1.過點(1,2)且斜率為3的直線方程為( )
A. 3x?y?1=0B. 3x?2y+1=0C. x+y+1=0D. x+y?1=0
2.2023《中國好聲音》報名即將開始，選手們可通過撥打熱線電話或登陸官網兩種方式之一來報名.現有甲、乙、丙三人均要報名參加，則不同的報名方法有( )
A. 4種B. 6種C. 8種D. 9種
3.下列說法中正確是( )
A. 相關系數r越大，則兩變量的相關性就越強
B. 經驗回歸方程不一定過樣本中心點
C. 對于經驗回歸方程y =3+2x，當變量x增加1個單位時，y平均增加3個單位
D. 對于經驗回歸方程y =2?x，變量x與變量y負相關
4.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點為A，左、右兩焦點分別為F1，F2，若△AF1F2為等邊三角形，則橢圓C的離心率為( )
A. 12B. 22C. 13D. 33
5.已知函數f(x)=x2?lnx，則函數f(x)的單調遞減區(qū)間為( )
A. (0,1)B. (1,+∞)C. (0, 22)D. ( 22,+∞)
6.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別是F1，F2，焦距為2c，以線段F1F2為直徑的圓在第一象限交雙曲線C于點A，sin∠AF1F2= 7?14，則雙曲線C的漸近線方程為( )
A. y=±xB. y=± 3xC. y=±2xD. y=± 2x
7.已知隨機變量X，Y，X～B(4,12)，Y～N(μ,σ2)，且E(Y)=8P(X=2)，又P(Y≤0)=P(Y≥m2+2)，則實數m的值為( )
A. 0或2B. 2C. ?2或2D. ?2
8.已知數列{an}滿足1an=1+2+4+…+2n?1，數列{(λn+1)(2n?1)an}的前n項和為Sn，若Sn的最大值僅為S8，則實數λ的取值范圍是( )
A. [?110,?111]B. (?1,?19]C. (?18,?19)D. [?15,?16]
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.關于(x?1x)9的展開式，下列說法正確的是( )
A. 各項的系數之和為?1B. 二項式系數的和為512
C. 展開式中無常數項D. 第4項的系數最大
10.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的邊長為2，E、F、G、H分別為CC1、BC、CD、BB1的中點，則下列結論正確的是( )
A. B1G⊥EF
B. A1H//平面AEF
C. 點B1到平面AEF的距離為2
D. 二面角E?AF?C的大小為π4
11.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F在直線l：y=kx?k上，直線l與拋物線交于點A，B，(O為坐標原點)，則下列說法中正確的是( )
A. p=2B. 準線方程為x=?2
C. 以線段AB為直徑的圓與C的準線相切D. 直線OA、OB的斜率之積為定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知等差數列{an}，a1+a6+a11=6，且a4=1，則數列{an}的公差為______．
13.有3臺車床加工同一類型的零件，第1臺加工的次品率為4%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的20%，30%，50%，現從加工出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率為______．
14.已知函數f(x)=12x2?(a+2)x+2alnx+1在(4,6)上存在極值點，則實數a的取值范圍是______．
四、解答題：本題共4小題，共62分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知等比數列{an}滿足a2=4，a5=32．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求數列{nan}的前n項和Tn．
16.(本小題15分)
某市移動公司為了提高服務質量，決定對使用A，B兩種套餐的集團用戶進行調查，準備從本市n(n∈N?)個人數超過1000的大集團和3個人數低于200的小集團中隨機抽取若干個集團進行調查，若一次抽取2個集團，全是大集團的概率為514．
(1)在取出的2個集團是同一類集團的情況下，求全為小集團的概率；
(2)若一次抽取3個集團，假設取出大集團的個數為X，求X的分布列和數學期望．
17.(本小題17分)
已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，上頂點為B，|BF|=2，離心率為12．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)若直線l：y=x?2m(m≠0)與橢圓E相交于A，C兩點，且點N(0,m)，當△ACN的面積最大時，求直線l的方程．
18.(本小題17分)
已知函數f(x)=ex?1?lnx．
(1)求函數f(x)的最小值；
(2)求證：exf(x)+(ex?1)lnx?ex+12>0．
參考答案
1.A
2.C
3.D
4.A
5.C
6.B
7.C
8.C
9.BC
10.ABC
11.ACD
12.12
13.516
14.(4,6)
15.解：(1)由題意，設等比數列{an}的公比為q(q≠0)，
則q3=a5a2=324，
解得q=2，
∴a1=a2q=42=2，
∴an=2?2n?1=2n，n∈N?．
(2)由(1)可得，nan=n?2n，
則Tn=1?21+2?22+3?23+???+n?2n，
2Tn=1?22+2?23+???+(n?1)?2n+n?2n+1，
兩式相減，
可得?Tn=1?21+1?22+1?23+???+1?2n?n?2n+1
=21?2n+11?2?n?2n+1
=?(n?1)?2n+1?2，
∴Tn=(n?1)?2n+1+2．
16.解：(1)由題意知共有n+3個集團，取出2個集團的方法總數是Cn+32，其中全是大集團的情況有Cn2，
故全是大集團的概率是Cn2Cn+32=n(n?1)(n+3)(n+2)=514，
整理得到9n2?39n?30=0，解得n=5，
若2個全是大集團，共有C52=10種情況，
若2個全是小集團，共有C32=3種情況，
故全為小集團的概率為33+10=313；
(2)由題意知，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，
計算P(X=0)=C50C33C83=156，P(X=1)=C51C32C83=1556，
P(X=2)=C52C31C83=1528，P(X=3)=C53C30C83=1056，
故X的分布列為：
數學期望為E(X)=0×156+1×1556+2×1528+3×1056=158．
17.解：(1)由題意可知|BF|=a=2e=ca=12b2=a2?c2，解得a=2，b2=3，
所以橢圓的方程為：x24+y23=1；
(2)設A(x1,y1)，C(x2,y2)，
聯立3x2+4y2=12y=x?2m，整理可得：7x2?16mx+16m2?12=0，
Δ=162m2?4×7×(16m2?12)>0，可得m20，的條件，
S△ACN最大，且最大值為：3 32．
18.(1)解：∵f(x)=ex?1?lnx，∴f′(x)=ex?1?1x，
設μ(x)=ex?1?1x，μ′(x)=ex?1+1x2>0，
∴μ(x)在(0,+∞)上為單調遞增函數，
μ(1)=0，∴f′(1)=0，當x∈(0,1)時，f′(x)0，f(x)單調遞增，
∴x=1時，f(x)取得最小值，f(x)min=f(1)=1；
(2)證明：要證exf(x)+(ex?1)lnx?ex+12>0，只需證ex(ex?1?lnx)+(ex?1)lnx?ex+12>0，
即證(x?1)ex?lnx+12>0，令g(x)=(x?1)ex?lnx+12，則g′(x)=xex?1x(x>0)，
當x>0時，令?(x)=g′(x)=xex?1x，則?′(x)=(x+1)ex+1x2>0，?(x)在(0,+∞)上單調遞增，
即g′(x)=xex?1x在(0,+∞)上為增函數，
又∵g′(23)=23e23?32=23[e23?(278)23]0，
∴存在x0∈(23,1)，使得g′(x0)=0，
由g′(x0)=x0ex0?1x0=x02ex0?1x0=0，
得x02ex0=1，即ex0=1x02，即?2lnx0=x0，
∴當x∈(0,x0)時，g′(x)=xex?1x0，g(x)單調遞增，
∴g(x)min=g(x0)=(x0?1)ex0?lnx0+12=x0?1x02+x02+12=x03+x02+2x0?22x02，
令φ(x)=x3+x2+2x?2(23φ(23)=227>0，
∴g(x)≥g(x0)=φ(x0)2x02>0，∴(x?1)ex?lnx+12>0，
即exf(x)+(ex?1)lnx?ex+12>0． X
0
1
2
3
P
156
1556
1528
1056

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