TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7371" 【考點1 格點中利用無刻度直尺作平行四邊形】 PAGEREF _Tc7371 \h 1
\l "_Tc5579" 【考點2 利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc5579 \h 3
\l "_Tc11294" 【考點3 利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長度】 PAGEREF _Tc11294 \h 4
\l "_Tc864" 【考點4 利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc864 \h 5
\l "_Tc5209" 【考點5 利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】 PAGEREF _Tc5209 \h 6
\l "_Tc11486" 【考點6 利用動點判斷平行四邊形】 PAGEREF _Tc11486 \h 7
\l "_Tc4592" 【考點7 平行四邊形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc4592 \h 9
\l "_Tc25606" 【考點8 根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求線段長】 PAGEREF _Tc25606 \h 10
\l "_Tc594" 【考點9 根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc594 \h 11
\l "_Tc24693" 【考點10 根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc24693 \h 12
\l "_Tc30441" 【考點11 矩形與折疊問題】 PAGEREF _Tc30441 \h 14
\l "_Tc19749" 【考點12 根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求線段長】 PAGEREF _Tc19749 \h 15
\l "_Tc14616" 【考點13 根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc14616 \h 16
\l "_Tc14073" 【考點14 根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc14073 \h 18
\l "_Tc3868" 【考點15 根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求線段長】 PAGEREF _Tc3868 \h 20
\l "_Tc3220" 【考點16 根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc3220 \h 21
\l "_Tc20729" 【考點17 根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc20729 \h 23
\l "_Tc8721" 【考點18 中點四邊形】 PAGEREF _Tc8721 \h 24
\l "_Tc5601" 【考點19 特殊四邊形的證明】 PAGEREF _Tc5601 \h 26
\l "_Tc32600" 【考點20 特殊四邊形的動點問題】 PAGEREF _Tc32600 \h 28
\l "_Tc17841" 【考點21 特殊四邊形的最值問題】 PAGEREF _Tc17841 \h 29
\l "_Tc13849" 【考點22 特殊四邊形的存在性問題】 PAGEREF _Tc13849 \h 31
【考點1 格點中利用無刻度直尺作平行四邊形】
【例1】（2022春·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在6×6網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點A, B在格點上．請根據(jù)條件畫出符合要求的圖形．
(1)在圖甲中畫出以點A為頂點且一邊長為5的平行四邊形．要求：各頂點均在格點上．
(2)在圖乙中畫出線段AB的中點O．
要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作圖痕跡．
【變式1-1】（2022春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谀┤鐖D，每個小正方形的邊長都是1，A、B、C、D均在網(wǎng)格的格點上．
(1)∠BCD是直角嗎？請證明你的判斷．
(2)找到格點E，并畫出四邊形ABED（一個即可），使得其面積與四邊形ABCD面積相等．
【變式1-2】（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中（每個正方形的邊長為1），點A和點B都在格點上，僅用無刻度的直尺，分別按以下要求作圖．
(1)圖1中，以AB為邊作一平行四邊形，要求頂點都在格點上，且其面積為6；
(2)圖2中，以AB為對角線作一平行四邊形，要求頂點都在格點上，且其面積為10．
【考點2 利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】
【例2】（2022春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，F(xiàn)是□ABCD的邊CD上的點，Q是BF中點，連接CQ并延長交AB于點E，連接AF與DE相交于點P，若S△APD=2cm2，S△BQC=8cm2，則陰影部分的面積為（ ）cm2．
A．24B．17C．18D．10
【變式2-1】（2022秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4．作出△ABC共于點A成中心對稱的△AB′C′，其中點B對應(yīng)點為B′，點C對應(yīng)點為C′，則四邊形CB′C′B的面積是（ ）
A．128B．643C．64D．323
【變式2-2】（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，分別以直角三角形的三邊向外作等邊三角形，然后將較小的兩個等邊△AFG和△BDE放在最大的等邊△ABC內(nèi)（如圖），DE與FG交于點P，連結(jié)AP，F(xiàn)E．欲求△GEC的面積，只需要知道下列哪個三角形的面積即可（ ）
A．△APGB．△ADPC．△DFPD．△FEG
【變式2-3】（2022春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在?ABCD中，過對角線BD上一點P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S?BEPG=1.5，則S?AEPH=__．
【考點3 利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長度】
【例3】（2022·遼寧丹東·?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，∠BAD=120°，連接BD，作AE∥BD交CD延長線于點E，過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，且CF=1，則AB的長是（ ）
A．2B．1C．3D．2
【變式3-1】（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，點P為BC上一動點，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于點Q，則四邊形APCQ的形狀是______，連接PQ，當(dāng)PQ取得最小值時，四邊形APCQ的周長為_____．
【變式3-2】（2022·廣東佛山·石門中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，D，E分別為BC，AC上的點，將△CDE沿DE折疊，得到△FDE，連接BF，CF，∠BFC=90°，若EF∥AB，AB=43，EF=10，則AE的長為 _____．
【變式3-3】（2022春·八年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，點E為BC延長線上一點，連接AC、AE，AE交CD于點H，∠DCE的平分線交AE于點G．若AB=2AD=10，點H為CD的中點，HE=6，則AC的長為（ ）
A．9B．97C．10D．310
【考點4 利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】
【例4】（2022春·湖北武漢·八年級?？计谀┤鐖D，AB=13，點D為AB上一動點，CD⊥AB于D，CD=8，點E在線段CD上，CE=3，連接BE．當(dāng)BE+AC最小時，∠ACD的度數(shù)為（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
【變式4-1】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，在△ABC的BC邊的同側(cè)分別作等邊△ABD，等邊△BCF和等邊△ACE，AB＝3，AC＝4，BC＝5，求∠DFE的度數(shù)．
【變式4-2】（2022秋·山東泰安·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD//BC，對角線AC、BD交于點O，且AO＝OC．

(1)求證：
①△AOE≌△COF；
②四邊形ABCD為平行四邊形；
(2)過點O作EF⊥BD，交AD于點E，交BC于點F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數(shù)．
【變式4-3】（2022春·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，O是對角線BD的中點，點E是BC邊上一點，連接EO并延長交AD邊于點F、交CD延長線于點G．OE=OF，AD=BC．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
（2）若∠A=62°，∠G=40°，求∠BEG的度數(shù)．
【考點5 利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】
【例5】（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中有A0,3，D5,0兩點．將直線l1：y=x向上平移2個單位長度得到直線l2，點B在直線l2上，過點B作直線l1的垂線，垂足為點C，連接AB，BC，CD，則折線ABCD的長AB+BC+CD的最小值為______．
【變式5-1】（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校校考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10，點P在AD上，點Q在BC上，且AP=CQ，連結(jié)CP、QD，則PC+QD的最小值為（ ）
A．22B．24C．25D．26
【變式5-2】（2022春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知?ABCD的頂點A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式5-3】（2022秋·全國·八年級期末）在平面直角坐標系中，已知四邊形AMNB各頂點坐標分別是：A(0,?2)，B(2,2),M(3,a),N(3,b)，且MN=1, a3時，MN=yM?yN=(t+2)?(?t+8)=2t?6．
（3）∵CE⊥x軸，MN⊥x軸，
∴CE//MN，CE=5，
若四邊形MNCE是平行四邊形，則CE=MN，
即：?2t+6=5或2t?6=5，
∴t=12或112．
【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法，平面內(nèi)兩點之間的距離及平行四邊形的性質(zhì)，靈活運用一次函數(shù)和平行四邊形的相關(guān)知識，用t表示出點M、N的坐標，然后進行分類討論是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2022春·八年級課時練習(xí)）如圖在平面直角坐標系中，A?8,0，C0,26，AB∥y軸且AB=24，點P從點A出發(fā)，以1個單位長度/s的速度向點B運動；點Q從點C同時出發(fā)，以2個單位長度/s的速度向點O運動，規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．
(1)當(dāng)四邊形BCQP是平行四邊形時，求t的值；
(2)當(dāng)PQ=BC時，求t的值；
(3)當(dāng)PQ恰好垂直平分BO時，求t的值．
【答案】(1)t=8
(2)t=8或t=283
(3)t=323
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題．
（2）分兩種情形：四邊形PBCQ是平行四邊形，四邊形PBCQ是等腰梯形，分別求解即可．
（3）利用線段垂直平分線的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題．
【詳解】（1）∵AB∥y，
∴當(dāng)PB=CQ時，四邊形PBCQ是平行四邊形，
∵BP=24?t，CQ=2t，
∴24?t=2t，
∴t=8
（2）①當(dāng)四邊形PBCQ是平行四邊形時，CQ=BP，
∴24?t=2t，
∴t=8
②當(dāng)四邊形PBCQ是等腰梯形時，BC=PQ，
此時CQ?PB=2(OC?AB)，
∵C0,26，
∴OC=26，
∴2t?(24?t)=2(26?24)，
∴t=283
綜上，t=8或t=283
（3）∵A?8,0，
∴OA=8．
當(dāng)PQ垂直平分BO時，則BP=PO，
∴24?t2=t2+82，
解得t=323
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰梯形，線段垂直平分線的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
【變式6-2】（2022秋·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=8，E是BC的中點，點P以每秒1個單位長度的速度從A點出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動，點P停止運動時，點Q也隨之停止運動．當(dāng)運動時間為多少秒時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形？
【答案】t=1或73
【分析】分兩種情況進行討論，①當(dāng)點Q在線段CE上時，②當(dāng)點Q在線段BE上時，再根據(jù)平行四邊形對邊相等的性質(zhì)列出方程求解即可．
【詳解】解：∵AD=3，BC=8，E是BC的中點，AD∥BC，
∴PD=QE時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形．
①當(dāng)點Q在線段CE上時，QE=4?2t，PD=3?t，
即：4?2t=3?t，解得：t=1；
②當(dāng)點Q在線段BE上時，QE=2t?4，PD=3?t，
即：2t?4=3?t，解得：t=73．
所以當(dāng)t=1或73時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形．
【點睛】此題考平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由已知明確有兩種情況，不能漏解．
【變式6-3】（2022春·湖南長沙·八年級長沙市第二十一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中點．點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒3個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動．點P停止運動時，點Q也隨之停止運動．
(1)PD =_________，CQ=__________;(用含t的式子表示)
(2)當(dāng)運動時間t為多少秒時，PQ∥CD；
(3)當(dāng)運動時間t為多少秒時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形．
【答案】(1)6?t；3t；
(2)t為1.5秒時，PQ∥CD
(3)當(dāng)運動時間t為1秒或3.5秒時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形．
【分析】（1）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；
（2）根據(jù)PQ∥CD、AD∥BC可判定四邊形PQCD為平行四邊形，此時PD=CQ，可得方程6?t=3t，解方程即可得解；
（3）分別從當(dāng)Q在CE上時，四邊形PDQE為平行四邊形和當(dāng)Q在BE上時，四邊形PQED為平行四邊形兩方面分析求解即可求得答案；
【詳解】（1）解：∵AD=6，BC=16，點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒3個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動，
∴PD =6?t，CQ=3t，
故答案為：6?t；3t；
（2）解：如圖示，
∵PQ∥CD，AD∥BC
∴四邊形PQCD為平行四邊形
∴PD=CQ
又∵PD=AD?AP=6?t，CQ=3t，
∴t=32．
當(dāng)運動時間t為1.5秒時，PQ∥CD．
（3）由題意知，此時有兩種情況，Q在CE上或Q在BE上，
①當(dāng)Q在CE上時，四邊形PDQE為平行四邊形
此時PD=QE，
又∵PD=6?t，QE=CE?CQ=8?3t
∴6?t=8?3t
∴t=1

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9.3 平行四邊形

版本： 蘇科版

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