數(shù)學(xué)試卷
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷第1頁(yè)至第2頁(yè)，第Ⅱ卷第3頁(yè)至第4頁(yè).考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
第I卷（選擇題，共58分）
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校?班級(jí)?姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無(wú)效.
一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 函數(shù)定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
2. 若，則（ ）
A B. C. D.
3. ，則（ ）
A. B. C. D.
4. 若關(guān)于的不等式的解集為，則的值是（ ）
A. B. C. 2D.
5. 已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足，，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
6. 向量，且∥，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 5B. C. 2D.
7. 某校高一年級(jí)數(shù)學(xué)周練滿分100分，學(xué)生分?jǐn)?shù)均在內(nèi)，將學(xué)生成績(jī)分成6組并作出頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形
（如圖所示），則該次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是（ ）
A. 60分B. 75分C. 79.5分D. 85分
8. 要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）
A. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
10. 如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）
A. 平面B. 平面
C. ∥平面D. ∥平面
11. 定義在上的奇函數(shù)滿足，則（ ）
A. B. 關(guān)于對(duì)稱
C. D. 周期函數(shù)
第II卷（非選擇題，共92分）
注意事項(xiàng)：
第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效.
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)是__________.
13. 已知命題“，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
14. 蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550-1617）在研究天文學(xué)的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)對(duì)運(yùn)算體系的多年研究后發(fā)明的對(duì)數(shù)，為當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家處理“大數(shù)”的計(jì)算大大縮短了時(shí)間.即就是任何一個(gè)正實(shí)數(shù)可以表示成，則，這樣我們可以知道的位數(shù)為.已知正整數(shù)，若是10位數(shù)，則的值為_(kāi)_________.（參考數(shù)據(jù)：）
四?解答題（共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）求；
（2）求的解析式.
16. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且.
（1）求角；
（2）若的面積為，求.
17. 在一次選拔比賽中，每個(gè)選手都需要進(jìn)行5輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四、五輪問(wèn)題的概率分別為、、、、，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.
（1）求該選手進(jìn)入第二輪才被淘汰的概率；
（2）求該選手至多進(jìn)入第四輪考核的概率.
18. 如圖，邊長(zhǎng)為3正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將、分別沿、折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，連接.
（1）求證：平面；
（2）求四棱錐的體積.
19. 類(lèi)比于二維空間（即平面），向量可用二元有序數(shù)組表示，若維空間向量用元有序數(shù)組表示，記為，，且維空間向量滿足.
（1）當(dāng)，求.
（2）證明：；
（3）若是正實(shí)數(shù)，且滿足，求證：.【考試時(shí)間：7月5日08：30-10：30】
玉溪市2023~2024學(xué)年春季學(xué)期期末高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)
數(shù)學(xué)試卷
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷第1頁(yè)至第2頁(yè)，第Ⅱ卷第3頁(yè)至第4頁(yè).考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
第I卷（選擇題，共58分）
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校?班級(jí)?姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無(wú)效.
一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，然后解不等式得出答案.
【詳解】由題意知，，即，
所以或.
故選：C.
2. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以.
故選：A
3. ，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】.
故選：B
4. 若關(guān)于的不等式的解集為，則的值是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的解集得出相應(yīng)方程的根，再用韋達(dá)定理可求.
【詳解】不等式的解集為，
則方程的兩根為，
由韋達(dá)定理得：，，
可得，
故.
故選：.
5. 已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足，，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形面積公式即可求解.
【詳解】在中，，，，
由三角形的面積公式得.
故選：A.
6. 向量，且∥，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 5B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算分析求解.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
若∥，則，解得.
故選：D.
7. 某校高一年級(jí)數(shù)學(xué)周練滿分100分，學(xué)生分?jǐn)?shù)均在內(nèi)，將學(xué)生成績(jī)分成6組并作出頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形
（如圖所示），則該次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是（ ）
A. 60分B. 75分C. 79.5分D. 85分
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)該次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為分，分析可知，結(jié)合中位數(shù)的定義列式求解.
【詳解】由題意可知：后三組的頻率依次為，
因?yàn)椋?br>設(shè)該次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為分，則，
可得，解得，
所以該次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為75分.
故選：B.
8. 要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）
A. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖象的平移結(jié)合誘導(dǎo)公式分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：可得，不合題意，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：可得，不合題意，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：可得，符合題意，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：可得，不合題意，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)集合交集和并集運(yùn)算直接求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>由題意可得：，，
故AC錯(cuò)誤，BD正確.
故選：BD.
10. 如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）
A. 平面B. 平面
C. ∥平面D. ∥平面
【答案】AC
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)直棱柱的定義即可得結(jié)果；對(duì)于B：假設(shè)成立，可得，結(jié)合題意分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)線面平行的判定定理分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題意可得平面，即可得結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槿庵鶠橹比庵?br>所以平面，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：若平面，且平面，則，
又因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，可知，
但題設(shè)條件不能確定，所以不能確定平面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，則∥，，
又因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，且分別為的中點(diǎn)，則∥，，
即∥，，可知為平行四邊形，則∥，
且平面，平面，
所以∥平面，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可知平面，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
11. 定義在上的奇函數(shù)滿足，則（ ）
A. B. 關(guān)于對(duì)稱
C. D. 是周期函數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)判斷B，推導(dǎo)出即可判斷C，推導(dǎo)出即可判斷D.
【詳解】定義在上的奇函數(shù)，則且，故A正確；
又，所以，則關(guān)于對(duì)稱，故B正確；
由及，可得，
所以，所以是為周期的周期函數(shù)，故D正確；
又，故C錯(cuò)誤
故選：ABD
第II卷（非選擇題，共92分）
注意事項(xiàng)：
第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效.
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)是__________.
【答案】13
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的平均數(shù)為5，
所以，
，
所以的平均數(shù)是13.
故答案為：13.
13. 已知命題“，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最小值，然后求解實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】因?yàn)槊}“，使得”是假命題，
所以命題“，使得”是真命題，
即對(duì)，恒成立，
令，則，
所以，
所以.
故答案為：.
14. 蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550-1617）在研究天文學(xué)的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)對(duì)運(yùn)算體系的多年研究后發(fā)明的對(duì)數(shù)，為當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家處理“大數(shù)”的計(jì)算大大縮短了時(shí)間.即就是任何一個(gè)正實(shí)數(shù)可以表示成，則，這樣我們可以知道的位數(shù)為.已知正整數(shù)，若是10位數(shù)，則的值為_(kāi)_________.（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】或
【解析】
【分析】依題意可得，兩邊取常用對(duì)數(shù)，即可得到，從而得解.
【詳解】依題意可得，兩邊取常用對(duì)數(shù)可得，
即，所以，即，
又正整數(shù)，所以或.
故答案為：或
四?解答題（共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）求；
（2）求的解析式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可得當(dāng)時(shí)，的解析式，即可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）中結(jié)論，即可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
當(dāng)時(shí)，則，可得，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可得：
16. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且.
（1）求角；
（2）若的面積為，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，，利用余弦定理計(jì)算可得；
（2）由面積公式求出，結(jié)合計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以，又，則，
又余弦定理，
又，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由，所以，
則.
17. 在一次選拔比賽中，每個(gè)選手都需要進(jìn)行5輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四、五輪問(wèn)題的概率分別為、、、、，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.
（1）求該選手進(jìn)入第二輪才被淘汰的概率；
（2）求該選手至多進(jìn)入第四輪考核的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)該選手進(jìn)入第二輪被淘汰為事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；
（2）設(shè)該選手至多進(jìn)入第四輪考核為事件，根據(jù)互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)該選手進(jìn)入第二輪被淘汰事件，則；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)該選手至多進(jìn)入第四輪考核為事件，
則.
18. 如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將、分別沿、折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，連接.
（1）求證：平面；
（2）求四棱錐的體積.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意，，即可證明；
（2）首先求出的面積，在立體圖形中連接與交于點(diǎn)，即可得到，從而得到點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的，再由計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
在正方形中，，，
則在立體圖形中有，，
又，平面，
所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槠矫?，所以為三棱錐的高，且，
在平面圖形中可得，，
所以，則，所以，
則，
在平面圖形中連接與交于點(diǎn)，設(shè)，則為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以，
在立體圖形中連接與交于點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的，
所以.
19. 類(lèi)比于二維空間（即平面），向量可用二元有序數(shù)組表示，若維空間向量用元有序數(shù)組表示，記為，，且維空間向量滿足.
（1）當(dāng)，求.
（2）證明：；
（3）若是正實(shí)數(shù)，且滿足，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)詳解 （3）證明見(jiàn)詳解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的定義分析證明；
（3）根據(jù)題意結(jié)合基本不等式分析證明.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，則，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>則，
且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號(hào)成立，
所以.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
同理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)滿足，即等號(hào)成立，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于（2），利用數(shù)量積將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，進(jìn)而分析證明.

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