
②解：
．
22. 課本再現(xiàn)
定理證明
（1）為了證明該定理，小賢同學(xué)畫(huà)出了圖形（如圖1），并寫(xiě)出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你從矩形的定義出發(fā)完成證明過(guò)程．
已知：在中，對(duì)角線，交點(diǎn)為．
求證：是矩形．
應(yīng)用定理
（2）如圖2，在菱形中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)．
求證：四邊形是矩形（用“課本再現(xiàn)”中的矩形判定定理證明）．
拓展遷移
（3）如圖3，四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，且，，，，分別為，，，的中點(diǎn)．若，，求四邊形的面積．
解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是矩形；
（2）證明：在菱形中，，，，
∵，，，分別為，，，的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
同理，，則，
∴四邊形是平行四邊形，
連接，，
在菱形中，，則，
∴四邊形是平行四邊形，則，
同理，四邊形平行四邊形，則，
∴，
∴四邊形是矩形；
（3）∵，，，分別為，，，的中點(diǎn)，
∴，， ，，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴四邊形的面積，
即四邊形的面積是．
六、（本大題共12分）
23. 我們定義：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“等補(bǔ)四邊形”．
如圖1，四邊形中，，，則四邊形叫做“等補(bǔ)四邊形”．
【概念理解】
（1）①在等補(bǔ)四邊形中，若，則______；
②在以下四種圖形中，一定是“等補(bǔ)四邊形”的是______．
A.平行四邊形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
【性質(zhì)探究】
（2）如圖1，在等補(bǔ)四邊形中，，連接，是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【知識(shí)運(yùn)用】
（3）如圖2，在四邊形中，平分，，．
求證：四邊形是等補(bǔ)四邊形．
【拓展應(yīng)用】
（4）將斜邊相等的兩塊三角板按如圖3放置，其中含角的三角板的斜邊與含角的三角板的斜邊重合，、位于的兩側(cè)，其中，若，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
解：（1）①∵四邊形等補(bǔ)四邊形，，
∴，
∴，
故答案為：130．
②在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)，
∴正方形是等補(bǔ)四邊形，
故選：D．
（2）平分，
理由：如圖，作于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵四邊形是等補(bǔ)四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分．
（3）證明：如圖，在上截取，連接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形等補(bǔ)四邊形．
（4）作于點(diǎn)，則，
∵，，
∴，
∴四邊形是等補(bǔ)四邊形，
由（2）得，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)為，
故答案為：．
思考
我們知道，矩形的對(duì)角線相等．反過(guò)來(lái)，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形嗎？
可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的一個(gè)判定定理：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．

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