1．集合M＝{x∈N|0＜x＜3}的子集的個(gè)數(shù)是（ ）
A．16B．8C．7D．4
2．若a∈N，且502024+a能被17整除，則a的最小值為（ ）
A．0B．1C．15D．16
3．若f（x+1）＝x，且f（x）＝5，則x＝（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．某電視臺(tái)計(jì)劃在五一期間某段時(shí)間連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中2個(gè)不同的商業(yè)廣告和3個(gè)不同的公益廣告，要求第一個(gè)必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有（ ）種．
A．144B．72C．64D．36
5．一木塊沿某一斜面自由下滑，測(cè)得下滑的水平距離s（m）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式為s＝sin2t+t，則t＝2時(shí)，此木塊在水平方向的瞬時(shí)速度為（ ）
A．（1+2cs4）m/sB．2cs4m/s
C．（2+cs4）m/sD．cs4m/s
6．已知a＞1，b＞1．設(shè)p：ab＝ba，q：aeb＝bea，則p是q的（ ）條件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分又不必要
7．中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)研究可知：在室溫25℃下，某種綠茶用85℃的水泡制，經(jīng)過xmin后茶水的溫度為y℃，且y＝k?0.9227x+25（x≥0，k∈R）．當(dāng)茶水溫度降至60℃時(shí)飲用口感最佳，此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95，ln0.9227≈﹣0.08）
A．6minB．7minC．8minD．9min
8．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），g（x），其導(dǎo)函數(shù)分別為f′（x），g′（x），且，則必有（ ）
A．2g（1）+2f（2）＞g（2）+2f（1）
B．2g（1）+2f（2）＜g（2）+2f（1）
C．4f（2）+2g（1）＞g（2）+4f（1）
D．4f（2）+2g（1）＜g（2）+4f（1）
二．多選題（共4小題，每題5分，共20分）
9．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)教育家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．已知﹣1＜a＜6，3＜b＜8，則下列結(jié)果正確的有（ ）
A．B．2＜a+b＜14C．﹣4＜a﹣b＜﹣2D．﹣3＜ab＜48
10．有6個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．用x表示第一次取到的小球的標(biāo)號(hào)，用y表示第二次取到的小球的標(biāo)號(hào)，記事件A：x+y為偶數(shù)，B：xy為偶數(shù)，C：x＞2，則（ ）
A．B．A與B相互獨(dú)立
C．A與C相互獨(dú)立D．B與C相互獨(dú)立
11．函數(shù)f（x）＝[x]稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，則下列命題正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）＝[x]為偶函數(shù)
B．函數(shù)y＝x﹣[x]（x∈R）的值域?yàn)閇0，1）
C．若[x]＝2，則的最小值為
D．不等式[x]2﹣[x]≤2的解集為{x|﹣1≤x＜3}
12．在探究（a+b）n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們把二項(xiàng)式系數(shù)寫成一張表，借助它發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的一些規(guī)律，我們稱這個(gè)表為楊輝三角（如圖1），小明在學(xué)完楊輝三角之后進(jìn)行類比探究，將（1+x+x2）n的展開式按x的升冪排列，將各項(xiàng)系數(shù)列表如下（如圖2）：
上表圖2中第n行的第m個(gè)數(shù)用表示，即（1+x+x2）n展開式中xm的系數(shù)為，則（ ）
A．
B．
C．
D．
三．填空題（共4小題，每題5分，共20分）
13．已知函數(shù)，則＝ ．
14．已知，則2a1+3a2+4a3+…+2025a2024＝ ．
15．設(shè)函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且?x∈R，都有f（x）﹣f（2﹣x）＝0．當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＝lnx+2x﹣1，則函數(shù)f（x）在區(qū)間上有 個(gè)零點(diǎn)．
16．已知不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
四．解答題（共5小題，共70分）
17．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|lgx＜1}．（12分）
（1）求（?RA）∪B；
（2）設(shè)集合C＝{x|a﹣1＜x＜2a﹣3}，若A∪C＝A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
18．為深入推進(jìn)傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，依靠創(chuàng)新引領(lǐng)產(chǎn)業(yè)升級(jí)，某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對(duì)現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)攻堅(jiān)突破．設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為X（單位：nm）．（16分）
（1）現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件有10個(gè)，其中直徑大于10nm的有2個(gè)．現(xiàn)從這10個(gè)零件中隨機(jī)抽取3個(gè)．記ξ表示取出的零件中直徑大于10nm的零件的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（2）技術(shù)攻堅(jiān)突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為，每個(gè)零件是否合格相互獨(dú)立．現(xiàn)任取4個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，若合格的零件數(shù)η超過半數(shù)，則可認(rèn)為技術(shù)攻堅(jiān)成功．求技術(shù)攻堅(jiān)成功的概率及η的方差；
（3）若技術(shù)攻堅(jiān)后新設(shè)備生產(chǎn)的零件直徑X～N（10，0.04），從生產(chǎn)的零件中隨機(jī)取出10個(gè)，求至少有一個(gè)零件直徑大于10.4nm的概率．
參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ2），則P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6827，P（|X﹣μ|≤2σ）≈0.9545，P（|X﹣μ|≤3σ）≈0.9973，0.9772510≈0.7944，0.954510≈0.6277．
19．某公園為了美化游園環(huán)境，計(jì)劃修建一個(gè)如圖所示的總面積為750m2的矩形花園．圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間A，B，C三個(gè)矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月季（其中B，C區(qū)域的形狀、大小完全相同）．設(shè)矩形花園的一條邊長(zhǎng)為xm，鮮花種植的總面積為Sm2．（12分）
（1）用含有x的代數(shù)式表示a，并寫出x的取值范圍；
（2）當(dāng)x的值為多少時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大？
20．甲乙兩人參加知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，比賽規(guī)則如下：兩人輪流隨機(jī)抽題作答，答對(duì)積1分且對(duì)方不得分，答錯(cuò)不得分且對(duì)方積1分，然后換對(duì)方抽題作答，直到有領(lǐng)先2分者晉級(jí)，比賽結(jié)束．已知甲答對(duì)題目的概率為，乙答對(duì)題目的概率為p，答對(duì)與否相互獨(dú)立，抽簽決定首次答題方，已知兩次答題后甲乙兩人各積1分的概率為．記甲乙兩人的答題總次數(shù)為n（n≥2）．（15分）
（1）求p；
（2）當(dāng)n＝2時(shí)，求甲得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）若答題的總次數(shù)為n時(shí)，甲晉級(jí)的概率為Pn（A）．
證明：．
21．已知函數(shù)．（15分）
（1）當(dāng)a＝0時(shí)，求函數(shù)f（x）極值；
（2）討論f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)性；
（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1_5:DDADA 6-8:BBA
二．多選題（共4小題）
9：AB．
10：ACD．
11：BCD．
12：BCD．
三．填空題（共4小題）
13：8．
14：4048．
15：6．
16：．
四．解答題（共5小題）
17．解：因?yàn)锳＝{x|x2﹣x﹣6＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，B＝{x|lgx＜1}＝{x|0＜x＜10}．
（1）所以?RA＝{x|﹣2≤x≤3}，
故（?RA）∪B＝{x|﹣2≤x＜10}；
（2）集合C＝{x|a﹣1＜x＜2a﹣3}，
若A∪C＝A，則C?A，
當(dāng)C＝?時(shí)，a﹣1≤2a﹣3，即a≥2，
當(dāng)C≠?時(shí)，，解得a，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a或a≥2}．
18解：（1）由題知，ξ的可能取值為0，1，2，ξ～H（3，2，10）．
則，，，
所以ξ的分布列為：
所以，數(shù)學(xué)期望．
（2）由題意可知，η服從二項(xiàng)分布，
故，
技術(shù)攻堅(jiān)成功的概率為：
，
．
（3）記“至少有一個(gè)零件直徑大于10.4nm”為事件A，
因?yàn)閄～H（10，0.04），所以μ＝10，σ＝0.2，
所以，
所以P（X≤10.4）≈1﹣0.02275＝0.97725，
所以P（A）＝1﹣0.9772510≈1﹣0.7944＝0.2056．
從而至少有一件零件直徑大于9.4nm的概率為0.2056．
19．解：（1）設(shè)矩形花園的長(zhǎng)為ym，
因?yàn)榫匦位▓@的總面積為750m2，所以xy＝750，解得，
又因?yàn)殛幱安糠质菍挾葹?m的小路，可得，解得，
即a關(guān)于x的關(guān)系式為；
（2）由（1）知，，
則S＝（x﹣2）a+（x﹣3）a
＝（2x﹣5）（﹣）
＝﹣（3x+）
≤﹣2
＝，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x＝25時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)x＝25m時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為．
20解：（1）記Ai＝“第i次答題時(shí)為甲”，B＝“甲積1分”，
則，，，
，，
所以，
則，解得；
（2）由題意可知當(dāng)n＝2時(shí)，X可能的取值為0，1，2，
則由（1）可知：，，
，
X的分布列為：
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為＝；
（3）由答題總次數(shù)為n時(shí)甲晉級(jí)，不妨設(shè)此時(shí)甲的積分為x甲，乙的積分為x乙，
則x甲﹣x乙＝2，且x甲+x乙＝n，所以甲晉級(jí)時(shí)n必為偶數(shù)，
令n＝2m，m∈N*，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Pn（A）＝0，
所以
＝，
又m≥1時(shí)，則P2（A）+P3（A）+?+Pn（A）隨著m的增大而增大，
所以m＝1時(shí)取最小值，又當(dāng)m→+∞時(shí)，→0，
所以．
21解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a＝0時(shí)，，
求導(dǎo)得，由f′（x）＝0，得x＝e，
由f′（x）＞0，得0＜x＜e，由f′（x）＜0，得x＞e，
因此f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在x＝e處取得極大值，無極小值．
（2）由，
在x∈[1，e]時(shí)，2lnx∈[0，2]，
若a≤0?2﹣a﹣2lnx≥0，f′（x）≥0，即f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增；
若a≥2?2﹣a﹣2lnx≤0，f′（x）≤0，即f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減；
若0＜a＜2，令，令，
可知f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：a≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增；
a≥2時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減；
0＜a＜2時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
（3）根據(jù)題意可知，
∴a≤x2ex+1﹣x﹣2lnx，
設(shè)g（x）＝x2ex+1﹣x﹣2lnx（x＞0），
則，
令h（x）＝x2ex﹣1（x＞0）?h′（x）＝（x2+2x）ex＞0，
則h（x）定義域上單調(diào)遞增，易知h（0）＜0＜h（1），
即?x0∈（0，1），使得，
即x∈（0，x0）時(shí)，h（x）＜0，故g′（x）＜0，此時(shí)g（x）單調(diào)遞減，
x∈（x0，+∞）時(shí)，h（x）＞0，g′（x）＞0，此時(shí)g（x）單調(diào)遞增，
則，
∴a≤2，即a的取值范圍是（﹣∞，2]．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/15 9:09:36；用戶：楊樂；郵箱：13348702015；學(xué)號(hào)：41228115ξ＝k
0
1
2
P（ξ＝k）
X
0
1
2
P

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