2023-2024 學年下學期佛山市普通高中教學質量檢測
高一數(shù)學 2024.7
本試卷共 4 頁， 19 小題. 滿分 150 分. 考試用時 120 分鐘.
注意事項:
1. 答卷前， 考生務必要填涂答題卡上的有關項目.
2. 選擇題每小題選出答案后， 用 2B 鉛筆把答案涂在答題卡相應的位置上.
3. 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答， 答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內， 如需改動先劃掉原來的答案， 然后再寫上新的答案; 不準使用鉛筆和涂改液， 不按以上要求作答的答案無效
4. 請考生保持答題卡的整潔. 考試結束后， 將答題卡交回.
一、選擇題: 本題共 8 小題， 每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的
1. （ ）
A. B. C. D.
2 已知，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量不共線，若則（ ）
A. B. C. D. 2
4. 已知兩條不同的直線 和三個不同的平面 ，下列判斷正確的是（ ）
A 若 ，則
B. 若 ，則
C 若 ，則
D. 若 ，則
5. 已知四邊形 中， ，則四邊形 的面積為（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 10
6. 已知函數(shù)(其中)的部分圖象如圖所示，點是函數(shù)圖象與軸的交點，點是函數(shù)圖象的最高點，且是邊長為2的正三角形，，則（ ）
A. B. C. D.
7. 某學校興趣學習小組從全年級抽查了部分男生和部分女生的期中考試數(shù)學成績，并算得這部分同學的平均分以及男生和女生各自的平均分 ，且男女生的平均分不相等，由于記錄員的疏忽把人數(shù)弄丟了，則據(jù)此可確定的是（ ）
A. 這部分同學是高分人數(shù)多還是低分人數(shù)多
B. 這部分同學是男生多還是女生多
C. 這部分同學的總人數(shù)
D. 全年級是男生多還是女生多
8. 已知正四棱臺，半球的球心在底面的中心，且半球與該棱臺的各棱均相切，則半球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題: 本題共 3 小題， 每小題 6 分， 共 18 分. 在每小題給出的選項中， 有多項符合題目要求. 全部選對的得 6 分， 部分選對的得部分分， 有選錯的得 0 分.
9. 關于復數(shù) (為虛數(shù)單位)，下列說法正確是（ ）
A. B. 在復平面內對應的點位于第二象限
C. D.
10. 四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)．根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結果，可以判斷可能出現(xiàn)點數(shù)為6的是（ ）
A. 平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B. 中位數(shù)為3，眾數(shù)為2
C. 平均數(shù)為2，方差為2.4D. 中位數(shù)為3，方差為2.8
11. 如圖，在三棱錐 中，， 點 是 上一動點，則（ ）
A. 過 各中點的截面的面積為
B. 直線 與平面 所成角的正弦值為
C. 面積的最小值為
D. 將三棱錐的四個面展開在同一平面得到的平面圖形可以是直角三角形或正方形。
三、填空題: 本題共 3 小題， 每小題 5 分， 共 15 分. 其中第 14 題對一空得 3 分， 全對得 5 分.
12. 已知 ，則在上投影向量為______________.
13. 已知 ，則 ______________.
14. 已知是邊長為2的正三角形，點在平面內且，則的最大值為______________.
四、解答題: 本題共 5 小題， 共 77 分， 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 某學校高一新生體檢，校醫(yī)室為了解新生的身高情況，隨機抽取了 100 名同學的身高數(shù)據(jù) (單位: )，制作成頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求這 100 名同學的平均身高的估計值 (同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點值作為代表);
（2）用分層抽樣的方法從 中抽出一個容量為17 的樣本，如果樣本按比例分配，則各區(qū)間應抽取多少人?
（3）估計這 100 名同學身高的上四分位數(shù).
16. 在非直角三角形 中，角 的對邊分別為 ，且滿足 .
（1）求證: ;
（2）若 ，求 的面積.
17. 如圖，已知多面體 中，四邊形 均為正方形，點 是 的垂 心， .
（1）證明: 是點 在平面 上的射影;
（2）求多面體 的體積.
18. 如圖，在扇形中，半徑，圓心角，矩形內接于該扇形，其中點分別在半徑和上，點在上，，記矩形的面積為S.
（1）當點分別為半徑和的中點時，求S的值；
（2）設，當為何值時，S取得最大值，并求此時S的最大值.
19. 如圖，在直三棱柱中，是上一動點，是的中點，是的中點.
（1）當時，證明: 平面;
（2）在答題卡的題 (2) 圖中作出平面與平面的交線 (保留作圖痕跡,無需證明);
（3）是否存在，使得平面與平面所成二面角的余弦值為? 若存在求滿足條件的值，若不存在，則說明理由.
2023-2024 學年下學期佛山市普通高中教學質量檢測
高一數(shù)學 2024.7
本試卷共 4 頁， 19 小題. 滿分 150 分. 考試用時 120 分鐘.
注意事項:
1. 答卷前， 考生務必要填涂答題卡上的有關項目.
2. 選擇題每小題選出答案后， 用 2B 鉛筆把答案涂在答題卡相應的位置上.
3. 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答， 答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內， 如需改動先劃掉原來的答案， 然后再寫上新的答案; 不準使用鉛筆和涂改液， 不按以上要求作答的答案無效
4. 請考生保持答題卡的整潔. 考試結束后， 將答題卡交回.
一、選擇題: 本題共 8 小題， 每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算直接計算可得.
【詳解】由復數(shù)除法運算得.
故選：C
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二倍角的正切公式，化簡求值.
【詳解】.
故選：D
3. 已知向量不共線，若則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)共線定理和平面向量基本定理求解可得.
【詳解】因為，
所以存在，使得，
又不共線，所以，解得.
故選：B
4. 已知兩條不同的直線 和三個不同的平面 ，下列判斷正確的是（ ）
A. 若 ，則
B. 若 ，則
C. 若 ，則
D. 若 ，則
【答案】C
【解析】
【分析】利用線面平行與垂直的判定和性質定理來進行推理即可.
【詳解】對于A，若，則或，故A是錯誤的；
對于B，若 ，由于不一定相交，也有可能平行，則不一定成立，故B是錯誤的；
對于C，若 ，則，又因為，所以，
若 ，則，又因為，所以，
又因為，所以，故C是正確的；
對于D，若，不能推理出，所以也就不能推理出，故D是錯誤的；
故選：C．
5. 已知四邊形 中， ，則四邊形 的面積為（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先判斷，然后求向量的模代入公式可得.
【詳解】因，所以，
又，
所以四邊形 的面積.
故選：B
6. 已知函數(shù)(其中)的部分圖象如圖所示，點是函數(shù)圖象與軸的交點，點是函數(shù)圖象的最高點，且是邊長為2的正三角形，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正三角形性質求出點坐標，結合周期可得，將點坐標代入解析式可求得，然后可解.
【詳解】過點作軸的垂線，垂足為，則為的中點，
因為是邊長為2的正三角形，，
所以，，
所以，，
由題知，所以，所以，
將代入解析式得，
所以，，
所以，
所以.
故選：D
7. 某學校興趣學習小組從全年級抽查了部分男生和部分女生的期中考試數(shù)學成績，并算得這部分同學的平均分以及男生和女生各自的平均分 ，且男女生的平均分不相等，由于記錄員的疏忽把人數(shù)弄丟了，則據(jù)此可確定的是（ ）
A. 這部分同學是高分人數(shù)多還是低分人數(shù)多
B. 這部分同學是男生多還是女生多
C. 這部分同學的總人數(shù)
D. 全年級是男生多還是女生多
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)意義可判斷A；利用分層平均數(shù)公式可求出女生所占比例，可判斷BC；分析題中樣本的抽取方式可判斷D.
【詳解】對于A，平均數(shù)描述平均水平，所以無法判斷高分和低分人數(shù)，A錯誤；
對于B，設這部分同學的平均分為，其中有男生人，女生人，平均分分別為，
根據(jù)分層平均數(shù)公式有，
整理得，即，
即根據(jù)兩個平均數(shù)可求出這部分同學中女生所占比例，故B正確；
對于C，由B可知，只能求出男女生所占比例，無法確定總人數(shù)，C錯誤；
對于D，因為題干并沒有告訴這部分學生的抽取是否按照比例抽取，
所以無法全年級是男生多還是女生多，D錯誤.
故選：B
8. 已知正四棱臺，半球的球心在底面的中心，且半球與該棱臺的各棱均相切，則半球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析半球與各棱的切點位置，利用球的切線性質，用表示出側棱長，從不同角度表示出棱臺的高，從而建立關于的方程，然后可得.
【詳解】由題意可知，為下底面，
記上底面的中心為，過作垂直于平面，垂足為，
易知點在上，記半球與分別相切于點，
由正四棱臺和球的對稱性可知，為的中點，
因為，所以，，
記半球的半徑為，則，
所以，，
分別在中，由勾股定理得，
，
因為，所以，
解得或（舍去），
所以半球的表面積為.
故選：C
【點睛】關鍵點睛：本題考查學生的直觀想象能力，解題關鍵在于利用球的切線性質，用表示出側棱，然后根據(jù)棱臺的高距離方程求出半徑即可.
二、選擇題: 本題共 3 小題， 每小題 6 分， 共 18 分. 在每小題給出的選項中， 有多項符合題目要求. 全部選對的得 6 分， 部分選對的得部分分， 有選錯的得 0 分.
9. 關于復數(shù) (為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是（ ）
A. B. 在復平面內對應的點位于第二象限
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)共軛復數(shù)概念和復數(shù)乘法運算可判斷A；根據(jù)復數(shù)的幾何意義可判斷B；根據(jù)復數(shù)乘法運算直接化簡可判斷CD；
【詳解】對于A，因為，所以，
所以，A正確；
對于B，復數(shù)對應點為，位于第四象限，B錯誤；
對于C,，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：AD
10. 四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)．根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結果，可以判斷可能出現(xiàn)點數(shù)為6的是（ ）
A. 平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B. 中位數(shù)為3，眾數(shù)為2
C. 平均數(shù)為2，方差為2.4D. 中位數(shù)為3，方差為2.8
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題意舉例判斷即可
【詳解】解：對于A，當擲骰子出現(xiàn)的結果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點6，所以A正確；
對于B，當擲骰子出現(xiàn)的結果為2，2，3，4，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點6，所以B正確；
對于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)點數(shù)6，則方差，所以當平均數(shù)為2，方差為2.4時，一定不會出現(xiàn)點數(shù)6，所以C錯誤；
對于D，當擲骰子出現(xiàn)的結果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，則平均數(shù)為，方差為，所以可以出現(xiàn)點6，所以D正確，
故選：ABD
11. 如圖，在三棱錐 中，， 點 是 上一動點，則（ ）
A. 過 各中點的截面的面積為
B. 直線 與平面 所成角的正弦值為
C. 面積的最小值為
D. 將三棱錐的四個面展開在同一平面得到的平面圖形可以是直角三角形或正方形。
【答案】BCD
【解析】
【分析】先證，然后可得為矩形，可判斷A；利用等體積法求點到平面的距離，可判斷B；利用線面垂直證明，然后求最小值，可判斷C；將三棱柱沿展開所得平面圖形正方形，通過觀察展開圖可判斷D.
【詳解】對于A，因為，
所以，
所以兩兩垂直，
因為是平面內的兩條相交直線，所以平面，
又平面，所以，
記分別為的中點，
則，且
所以四邊形為平行四邊形，且，
所以為矩形，其面積為，A錯誤；
對于B，記點到平面的距離為，的中點為，連接，
則，，
由等體積得，即，解得，
所以直線與平面所成角的正弦值為，B正確；
對于C，由上知，是平面內的相交直線，
所以平面，
因為平面，所以，所以，
所以當最短時，面積最小值，
顯然，當時最短，此時，由等面積可得，
解得，所以面積最小值為，C正確；
對于D，將三棱錐沿剪開，展開所得平面圖形為正方形，如圖：
由上圖觀察可知，將繞著點旋轉使重合，
將三棱錐沿著剪開，展開所得平面圖形為直角三角形，
故D正確.
故選：BCD
【點睛】方法點睛：求線面角的常用方法有：
1、定義法：根據(jù)定義作出線面角，通過解三角形求解；
2、等體積法：利用等體積求出點到平面距離，然后根據(jù)定義求解；
3、向量法：建立空間直角坐標系，求出平面法向量和直線方向向量，根據(jù)線面角向量公式求解.
三、填空題: 本題共 3 小題， 每小題 5 分， 共 15 分. 其中第 14 題對一空得 3 分， 全對得 5 分.
12. 已知 ，則在上的投影向量為______________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量公式直接求解即可.
【詳解】因為，，
所以在上的投影向量為.
故答案為：
13. 已知 ，則 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等變形，即可求解出，再把弦化切，即可求出結果.
詳解】由可得：，
化簡得：，
因為，所以，
則，即，
而，
故答案：.
14. 已知是邊長為2的正三角形，點在平面內且，則的最大值為______________.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)分析點軌跡，取中點，將轉化為，然后結合圖形可解.
【詳解】因為，所以點在以為直徑的圓上，
記的中點分別為，
則，
因為是邊長為2的正三角形，，所以，
易知，當三點共線時取得最大值，此時，
所以的最大值為.
故答案為：3
四、解答題: 本題共 5 小題， 共 77 分， 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 某學校高一新生體檢，校醫(yī)室為了解新生的身高情況，隨機抽取了 100 名同學的身高數(shù)據(jù) (單位: )，制作成頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求這 100 名同學的平均身高的估計值 (同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點值作為代表);
（2）用分層抽樣的方法從 中抽出一個容量為17 的樣本，如果樣本按比例分配，則各區(qū)間應抽取多少人?
（3）估計這 100 名同學身高的上四分位數(shù).
【答案】（1） （2）答案見解析
（3）176.25
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖頻率和為1求x,再求平均數(shù)即可；
（2）由分層抽樣的定義求出第2,3,4組所抽取的人數(shù);
（3）上四分位數(shù)為頻率和為0.75對應的數(shù)據(jù)，根據(jù)頻率分布直方圖，結合頻率，即可求解；
【小問1詳解】
第一組的頻率為0.05，第二組的頻率為0.35，第三組的頻率為，第四組的頻率為0.20，第五組的頻率為0.10，
故平均數(shù).
【小問2詳解】
根據(jù)題意，第組有人，第組有人，
所以第3組選人.
【小問3詳解】
因為前3組的頻率和為0.7，前4組的頻率和為0.9，
所以第75百分位數(shù)在第四組，不妨設為，
則，
解得，
即第75百分位數(shù)約為176.25；
16. 在非直角三角形 中，角 的對邊分別為 ，且滿足 .
（1）求證: ;
（2）若 ，求 的面積.
【答案】（1）證明見解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角化，結合正弦的和差角公式可得，即可利用弦切互化求解，
（2）根據(jù)正切的和差角公式可得，，即可由同角關系得正弦值，利用正弦定理求解長度，即可由面積公式求解.
【小問1詳解】
由可得,
又，
所以，
由于為非直角三角形，故,因此，
【小問2詳解】
由，可得,
解得或，
若，則,此時均為鈍角，不符合題意，
故，,則，且為銳角，故，
又，銳角，故,
由正弦定理得,解得
17. 如圖，已知多面體 中，四邊形 均為正方形，點 是 的垂 心， .
（1）證明: 是點 在平面 上的射影;
（2）求多面體 的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）將圖形補成一個正方形，證明平面即可；
（2）由（1）知，多面體的體積是由一個正方體的體積減去一個三棱錐的體積即可．
【小問1詳解】
證明：因為四邊形均為正方形，
所以平面，
得平面，且，將圖形補成一個正方形，如圖所示：
則為等邊三角形，連接交于點M，連接，則點H在上，
且平面，
得平面，平面，得，
同理平面，得平面，
所以H是點A在平面上的射影；
【小問2詳解】
由（1）知，多面體的體積是由一個正方體的體積減去一個三棱錐的體積，
則多面體的體積為：．
18. 如圖，在扇形中，半徑，圓心角，矩形內接于該扇形，其中點分別在半徑和上，點在上，，記矩形的面積為S.
（1）當點分別為半徑和的中點時，求S的值；
（2）設，當為何值時，S取得最大值，并求此時S的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意分析可知：為等邊三角形，進而可得，，根據(jù)可得，結合三角恒等變換分析求解；
（2）由（1）可得，結合正弦函數(shù)的有界性分析求解.
【小問1詳解】
如圖，連接，
則，所以，
又因為矩形ABCD，，所以，
從而可得，所以，
因為，且，則為等邊三角形，即，
又因為矩形ABCD，，則，
過點D作的垂線，垂足為E，設，
則，，，
在中，則，，
可得，
若點分別為半徑和的中點，
則，即，
且，則，則，
可得，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可得：
，
又因為，則，
可知當，即時，矩形面積S取到最大值為.
【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)幾何知識分析可知，，進而結合題意運算求解.
19. 如圖，在直三棱柱中，是上一動點，是的中點，是的中點.
（1）當時，證明: 平面;
（2）在答題卡的題 (2) 圖中作出平面與平面的交線 (保留作圖痕跡,無需證明);
（3）是否存在，使得平面與平面所成二面角余弦值為? 若存在求滿足條件的值，若不存在，則說明理由.
【答案】（1）證明見詳解
（2）作圖見詳解 （3）
【解析】
【分析】（1）構造平行四邊形，利用平行四邊形對邊平行得線線平行，再用線面平行的判定定理即可.
（2）一個平面內的直線，不平行則相交，將相關線段延長至相交即可.
（3）做出二面角的平面角，由題意易得，再由等面積法計算出，由余弦值可得正切值，即可求解.
【小問1詳解】
時，為的四等分點（靠近），
取中點為，取的四等分點（靠近）為，連接.
分別為的中點，
，且，
分別為的四等分點（靠近），
，且，
，且，則四邊形為平行四邊形，
又平面，平面，
平面
【小問2詳解】
如圖，平面中，與不平行，故與一定相交，設與交于點，連接，則點既在平面上，又在平面上，則為平面與平面的交線.
【小問3詳解】
過作，垂足為，過作，垂足為，連接，設與交于點,
因為三棱柱是直三棱柱，所以平面，
又平面，，又，，
平面，又平面，，
又，，平面，又平面，.
所以為平面與平面所成的二面角.
假設存在滿足條件的，即，
由已知可求得，所以，
所以，又，
，所以，
所以，，
，
，
，故，
由得，
又，所以，解得，
即存在使得平面與平面所成二面角的余弦值為.
【點睛】求無棱二面角（圖中無法直接看出兩平面的交線）的關鍵是補棱，即作出兩個平面的交線，如本題的關鍵是要做出二面角的平面角，再由等面積法計算出，這一步的思路簡單，難于計算過于復雜，接著如果要利用余弦值列式，還需求出，難度加大，因為已知，不如改用正切值來列式，后可以求解.

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