?2020-2021學年河北省衡水市安平中學高一（下）期末數學試卷
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（5分）（2021春?連云港期末）如表是?；@球隊某隊員若干場比賽的得分數據．
每場比賽得分
3
6
7
10
11
13
30
頻數
2
1
2
3
1
1
1
則該隊員得分的40百分位數是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（5分）（2017?河南一模）復數滿足，則復數的實部與虛部之和為　　
A． B． C．1 D．0
3．（5分）（2021春?宜春期末）若是等邊三角形所在平面外一點，且，，，分別是，，的中點，則下列結論中不正確的是　　
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
4．（5分）（2017秋?黃岡期末）已知，，，，，，則的最小值為　　
A． B． C． D．
5．（5分）（2019春?十堰期末）某電視臺的夏日水上闖關節(jié)目中的前四關的過關率分別為，，，，只有通過前一關才能進入下一關，其中，第三關有兩次闖關機會，且通過每關相互獨立．一選手參加該節(jié)目，則該選手能進入第四關的概率為　　
A． B． C． D．
6．（5分）（2021?南昌模擬）設的內角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積為　　
A． B． C．4 D．
7．（5分）（2021春?安平縣校級期末）在中，為邊上的中點，為邊上的點，且；點為與的交點，則下列說法正確的是　　
A． B． C． D．
8．（5分）（2021春?廣安期末）在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，四棱錐為陽馬，側棱底面，，為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為　　

A． B． C． D．
二、多項選擇題（本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的全部答對得5分，部分答對得3分，答錯不得分）
9．（5分）（2021春?安平縣校級期末）某學校為了調查高二年級學生周末閱讀時間情況，隨機選取了100名學生，繪制了如圖所示頻率分布直方圖，則　　

A．眾數的估計值為35
B．中位數的估計值為35
C．平均數的估計值為29.2
D．樣本中有25名同學閱讀時間不低于40分鐘
10．（5分）（2021春?連云港期末）已知復數，，下列結論正確的有　　
A．
B．若，則，中至少有一個為0
C．
D．若，則
11．（5分）（2021秋?青山區(qū)期末）拋擲一枚骰子1次，記“向上的點數是4，5，6”為事件，“向上的點數是1，2”為事件，“向上的點數是1，2，3”為事件，“向上的點數是1，2，3，4”為事件，則下列關于事件，，，判斷正確的有　　
A．與是互斥事件但不是對立事件
B．與是互斥事件也是對立事件
C．與是互斥事件
D．與不是對立事件也不是互斥事件
12．（5分）（2021春?安平縣校級期末）在棱長為2的正方體中，點是棱的中點，點是底面上的動點，且，則下列說法正確的有　　
A．與所成角的最大值為
B．四面體的體積不變
C．△的面積有最小值
D．平面截正方體所得截面面積不變
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）（2021春?蘇州期末）已知向量，，且，，若，，三點共線，則實數的值為 　　．
14．（5分）（2021春?安平縣校級期末）2020年初，湖北成為全國新冠疫情最嚴重的省份，面臨醫(yī)務人員不足，醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，全國人民心系湖北，志愿者紛紛馳援．若某醫(yī)療團隊從3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生志愿者中，隨機選取2名醫(yī)生赴湖北支援，則至少有1名女醫(yī)生被選中的概率為 　　．
15．（5分）（2021春?連云港期末）在中，，，，延長到，使得，則的長為 　?。?br /> 16．（5分）（2021?南通模擬）已知半徑為5的球面上有，，，四點，滿足，，，則球心到平面的距離為　　，三棱錐體積的最大值為　?。?br /> 四.解答題（本題共6道小題，共70分.解答應寫出文字說明和演算步驟）
17．（10分）（2021春?安平縣校級期末）在①，②，③，三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．
已知向量，，_____，若，，且，求．
18．（12分）（2021春?安平縣校級期末）將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，事件：“兩數之和為8”，事件：“兩數之和是3的倍數”，事件：“兩個數均為偶數”．
（Ⅰ）寫出該試驗的基本事件空間，并求事件發(fā)生的概率；
（Ⅱ）求事件發(fā)生的概率；
（Ⅲ）事件與事件至少有一個發(fā)生的概率．
19．（12分）（2021春?安平縣校級期末）如圖，在四棱錐中，，，，，點，分別為棱，的中點，且．求證：
（1）平面平面；
（2）平面平面．

20．（12分）（2020秋?金臺區(qū)期末）已知點，1，，，2，，向量，計算：
（1）求向量的單位向量；
（2）求，；
（3）；
（4）求點到直線的距離．
21．（12分）（2017?新課標Ⅲ）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：
最高氣溫
，
，
，
，
，
，
天數
2
16
36
25
7
4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出的所有可能值，并估計大于零的概率．
22．（12分）（2021春?安平縣校級期末）如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地，其中，，．當地鎮(zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中，都在邊，上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設兒童游樂場．為安全起見，需在的一周安裝防護網．
（1）當時，求防護網的總長度；
（2）若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍，試確定的大?。?br /> （3）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使的面積最小？最小面積是多少？


2020-2021學年河北省衡水市安平中學高一（下）期末數學試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（5分）（2021春?連云港期末）如表是校籃球隊某隊員若干場比賽的得分數據．
每場比賽得分
3
6
7
10
11
13
30
頻數
2
1
2
3
1
1
1
則該隊員得分的40百分位數是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：由表可知頻數共計11，，
可得該隊員得分的40百分位數是第5個得分為7．
故選：．
2．（5分）（2017?河南一模）復數滿足，則復數的實部與虛部之和為　　
A． B． C．1 D．0
【解答】解：，，

則復數的實部與虛部之和．
故選：．
3．（5分）（2021春?宜春期末）若是等邊三角形所在平面外一點，且，，，分別是，，的中點，則下列結論中不正確的是　　
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【解答】解：是等邊三角形所在平面外一點，且，
，，分別是，，的中點，
，
平面，平面，平面，故正確；
，是中點，
，，
，平面，
，平面，故正確；
平面，平面，
平面平面，故正確；
設，連結，不是等邊三角形的重心，與平面不垂直，
平面與平面不垂直，故錯誤．
故選：．

4．（5分）（2017秋?黃岡期末）已知，，，，，，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，，，，，
．
故當時，有最小值等于，
故選：．
5．（5分）（2019春?十堰期末）某電視臺的夏日水上闖關節(jié)目中的前四關的過關率分別為，，，，只有通過前一關才能進入下一關，其中，第三關有兩次闖關機會，且通過每關相互獨立．一選手參加該節(jié)目，則該選手能進入第四關的概率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：該選手能進入第四關的概率為．
故選：．
6．（5分）（2021?南昌模擬）設的內角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積為　　
A． B． C．4 D．
【解答】解：由，可得：，即，
所以，即，
又，，
所以，
即，解得，或（舍去），
所以，
又，
所以的面積為．
故選：．
7．（5分）（2021春?安平縣校級期末）在中，為邊上的中點，為邊上的點，且；點為與的交點，則下列說法正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，，因為為邊上的中點，為邊上的點，且，
所以，
又，
由于向量與向量不共線，
則由平面向量基本定理知：，解得，
所以．
故選：．
8．（5分）（2021春?廣安期末）在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，四棱錐為陽馬，側棱底面，，為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為　　

A． B． C． D．
【解答】解：如圖，側棱底面，平面，
則平面平面，

底面為矩形，，
而平面平面，平面．
連接，則為在平面上的射影，
則為與底面所成角，
設，則，，
．
．
即直線與平面所成角的正弦值為．
故選：．
二、多項選擇題（本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的全部答對得5分，部分答對得3分，答錯不得分）
9．（5分）（2021春?安平縣校級期末）某學校為了調查高二年級學生周末閱讀時間情況，隨機選取了100名學生，繪制了如圖所示頻率分布直方圖，則　　

A．眾數的估計值為35
B．中位數的估計值為35
C．平均數的估計值為29.2
D．樣本中有25名同學閱讀時間不低于40分鐘
【解答】解：由頻率分布直方圖知，的頻率最大，因此眾數估計值為，故選項正確，
，的頻率為，
中位數為30，故選項錯誤，
平均值估計為，故選項正確，
不低于40分鐘的人數為，故選項正確．
故選：．
10．（5分）（2021春?連云港期末）已知復數，，下列結論正確的有　　
A．
B．若，則，中至少有一個為0
C．
D．若，則
【解答】解：設，，
對于，，
，
故選項正確；
對于，因為，
則，則或，
所以，中至少有一個為0，
故選項正確；
對于，由復數模的運算性質可知，，
故選項正確；
對于，當，時，，
故選項錯誤．
故選：．
11．（5分）（2021秋?青山區(qū)期末）拋擲一枚骰子1次，記“向上的點數是4，5，6”為事件，“向上的點數是1，2”為事件，“向上的點數是1，2，3”為事件，“向上的點數是1，2，3，4”為事件，則下列關于事件，，，判斷正確的有　　
A．與是互斥事件但不是對立事件
B．與是互斥事件也是對立事件
C．與是互斥事件
D．與不是對立事件也不是互斥事件
【解答】解：拋擲一枚骰子1次，記“向上的點數是4，5，6“為事件，“向上的點數是1，2“為事件，
“向上的點數是1，2，3“為事件，“向上的點數是1，2，3，4“為事件，
在中，與不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥事件但不是對立事件，故正確；
在中，與是互斥事件，也是對立事件，故正確；
在中，與能同時發(fā)生，不是互斥事件，故錯誤；
在中，與能同時發(fā)生，不是對立事件也不是互斥事件，故正確．
故選：．
12．（5分）（2021春?安平縣校級期末）在棱長為2的正方體中，點是棱的中點，點是底面上的動點，且，則下列說法正確的有　　
A．與所成角的最大值為
B．四面體的體積不變
C．△的面積有最小值
D．平面截正方體所得截面面積不變
【解答】解：在正方體中，平面，
所以，
因為，所以平面，
所以，
因為為中點，記中點為，
所以位于直線上．
：記中點為，連結，，
易知，
所以與所成角即為，
因為正方體棱長為2，
所以，
解得：，
所以與所成角為定值，為，
故錯誤；
，，三點為定點，
所以為定值，
因為位于平面中，，，在平面中，
所以點到平面的距離為定值，
所以四面體的體積不變，
故正確；
：在正方體中，平面，
所以，
所以，
在△中，，，
所以點到的距離的最小值為，
所以△的面積有最小值為，
故正確；
：當不與重合時，與連線即為，
故平面即為平面，
此時截面固定，面積為定值，
故正確．
故選：．

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）（2021春?蘇州期末）已知向量，，且，，若，，三點共線，則實數的值為 　3　．
【解答】解：向量，，且，，
，，，，
，
，，三點共線，，
，解得．
故答案為：3．
14．（5分）（2021春?安平縣校級期末）2020年初，湖北成為全國新冠疫情最嚴重的省份，面臨醫(yī)務人員不足，醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，全國人民心系湖北，志愿者紛紛馳援．若某醫(yī)療團隊從3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生志愿者中，隨機選取2名醫(yī)生赴湖北支援，則至少有1名女醫(yī)生被選中的概率為 　?。?br /> 【解答】解：從3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生志愿者中，隨機選取2名醫(yī)生，
則共有種不同的選法，
至少有1名女醫(yī)生被選中，則共有種不同的選法，
所以至少有1名女醫(yī)生被選中的概率為．
故答案為：．
15．（5分）（2021春?連云港期末）在中，，，，延長到，使得，則的長為 　7?。?br /> 【解答】解：在中，由正弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：
．
故答案為：7．
16．（5分）（2021?南通模擬）已知半徑為5的球面上有，，，四點，滿足，，，則球心到平面的距離為　3　，三棱錐體積的最大值為　　．
【解答】解：如圖，

在中，由，，，得，
設外接圓的半徑為，則，設球心為，三角形外接圓的圓心為，
由球的性質可得，平面，在△中，可得．
即球心到平面的距離為3；
要使三棱錐體積取最大值，則為與球面的交點，
此時到底面的距離為8，則三棱錐體積的最大值為．
故答案為：3；．
四.解答題（本題共6道小題，共70分.解答應寫出文字說明和演算步驟）
17．（10分）（2021春?安平縣校級期末）在①，②，③，三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．
已知向量，，_____，若，，且，求．
【解答】解：因為，，
所以，
選擇方案①：
因為，所以，即，
所以，
因為，，
所以，即，
因為，，所以，
所以，
因為，，所以，
所以．
選擇方案②：
因為，所以，所以，
因為，，
所以，即，
因為，，所以，
所以，
因為，，所以，
所以．
選擇方案③：
因為，，且，
所以，即，
因為，，所以，
所以，
因為，，所以，
所以．
18．（12分）（2021春?安平縣校級期末）將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，事件：“兩數之和為8”，事件：“兩數之和是3的倍數”，事件：“兩個數均為偶數”．
（Ⅰ）寫出該試驗的基本事件空間，并求事件發(fā)生的概率；
（Ⅱ）求事件發(fā)生的概率；
（Ⅲ）事件與事件至少有一個發(fā)生的概率．
【解答】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共有36個基本事件，
事件：“兩數之和為8”，事件包含的基本事件有：
，，，，，共5個基本事件，
事件發(fā)生的概率為（A）．
事件：“兩數之和是3的倍數”，
事件包含的基本事件有12個，分別為：
，，，，，，，，，，，，
事件發(fā)生的概率（B）．
事件與事件至少有一個發(fā)生包含的基本事件有11個，分別為：
，，，，，，，，，，，
事件與事件至少有一個發(fā)生的概率為．
19．（12分）（2021春?安平縣校級期末）如圖，在四棱錐中，，，，，點，分別為棱，的中點，且．求證：
（1）平面平面；
（2）平面平面．

【解答】解：（1）證明：因為是的中點，所以，
又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面．
又因為是的中點，所以，所以平面，又，所以平面平面．
（2）證明：因為，，，滿足，所以，
因為，所以．
在中，，是的中點，所以，
所以，，
由，可得，所以，
又，所以平面，
因為平面，所以平面平面．
20．（12分）（2020秋?金臺區(qū)期末）已知點，1，，，2，，向量，計算：
（1）求向量的單位向量；
（2）求，；
（3）；
（4）求點到直線的距離．
【解答】解：（1）由已知得：，2，，則，
則，
（2），
則，則，
，則；
（3），
則，
（4）在上的投影為，
，
點到直線的距離．
21．（12分）（2017?新課標Ⅲ）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：
最高氣溫
，
，
，
，
，
，
天數
2
16
36
25
7
4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出的所有可能值，并估計大于零的概率．
【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數據，
得到最高氣溫位于區(qū)間，和最高氣溫低于25的天數為，
根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：有關．
如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，
如果最高氣溫位于區(qū)間，，需求量為300瓶，
如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，
六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率．
（2）當溫度大于等于時，需求量為500，
元，
當溫度在，時，需求量為300，
元，
當溫度低于時，需求量為200，
元，
當溫度大于等于20時，，
由前三年六月份各天的最高氣溫數據，得當溫度大于等于的天數有：
，
估計大于零的概率．
22．（12分）（2021春?安平縣校級期末）如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地，其中，，．當地鎮(zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中，都在邊，上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設兒童游樂場．為安全起見，需在的一周安裝防護網．
（1）當時，求防護網的總長度；
（2）若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍，試確定的大小；
（3）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使的面積最??？最小面積是多少？

【解答】解：（1）在中，因為，，，所以，
在中，，，，
由余弦定理，得，（2分）
所以，即，所以，
所以為正三角形，所以的周長為9，即防護網的總長度為．（4分）
（2）設，
因為的面積是堆假山用地的面積的倍，
所以，即，（6分）
在中，由，得，（8分）
從而，即，
由，
得，所以，即．（10分）
（3）設，由（2）知，
又在中，由，得，（12分）
所以，（14分）
所以當且僅當，即時，的面積取最小值為．（16分）
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/6/13 19:19:34；用戶：13159259195；郵箱：13159259195；學號：39016604

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