本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1. 答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2. 選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3. 非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4. 考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D. 且
2. 若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A. 1B. C. 3D. 5
3. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
4. 已知函數(shù)，則的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，則的最小值為（ ）
A 6B. 5C. 4D. 3
6. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象.已知，則（ ）
A. B.
C. D.
7. 若是銳角三角形，，，則邊c的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 在四棱中，底面為正方形，底面，，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上的動(dòng)點(diǎn).若，則（ ）
A 1B. C. D. 3
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，，分別為，的中點(diǎn)，則（ ）
A 與不能構(gòu)成一組基底B.
C. D. 在上的投影向量為
10. 某學(xué)校開展“國(guó)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”，共有“詩經(jīng)組”、“論語組”、“春秋組”、“禮記組”4個(gè)小組參賽，每組10位選手，若該組每位選手的失分不超過6分，該組獲得“優(yōu)秀”稱號(hào)，則根據(jù)每組選手的失分情況，下列小組一定獲得“優(yōu)秀”稱號(hào)的是（ ）
A. 詩經(jīng)組中位數(shù)為3，眾數(shù)為2
B. 論語組平均數(shù)為3，方差為1
C. 春秋組平均數(shù)為3，眾數(shù)為2
D. 禮記組中位數(shù)為2，極差為4
11. 已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 在上單調(diào)遞增
D.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知棱長(zhǎng)為的正方體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為______.
13. 若復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則______.
14. 在海面上，乙船以40km/h速度朝著北偏東的方向航行，甲船在乙船的正東方向30km處.甲船上有應(yīng)急物資需要運(yùn)送上乙船，由于乙船有緊急任務(wù)不能停止航行，所以甲船準(zhǔn)備沿直線方向以的速度航行與乙船相遇.為了保證甲船能在2小時(shí)內(nèi)和乙船相遇，甲船航行速度的最小值為______（km/h）.
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知的頂點(diǎn)，，.
（1）若單位向量與方向相同，求的坐標(biāo)；
（2）求向量與的夾角.
16. 已知函數(shù).
（1）若，求與交點(diǎn)橫坐標(biāo)；
（2）若在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.
17. 如圖1，菱形的邊長(zhǎng)為2，，將沿著翻折到三角形的位置，連接，形成的四面體如圖2所示.
（1）證明：；
（2）若四面體的體積為，求二面角的大小.
18. 某市體質(zhì)健康測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)包括身體形態(tài)、身體機(jī)能、軀體素質(zhì)、運(yùn)動(dòng)能力等方面.為了了解學(xué)生體質(zhì)健康情況，某校隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試成績(jī)的頻率分布直方圖如下圖所示，其中成績(jī)不超過80分的有108人.
（1）求圖中a，b的值；
（2）并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)和上四分位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（3）若抽取的200名學(xué)生中，男生120人，女生80人，其中男生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，方差為；女生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，方差為；200名學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，方差為.
①；②，請(qǐng)判斷公式①和公式②是否相等，并說明理由.
19. 如圖所示，在中，，AD平分，且.
（1）若，求BC的長(zhǎng)度；
（2）求k的取值范圍；
（3）若，求k為何值時(shí)，BC最短.
2024年茂名市普通高中高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)
數(shù)學(xué)試卷
本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1. 答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2. 選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3. 非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4. 考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】由分式與二次根式有意義的條件可得、集合，結(jié)合交集定義即可得解.
【詳解】由，可得，
，則，
故且.
故選：D.
2. 若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A. 1B. C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】解法一：先由已知利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再可求出復(fù)數(shù)的模，解法二：對(duì)已知等式變形后，利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)求解即可.
【詳解】解法一：由，得，
所以，
解法二：由，得，
所以.
故選：A
3. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】首先求不等式，再根據(jù)集合間的關(guān)系判斷選項(xiàng).
【詳解】，則，而推不出，但，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
4. 已知函數(shù)，則的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷在上變化情況可得答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽，，
所以為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除A，
當(dāng)時(shí)，，所以排除D，
因?yàn)橛蓛绾瘮?shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，在直線的上方，
所以排除B，
故選：C
5. 已知，則的最小值為（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】借助基本不等式計(jì)算即可得.
【詳解】由，則，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故選：D.
6. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象.已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律結(jié)合題意求解即可.
【詳解】由題意可知將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，
得，
再將的圖象向右平移個(gè)單位，得的圖象，則，
故選：B
7. 若是銳角三角形，，，則邊c的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)正弦定理表示，再消去，轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)，根據(jù)銳角三角形求角的范圍，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求邊的取值范圍.
【詳解】由正弦定理可知，，則，
因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，
則，，
所以.
故選：D
8. 在四棱中，底面為正方形，底面，，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上的動(dòng)點(diǎn).若，則（ ）
A 1B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可得，即可設(shè)，從而可利用表示出、，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系，利用余弦定理計(jì)算即可得.
【詳解】由底面，、平面，故，，
由底面為正方形，故，
又、平面，，故平面，
又平面，則，
由，則，由為線段的中點(diǎn)，則，
設(shè)，則，，
由，則，
則由余弦定理可得，
解得，故.
故選：C.
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，，分別為，的中點(diǎn)，則（ ）
A. 與不能構(gòu)成一組基底B.
C. D. 在上的投影向量為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)A：由題意可得，即可得與不能構(gòu)成一組基底；對(duì)B：借助平面向量線性運(yùn)算計(jì)算即可得；對(duì)C：借助平面向量數(shù)量積公式計(jì)算即可得；對(duì)D：借助投影向量定義計(jì)算即可得.
【詳解】對(duì)A：由，分別為，的中點(diǎn)，則，即，
故與不能構(gòu)成一組基底，故A正確；
對(duì)B：由題意可得，，
故，故B正確；
對(duì)C：，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：
，故D正確.

故選：ABD.
10. 某學(xué)校開展“國(guó)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”，共有“詩經(jīng)組”、“論語組”、“春秋組”、“禮記組”4個(gè)小組參賽，每組10位選手，若該組每位選手的失分不超過6分，該組獲得“優(yōu)秀”稱號(hào)，則根據(jù)每組選手的失分情況，下列小組一定獲得“優(yōu)秀”稱號(hào)的是（ ）
A. 詩經(jīng)組中位數(shù)為3，眾數(shù)為2
B. 論語組平均數(shù)為3，方差為1
C. 春秋組平均數(shù)為3，眾數(shù)為2
D. 禮記組中位數(shù)為2，極差為4
【答案】BD
【解析】
【分析】利用列舉法判斷AC，根據(jù)方差公式，判斷B，根據(jù)極差的定義，判斷D.
【詳解】A.若該組選手的失分情況如下，1,2,2,2,3,3,4,5,6,7,滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，
但有選手失分超過6分，故A錯(cuò)誤；
B.該組每位選手的失分情況按照從小到大排列，，，
則方差，
即，若，，
所以每位選手的得分都不超過6分，故B正確；
C.若該組選手的失分情況如下，0,2,2,2,2,2,4,4,5,7,這組數(shù)據(jù)滿足平均數(shù)為3，眾數(shù)為2，
但有選手失分超過6分，故C錯(cuò)誤；
D.因?yàn)橹形粩?shù)為2，則最低分小于等于2，又因?yàn)闃O差為4，
所以最該分小于等于6，該組選手失分沒有超過6分的，故D正確.
故選：BD.
11. 已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 在上單調(diào)遞增
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)A：由為偶函數(shù)，結(jié)合時(shí)的解析式計(jì)算即可得；對(duì)B：由為奇函數(shù)，結(jié)合A中所得即可得；對(duì)C：由題意可得函數(shù)周期性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解；對(duì)D：由函數(shù)周期性計(jì)算即可得.
【詳解】對(duì)A：由為偶函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
即當(dāng)時(shí)，，故A正確；
對(duì)B：由為奇函數(shù)，則有，
即，即，
故當(dāng)時(shí)，，則，
即，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：由， ，
則，，
即，故為周期為的周期函數(shù)，
由當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞增，
故上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)D：，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：
（1）關(guān)于對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對(duì)稱，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，反之也成立；
（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知棱長(zhǎng)為的正方體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正方體的體對(duì)角線即為球的直徑可得答案.
【詳解】棱長(zhǎng)為正方體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，
則正方體的體對(duì)角線即為球的直徑，
所以球的直徑為，，
則該球的表面積為.
故答案為：.

13. 若復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則______.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)題意方程的另外一個(gè)根為，利用韋達(dá)定理可得，，即得.
【詳解】因復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則其另外一根為，
故，，得，，
故，
故答案為：
14. 在海面上，乙船以40km/h的速度朝著北偏東的方向航行，甲船在乙船的正東方向30km處.甲船上有應(yīng)急物資需要運(yùn)送上乙船，由于乙船有緊急任務(wù)不能停止航行，所以甲船準(zhǔn)備沿直線方向以的速度航行與乙船相遇.為了保證甲船能在2小時(shí)內(nèi)和乙船相遇，甲船航行速度的最小值為______（km/h）.
【答案】
【解析】
【分析】畫出具體圖形后，借助余弦定理及二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】如圖，、分別為乙船與甲船所處位置，則km，，
設(shè)點(diǎn)為兩船相遇位置， 相遇時(shí)間在小時(shí)后，
則，
即，
則當(dāng)，即時(shí)，有，
即甲船航行速度的最小值為.
故答案為：.
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知的頂點(diǎn)，，.
（1）若單位向量與方向相同，求的坐標(biāo)；
（2）求向量與的夾角.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）計(jì)算出后結(jié)合單位向量定義計(jì)算即可得；
（2）借助平行四邊形的性質(zhì)可計(jì)算出與，再結(jié)合向量夾角公式計(jì)算即可得.
【小問1詳解】
，則，即；
【小問2詳解】
由題意可得，，，
則，
故，
因?yàn)?，所?
16. 已知函數(shù).
（1）若，求與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）若在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，再解與組成的方程組可得答案；
（2）時(shí)不符合題意，時(shí)只須解不等式可得答案.
【小問1詳解】
若，則，解得，
所以，
由解得，或，
所以與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或；
【小問2詳解】
若，則在區(qū)間上沒零點(diǎn)，不符合題意，
所以，所以的圖象為拋物線，
對(duì)稱軸為，
所以要使在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，只須，
即，解得.
的取值范圍.
17. 如圖1，菱形的邊長(zhǎng)為2，，將沿著翻折到三角形的位置，連接，形成的四面體如圖2所示.
（1）證明：；
（2）若四面體的體積為，求二面角的大小.
【答案】（1）證明見解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，借助菱形的性質(zhì)可得線線垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理推導(dǎo)即可得證；
（2）找出二面角的平面角后，結(jié)合體積公式計(jì)算即可得解.
【小問1詳解】
取中點(diǎn)，連接、，
由四邊形為菱形，則，
故，，又，、平面，
故平面，又平面，故；
【小問2詳解】
由，，平面平面，
故為二面角的平面角，
又菱形的邊長(zhǎng)為2，，
則，，
又
，
故，即或，
即二面角的大小為或.
18. 某市體質(zhì)健康測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)包括身體形態(tài)、身體機(jī)能、軀體素質(zhì)、運(yùn)動(dòng)能力等方面.為了了解學(xué)生體質(zhì)健康情況，某校隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試成績(jī)的頻率分布直方圖如下圖所示，其中成績(jī)不超過80分的有108人.
（1）求圖中a，b的值；
（2）并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)和上四分位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（3）若抽取的200名學(xué)生中，男生120人，女生80人，其中男生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，方差為；女生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，方差為；200名學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，方差為.
①；②，請(qǐng)判斷公式①和公式②是否相等，并說明理由.
【答案】（1）；；
（2）平均數(shù)78.8；上四分位數(shù)87；
（3）相等，理由見解析
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)低于80分的人數(shù)為108求出，在根據(jù)頻率之和為1求出；
（2）根據(jù)平均數(shù)的公式直接計(jì)算，上分位數(shù)根據(jù)分位數(shù)的含義計(jì)算；
（3）兩式作差，根據(jù)，，以及因式分解即可得到結(jié)論.
【小問1詳解】
由低于80分的人數(shù)為108，得，
所以.
【小問2詳解】
平均數(shù)，
顯然上四分位數(shù)即分位數(shù)應(yīng)該在之間，設(shè)上四分位數(shù)為，則，
所以平均數(shù)為78.8，上四分位數(shù)為87.
【小問3詳解】
設(shè)，，顯然，，
①-②得：.
所以①和②相等.
19. 如圖所示，在中，，AD平分，且.
（1）若，求BC長(zhǎng)度；
（2）求k的取值范圍；
（3）若，求k為何值時(shí)，BC最短.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）和中分別利用正弦定理結(jié)合AD平分，可得，從而可求出，進(jìn)而可求出；
（2）由結(jié)合三角形的面積公式及已知條件化簡(jiǎn)可得，從而可求出k的取值范圍；
（3）由，結(jié)合余弦定理得，令，則當(dāng)最小值時(shí)，最短，化簡(jiǎn)后結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因?yàn)锳D平分，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)?，?br>所以，得，
所以；
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>所以；
【小問3詳解】
由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，所以?br>所以，
令，則，
所以（其中），
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4，
即當(dāng)時(shí)，取得最小值4，此時(shí)，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
由（2）知，
所以，
即當(dāng)時(shí)，最短.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式和三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，第（3）問解題的關(guān)鍵是余弦定理結(jié)合已知條件表示出，換元后結(jié)合三角函數(shù)恒等變換公式可求得答案，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.

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