1. (★☆☆)如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的中線,過(guò)C任意作一條直線交AD于E, 交AB于F,求證:AE∶ED=2AF∶FB.?證明:如圖,過(guò)點(diǎn)D作DN∥CF,交AB于點(diǎn)N.∵DC=DB,∴FN=NB=?FB,∵DN∥CF,∴AE∶ED=AF∶FN,即AE∶ED=AF∶?FB,∴AE∶ED=2AF∶FB.?
2. (2024安徽宣城期末,20,★★☆)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在AB,AC上,DE∥ BC,點(diǎn)F在邊AB上,BC2=BF·BA,CF與DE相交于點(diǎn)G.????(1)求證:△BAC∽△DGF;(2)當(dāng)點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)時(shí),求證:?=?.?證明:(1)∵BC2=BF·BA,∴BC∶BF=BA∶BC,∵∠ABC=∠CBF,∴△BAC∽△BCF,∵DE∥BC,∴△BCF∽△DGF,∴△BAC∽△DGF.
(2)過(guò)點(diǎn)A作AH∥BC交CF的延長(zhǎng)線于H,如圖,∵DE∥BC,∴AH∥DE,∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),∴AH=2EG,∵AH∥DG,∴△AHF∽△DGF,∴?=?,∴?=?.?
3. [一題多解](★☆☆)如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是BD上一 點(diǎn),且∠BAC=∠BDC=∠DAE.求證:?=?.?證明:證法一:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.∵∠BAC=∠BDC,∠BFA=∠CFD,∴180°-∠BAC-∠BFA=180°-∠BDC-∠CFD,
即∠ABE=∠ACD,∴△ABE∽△ACD,∴?=?.證法二:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.又∵∠BEA=∠DAE+∠ADE,∠ADC=∠BDC+∠ADE,∠DAE=∠BDC,∴∠AEB=∠ADC.∴△ABE∽△ACD,∴?=?.
4. (★☆☆)如圖,△ABC中,∠BAC=90°.M為BC的中點(diǎn),DM⊥BC交CA的延長(zhǎng)線于 D,交AB于E.求證:AM2=MD·ME.?證明:∵∠BAC=90°,M為BC的中點(diǎn),∴AM=BM=CM,∴∠B=∠BAM,∵∠B+∠C=90°,∴∠BAM+∠C=90°,∵∠C+∠D=90°,∴∠BAM=∠D,∵∠AME=∠DMA,∴△AME∽△DMA,
類(lèi)型三　構(gòu)造相似三角形法
5. (★☆☆)如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn),AP的垂直平分線 分別交AB,AC于點(diǎn)M,N.求證:BP·CP=BM·CN.?證明:如圖,連接PM,PN,∵M(jìn)N垂直平分AP,∴AM=MP,AN=PN,又∵M(jìn)N為公共邊,∴△AMN≌△PMN(SSS),∴∠MPN=∠BAC=60°,∵∠BPM+∠CPN=120°,∠BPM+∠BMP=120°,
∴∠BMP=∠CPN,又∵∠B=∠C=60°,∴△MPB∽△PNC,∴?=?,即BP·CP=BM·NC. ?
6. (新獨(dú)家原創(chuàng),★★☆)如圖,F為正方形ABCD的邊AB的中點(diǎn),E是AD上的一點(diǎn), AE=?AD,FG⊥CE于G.求證:FG2=EG·CG.?????證明:如圖,連接EF,CF.∵AE=?AD,AF=BF=?AB,四邊形ABCD為正方形,∴?=?=?,∵∠A=∠B=90°,∴△EFA∽△FCB,∴∠AFE=∠BCF.∵∠BFC+∠BCF=90°,∴∠AFE+∠BFC=90°,∴∠EFC=90°,∴∠EFG+∠CFG=90°.
又∵FG⊥CE,∴∠EFG+∠FEG=90°,∴∠CFG=∠FEG.∵∠EGF=∠CGF=90°,∴△EFG∽△FCG,∴?=?,∴FG2=EG·CG.?
類(lèi)型四　等比或等積代換法
7. (2024安徽滁州定遠(yuǎn)期末,19,★☆☆)如圖,點(diǎn)E為?ABCD的邊CD延長(zhǎng)線上的 一點(diǎn),連接BE交AC于點(diǎn)O,交AD于點(diǎn)F.(1)求證:?=?;(2)求證:BO2=EO·FO.?
8. (★☆☆)如圖,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,點(diǎn)F在邊AC上,DF與BE相交于點(diǎn)G, 且∠EDF=∠ABE.求證:????(1)△DEF∽△BDE;(2)△GDE∽△EDF;(3)DG·DF=DB·EF.?證明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ABC+∠BDE=180°,∠ACB+∠CED=180°.∴∠BDE=∠CED,
∵∠EDF=∠ABE,∴△DEF∽△BDE.(2)∵△DEF∽△BDE,∴∠BED=∠DFE.∵∠GDE=∠EDF,∴△GDE∽△EDF.(3)由(2)知,△GDE∽△EDF,∴?=?,∴DE2=DG·DF,∵△DEF∽△BDE,∴?=?,∴DE2=DB·EF,∴DG·DF=DB·EF.
9. (★☆☆)如圖,D是△ABC的邊AB上一點(diǎn),DE∥BC,交邊AC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DE至點(diǎn) F,使EF=DE,連接BF,交邊AC于點(diǎn)G,連接CF.(1)求證:?=?;(2)如果CF2=FG·FB,求證:CG·CE=BC·DE.?證明:(1)∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,△EFG∽△CBG,∴?=?,?=?,又∵DE=EF,∴?=?,∴?=?.
(2)∵CF2=FG·FB,∴?=?,又∵∠CFG=∠CFB,∴△CFG∽△BFC,∴?=?,∠FCE=∠CBF,又∵DF∥BC,∴∠EFG=∠CBF,∴∠FCE=∠EFG,又∵∠ FEG=∠CEF,∴△EFG∽△ECF,∴?=?=?,∴?=?,即CG·CE=BC·DE.
10. (2024安徽合肥廬陽(yáng)期末,21,★★☆)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC 上,ED、CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.(1)如圖①,若∠FBD=∠FEC,BF=4,FD=5,FE=8,求FC的長(zhǎng);(2)如圖②,若BD=CE,求證:?=?.??????解析????(1)∵∠FBD=∠FEC,∠BFD=∠EFC,∴△FBD∽△FEC,∴FB∶FE=FD∶ FC,即4∶8=5∶FC,解得FC=10.(2)證明:過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC交FC于點(diǎn)M,如圖,∵DM∥AC,∴△BDM∽△BAC,
∴ ?=?,∴?=?,∵BD=CE,∴?=?.∵DM∥CE,∴△FCE∽△FMD,∴?=?,∴?=?.?
11. (2024安徽六安裕安中學(xué)月考,19,★☆☆)如圖,直線DN平行于△ABC的中線 AF交AB于點(diǎn)D,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)N,求證:?=?.?證明:由DN∥AF易得?=?,?=?,∵在△ABC中,AF是BC邊上的中線,∴ FB=FC,∴?=?.

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