全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)、學(xué)校、班級(jí)等考生信息填寫(xiě)在答題卡上.
2.作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題指定的位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
一、單選題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.
1. 在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)在（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2. 下列命題中正確的是（ ）
A. 零向量沒(méi)有方向B. 共線向量一定是相等向量
C. 若為實(shí)數(shù)，則向量與方向相同D. 單位向量的模都相等
3. 已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為10，則的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A. 32，90B. 32，92C. 30，90D. 30，92
4. 已知向量，，則向量在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
5. 某校有小學(xué)生、初中生和高中生，其人數(shù)比是，為了解該校學(xué)生的視力情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本量為的樣本，已知樣本中高中生的人數(shù)比小學(xué)生的人數(shù)少20，則（ ）
A. 100B. 120C. 200D. 240
6. 設(shè)，是兩個(gè)不重合的平面，，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，，，則
B. 若，，則
C. 若，，，，則
D. 若，，則
7. 擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的乘積是偶數(shù)”．那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 與是對(duì)立事件B. 與是互斥事件
C. 與是相互獨(dú)立事件D. 與是相互獨(dú)立事件
8. 已知直三棱柱的體積為8，二面角的大小為，且，，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 圓柱的側(cè)面積為B. 圓錐的側(cè)面積為
C. 圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D. 三個(gè)幾何體的表面積中，球的表面積最小
10. 設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確有（ ）
A. 若，則
B. 對(duì)任意復(fù)數(shù)，，有
C. 對(duì)任意復(fù)數(shù)，，有
D. 在復(fù)平面內(nèi)，若，則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為
11. 在中，角所對(duì)的邊分別是，，，下列命題正確的是（ ）
A. 若，，則面積的最大值為
B. 若，，則面積的最大值為
C. 若，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則
D. 若，且，則該三角形內(nèi)切圓面積最大值為
三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.
12. 甲、乙兩人獨(dú)立的解同一道題，甲、乙解對(duì)題的概率分別是、，那么恰好只有1人解對(duì)題的概率是________.
13. 已知頻率分布直方圖如圖所示，記其平均數(shù)為，中位數(shù)為，則與的大小關(guān)系為_(kāi)_______.
14. 如圖，已知在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，，，，.當(dāng)是棱的中點(diǎn)，則三棱錐體積為_(kāi)_______；當(dāng)三棱錐的外接球的半徑最小時(shí)，直線與所成角的余弦值為_(kāi)_______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在中，已知，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，，設(shè)，.

（1）用向量，表示；
（2）若，求.
16. 已知有下面三個(gè)條件：
①；②；③；
請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答問(wèn)題：在中，角所對(duì)的邊分別是，，，且________.
（1）求角A的大??；
（2）若是的角平分線，且，，求線段的長(zhǎng).
17. 為了研究學(xué)生每天總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，某課題組在我市中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)和平時(shí)總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，并繪制了下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖表，圖1為學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖，圖2為學(xué)生一個(gè)星期內(nèi)總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分及以上視為優(yōu)秀，將一個(gè)星期有4天及以上總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題視為“經(jīng)?？偨Y(jié)整理”，少于4天視為“不經(jīng)常總結(jié)整理”.已知數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中，經(jīng)常總結(jié)整理錯(cuò)題的學(xué)生占70%.
（1）根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全表格；
（2）求圖1中m的值及學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第65百分位數(shù)；
（3）抽取100名學(xué)生中按“經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯(cuò)題”與“不經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯(cuò)題”進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談；求這2名同學(xué)均來(lái)自“經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯(cuò)題”的概率.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，面面，是的中點(diǎn).
（1）求證：∥平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在點(diǎn)使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，說(shuō)明理由.
19. 將連續(xù)正整數(shù)1，2，，從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)的位數(shù)如當(dāng)時(shí)，此數(shù)為123456789101112，共有15個(gè)數(shù)字，，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，為恰好取到0的概率.
（1）求
（2）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式.
（3）令為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，，，求當(dāng)時(shí)的最大值.
數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀
數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀
合計(jì)
經(jīng)?？偨Y(jié)整理
不經(jīng)?？偨Y(jié)整理
合計(jì)
惠州市2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題
高一數(shù)學(xué)
全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)、學(xué)校、班級(jí)等考生信息填寫(xiě)在答題卡上.
2.作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題指定的位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
一、單選題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.
1. 在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可求解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，進(jìn)而得解.
【詳解】,故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，
故選：C
2. 下列命題中正確的是（ ）
A. 零向量沒(méi)有方向B. 共線向量一定是相等向量
C. 若為實(shí)數(shù)，則向量與方向相同D. 單位向量的模都相等
【答案】D
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)向量以及零向量的定義分析判斷；對(duì)于BC：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于D：根據(jù)單位向量的定義分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)向量的定義可知：任意向量均有方向，且規(guī)定零向量的方向是任意的，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：例如，是非零向量，可知是共線向量但不是相等向量，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：例如是非零向量，且，可知向量與方向相反，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)定義可知：?jiǎn)挝幌蛄康哪＞鶠?，所以單位向量的模都相等，故D正確；
故選：D.
3. 已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為10，則的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A. 32，90B. 32，92C. 30，90D. 30，92
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)榈钠骄鶖?shù)是10，方差是10，
所以的平均數(shù)是，方差是.
故選：A
4. 已知向量，，則向量在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量公式可得.
【詳解】根據(jù)題意得，
所以向量在方向上的投影向量為，
故選：C.
5. 某校有小學(xué)生、初中生和高中生，其人數(shù)比是，為了解該校學(xué)生的視力情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本量為的樣本，已知樣本中高中生的人數(shù)比小學(xué)生的人數(shù)少20，則（ ）
A. 100B. 120C. 200D. 240
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣求樣本中高中生和小學(xué)生的人數(shù)，列式求解即可.
【詳解】由題意可知：樣本中高中生的人數(shù)為，小學(xué)生的人數(shù)為，
則，解得.
故選：B.
6. 設(shè)，是兩個(gè)不重合的平面，，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，，，則
B. 若，，則
C. 若，，，，則
D. 若，，則
【答案】D
【解析】
【分析】對(duì)于ABC：以正方體為載體，舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于D：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)分析判斷.
【詳解】對(duì)于正方體，且分別為的中點(diǎn)，
對(duì)于選項(xiàng)A：例如平面，平面，，
但平面∥平面，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：例如∥平面，平面，但，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：例如平面，且均與平面平行，
但平面平面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：若，，由線面垂直的性質(zhì)可知，故D正確；
故選：D.
7. 擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的乘積是偶數(shù)”．那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 與是對(duì)立事件B. 與是互斥事件
C. 與是相互獨(dú)立事件D. 與是相互獨(dú)立事件
【答案】D
【解析】
【分析】選項(xiàng)A和B，根據(jù)條件，利用互斥事件的概念，即可判斷出選項(xiàng)A和B的正誤；選項(xiàng)C和D，利用相互獨(dú)立的判斷方法，計(jì)算各自發(fā)生的概率及同時(shí)發(fā)生的概率，即可判斷出正誤，從而得出結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閿S兩顆骰子，兩個(gè)點(diǎn)數(shù)可以都是偶數(shù)，也可以都是奇數(shù)，還可以一奇一偶，
即一次試驗(yàn)，事件和事件可以都不發(fā)生，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榧磧蓚€(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)，即與可以同時(shí)發(fā)生，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，又，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，所以，所以選項(xiàng)D正確，
故選：D.
8. 已知直三棱柱的體積為8，二面角的大小為，且，，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二面角的定義，找到二面角的平面角，解得，再根據(jù)直三棱柱的體積求出，再利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，
，，則二面角的平面角為，
二面角的大小為，則，
所以，，
又直三棱柱的體積為8，，
則，，
又平面平面，平面平面，
且平面，平面，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，又，
，解得，
故選：A.
二、多選題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 圓柱的側(cè)面積為B. 圓錐的側(cè)面積為
C. 圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D. 三個(gè)幾何體的表面積中，球的表面積最小
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)球、圓錐、圓柱的表面積公式一一計(jì)算可得；
【詳解】解：依題意球的表面積為，
圓柱的側(cè)面積為，所以AC選項(xiàng)正確．
圓錐的側(cè)面積為，所以B選項(xiàng)正確．
圓錐的表面積為，
圓柱表面積為，所以D選項(xiàng)不正確．
故選：ABC
10. 設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（ ）
A. 若，則
B. 對(duì)任意復(fù)數(shù)，，有
C. 對(duì)任意復(fù)數(shù)，，有
D. 在復(fù)平面內(nèi)，若，則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為
【答案】BC
【解析】
【分析】借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的幾何意義逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】對(duì)A：由，故，
故，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：設(shè)、，
則
，
，
故，故B正確；
對(duì)C：設(shè)、，
有，則，
，故，故C正確；
對(duì)D：設(shè)，則有，
集合M所構(gòu)成區(qū)域?yàn)橐詾閳A心，半徑為的圓，
故，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 在中，角所對(duì)的邊分別是，，，下列命題正確的是（ ）
A. 若，，則面積的最大值為
B. 若，，則面積的最大值為
C. 若，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則
D. 若，且，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值為
【答案】AD
【解析】
【分析】對(duì)于AB：利用余弦定理結(jié)合基本不等式求的最大值，進(jìn)而可得面積的最大值；對(duì)于C：利用余弦定理分析可得：關(guān)于c的方程有2個(gè)不相等的正根，結(jié)合二次方程列式求解；對(duì)于D：利用余弦定理可得，再利用基本不等式求內(nèi)切圓半徑的最大值，即可得結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由余弦定理可得，即，
可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積的最大值為，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：由余弦定理可得，即，
可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積的最大值為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：由余弦定理可得，即，
整理可得，
由題意可知：關(guān)于c的方程有2個(gè)不相等的正根，
則，解得，
且，可得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，即?br>則，整理可得，
注意到，則，即，可知，
且，則該三角形內(nèi)切圓半徑.
又因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，
所以該三角形的內(nèi)切圓面積的最大值是，故D正確.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與解三角形有關(guān)的交匯問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)
（1）根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正弦、余弦定理完成邊角互化；
（2）結(jié)合內(nèi)角和定理、面積公式等，靈活運(yùn)用三角恒等變換公式；
（3）對(duì)于最值問(wèn)題，常常利用基本不等式或三角函數(shù)分析求解.
三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.
12. 甲、乙兩人獨(dú)立的解同一道題，甲、乙解對(duì)題的概率分別是、，那么恰好只有1人解對(duì)題的概率是________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)對(duì)立事件結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)甲、乙解對(duì)題分別為事件A，，
則，可得
所以恰好只有1人解對(duì)題的概率.
故答案為：.
13. 已知頻率分布直方圖如圖所示，記其平均數(shù)為，中位數(shù)為，則與的大小關(guān)系為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的“拖尾”情況分析平均數(shù)與中位數(shù)的大小.
【詳解】因?yàn)轭l率分布直方圖在右側(cè)“拖尾”，可知平均數(shù)大于中位數(shù)，即.
故答案為：.
14. 如圖，已知在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，，，，.當(dāng)是棱的中點(diǎn)，則三棱錐體積為_(kāi)_______；當(dāng)三棱錐的外接球的半徑最小時(shí)，直線與所成角的余弦值為_(kāi)_______.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】在中，由余弦定理，可得，再求出，再用面積公式求的面積，體積公式求三棱錐體積即可；作出輔助線，推導(dǎo)出當(dāng)取最小值時(shí)，最小，即最小，此時(shí)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則是的中點(diǎn)，則是棱的中點(diǎn)，進(jìn)而求出各邊長(zhǎng)，得到
【詳解】因?yàn)椋?，?br>所以在中，由余弦定理，得，
所以，所以，
所以；
作，垂足為，作，垂足為，
易知棱在平面上的射影為，
則點(diǎn)在平面上的射影在線段上，
因?yàn)椋?，解得?br>故，則，
設(shè)的中點(diǎn)為，外接球的球心為，半徑為，
則平面，即，
在中，①，
又因?yàn)棰?br>由①②，可得，所以當(dāng)取最小值時(shí)，最小，即最小，
此時(shí)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則是的中點(diǎn)，則是棱的中點(diǎn).
因?yàn)椋灾本€與所成角即為直線與所成角.
因?yàn)?，再由余弦定理?br>得，
因?yàn)椋?
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，分析得當(dāng)三棱錐的外接球的半徑最小時(shí)，為棱的中點(diǎn)，從而得解.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在中，已知，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，，設(shè)，.

（1）用向量，表示；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用三點(diǎn)共線的向量表達(dá)式結(jié)論可解；
（2）將用基底表示出來(lái)，再用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可解.
【小問(wèn)1詳解】
如圖所示，

，
所以，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
點(diǎn)為線段中點(diǎn)，用三點(diǎn)共線的向量表達(dá)式結(jié)論得，
由（1）知，則，
,則.則.
16. 已知有下面三個(gè)條件：
①；②；③；
請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答問(wèn)題：在中，角所對(duì)的邊分別是，，，且________.
（1）求角A的大??；
（2）若是的角平分線，且，，求線段的長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）選擇①：利用三角形的面積公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得，得到，即可求解；選擇②：由正弦定理化簡(jiǎn)得到，得到，即可求解；選擇③，化簡(jiǎn)得到,即，由余弦定理求得，即可求解；
（2）根據(jù)題意結(jié)合，列出方程，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
選擇①：由，可得，
即，即，
因?yàn)?，所以?br>選擇②：因?yàn)棰冢烧叶ɡ淼茫?br>可得，
因?yàn)?，可得，所以?br>即，可得，
因?yàn)?，可得，所以?br>選擇③：由，可得,
又由正弦定理得，再由余弦定理得，
因?yàn)?，所?
【小問(wèn)2詳解】
若是的角平分線，則，
且，即，
解得
17. 為了研究學(xué)生每天總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，某課題組在我市中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)和平時(shí)總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，并繪制了下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖表，圖1為學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖，圖2為學(xué)生一個(gè)星期內(nèi)總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分及以上視為優(yōu)秀，將一個(gè)星期有4天及以上總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題視為“經(jīng)?？偨Y(jié)整理”，少于4天視為“不經(jīng)?？偨Y(jié)整理”.已知數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中，經(jīng)常總結(jié)整理錯(cuò)題的學(xué)生占70%.
（1）根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全表格；
（2）求圖1中m的值及學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第65百分位數(shù)；
（3）抽取的100名學(xué)生中按“經(jīng)常總結(jié)整理錯(cuò)題”與“不經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯(cuò)題”進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談；求這2名同學(xué)均來(lái)自“經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯(cuò)題”的概率.
【答案】（1）表格見(jiàn)詳解
（2）；120
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)補(bǔ)全表格；
（2）根據(jù)頻率和為1求得，再結(jié)合百分位數(shù)的定義列式求解；
（3）分別求相應(yīng)的人數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概型分析求解.
【小問(wèn)1詳解】
數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有人，不優(yōu)秀的人人，
經(jīng)常整理錯(cuò)題的有人，
不經(jīng)常整理錯(cuò)題的是人，經(jīng)常整理錯(cuò)題且成績(jī)優(yōu)秀的有人，
所以表格為
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知每組頻率依次為，
則，解得；
因?yàn)?，?br>設(shè)第65百分位數(shù)為，可知，
則，解得，
所以學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第65百分位數(shù)為120.
【小問(wèn)3詳解】
由題意可知：樣本中“經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯(cuò)題”的人數(shù)為，設(shè)為，
“不經(jīng)常總結(jié)整理錯(cuò)題” 的人數(shù)為，設(shè)為，
從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，則樣本空間，可知，
設(shè)這2名同學(xué)均來(lái)自“經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯(cuò)題”為事件M，則，即，
所以.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，面面，是的中點(diǎn).
（1）求證：∥平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在點(diǎn)使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）設(shè)，連接，利用三角形的中位線定理可得∥，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；
（2）由面面垂直的性質(zhì)可證得平面，則，再由等邊三角形的性質(zhì)可得，然后由線面垂直的判定可得平面，則直線與平面所成角為，從而可求得答案；
（3）當(dāng)時(shí)，可證得平面平面，設(shè)，然后在等腰直角三角形中利用平面向量的知識(shí)計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
證明：設(shè)，連接，
因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以為中點(diǎn)，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以∥平面
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)闉榈冗吶切危堑闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)?，平面，所以平面?br>所以直線與平面所成角為，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>所以，
即直線與平面所成角的正弦值為；
【小問(wèn)3詳解】
存在，當(dāng)時(shí)，平面平面，
因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以?br>因?yàn)椋矫妫?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br>設(shè)，則，所以，
由（2）知平面，
因?yàn)槠矫妫?，所以?br>因?yàn)椋?br>，
所以，
所以，得，解得，
所以當(dāng)時(shí)，平面平面.
19. 將連續(xù)正整數(shù)1，2，，從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)的位數(shù)如當(dāng)時(shí)，此數(shù)為123456789101112，共有15個(gè)數(shù)字，，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，為恰好取到0的概率.
（1）求
（2）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式.
（3）令為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，，，求當(dāng)時(shí)的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）計(jì)算，數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11，得到概率.
（2）考慮，，，四種情況，依次計(jì)算得到答案.
（3）考慮時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)三種情況，得到和的解析式，得到，再計(jì)算概率的最值得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
即這個(gè)數(shù)中共有個(gè)數(shù)字，其中數(shù)字的個(gè)數(shù)為，
則恰好取到的概率為；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有位數(shù)組成，；
當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有個(gè)一位數(shù)組成，個(gè)兩位數(shù)組成，則；
當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有個(gè)一位數(shù)組成，個(gè)兩位數(shù)組成，個(gè)三位數(shù)組成，；
當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有個(gè)一位數(shù)組成，個(gè)兩位數(shù)組成，個(gè)三位數(shù)組成個(gè)四位數(shù)組成，；
綜上所述：，
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
即，
同理有，
由，可知，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由關(guān)于單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，有的最大值為，
又，
所以當(dāng)時(shí)，最大值為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)的解析式，概率的計(jì)算，最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中分類(lèi)討論的思想是解題的關(guān)鍵.
數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀
數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀
合計(jì)
經(jīng)?？偨Y(jié)整理
不經(jīng)?？偨Y(jié)整理
合計(jì)
數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀
數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀
合計(jì)
經(jīng)常整理
35
25
60
不經(jīng)常整理
15
25
40
合計(jì)
50
50
100

相關(guān)試卷

2024南平高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)含解析：

這是一份2024南平高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)含解析，共23頁(yè)。試卷主要包含了下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

廣東省惠州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份廣東省惠州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共26頁(yè)。試卷主要包含了 設(shè)z為復(fù)數(shù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024滁州高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)含解析：

這是一份2024滁州高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)含解析，共28頁(yè)。試卷主要包含了 若，則， 下列說(shuō)法正確的是， 若函數(shù)，則， 若，，，則，，的大小關(guān)系為， 若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023-2024學(xué)年廣東省惠州市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省惠州市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）
2023-2024學(xué)年廣東省惠州市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含詳細(xì)答案解析）

2023-2024學(xué)年廣東省惠州市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含詳細(xì)答案解析）
2023-2024學(xué)年廣東省惠州中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省惠州中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含解析）
2023-2024學(xué)年廣東省惠州中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）(含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省惠州中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）(含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部