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典例解析Analysis f examples
達(dá)標(biāo)測(cè)試Test t meet standards
小結(jié)梳理Summary and cmbing
1.能通過(guò)不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.（重點(diǎn)）2.學(xué)會(huì)運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決問(wèn)題.（難點(diǎn)）
三角形的內(nèi)角和等于180°，正方形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和都等于_____，
任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是否也等于360°呢？
在四邊形ABCD中，連接對(duì)角線(xiàn)AC，則四邊形ABCD被分為△ABC和△ACD兩個(gè)三角形. 由此可得
猜想：四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°.
你能用以前學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明一下你的結(jié)論嗎？
∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D =(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D), ∵∠1+∠B+∠3=180°，∠2+∠4+∠D=180°, ∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360°, 即四邊形的內(nèi)角和等于360°.
證法2：如圖，在A(yíng)B邊上任取一點(diǎn)E，連接CE,DE，所以該四邊形被分成三個(gè)三角形，所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為180°×3-(∠AED+∠BEC+∠CED)=180°×3-180°=360°.
證法3：如圖，在四邊形ABCD內(nèi)部取一點(diǎn)E，連接AE,BE,CE,DE，把四邊形分成四個(gè)三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為：180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.
證法4：如圖，在四邊形外任取一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC、PD，將四邊形變成有一個(gè)公共頂點(diǎn)的四個(gè)三角形.
由圖可以得到，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于△APD、△CPD、△BPC的內(nèi)角和相加再減去△APB的內(nèi)角和所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為180°×3－180°= 360°.
【點(diǎn)睛】這四種方法都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，把四邊形分割成三角形，轉(zhuǎn)化到已經(jīng)學(xué)過(guò)的三角形內(nèi)角和求解.
【結(jié)論】四邊形的內(nèi)角和為360°.
180°×3=540°
180°×4=720°
一般地，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作(n-3)條對(duì)角線(xiàn)，它們將n邊形分為(n-2)個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×(n-2). ?
這樣就得出了多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°.
【嘗試驗(yàn)證】用把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形的其他分法來(lái)驗(yàn)證是否能得出多邊形的內(nèi)角和公式？
例1.如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？試說(shuō)明理由.
解：如圖，四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360 °，
∴∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C） =360°－180° =180°.
如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角互補(bǔ).
解：(1) x+x+140+90=360，解得 x=65. (2) 90+120+150+2x+x=(5-2)×180，解得 x=60.(3) 75+120+80+(180-x)=360，解得 x=95.
例2.如圖，在六邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和. 六邊形的外角和等于多少？
【分析】考慮以下問(wèn)題:(1)任何一個(gè)外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系?(2)六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角所得總和是多少?(3)上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系?
解：六邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180°, 因此六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和等于6×180°, 這個(gè)總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和, 所以外角和等于總和減去內(nèi)角和，即外角和等于6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°.
例2中，六邊形的外角和=6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°
n邊形的外角和=n×180°-(n-2)×180° =n×180°-n×180°+2×180° =2×180° =360°
【結(jié)論】 n邊形的外角和等于360°.
如圖，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過(guò)各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時(shí)的方向. 在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和，就是多邊形的外角和. 由于走了一周，所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形的外角和等于360°.
回想正多邊形的性質(zhì)，你知道正多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度嗎？每個(gè)外角呢？為什么？
練一練：(1)若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角是120 °,那么這是正____邊形.(2)已知多邊形的每個(gè)外角都是45°,則這個(gè)多邊形是 ______邊形.
例3.已知一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
解： 設(shè)多邊形的邊數(shù)為n. ∵它的內(nèi)角和等于 (n－2)?180°， 外角和等于360°， ∴ (n－2)?180°=2×360°. 解得 n=6. ∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6.
1.一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都等于120°，它是幾邊形？2.一個(gè)多邊形的各內(nèi)角和與外角和相等，它是幾邊形？
解法一：∵ 各內(nèi)角都等于120°,∴ 每個(gè)外角都是60°,∴ 邊數(shù)為：360°÷60°=6,即它是六邊形.
解：設(shè)它是n邊形，依題意得， (n-2)×180=360, 解得，n=4,即它是四邊形.
解法二：設(shè)它是n邊形. 120n=(n-2)×180,解得，n=6,即它是六邊形.
例4.一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角之外，其余內(nèi)角之和為2670°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和少加的內(nèi)角的大小.
如圖是兩位小朋友在探究某多邊形的內(nèi)角和時(shí)的一段對(duì)話(huà)，請(qǐng)根據(jù)他們的對(duì)話(huà)內(nèi)容判斷他們是在求幾邊形？少加的內(nèi)角為多少度？
解：1140°÷180°＝6…60°，則邊數(shù)是：6+1+2＝9；他們?cè)谇缶胚呅蔚膬?nèi)角和；180°﹣60°＝120°，少加的那個(gè)內(nèi)角為120度．
例5.一個(gè)多邊形剪去一個(gè)內(nèi)角后，得到一個(gè)內(nèi)角和為1980°的新多邊形，求原多邊形的邊數(shù)．
解：設(shè)新的多邊形的邊數(shù)為n，∵新的多邊形的內(nèi)角和是1980°，∴180°×（n﹣2）＝1980°，解得：n＝13，∵一個(gè)多邊形從某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)截去一個(gè)角后所形成的新的多邊形是十三邊形，①若截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1，則原多邊形邊數(shù)為12，②若截去一個(gè)角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為13，③若截去一個(gè)角后邊數(shù)減少1，則原多邊形邊數(shù)為14，∴原多邊形的邊數(shù)可能是：12或13或14．
已知在一個(gè)多邊形中，除去一個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角和的度數(shù)是1125°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為x，這個(gè)內(nèi)角為α，根據(jù)題意，得(x-2)?180°=1125°+ α，α =(x-2)?180°-1125°由0＜α＜180°，解得：8.25＜x＜9.25．則該多邊形邊數(shù)是9．
1.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_____;2.一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于140°,那么這個(gè)多邊形是_____邊形;3.如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加1，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和增加______度;4.若一個(gè)多邊形的各邊都相等，它的周長(zhǎng)是63，且它的內(nèi)角和為900°，則它的邊長(zhǎng)是_______;5.若一個(gè)十邊形的每個(gè)外角都相等，則它的每個(gè)外角的度數(shù)為_(kāi)____,內(nèi)角和為_(kāi)_________.
6.若一個(gè)n邊形的內(nèi)角都相等，且內(nèi)角的度數(shù)與和它相鄰的外角的度數(shù)比為3:1,那么，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)____;7.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的4倍，那么這個(gè)多邊形是____邊形;8.小華從A點(diǎn)出發(fā)向前直走50m后,向左轉(zhuǎn)18°，繼續(xù)向前走50m，再左轉(zhuǎn)18°,他以同樣走法回到A點(diǎn)時(shí)，共走_(dá)______m;9.如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都相等，并且它的內(nèi)角和為2880°，那么它的內(nèi)角為_(kāi)______.
10.當(dāng)一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加時(shí)，其外角和( )A.增加 B.減少 C.不變 D.不能確定11.某學(xué)生在計(jì)算四個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，得到下列四個(gè)答案,其中錯(cuò)誤的是( )A.180 B.540 C.1080 D.1900
12.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角(不過(guò)頂點(diǎn))后,形成的多邊形的內(nèi)角和是2520°，那么原多邊形的邊數(shù)是( )A.13 B.14 C.15 D.13或1513.一個(gè)多邊形的外角中，鈍角的個(gè)數(shù)不可能是( )A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)14.不能作為正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)的是( )A.120 B.130 C.135° D.144
15．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是多少？
解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得（n-2）×180°=3×360°-180°，解得n=7．答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為7．
16.如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).
解:連接BE，構(gòu)造出四邊形ABEF.∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB,∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB,∴∠A+∠ABC+∠C+D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°.
17.有一張長(zhǎng)方形的木板面，現(xiàn)在鋸掉它的一個(gè)角，剩下殘余木板面所有的內(nèi)角和是多少?
解：①(3-2)×180°=180°②(4-2)×180°=360°③(5-2)×180°=540°
分割點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系
1.n邊形的內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180 °.
2.n邊形的外角和360°.

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