素養(yǎng)拓展14 平面向量中等和線的應(yīng)用（精講+精練）-【一輪復(fù)習(xí)講義】2025年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、知識點梳理
一、平面向量共線定理
已知，若，則A，B，C三點共線，反之亦然.
二、等和線
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線.
當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k=1；
當(dāng)?shù)群途€在O點和直線AB之間時，；
當(dāng)直線AB在點O與等和線之間時，；
當(dāng)?shù)群途€過O點時，k=0；
若兩等和線關(guān)于O點對稱，則定值k互為相反數(shù).
三、證明步驟
如圖1，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根據(jù)點的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若時，則射線與無交點，由知，存在實數(shù)，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若時，
（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時，過作，交射線于兩點，則
，不妨設(shè)與的相似比為
由三點共線可知：存在使得：
所以
（ii）當(dāng)在左側(cè)時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關(guān)于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以，于是
綜合上面的討論可知：圖1中用線性表示時，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。
我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖1中，過作邊的垂線，設(shè)點在上的射影為，直線交直線于點，則 (的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍
一般解題步驟：（1）確定單位線（當(dāng)時的等和線）；（2）平移等和線，分析何處取得最值；
（3）從長度比計算最值.
二、題型精講精練
【典例1】設(shè)是邊上的點，,若，則 =（）
【解析】因為，所以，因為，所以，由于此時等和線為，所以，即.
【典例2】如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點在的延長線上，且，點是（含邊界）的動點，設(shè)，則的最大值為（）
【解析】當(dāng)點位于點時，過點作，交的延長線于,則，且，所以，所以.
故答案為：.
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
一、單選題
1.已知為的外心，若且，則（）
2.在中，為邊上的任意一點，點在線段上，且滿足，，則的值為
A．B．C．1D．4
3.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若，則的最大值為（）
A.3 B. C. D.2
4.在中，點D是線段BC上任意一點，且滿足，若存在實數(shù)m和n，使得，則m+n=（）
A. B. C. D.
5.已知拋物線的焦點為F，點，過點F且斜率為1的直線交拋物線于AB兩點，點P為拋物線上任意一點，若，則m+n的最小值為（）
A. B. C. D.
6.在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為( )

7.已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
8.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（）
A．B．2C．D．1
二、填空題
1.如圖，在同一個平面內(nèi)，向量的模分別為1，1，，與的夾角為，且，與的夾角為，若，則m+n=______.
2.已知P是內(nèi)任一點，且滿足，，則y+2x的取值范圍是_____.
3.如圖，正六邊形，是內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)，則的取值范圍是____________