2024.7
本試卷共4頁，19小題.滿分150分.考試用時120分鐘
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必要填涂答題卡上的有關(guān)項(xiàng)目.
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效.
4.請考生保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 展開式中的系數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
2. 甲、乙兩校各有3名教師報名支教，現(xiàn)從這6名教師中隨機(jī)派2名教師，則被派出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率為（ ）
A. B. C. D.
3. 函數(shù)，的最小值為（ ）
A. B. C. 9D. 16
4. 若將文盲定義為0，半文盲定義為1，小學(xué)定義為2，初中定義為3，職中定義為4，高中定義為5，大專定義為6，大學(xué)本科定義為7，碩士及以上學(xué)歷定義為8，根據(jù)調(diào)查，某發(fā)達(dá)地區(qū)教育級別與月均純收入（單位：萬元）的關(guān)系如下表：
由回歸分析，回歸直線方程的斜率，可預(yù)測該地區(qū)具有碩士及以上學(xué)歷的月平均純收入為（ ）
A. 1.40萬元B. 1.42萬元
C. 1.44萬元D. 1.46萬元
5. 某小組5人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中抽取一張，則恰有1人抽到自己寫的賀年卡的不同分配方式有（ ）
A. 9種B. 11種C. 44種D. 45種
6. 給定兩個隨機(jī)事件，且，，則的充要條件是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
8. 佛山第一峰位于高明區(qū)皂幕山，其海拔最高達(dá)到804.5米.要登上皂幕山的最高峰，一共需要走6666級階梯.小明和小吉同時從第1級階梯出發(fā)登峰，假設(shè)他們在前30分鐘中，每分鐘走50級階梯，由于體力有限，小明每隔30分鐘，其每分鐘走的階梯數(shù)減少5級，而小吉每隔30分鐘，其速度降低10%，直到登上最高峰，則（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，，）
A. 小明到達(dá)最高峰的時間比小吉早超過30分鐘
B. 小吉到達(dá)最高峰的時間比小明早超過30分鐘
C. 小明到達(dá)最高峰的時間比小吉早，但差距不超過30分鐘
D. 小吉到達(dá)最高峰時間比小明早，但差距不超過30分鐘
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)有且只有一條直線與曲線相切，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)中，能使為等差數(shù)列的條件有（ ）
A.
B.
C. 對，有
D.
11. 甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三個人中的任何一人.下列說法正確的是（ ）
A. 已知第2次傳球后球在甲手中，則球是由乙傳給甲的概率為
B. 已知第2次傳球后球在丙手中，則球是由丁傳給丙的概率為
C. 第次傳球后球回到甲手中的不同傳球方式共有種
D. 第次傳球后球在乙手中概率為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題對一空得3分，全對得5分.
12. 某廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.質(zhì)量指標(biāo)介于162至180之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到99.73%，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得至多為______.（若，則）
13. 數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為______.
14. 已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時，有，且，則__________；不等式的解集為______________.
四、解答題：本題共5小題.共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 某工廠制造甲、乙、丙三件產(chǎn)品，制造過程必須先后經(jīng)過兩道工序.當(dāng)?shù)谝坏拦ば蛲瓿刹⒑细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二道工序，兩道工序過程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次為，，經(jīng)過第二道工序后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，.
（1）求第一道工序完成后至少有一件產(chǎn)品合格的概率；
（2）若前后兩道工序均合格的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品，記合格產(chǎn)品的個數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
16. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且當(dāng)時，.
（1）證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
17. 高考招生制度改革后，我省實(shí)行“3+1+2”模式，“3”為語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一科目，“1”為考生在物理、歷史兩門科目中選擇1門作為首選科目，“2”為考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門科目中選擇2門作為再選科目.有人認(rèn)為高考選考科目的確定與性別有關(guān)，為此，某教育機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了一所學(xué)校的名學(xué)生，其中男生占調(diào)查人數(shù)的，已知男生有的人選了物理，而女生有的人選物理.
（1）完成下列列聯(lián)表：
（2）若在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，可認(rèn)為“性別與選科有關(guān)”，那么本次被調(diào)查的人數(shù)至少有多少？
（3）從物理類考生和歷史類考生中各抽取1人，若抽取的2人性別恰好相同，求這2人是女生的概率.
附：
18. 已知函數(shù)，.
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)；
（3）證明：.
19. 已知函數(shù)，證明：
（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）若的兩個零點(diǎn)為，，則
（i）；
（ii）.學(xué)歷
初中
職中
高中
大專
本科
教育級別
3
4
5
6
7
月均純收入
040
0.55
0.70
1.15
1.20
物理
歷史
總計(jì)
男生
女生
總計(jì)
0.05
0.01
0.005
0.001
3841
6.635
7.879
10.828
2023~2024學(xué)年下學(xué)期佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測
高二數(shù)學(xué)
2024.7
本試卷共4頁，19小題.滿分150分.考試用時120分鐘
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必要填涂答題卡上的有關(guān)項(xiàng)目.
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效.
4.請考生保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 的展開式中的系數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題得展開式的通項(xiàng)公式為，故當(dāng)即可得的系數(shù).
【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式得：，
故令得，
所以的展開式中的系數(shù)是.
故選：D
2. 甲、乙兩校各有3名教師報名支教，現(xiàn)從這6名教師中隨機(jī)派2名教師，則被派出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)求解即可.
【詳解】從6名教師中選兩名共有種選法，
而2名教師來自同一所學(xué)校共有種選法，且設(shè)所求概率為，
故得，故B正確.
故選：B
3. 函數(shù)，的最小值為（ ）
A. B. C. 9D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】利用求導(dǎo)判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，即得函數(shù)最小值.
【詳解】由可得，，由解得，或，
因，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
故時，.
故選：A.
4. 若將文盲定義為0，半文盲定義為1，小學(xué)定義為2，初中定義為3，職中定義為4，高中定義為5，大專定義為6，大學(xué)本科定義為7，碩士及以上學(xué)歷定義為8，根據(jù)調(diào)查，某發(fā)達(dá)地區(qū)教育級別與月均純收入（單位：萬元）的關(guān)系如下表：
由回歸分析，回歸直線方程的斜率，可預(yù)測該地區(qū)具有碩士及以上學(xué)歷的月平均純收入為（ ）
A. 1.40萬元B. 1.42萬元
C. 1.44萬元D. 1.46萬元
【答案】D
【解析】
【分析】求出樣本中心，根據(jù)回歸直線過樣本中心點(diǎn)即可求得回歸方程，再將帶入回歸方程即可得解.
【詳解】由題可設(shè)回歸直線方程為，
又，
所以，故，
所以當(dāng)時，.
故選：D.
5. 某小組5人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中抽取一張，則恰有1人抽到自己寫的賀年卡的不同分配方式有（ ）
A. 9種B. 11種C. 44種D. 45種
【答案】D
【解析】
【分析】用樹狀圖羅列4人抽到的賀年卡均不為自己的情況有幾種即可得到5人中恰有1人抽到自己寫的賀年卡的不同分配方式.
【詳解】除抽到自己的人，其它4人各寫一張賀年卡集中起來，再每人從中抽取一張，
標(biāo)記這4人為B、C、D、E，其對應(yīng)的賀卡為b、c、d、e，
則4人均未抽到自己的賀年卡情況如下列樹狀圖所以：

由樹狀圖可知，這4人均未抽到自己賀卡情況下抽到的賀年卡情況共有9種，
所以5人各寫一張賀年卡，集中起來再每人從中抽取一張，恰有1人抽到自己寫的賀年卡的不同分配方式有種.
故選：D.
6. 給定兩個隨機(jī)事件，且，，則的充要條件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用條件概率公式和對立事件的概率公式化簡即可推理得到.
【詳解】因,則由可得，,
去分母得：，即：，
即是的充分條件；
由可得，，
即，因，，
若，則,必有；
當(dāng)時，可得，即得，
故是的必要條件.
即的充要條件是.
故選：C.
7. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合的單調(diào)性分析判斷.
【詳解】因?yàn)樵谏线f減，且，
所以，
因?yàn)樵谏线f減，且，
所以，
令，則，
因?yàn)?，所以?br>所以在上遞增，
因?yàn)椋裕?br>所以，所以，
所以，
所以.
故選：C
8. 佛山第一峰位于高明區(qū)皂幕山，其海拔最高達(dá)到804.5米.要登上皂幕山的最高峰，一共需要走6666級階梯.小明和小吉同時從第1級階梯出發(fā)登峰，假設(shè)他們在前30分鐘中，每分鐘走50級階梯，由于體力有限，小明每隔30分鐘，其每分鐘走的階梯數(shù)減少5級，而小吉每隔30分鐘，其速度降低10%，直到登上最高峰，則（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，，）
A. 小明到達(dá)最高峰的時間比小吉早超過30分鐘
B. 小吉到達(dá)最高峰的時間比小明早超過30分鐘
C. 小明到達(dá)最高峰的時間比小吉早，但差距不超過30分鐘
D. 小吉到達(dá)最高峰的時間比小明早，但差距不超過30分鐘
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可知小明和小吉每30分鐘走的級數(shù)分別形成一列等差數(shù)列和一列等比數(shù)列，根據(jù)題中數(shù)據(jù)分別求出兩列數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可計(jì)算估計(jì)小明和小吉登上最高峰所需的時間，進(jìn)而得解.
【詳解】記第n個30分鐘小明和小吉走的級數(shù)分別為、，
則由題意可知，且，，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以且，
所以數(shù)列和前n項(xiàng)和分別為：
，
，
所以，，
而，故第6個30分鐘小明每分鐘走的級數(shù)為，
所以小明登上最高峰所需時間為分；
因?yàn)椋?br>，
而，故第6個30分鐘小吉每分鐘走的級數(shù)為，
所以小吉登上最高峰所需時間為分，且分，
所以小吉到達(dá)最高峰的時間比小明早，但差距不超過30分鐘.
故選：D.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：依據(jù)題意先分別表示小明和小吉第n個30分鐘走的級數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而分別得出兩人前n個30分鐘走的級數(shù)總和表達(dá)式，從而依據(jù)兩個表達(dá)式即可計(jì)算估計(jì)小明和小吉登上最高峰所需的時間，進(jìn)而得解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)有且只有一條直線與曲線相切，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過切點(diǎn)的切線方程，對選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)對應(yīng)的方程的根的情況，對于只有一個實(shí)根時，即切點(diǎn)唯一，則有且只有一條切線.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由求導(dǎo)得，，即切線斜率為，則切線方程為：（*）.
對于A，把點(diǎn)代入（*）得，，解得，
即切點(diǎn)只有一個，故切線只有一條，故A正確；
對于B，把點(diǎn) 代入（*）得，，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
又，即方程有且只有一個根，
由題意知，此時切線有且只有一條，故B正確；
對于C，把點(diǎn)代入（*）得，，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
又，即在上恒成立，
故方程在上無實(shí)數(shù)解，故C錯誤；
對于D，把點(diǎn)代入（*）得，，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
又，因，
，
由零點(diǎn)存在定理知，在和上各有一個零點(diǎn)，
即方程在上有兩個實(shí)根，故切線有兩條，故D錯誤.
故選：AB.
10. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)中，能使為等差數(shù)列的條件有（ ）
A.
B.
C. 對，有
D
【答案】BCD
【解析】
【分析】對A、B：利用與的關(guān)系計(jì)算后，結(jié)合等差數(shù)列定義即可得；對C：利用賦值法構(gòu)造即可得；對D：借助分段函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】對A：，當(dāng)時，，
則，即，
，則，故不為等差數(shù)列，故A錯誤；
對B：當(dāng)時，，則，
即，即對任意的，有，此時，
即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故B正確；
對C：令，則對，有，
故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，故C正確；
對D：，
則，故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，故D正確.
故選：BCD.
11. 甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三個人中的任何一人.下列說法正確的是（ ）
A. 已知第2次傳球后球在甲手中，則球是由乙傳給甲的概率為
B. 已知第2次傳球后球在丙手中，則球是由丁傳給丙的概率為
C. 第次傳球后球回到甲手中的不同傳球方式共有種
D. 第次傳球后球在乙手中的概率為
【答案】ACD
【解析】
【分析】AB選項(xiàng)，列表，列舉法求出相應(yīng)的概率；C選項(xiàng)，設(shè)第次傳球后球回到甲手中的不同傳球方式有種，則，結(jié)合（1）中表格可得，變形后得到為公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，得到通項(xiàng)公式；D選項(xiàng)，設(shè)第次傳球后球在乙，手中的概率，則，其中，變形得到為公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，得到通項(xiàng)公式.
【詳解】選項(xiàng)AB，可通過列表得到，表格如下：
A選項(xiàng)，由題意得，第2次傳球后球在甲手中的情況有3種，
其中乙傳給甲的情況占其中1種，故概率為，A正確；
B選項(xiàng)，由題意得，第2次傳球后球在丙手中的情況有2種，
其中是丁傳給丙的情況占其中1種，故概率為，B錯誤；
C選項(xiàng)，設(shè)第次傳球后球回到甲手中的不同傳球方式有種，
則，結(jié)合（1）中表格可得，
故，設(shè)，
即，故，解得，
故，
故為公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，
故，故，
第次傳球后球回到甲手中的不同傳球方式共有，C正確；
D選項(xiàng)，設(shè)第次傳球后球在乙，手中的概率，
則，其中，
設(shè)，
故，所以，解得，
故，
故為公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，
故，故，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由遞推公式求解通項(xiàng)公式，根據(jù)遞推公式的特點(diǎn)選擇合適的方法，
（1）若，采用累加法；
（2）若，采用累乘法；
（3）若，可利用構(gòu)造進(jìn)行求解；
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題對一空得3分，全對得5分.
12. 某廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.質(zhì)量指標(biāo)介于162至180之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到99.73%，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得至多為______.（若，則）
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)可得，，從而出的最大值.
【詳解】因?yàn)楫a(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，，
且質(zhì)量指標(biāo)介于162至180之間的產(chǎn)品為良品，良品率達(dá)到99.73%，
所以，，
解得，
所以至多為3，
故答案為：3
13. 數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為______.
【答案】
【解析】
【分析】由運(yùn)用迭代法求出，則，利用裂項(xiàng)相消法即可求得的前2024項(xiàng)和.
【詳解】由可得，
則，
則，
故數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.
故答案為：.
14. 已知是定義域?yàn)榕己瘮?shù)，當(dāng)時，有，且，則__________；不等式的解集為______________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)，然后構(gòu)造函數(shù)，又因?yàn)?，?gòu)造函數(shù)，可求得；根據(jù)在上單調(diào)遞增且，又因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，得，從而可得，即可求解.
【詳解】，
移項(xiàng)化簡得，
即，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
又，其中為常數(shù)，即，
，又，，解得，
所以當(dāng)時，，
又是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，.
當(dāng)時，，則，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
所以，即，
所以在上單調(diào)遞增，，
所以由可得，即，解得或，
所以不等式的解集為.
故答案為：；
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合求得，從而得解.
四、解答題：本題共5小題.共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 某工廠制造甲、乙、丙三件產(chǎn)品，制造過程必須先后經(jīng)過兩道工序.當(dāng)?shù)谝坏拦ば蛲瓿刹⒑细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二道工序，兩道工序過程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次為，，經(jīng)過第二道工序后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，.
（1）求第一道工序完成后至少有一件產(chǎn)品合格的概率；
（2）若前后兩道工序均合格的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品，記合格產(chǎn)品的個數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）利用對立事件求概率即可；
（2）由已知確定隨機(jī)變量ξ的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望.
【小問1詳解】
分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件，，，則，，，
設(shè)E表示第一次燒制后至少有一件合格， ，
所以
即第一次燒制后至少有一件產(chǎn)品合格的概率為.
【小問2詳解】
設(shè)甲、乙、丙經(jīng)第二次燒制后合格為事件，分別記甲、乙、丙經(jīng)過兩次燒制后合格為事件，
則，，，
，
，
所以，
，
，
．
所以的分布列如下：
于是期望
16. 已知數(shù)列前項(xiàng)和為，，，且當(dāng)時，.
（1）證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）借助與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式計(jì)算即可得；
（2）借助錯位相減法求和即可得.
【小問1詳解】
由當(dāng)時，，即，
即，則，又，則有，，
又，則，則對任意，都有，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則；
小問2詳解】
由，則，則，
故，
，
則
，
即.
17. 高考招生制度改革后，我省實(shí)行“3+1+2”模式，“3”為語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一科目，“1”為考生在物理、歷史兩門科目中選擇1門作為首選科目，“2”為考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門科目中選擇2門作為再選科目.有人認(rèn)為高考選考科目的確定與性別有關(guān)，為此，某教育機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了一所學(xué)校的名學(xué)生，其中男生占調(diào)查人數(shù)的，已知男生有的人選了物理，而女生有的人選物理.
（1）完成下列列聯(lián)表：
（2）若在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，可認(rèn)為“性別與選科有關(guān)”，那么本次被調(diào)查的人數(shù)至少有多少？
（3）從物理類考生和歷史類考生中各抽取1人，若抽取的2人性別恰好相同，求這2人是女生的概率.
附：
【答案】（1）列聯(lián)表見解析
（2）120 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)即可；
（2）根據(jù)卡方公式得，則，解出即可；
（3）事件表示“2人性別恰好相同”，事件表示“2人性別相同且是女生”，根據(jù)條件概率的計(jì)算方法即可得到答案.
【小問1詳解】
依題意得，被調(diào)查的男生人數(shù)為，其中有的男生選物理；
被調(diào)查的女生人數(shù)為，其中有的女生選物理；
則列聯(lián)表如下：
【小問2詳解】由列聯(lián)表數(shù)據(jù)，得.
要使在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，可認(rèn)為“性別與選科有關(guān)”，
則，解得，又且，所以，
即本次被調(diào)查的人數(shù)至少是120.
【小問3詳解】
設(shè)事件表示“2人性別恰好相同”，事件表示“2人性別相同且是女生”；
事件包含的基本事件數(shù)為，
事件含的基本事件數(shù)為，
所求的條件概率為.
18. 已知函數(shù)，.
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)；
（3）證明：.
【答案】（1）；
（2）證明見解析； （3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)得，再求出，從而得到切線方程；
（2）求導(dǎo)得，利用隱零點(diǎn)法即可證明；
（3）令，則，得到，再令，同樣求導(dǎo)得，則，則原不等式即證明.
【小問1詳解】
的定義域?yàn)椋?
因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
【小問2詳解】
.
當(dāng)時，因?yàn)楹投际窃龊瘮?shù)，
所以是增函數(shù).
又因?yàn)椋?br>所以，使得.
當(dāng)時，：當(dāng)時，.
于是，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn).
【小問3詳解】
令，則.
當(dāng)時，：當(dāng)時，.
于是，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，.
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
于是，是增函數(shù).
因此，當(dāng)時，.
綜上，，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是構(gòu)造兩函數(shù)和得到，，再相加即可得到原題不等式.
19. 已知函數(shù)，證明：
（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）若的兩個零點(diǎn)為，，則
（i）；
（ii）.
【答案】（1）證明見解析；
（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)得，再次求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，從而得到導(dǎo)函數(shù)的范圍，即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）（i）根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得到，構(gòu)造函數(shù)，再次求導(dǎo)，利用同構(gòu)思想得到，則；
（ii）令，求導(dǎo)得其單調(diào)性，則得到，，兩不等式相加即可.
【小問1詳解】
，令，
則，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
（i），當(dāng)時，，
故在內(nèi)沒有零點(diǎn).
當(dāng)；當(dāng)時，，
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間和內(nèi)各有一個零點(diǎn).
因此，.
令，則，
令，則，，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.
因此，當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞增.
于是，即.
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，即.
（ii）令，則.
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，，即.
因此，，即①.
當(dāng)時，，
故，即②，
根據(jù)不等式的同向可加性①②得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問第一小問的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，再利用同構(gòu)思想得到，最后根據(jù)的單調(diào)性得到即可.
學(xué)歷
初中
職中
高中
大專
本科
教育級別
3
4
5
6
7
月均純收入
0.40
0.55
0.70
1.15
1.20
第一次傳球后
乙
丙
丁
第二次傳球后
甲
丙
丁
甲
乙
丁
甲
乙
丙
0
1
2
3
P
物理
歷史
總計(jì)
男生
女生
總計(jì)
0.05
0.01
0005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
物理
歷史
總計(jì)
男生
女生
總計(jì)

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