本試卷共6頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的學校?班級?姓名?考場號?座位號和準考證號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.
2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.
4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知為不共線向量，，則（ ）
A. 三點共線B. 三點共線
C. 三點共線D. 三點共線
3. 設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 若，則
C. 若，，則
D. 若，則
4. 某地政府對在家附近工作的年輕人進行了抽樣調(diào)查，得到他們一年能在家陪伴父母的天數(shù)，并繪制成如下圖所示的頻率分布直方圖，則樣本中位數(shù)約為（ ）
A. 150.5B. 152.5C. 154.5D. 156.5
5. 已知某人射擊每次擊中目標的概率都是0.6，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計其3次射擊至少2次擊中目標的概率．先由計算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3，4，5表示擊中目標，6，7，8，9表示未擊中目標；因為射擊3次，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3次射擊的結果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：
169 966 151 525 271 937 592 408 569 683
471 257 333 027 554 488 730 863 537 039
據(jù)此估計的值為（ ）
A. 0.6B. 0.65C. 0.7D. 0.75
6. 如圖，由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，已知，則（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
8. 設長方體對角線與頂點出發(fā)的三條棱所成的角分別為、、，與頂點出發(fā)的三個面所成的角分別為、、，下列四個等式：其中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知復數(shù)，則（ ）
A. B.
C D.
10. 下列化簡正確的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如圖，已知二面角的棱l上有A，B兩點，，，，，且，則下列說法正確的是（ ）．

A. 當時，直線與平面所成角的正弦值為
B. 當二面角的大小為時，直線與所成角為
C. 若，則二面角的余弦值為
D. 若，則四面體的外接球的體積為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度后，所得圖象與函數(shù)的圖象重合，則___________．
13. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且，，，符合條件的三角形有兩個，則實數(shù)的取值范圍是_____
14. 記一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知平面向量，滿足，，.
（1）求；
（2）若向量與夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.
16. 第56屆世界乒乓球團體錦標賽于2022年在中國成都舉辦，國球運動又一次掀起熱潮．現(xiàn)有甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局11分制，每贏一球得1分，選手只要得到至少11分，并且領先對方至少2分（包括2分），即贏得該局比賽．在一局比賽中，每人只發(fā)2個球就要交換發(fā)球權，如果雙方比分為10：10后，每人發(fā)一個球就要交換發(fā)球權．
（1）已知在本場比賽中，前三局甲贏兩局，乙贏一局，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結果相互獨立，求甲乙兩人只需要再進行兩局比賽就能結束本場比賽的概率；
（2）已知某局比賽中雙方比分為8：8，且接下來兩球由甲發(fā)球，若甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時乙得分的概率為，各球的結果相互獨立，求該局比賽甲得11分獲勝的概率．
17. 已知函數(shù).
（1）解不等式；
（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.
18. 如圖，為半球直徑，C為上一點，P為半球面上一點，且．
（1）證明：；
（2）若，，求直線與平面所成的角的正弦值．
19. 在中，，點D在邊上，且
（1）若的面積為，求邊的長；
（2）若，求.
中山市高一級2023—2024學年第二學期期未統(tǒng)一考試
數(shù)學試卷
本試卷共6頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的學校?班級?姓名?考場號?座位號和準考證號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.
2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.
4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知結合誘導公式及兩角和的正弦公式進行化簡即可求解．
【詳解】解：．
故選：．
2. 已知為不共線向量，，則（ ）
A. 三點共線B. 三點共線
C. 三點共線D. 三點共線
【答案】A
【解析】
【分析】運用向量的加法運算，求得，從而得出結論.
【詳解】因為，所以三點共線，
故選：A．
3. 設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 若，則
C. 若，，則
D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間中線面、面面的位置關系判斷即可.
【詳解】對于A：若，，則或與相交，故A錯誤；
對于B：若，則或，故B錯誤；
對于C：若，，則，故C正確；
對于D：若，則或，故D錯誤.
故選：C
4. 某地政府對在家附近工作的年輕人進行了抽樣調(diào)查，得到他們一年能在家陪伴父母的天數(shù)，并繪制成如下圖所示的頻率分布直方圖，則樣本中位數(shù)約為（ ）
A. 150.5B. 152.5C. 154.5D. 156.5
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)頻率之和為1求出未知數(shù)，再找到頻率之和為0.5所在的區(qū)間即可根據(jù)頻率分布直方圖進行求解中位數(shù).
【詳解】依題意，，解得，
顯然，，
所以樣本中位數(shù)為.
故選：B
5. 已知某人射擊每次擊中目標的概率都是0.6，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計其3次射擊至少2次擊中目標的概率．先由計算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3，4，5表示擊中目標，6，7，8，9表示未擊中目標；因為射擊3次，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3次射擊的結果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：
169 966 151 525 271 937 592 408 569 683
471 257 333 027 554 488 730 863 537 039
據(jù)此估計的值為（ ）
A. 0.6B. 0.65C. 0.7D. 0.75
【答案】B
【解析】
【分析】由20組隨機數(shù)中找出至少2次擊中目標包含的隨機數(shù)的組數(shù)，即可求概率的值.
【詳解】20組隨機數(shù)中至少2次擊中目標的包含的隨機數(shù)為：
151 525 271 592 408 471 257 333 027 554 730 537 039
一個有組，
所以其3次射擊至少2次擊中目標的概率，
故選：B.
6. 如圖，由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，結合正方形的性質(zhì)、平面向量基本定理進行求解即可.
【詳解】過作，垂足為，設大正方形的邊長為1，設小正方形的邊長為，
因為，所以，所以，由勾股定理可知：
，即，
，
，
因此由平面向量基本定理可知：，
因為，所以
，
故選：C
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得，結合，代入即可求解.
【詳解】因為，可得，
則，
.
故選：A.
8. 設長方體的對角線與頂點出發(fā)的三條棱所成的角分別為、、，與頂點出發(fā)的三個面所成的角分別為、、，下列四個等式：其中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在圖中找到，，及，，所對應的角，在直角三角形中應用正余弦化簡整理，即可求出結果.
【詳解】連接，，，，，，如下圖
由題知：，，，
因為平面，平面，平面，
得：，，，
對于A項：
，故A項錯誤.；
對于B項：
，故B項錯誤；
對于C項：
，故C項錯誤;
對于D項：
，故D項正確.
故選：D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知復數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由，結合每個選項計算可判斷其正確性.
【詳解】因為，所以，所以，故A正確；
所以，所以，故B不正確；
，故C不正確；
，故D正確.
故選：AD.
10. 下列化簡正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用二倍角公式、輔助角公式，結合特殊角的三角函數(shù)值，逐項化簡判斷即得.
【詳解】對于A，，A正確；
對于B，，B正確；
對于C，，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：ABD
11. 如圖，已知二面角的棱l上有A，B兩點，，，，，且，則下列說法正確的是（ ）．

A. 當時，直線與平面所成角的正弦值為
B. 當二面角的大小為時，直線與所成角為
C. 若，則二面角的余弦值為
D. 若，則四面體的外接球的體積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】由面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，即可求直線與平面所成角的正弦值即可判斷A；根據(jù)二面角判斷B，C即可；由四面體外接球的幾何性質(zhì)確定外接球半徑，即可判斷D.
【詳解】對于A，當時，因為，，所以直線與平面所成角為，
則，故A正確；
對于B，如圖，過A作，且，連接，，

則為正方形，即為直線與所成角，為二面角的平面角，
當時，易得，
又，，故面，即面，故，故B正確；
對于C，如圖，作，則二面角的平面角為，

又，在中，易得，
在．中，由余弦定理得，，
過C點作交線段的延長線于點O，則平面，
過O點作，交線段的延長線于點H，連接，
則為二面角的平面角，
易得，，，
所以，故C錯誤；
對于D，同選項C可知，
如圖，分別取線段，的中點G，M，連接，過G點作平面的垂線，

則球心O必在該垂線上，設球的半徑為R，則，
又的外接圓半徑，則，
所以四面體的外接球的體積為，故D正確．
故選：ABD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度后，所得圖象與函數(shù)的圖象重合，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度后，得到的圖象與函數(shù)的圖象重合，從而可得答案.
【詳解】因為函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度后，得到的圖象與函數(shù)的圖象重合，
所以函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度后，得到的圖象與函數(shù)的圖象重合，
即，
所以，
因為，∴，
故答案為：
13. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且，，，符合條件的三角形有兩個，則實數(shù)的取值范圍是_____
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理，構造關于c的方程，利用根的分布求出x的范圍.
【詳解】在中， ，，，
由余弦定理得：，即
因為符合條件的三角形有兩個，所以關于c的方程由兩個正根，
所以，解得：.
故實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
14. 記一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算可得.
【詳解】因為的平均數(shù)為，方差為，
所以，，
即，
即，
即，即，
所以，
所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知平面向量，滿足，，.
（1）求；
（2）若向量與夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)由給定條件求出，再根據(jù)向量模的計算公式即可得解；
(2)根據(jù)向量夾角為銳角借助數(shù)量積列出不等關系即可作答.
【詳解】（1）依題意，，得，
，
所以；
（2）由向量與的夾角為銳角，可得，即有，解得，
而當向量與同向時，可知，
綜上所述的取值范圍為.
16. 第56屆世界乒乓球團體錦標賽于2022年在中國成都舉辦，國球運動又一次掀起熱潮．現(xiàn)有甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局11分制，每贏一球得1分，選手只要得到至少11分，并且領先對方至少2分（包括2分），即贏得該局比賽．在一局比賽中，每人只發(fā)2個球就要交換發(fā)球權，如果雙方比分為10：10后，每人發(fā)一個球就要交換發(fā)球權．
（1）已知在本場比賽中，前三局甲贏兩局，乙贏一局，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結果相互獨立，求甲乙兩人只需要再進行兩局比賽就能結束本場比賽的概率；
（2）已知某局比賽中雙方比分為8：8，且接下來兩球由甲發(fā)球，若甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時乙得分的概率為，各球的結果相互獨立，求該局比賽甲得11分獲勝的概率．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題可知兩局比賽就能結束，則只能甲連勝兩局，然后根據(jù)獨立事件概率公式即得；
（2）由題可知甲得11分獲勝有兩類情況：甲獲勝或甲獲勝，然后結合條件根據(jù)獨立事件概率公式即得.
【小問1詳解】
設“甲乙兩人只需要再進行兩局比賽就能結束本場比賽”為事件，
若兩局比賽就能結束，則只能甲連勝兩局，
所以；
【小問2詳解】
設“該局比賽甲得11分獲勝”為事件，
甲得11分獲勝有兩類情況：甲連得3分，則甲獲勝；
甲得3分，乙得1分，則甲獲勝，此時有三種情況，每球得分方分別為乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，
所以.
17. 已知函數(shù).
（1）解不等式；
（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用和角的正弦、二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即得.
（2）令，結合分離參數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求出實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
依題意，
，由，得，
則，解得，
所以不等式的解集為.
【小問2詳解】
由，得，
由，得，即有，
令，，
原不等式化為，即，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則當時，，因此，
所以取值范圍.
18. 如圖，為半球的直徑，C為上一點，P為半球面上一點，且．
（1）證明：；
（2）若，，求直線與平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）見解析；
（2）.
【解析】
【分析】(1)由,可得平面，進而可得，又由于,所以可得平面，即可得；
(2)利用等體積法求得點到平面的距離為，設直線與平面所成的角為，則有，即可得答案.
【小問1詳解】
證明：因為為半球的直徑，C為上一點，
所以,
又因為，
，
平面，
所以平面，
又因為平面，
所以，
又因為P為半球面上一點，
所以,
,
平面，
所以平面，
平面，
所以；
【小問2詳解】
解：因為三角形為直角三角形，
，
所以，
又因為，平面，
所以，
又因為三角形也是直角三角形，
所以.
所以，
，
設點到平面的距離為，
則有,
即,
所以,
設直線與平面所成的角為，
則.
19. 在中，，點D在邊上，且
（1）若的面積為，求邊的長；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由三角形面積公式首先可以求得的長度，然后在中，運用余弦定理即可求解.
（2）設所求角，根據(jù)已知條件把圖中所有角都用含有的式子表示出來，再設，在和分別運用正弦定理，對比即可得到關于的三角方程，從而即可得解.
【小問1詳解】
在中，由題意有,
且注意到，，
所以有，解得，
如圖所示：
在中，由余弦定理有，
代入數(shù)據(jù)得，
所以.
小問2詳解】
由題意，所以設，
則，
設，
在中，由正弦定理有，
代入數(shù)據(jù)得，
在中，由正弦定理有，
代入數(shù)據(jù)得，
又，
所以以上兩式相比得，即，
所以有 ，
所以，
所以，或
又，且，
所以，
所以解得或.

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