高一數(shù)學(xué)
試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.考查范圍：必修第一冊(cè)?必修第二冊(cè).
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.
3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用檬皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
2.若實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A.-3 B.3 C.-1 D.1
3.已知，則（ ）
A. B. C. D.
4.隨著老齡化時(shí)代的到來，某社區(qū)為了探討社區(qū)養(yǎng)老模式，在社區(qū)內(nèi)對(duì)2400名老年人?2400名中年人?2100名青年人用分層抽樣方法隨機(jī)發(fā)放了調(diào)查問卷345份，則在老年人中發(fā)放的調(diào)查問卷份數(shù)是（ ）
A.110 B.115 C.120 D.125
5.若，則（ ）
A.0 B. C. D.
6.在中，角所對(duì)的邊分別為.若，則為（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
7.如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為4，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)，從點(diǎn)處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周到達(dá)點(diǎn)，這條繩子長(zhǎng)度的最短值為，則此圓錐的表面積為（ ）
A. B. C. D.
8.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，恒有，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A.對(duì)立事件一定是互斥事件
B.若為兩個(gè)隨機(jī)事件，則
C.若事件彼此互斥，則
D.若事件滿足，則與是對(duì)立事件
10.如圖，在三棱錐中，平面為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.平面 B.
C.平面 D.平面
11.已知定義在上的函數(shù)與滿足，且，若為偶函數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.計(jì)算__________.
13.已知球的表面積為，球心到球內(nèi)一點(diǎn)的距離為1，則過點(diǎn)的截面面積的最小值為__________.
14.對(duì)定義在非空集合上的函數(shù)，以及函數(shù)，俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫?qū)⒑瘮?shù)的最大值稱為函數(shù)與的“偏差”.若，，則函數(shù)與的“偏差”為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
（1）求的值；
（2）已知，求的值.
16.（15分）已知中，角所對(duì)的邊分別是，其中，.
（1）求的外接圓半徑；
（2）求周長(zhǎng)的最大值.
17.（15分）智能手機(jī)的出現(xiàn)，改變了我們的生活，同時(shí)也占用了我們大量的學(xué)習(xí)時(shí)間.某市教育機(jī)構(gòu)從500名手機(jī)使用者中隨機(jī)抽取100名，得到每天使用手機(jī)時(shí)間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖（如圖所示），其分組是.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這500名手機(jī)使用者使用時(shí)間的中位數(shù)是多少；（精確到整數(shù)）
（2）估計(jì)手機(jī)使用者平均每天使用手機(jī)多少分鐘；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
（3）從抽取的100名手機(jī)使用者中在和中按比例分別抽取2人和3人組成研究小組，然后再?gòu)难芯啃〗M中選出2名組長(zhǎng).這2名組長(zhǎng)分別選自和的概率是多少？
18.（17分）已知在正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且.
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正切值.
19.（17分）對(duì)于分別定義在上的函數(shù)以及實(shí)數(shù)，若任取，存在，使得，則稱函數(shù)與具有關(guān)系.其中稱為的像.
（1）若，判斷與是否具有關(guān)系，并說明理由；
（2）若，且與具有關(guān)系，求的像.
普洱市2023—2024學(xué)年下學(xué)期高一年級(jí)期末統(tǒng)測(cè)試卷
高一數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則
1.【答案】C
【解析】，故選C.
2.【答案】B
【解析】依題意，，故.故選B.
3.【答案】B
【解析】.故選B.
4.【答案】C
【解析】設(shè)在老年人中發(fā)放的調(diào)查問卷份數(shù)為，則，解得.故選C.
5.【答案]A
【解析】因?yàn)?，所以，所?故選.
6.【答案】D
【解析】由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以為等腰或直角三角形.故選D.
7.【答案】B
【解析】設(shè)底面圓的半徑為，由母線長(zhǎng)，可知側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，將圓錐側(cè)面展開成一個(gè)扇形，從點(diǎn)拉一條繩子圍繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)，最短躋離為；如圖，在中，，，所以，所以，故，解得，所以圓錐的表面積為.故選B.
8.【答案】C
【解析】由得，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，令，則是偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，恒有，故在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，則，解得或.故選C.
9.【答案】BCD（每選對(duì)1個(gè)得2分）
【解析】根據(jù)對(duì)立事件與互斥事件的關(guān)系，可得A正確；當(dāng)與是互斥事件時(shí)，才有，對(duì)于任意兩個(gè)事件滿足，故B錯(cuò)誤；不一定等于1，還可能小于1，故錯(cuò)誤；例如：袋中有大小相同的紅?黃?黑?綠4個(gè)球，從袋中任摸一個(gè)球，設(shè)事件摸到紅球或黃球，事件摸到黃球或黑球，顯然事件與不對(duì)立，但，故D錯(cuò)誤.故選BCD.
10.【答案】ABC（每選對(duì)1個(gè)得2分）
【解析】平面，又平面平面，故A正確；由平面，得，又是的中點(diǎn)，，又平面平面，故正確；由平面，得，因此與不垂直，從而不與平面垂直，錯(cuò)誤.故選.
11.【答案】ABC（每選對(duì)1個(gè)得2分）
【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，故，故A正確；由得，，代入中，得①，令，得，故B正確；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，故由得，，則，故②，聯(lián)立①②，可得，故為圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確；而，故的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故D錯(cuò)誤，故選ABC.
12.【答案
【解析】.
13.【答案】
【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得，當(dāng)點(diǎn)為截面圓的圓心，即截面時(shí)，過點(diǎn)的截面面積最小，設(shè)此時(shí)截面的半徑為，則，所以過點(diǎn)的截面面積的最小值為.
14.【答案】
【解析】，因?yàn)?，所以，則，故函數(shù)與的“偏差”為.
15.解：（1）依題意.
（2）依題意，.
16.解：（1）依題意，
解得，
故的外接圓半徑.
（2）由余弦定理，，
因?yàn)?，則，
則，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故周長(zhǎng)的最大值為.
17.解：（1）設(shè)中位數(shù)為，則，
解得.
這500名手機(jī)使用者使用時(shí)間的中位數(shù)是57.
（2）平均每天使用手機(jī)時(shí)間為分鐘，
即手機(jī)使用者平均每天使用手機(jī)時(shí)間為58分鐘.
（3）設(shè)在內(nèi)抽取的2人分別為，在內(nèi)抽取的3人分別為，則從5人中選出2人共有以下10種情況：
，
2名組長(zhǎng)分別選自和的共有以下6種情況：
，
所求概率.
18.（1）證明：因?yàn)椋裕?br>又為的中點(diǎn)，所以，
所以，又，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面.
（2）解：取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槿庵钦庵遥?br>所以，平面平面，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)?，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫?br>所以就是二面角的平面角，
因?yàn)椋?br>所以，
即二面角的正切值為.
19.解：（1）的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，由得，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?br>故不存在，使，即與不具有關(guān)系.
（2），由，
得，
即，所以或，
得或，
又，得，所以的像為.

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