?思想03 運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法解題
【命題規(guī)律】
高考命題中，以知識(shí)為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值．高考試題一是著眼于知識(shí)點(diǎn)新穎巧妙的組合，二是著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查．如果說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的意識(shí)，重在領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用，屬于思維的范疇，用于對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決．高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等．
【核心考點(diǎn)目錄】
核心考點(diǎn)一：運(yùn)用函數(shù)的思想研究問題
核心考點(diǎn)二：運(yùn)用方程的思想研究問題
核心考點(diǎn)三：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想研究不等式問題
核心考點(diǎn)四：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想研究其他問題
【真題回歸】
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)殡x心率，解得，，
分別為C的左右頂點(diǎn)，則，
B為上頂點(diǎn)，所以．
所以，因?yàn)?br /> 所以，將代入，解得，
故橢圓的方程為．
故選：B．
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為___________．
【答案】
【解析】[方法一]：弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法
令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，
設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，
再根據(jù)求出、，即可得解；
令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以?br /> 設(shè)，，則，，
所以，即
所以，即，設(shè)直線，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；

故答案為：
[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法
由題意知，點(diǎn)既為線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，
設(shè)，，設(shè)直線，，，
則，，，因?yàn)?，所?br /> 聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得
其中，
∴AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，又，∴
∵，，∴，又，解得m=2
所以直線，即
[方法三]：
令的中點(diǎn)為，因?yàn)椋裕?br /> 設(shè)，，則，，
所以，即
所以，即，設(shè)直線，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；

故答案為：
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．
【答案】或或
【解析】[方法一]：
顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，
于是，
故①，于是或，
再結(jié)合①解得或或，
所以直線方程有三條，分別為，，
填一條即可
[方法二]：
設(shè)圓的圓心，半徑為，
圓的圓心，半徑，
則，因此兩圓外切，

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；
又由方程和相減可得方程，
即為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，
又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，
直線OC與直線的交點(diǎn)為，
設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線為，則，解得，
從而該切線的方程為填一條即可
[方法三]：
圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，

當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)椋?，設(shè)方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，
故答案為：或或．
4．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．
【答案】
【解析】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．
求導(dǎo)得：，所以．
故切線方程為．
故答案為：．
5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為____________，____________．
【答案】???? ????
【解析】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求
分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)

導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；
因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；
[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合
當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，圖象為：

所以當(dāng)時(shí)的切線，只需找到關(guān)于y軸的對(duì)稱直線即可．
[方法三]：
因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
故答案為：；．

【方法技巧與總結(jié)】
1、函數(shù)與方程是緊密相聯(lián)、可以相互轉(zhuǎn)化的．在研究方程解的存在性、方程解的個(gè)數(shù)、方程解的分布等問題時(shí)，一般利用方程的性質(zhì)，對(duì)方程進(jìn)行同解變形，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解方程問題．例如，方程解的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也可以參變分離，轉(zhuǎn)化為水平直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也可以部分分離，轉(zhuǎn)化為斜線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也可以構(gòu)造兩個(gè)熟悉函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
2、在研究函數(shù)問題時(shí)，運(yùn)用方程的思想，設(shè)出未知數(shù)，通過(guò)題目中的等量關(guān)系，建立方程（組），進(jìn)而求解方程（組），或者將方程變形，構(gòu)造新函數(shù)，更易于研究其圖象和性質(zhì)．例如，在研究曲線的切線問題時(shí)，設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，得到切線斜率，切線方程為 ， 從而將函數(shù)中的切線問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程問題．
3、函數(shù)、方程、不等式三位一體，常常相互轉(zhuǎn)化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有解、不等式的證明等問題時(shí)，最重要的思想方法就是函數(shù)與方程思想，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，分析、 轉(zhuǎn)化不等式問題．例如，不等式或恒成立，可以轉(zhuǎn)化為或．也可以考慮參變分離再求函數(shù)的最值．
4、函數(shù)與方程的思想貫穿高中數(shù)學(xué)的多個(gè)模塊，在數(shù)列、解析幾何、三角形、立體幾何等內(nèi)容中都有廣泛的運(yùn)用．函數(shù)思想體現(xiàn)的是運(yùn)動(dòng)與變化的觀念，通過(guò)分析問題中的數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)函數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析．轉(zhuǎn)化問題，進(jìn)而解決問題．方程思想體現(xiàn)的是“動(dòng)中求靜”，尋求變化過(guò)程中保持不變的等量關(guān)系，建構(gòu)方程（組），通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析，轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決．
【核心考點(diǎn)】
核心考點(diǎn)一：運(yùn)用函數(shù)的思想研究問題
【典型例題】
例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，令，則，
因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)該方程在時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，
，所以，
①時(shí)，時(shí)有一個(gè)解，所以時(shí)，有一個(gè)解，
當(dāng)時(shí)，是遞減的，
則，
所以時(shí)有一個(gè)解，
即當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解；
②時(shí)，在時(shí)無(wú)解，
此時(shí)，即，解得或（舍去），
所以方程在時(shí)有1個(gè)解，
即當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
③時(shí)，在時(shí)無(wú)解，
則時(shí)，，
所以，該方程要在時(shí)有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，
即函數(shù)在上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以，解得，
綜上所述，的范圍為，
例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若在上最小值為，求實(shí)數(shù)的值；
（3）若在上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由??得??
若在為增函數(shù)，則???所以
（2）令??
即 最小值為
若??則時(shí)最小???
若 則時(shí)最小????無(wú)解
若時(shí)??則時(shí)最小??得??舍去

（3）只一個(gè)零點(diǎn)
由??得????舍去
或
若有二個(gè)零點(diǎn)且只一個(gè)在內(nèi)
則
即
解得
．
例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值．
【解析】（1）［方法一］：【最優(yōu)解】指數(shù)找朋友
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．
設(shè)函數(shù)，則．
，所以在單調(diào)遞減．
而，故當(dāng)時(shí)，，即．
［方法二］：【通性通法】直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最小值
當(dāng)時(shí)，．
令，令，得．則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，從而，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，有．
［方法三］：【最優(yōu)解】指對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化
當(dāng)時(shí)，．
令，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，有，故當(dāng)時(shí)，．
（2）［方法一］：指數(shù)找朋友
設(shè)函數(shù)，
在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．
（i）當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；
（ii）當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
故是在的最小值．
①若，即，在沒有零點(diǎn)；
②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；
③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．
故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．
［方法二］：等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
令，得．
令．則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．
［方法三］：等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次曲線與指數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)．由與的圖象可知它們?cè)趨^(qū)間內(nèi)必相切于y軸右側(cè)同一點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，則，解方程組得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意．
［方法四］：等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
當(dāng)時(shí)，，原問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與曲線在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)．由得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．設(shè)與的切點(diǎn)為，則，于是函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程為．由切線過(guò)原點(diǎn)可得，故．
［方法五］：【通性通法】含參討論
因?yàn)?，?br /> 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，故無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，．
①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，有在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，故無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，令，得，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．，從而單調(diào)遞增．又，所以無(wú)零點(diǎn)．
③當(dāng)時(shí)，，又，所以存在，使得，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，則為函數(shù)的唯一零點(diǎn)，且滿足．所以，解得，則．
［方法六］：【最優(yōu)解】等價(jià)變形＋含參討論
當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，記，則；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則有，故無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞誠(chéng)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故，得．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：根據(jù)指數(shù)找朋友，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，這樣可以減少求導(dǎo)的次數(shù)，便于求最值，是該題的最優(yōu)解．；
方法二：常規(guī)的直接求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性求最值，是該題的通性通法；
方法三：利用指對(duì)互化，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，這樣可以減少求導(dǎo)的次數(shù)，便于求最值，是該題的最優(yōu)解．
（2）方法一：根據(jù)指數(shù)找朋友，原函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于在只有一個(gè)零點(diǎn)，再分類討論以及利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可解出；
方法二：利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)關(guān)系，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可解出；
方法三：利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)關(guān)系，等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次曲線與指數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可解出；
方法四：同方法二；
方法五：直接含參討論函數(shù)的單調(diào)性確定最值，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可解出，是該類型題的通性通法；
方法六：易知當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，只需考慮時(shí)的情況，，再含參討論函數(shù)的單調(diào)性，研究其最值即可解出，是本題的最優(yōu)解．
核心考點(diǎn)二：運(yùn)用方程的思想研究問題
【典型例題】
例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，其中．
（1）請(qǐng)利用的導(dǎo)函數(shù)推出導(dǎo)函數(shù)，并求函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)的切線平行，求（化簡(jiǎn)為只含的代數(shù)式）；
（3）證明：當(dāng)時(shí)，存在直線，使得既是的一條切線，也是的一條切線．
【解析】（1）對(duì)于，則，
又，所以，
因?yàn)?，定義域?yàn)椋?br /> ，因?yàn)椋裕?br /> 所以當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）由，可得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．
由，可得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．
這兩條切線平行，故有，即，
兩邊取以為底數(shù)的對(duì)數(shù)，得，
；
（3）證明：曲線在點(diǎn)處的切線，
曲線在點(diǎn)，處的切線．
要證明當(dāng)時(shí)，存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線，
只需證明當(dāng)時(shí)，存在，使得與重合，
即只需證明當(dāng)時(shí)，方程組
由①得，代入②得：
，③
因此，只需證明當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程③存在實(shí)數(shù)解．
設(shè)函數(shù)，既要證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)．
，可知時(shí)，；時(shí)，單調(diào)遞減，
又，，
故存在唯一的，且，使得，即．
由此可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
在處取得極大值．
，故．
．
下面證明存在實(shí)數(shù)，使得，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以當(dāng)時(shí)，有
．
存在實(shí)數(shù)，使得．
因此，當(dāng)時(shí)，存在，使得．
當(dāng)時(shí)，存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線．
例5．（2023春·安徽滁州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．
（Ⅰ）不需證明，直接寫出的奇偶性：
（Ⅱ）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)：
（Ⅲ）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
【解析】（Ⅰ）定義域?yàn)?，函?shù)為奇函數(shù)．?????????????????????????????
（Ⅱ）因?yàn)椋?br /> 由（Ⅰ）知，為奇函數(shù)，且
所以，在和上單調(diào)遞增．??????????????????????????????????
在上，，

所以在上有唯一零點(diǎn)，即．
又為奇函數(shù)，．
故在上有唯一零點(diǎn)．
綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．??????????????????????????????????????????????
（Ⅲ）因?yàn)?，故點(diǎn)在曲線上．
由題設(shè)知即，連接，
則直線的斜率
曲線在點(diǎn)處切線的斜率是；
曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是．
所以曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
例6．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？家荒＃┤糁本€是曲線的切線，也是的切線，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)直線與和的切點(diǎn)分別為，，
則切線方程分別為，
，
，
化簡(jiǎn)得，


依題意上述兩直線與是同一條直線，
所以，，解得，
所以．
故選：C．
例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（????）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】對(duì)于 ，設(shè)切點(diǎn)為 ， ，
則切線方程為 ，
即 …①；
對(duì)于 ，設(shè)切點(diǎn)為 ，
則切線方程為 ，
…②；
由①②得： 解得 ， ；
故選：A．
核心考點(diǎn)三：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想研究不等式問題
【典型例題】
例8．（2023春·廣西·高三期末）已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；
（2）若對(duì)，不等式恒成立，求a的取值范圍．
【解析】（1）化簡(jiǎn)得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為2；
（2）由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
又因?yàn)椋?br /> 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
所以，
或
或．
例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，求的取值范圍（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若，則，，，
即，，解得；
若，則，，，
即，，解得；
若，，，滿足，
綜上所述，，的取值范圍為，
故選：D．
例10．（2023·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若時(shí)，，求a的取值范圍（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題，得，設(shè)，則
，．
當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減．
又，故在存在唯一零點(diǎn)，即在存在唯一零點(diǎn)．
由題設(shè)知，可得．因?yàn)樵诖嬖谖ㄒ涣泓c(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
又，所以，當(dāng)時(shí)，．
又當(dāng)，時(shí)，，故．
因此，a的取值范圍是．
故選：B
核心考點(diǎn)四：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想研究其他問題
【典型例題】
例11．（2023春·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，的面積為S，且滿足，．
（1）求A和a的大??；
（2）若為銳角三角形，求的面積S的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 由正弦定理得：
所以，
所以，
因?yàn)橹?，所以?br /> 因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)?，由余弦定理得：，解得?br /> 綜上，，．
（2）由（1）知：，，
由正弦定理得：，．
因?yàn)闉殇J角三角形，故，得．
從而的面積

，
又，，
所以，從而的面積的取值范圍為．
例12．（2023春·河北張家口·高三張家口市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，其中一個(gè)焦點(diǎn)在直線上．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，試求三角形面積的最大值．
【解析】（1）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)即為直線與軸的交點(diǎn)，所以，
又離心率為則，，所以橢圓方程為；
（2）聯(lián)立若直線與橢圓方程得，令，得設(shè)方程的兩根為，
則，，，
點(diǎn)到直線的距離，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即或時(shí)取等號(hào)，而或滿足，
所以三角形面積的最大值為1．
例13．（2023春·陜西咸陽(yáng)·高三陜西咸陽(yáng)中學(xué)校考期中）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列．
（1）若，且，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的最小值．
【解析】（1）依題意，，，設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d，則，
于是得，解得或（舍去），則，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．
（2）因數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則由（1）知：，

，

，
即，有，則數(shù)列是遞減數(shù)列，因此，，
因?qū)θ我獾?，不等式恒成立，從而得?br /> 所以實(shí)數(shù)k的最小值為．
例14．（2023春·北京·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)
（1）函數(shù)的值域是____________．
（2）若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是______________-．
【答案】???? ????
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> （2）關(guān)于x的方程（a∈R）恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，
即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象和直線如圖所示，
當(dāng)直線分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和時(shí)，a的值分別為和，
有圖易得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象和直線有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)直線與函數(shù)的圖象在內(nèi)相切時(shí)，
有，即有且僅有一個(gè)根，
則有，
解得（舍去）．
綜上所述，a的取值范圍是．

故答案為：；．
【新題速遞】
一、單選題
1．（2023·廣東茂名·高三統(tǒng)考）已知三棱柱的頂點(diǎn)都在球O的表面上，且，若三棱柱的側(cè)面積為，則球O的表面積的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意可知三棱柱是直三棱柱，設(shè)其高為，
設(shè)，
則，，
，
由余弦定理得，即，
設(shè)三角形的外接圓半徑為，則，
所以球的半徑

，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
所以球的表面積的最小值為．
故選：C
2．（2023·重慶萬(wàn)州·高三重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)榇嬖谌齻€(gè)零點(diǎn)，所以方程存在三個(gè)實(shí)根，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即有且只有一個(gè)實(shí)根，
所以當(dāng)時(shí)，，即有且只有2個(gè)實(shí)根，
令，，則，
由，得，由，得，
所以在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
又時(shí)，，時(shí)，，

由函數(shù)，的圖象可知，．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：B．
3．（2023春·河北滄州·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，則下列說(shuō)法正確的是（????）
A．若，則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列 B．若，則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列
C．時(shí)， D．時(shí)，
【答案】C
【解析】由得，
即，
所以數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列，
函數(shù)，
A項(xiàng)，，，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，
B項(xiàng)，，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，即數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，
C項(xiàng)，時(shí)，可知，，
，
D項(xiàng)，時(shí)，，由C知，，
故選：C．
二、多選題
4．（2023·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，，滿足，，，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．對(duì)任意， B．對(duì)任意，的最小值為
C．的最大值為 D．的最小值為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，．所以，故A正確．
對(duì)于D，設(shè)，則，，應(yīng)用A的結(jié)論得，
，等號(hào)可以取到，故D正確．
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，
，故B正確．
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤，
故選：ABD．
5．（2023春·福建泉州·高三福建省永春第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓 ，直線，則（????）
A．直線恒過(guò)定點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1
C．直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)
D．若圓與圓 恰有三條公切線，則
【答案】AD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，直線 ，所以，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確．
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線為：，則圓心到直線的距離為，，所以圓上只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為
，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，所以，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)．故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．
對(duì)于D選項(xiàng)，由圓的方程可得，，所以圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，則，解得，故D選項(xiàng)正確．
故選：AD
6．（2023春·山東日照·高三統(tǒng)考）下列命題中是真命題的有（????）
A．有四個(gè)實(shí)數(shù)解
B．設(shè)a、b、c是實(shí)數(shù)，若二次方程無(wú)實(shí)根，則
C．若，則
D．若，則函數(shù)的最小值為2
【答案】BC
【解析】對(duì)：令，容易知其為偶函數(shù)，
????又當(dāng)時(shí)，令，解得；
????故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即，故錯(cuò)誤；
對(duì)：若二次方程無(wú)實(shí)根，故可得，
即可得，故正確；
對(duì)：，則，解得，且，
此時(shí)一定有，故正確；
對(duì)：令，，則原函數(shù)
等價(jià)于，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，
該函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，
故可得函數(shù)的最小值為．故錯(cuò)誤．
故答案為：．
7．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（????）
A． B．若，則的最小值為
C．取到最大值時(shí)， D．設(shè)，則數(shù)列的最小項(xiàng)為
【答案】AD
【解析】由，可得，
則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則選項(xiàng)A判斷正確；
若，則
則
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）
又，則的最小值為不為．則選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；
等差數(shù)列中，
則等差數(shù)列的前項(xiàng)和取到最大值時(shí)，或．則選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；
設(shè)，則，則
則
則數(shù)列的最小項(xiàng)為．則選項(xiàng)D判斷正確
故選：AD
8．（2023春·福建泉州·高三泉州五中?？迹?shù)列滿足，，，則下列說(shuō)法正確的是（????）
A．當(dāng)時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減
【答案】AB
【解析】A選項(xiàng)，，設(shè)，整理得：，
所以，故，又，，
所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，，A正確；
B選項(xiàng)，，
因?yàn)?，所以?br /> ，
猜想：，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
顯然，滿足要求，
假設(shè)時(shí)，成立，即，
則當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br /> 故，B正確；
C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，，
畫出與的圖象，
因?yàn)?，且?br /> 畫出蛛網(wǎng)圖，可以看出：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
，
故，，
所以，，兩不等式相加得：，C錯(cuò)誤；

，
因?yàn)椋裕?br /> 顯然，，故此時(shí)為常數(shù)列，D錯(cuò)誤．
故選：AB
三、填空題
9．（2023春·四川綿陽(yáng)·高一四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)為“壹函數(shù)”，則下列函數(shù)是“壹函數(shù)”的是______．
①；②；③；④．
【答案】②③
【解析】對(duì)于①，的定義域?yàn)?，由，得，平方得，解得，不是非零?shí)數(shù)，則不是“壹函數(shù)”；
對(duì)于②，的定義域?yàn)?，由，得，即，解得，則是“壹函數(shù)”；
對(duì)于③，的定義域?yàn)?，由，得，可得，即，解得，則是“壹函數(shù)”；
對(duì)于④，的定義域?yàn)椋?，得，解得，不是非零?shí)數(shù)，則不是“壹函數(shù)”．
故答案為：②③．
10．（2023春·四川成都·高一校聯(lián)考）已知函數(shù) 滿足，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．
【答案】
【解析】因，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則f（x）在R上單調(diào)遞減，
由知，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，解得，則，
當(dāng)時(shí)，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而函數(shù)在上單調(diào)遞減，必有，解得，則，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
故答案為：
四、解答題
11．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> （1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【解析】（1）由題意知，，即，解得．
（2）由在上恒成立，可化為在恒成立；
令，由，可得，
則在上恒成立．
記，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以．
所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
（3）方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
可化為有三個(gè)不同根．
令，則．當(dāng)時(shí)，且遞減，
當(dāng)時(shí)，且遞增，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，且遞增．
設(shè)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且．
原方程有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根等價(jià)于或．
記，則或
解得．
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是．
12．（2023春·上海浦東新·高一華師大二附中?？迹┮阎瘮?shù)，函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> （1）若不等式的解集為，求m的值；
（2）在（1）的條件下，若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)c的值．
【解析】（1）不等式可化為．
因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所?2和1是方程的兩根，
代入得：，解得：m=2．
（2）在（1）的條件下，．
所以可化為．
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以．
即實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）由的值域?yàn)榭芍?，即?br /> 不等式可化為，其解集為．
設(shè)方程的兩根為，則
又，
所以，
解得：c=9．
13．（2023春·江蘇南通·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)、．
（1）當(dāng)c＝b時(shí)，解關(guān)于x的不等式＞1；
（2）若的值域?yàn)閇1，），關(guān)于x的不等式的解集為（m，m＋4），求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若對(duì)，，，恒成立，函數(shù)，且的最大值為1，求的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由得，即，
當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．
（2）由的值域?yàn)?，得?br /> 又關(guān)于的不等式的解集為，所以，是方程的兩個(gè)根，即的兩根之差為4．
所以，則，解得．
（3）時(shí)，，則時(shí)，恒成立．
又，因?yàn)榈淖畲笾禐?，在上的最大值為1，由圖像開口向上，所以，即，則，且；
此時(shí)由時(shí)，恒成立，即恒成立，則，得，所以，要滿足時(shí)，恒成立，則，解得，，所以．
此時(shí)．
14．（2023春·河北邯鄲·高三?？迹┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過(guò)焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于?和?四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．
【解析】（1）由已知知：，解得，
故拋物線的方程為：．
（2）由（1）知：，設(shè)直線的方程為：，、，則直線的方程為：，
聯(lián)立得，則，所以，，
∴，
同理可得，
∴四邊形的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
∴四邊形面積的最小值為2．
15．（2023春·內(nèi)蒙古·高三赤峰二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，過(guò)，的圓的內(nèi)接正三角形的面積為，以為焦點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)為P，且．
（1）求橢圓C和拋物線M的方程；
（2）過(guò)作相互垂直的兩條直線，其中一條交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，另一條交拋物線M于G，H兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．
【解析】（1）圓半徑為，故內(nèi)接正三角形的面積為
∴，即
又，，故
∴，∴
∴橢圓．
（2）由已知得直線的斜率存在，記為
（i）當(dāng)時(shí)，，，故．
（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)，代入，得：
∴．
此時(shí)，，代入得：
∴．
∴
綜上，．
16．（2023春·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）定義：若對(duì)定義域內(nèi)任意x，都有（a為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“a距”增函數(shù)．
（1）若，（0，），試判斷是否為“1距”增函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）若，R是“a距”增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若，（﹣1，），其中kR，且為“2距”增函數(shù)，求的最小值．
【解析】（1）任意，，
因?yàn)?，?所以，所以，即是“1距”增函數(shù)．
（2）．
因?yàn)槭恰熬唷痹龊瘮?shù)，所以恒成立，
因?yàn)椋栽谏虾愠闪ⅲ?br /> 所以，解得，因?yàn)?，所以?br /> （3）因?yàn)?，，且為?距”增函數(shù)，
所以時(shí)，恒成立，
即時(shí)，恒成立，
所以，
當(dāng)時(shí)，，即恒成立，
所以， 得；
當(dāng)時(shí)，，
得恒成立，
所以，得，
綜上所述，得．
又，
因?yàn)?，所以?br /> 當(dāng)時(shí)，若，取最小值為；
當(dāng)時(shí)，若，取最小值．
因?yàn)樵赗上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以當(dāng)，的最小值為；當(dāng)時(shí)的最小值為，
即 ．
17．（2023春·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題．
銳角中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，的面積為S，已知______．
（1）求角C的大??；
（2）求的取值范圍．
【解析】（1）若選擇條件①
∵，
∴，
即
，
∴，，．
若選擇條件②原式，再根據(jù)正弦定理邊角互化可知
，即，，，
若選擇條件③原式，即 ，，；
（2）∵為銳角三角形且
∴

∴，∴，
∴，
即的錘子數(shù)學(xué)取值范圍為．



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