第I卷（選擇題）
一、單選題
1．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級期末）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AB上，將梯形ABCD沿直線EF翻折，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·上海徐匯區(qū)·）下列說法中，正確的是（ ）
A．兩個(gè)矩形必相似B．兩個(gè)含角的等腰三角形必相似
C．兩個(gè)菱形必相似D．兩個(gè)含角的直角三角形必相似
3．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，為中點(diǎn)，． 聯(lián)結(jié)．那么下列結(jié)果錯(cuò)誤的是( )
A．與相似
B．與相似
C．與相似
D．與相似
4．(2023·上海九年級專題練習(xí)）下列命題中的真命題是（ ）
A．兩個(gè)直角三角形都相似
B．若一個(gè)直角三角形的兩條邊和另一個(gè)直角三角形的兩條邊成比例，則這兩個(gè)直角三角形相似
C．兩個(gè)等腰三角形都相似
D．兩個(gè)等腰直角三角形都相似
5．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線可以作（ ）
A．2條B．3條C．4條D．5條
6．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）將一張矩形紙片對折后裁下，得到兩張大小完全一樣的矩形紙片，已知它們都與原來的矩形相似，那么原來矩形長與寬的比為（ ）
A．2:1B．:1C．3:1D．:1
7．(2023·上海九年級專題練習(xí)）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列條件判定△ABC∽△DEF的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
8．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）已知△ABC和△ADC均為直角三角形，點(diǎn)B、D位于AC的兩側(cè)，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（ ）．
A．B．C．D．
9．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，直線DE分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E，下列條件不能推出△ABC與△ADE相似的是（ ）
A．B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒ADD．
10．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）下列能判定△ABC和△DEF相似的是（ ）
A．∠A=40°，∠B=∠E=58°，∠D=82°B．∠A=∠E，
C．∠A=∠B，∠D=∠ED．AB=BC=DE=EF
11．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是△ABC邊AB上一點(diǎn)（AB>AC），下列條件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ）
A．B．
C．∠ACP=∠BD．∠APC=∠ACB
12．(2023·上海民辦蘭生復(fù)旦中學(xué)九年級月考）下列各命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①兩邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似；
②兩邊對應(yīng)成比例且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似；
③兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；
④三條直線被兩條直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例，那么這三條直線平行；
⑤如果一條直線截三角形兩邊的延長線，所得對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊；
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
13．(2023·上海九年級專題練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）．
A．所有等腰三角形都相似B．兩邊成比例的兩個(gè)等腰三角形相似
C．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似D．有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似
14．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，下列條件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE與△ACB一定相似的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
15．(2023·上海）如圖，四邊形是正方形，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，下列條件中，，△ABP不與△ECP相似的是（ ）
A．B．
C．D．
16．(2023·上海嘉定區(qū)·）下列命題是真命題的是（ ）
A．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似
B．兩邊對應(yīng)成比例且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似
C．四個(gè)內(nèi)角都對應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似
D．斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似
17．(2023·上海九年級專題練習(xí)）下列判斷中，不正確的有（ ）
A．三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似
B．兩邊對應(yīng)成比例，且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似
C．斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似
D．有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似
18．(2023·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級月考）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，平分，，與一定相似的三角形為（ ）
A．B．C．D．
19．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，圖中相似三角形共有（ ）
A．1對B．2對C．3對D．4對
20．（2017·上海宋慶齡學(xué)校九年級月考）下列命題中，說法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）兩個(gè)等邊三角形一定相似；（2）有一個(gè)角相等的兩個(gè)菱形一定相似；
（3）兩個(gè)等腰三角形腰上的高和腰對應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形必相似；
（4）兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)成比例的兩三角形相似.
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
第II卷（非選擇題）
二、填空題
21．(2023·上海九年級專題練習(xí)）已知在中，，點(diǎn)分別在邊上，將沿直線對折后，點(diǎn)正好落在對邊上，且折痕截所成的小三角形（即對折后的重疊部分）與相似，則折折痕__________
22．(2023·上海）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的相似對角線，在四邊形ABCD中，對角線BD是它的相似對角線，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
23．（2017·上海）如圖，在直角三角形ACB中，，D為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F在CB的延長線上，且，聯(lián)結(jié)DF，交AB于點(diǎn)H，如果，，那么___________.
24．（2017·上海）如圖，在△ABC中，D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，CD與BE交于點(diǎn)F，BE⊥CD，如果，，那么___________.

25．(2023·上海上外附中九年級月考）的邊長分別為的邊長分別，則與____________（選填“一定”“不一定” “一定不”）相似
26．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是兩條中線，F(xiàn)為其交點(diǎn)，那么CF=____cm．
27．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，則=______．
28．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一點(diǎn)E，且△ADE與原三角形相似，則AE=________．
29．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=12，AD=3，AE=2，那么DE=______．
30．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，E是□ABCD的邊BA延長線上的一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)F，圖中______對相似三角形．
31．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和_____的比例中項(xiàng)．
32．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，點(diǎn)E是DC上一點(diǎn)，∠DAE=∠BAC，則EC的長為________．
33．(2023·上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)九年級期中）在中，∠ACB=90°，AC>BC，O是邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線將分割成兩個(gè)部分，若其中的一個(gè)部分與相似，則滿足條件的直線共有____________條
34．(2023·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級月考）中，，，點(diǎn)在上，且，若要在上找一個(gè)點(diǎn)，使與相似，則__．
三、解答題
35．(2023·上海九年級專題練習(xí)）在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，連接EF(如圖1).
(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合(如圖2).
①求證：△APB∽△DCP；
②求PC、BC的長.
(2)探究：將直角尺從圖2中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止.在這個(gè)過程中(圖1是該過程的某個(gè)時(shí)刻)，觀察、猜想并解答：
① tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由.
② 設(shè)AE=x，當(dāng)△PBF是等腰三角形時(shí)，請直接寫出x的值.
36．(2023·上海普陀區(qū)·）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，把三角板的直角頂點(diǎn)放置BC中點(diǎn)E處，三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點(diǎn)G、F．
（1）求證：△GBE∽△GEF．
（2）設(shè)AG=x，GF=y，求Y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量取值范圍．
（3）如圖2，連接AC交GF于點(diǎn)Q，交EF于點(diǎn)P．當(dāng)△AGQ與△CEP相似，求線段AG的長．

37．(2023·上海浦東新區(qū)·）若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形．
已知是比例三角形，，，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；
如圖1，在四邊形ABCD中，，對角線BD平分，求證：是比例三角形．
如圖2，在的條件下，當(dāng)時(shí)，求的值．
38．(2023·上海黃浦區(qū)·中考模擬）如圖，線段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，點(diǎn)C為射線DP上一點(diǎn)，BE平分∠ABC交線段AD于點(diǎn)E（不與端點(diǎn)A、D重合）．
（1）當(dāng)∠ABC為銳角，且tan∠ABC=2時(shí)，求四邊形ABCD的面積；
（2）當(dāng)△ABE與△BCE相似時(shí)，求線段CD的長；
（3）設(shè)CD=x，DE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．
39．(2023·上海中考模擬）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，csA＝，D是AB邊的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE交BC邊于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF．
（1）如圖1，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，求EF的長；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上移動(dòng)時(shí)，∠DFE的正切值是否會發(fā)生變化，如果變化請說出變化情況；如果保持不變，請求出∠DFE的正切值；
（3）如圖3，聯(lián)結(jié)CD交EF于點(diǎn)Q，當(dāng)△CQF是等腰三角形時(shí)，請直接寫出BF的長．
40．（2017·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級期中）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線于對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的優(yōu)美線．
（1）如圖，在△ABC中，AD為角平分線，∠B=50°，∠C=30°，求證：AD為△ABC的優(yōu)美線；
（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的優(yōu)美線，且△ABD是以AB為腰的等腰三角形，求∠BAC的度數(shù)；
（3）在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是△ABC的優(yōu)美線，且△ABD是等腰三角形，直接寫出優(yōu)美線AD的長．
41．（2014·上海普陀區(qū)·）如圖，在正方形中，，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，作交的平分線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交邊于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，線段的長為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)是線段延長線上一動(dòng)點(diǎn)，那么（2）式中與的函數(shù)關(guān)系式保持不變嗎？如改變，試直接寫出函數(shù)關(guān)系式．
42．（2014·上海）已知：如圖，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜邊AB的長為4，過點(diǎn)C作射線CP//AB，D為射線CP上一點(diǎn)，E在邊BC上（不與B、C重合），且∠DAE=45°，AC與DE交于點(diǎn)O．
（1）求證：△ADE∽△ACB；
（2）設(shè)CD=x，BAE = y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果△COD與△BEA相似，求CD的值．
43．(2023·上海崇明區(qū)·九年級二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點(diǎn)Q，當(dāng)BP＝5時(shí)，CQ＝_____．
44．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°．過C作對角線BD的垂線交BD、AD于點(diǎn)E、F，求證：CD是DF和DA的比例中項(xiàng)．
45．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖,DF為RtABC斜邊AB的中垂線,交BC及AC的延長線于點(diǎn)E、F,已知CD=6,DE=4,求DF的長．
46．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，試找出圖中的一對相似三角形，并加以證明．
47．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，一張長8cm，寬6cm的矩形紙片，將它沿某直線折疊使得A、C重合，求折痕EF的長．
48．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是CD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是BC的延長線上的一點(diǎn)，且CE=CF，BE的延長線交DF于點(diǎn)G，求證：△BGF∽△DCF．
49．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，BP⊥PQ．
（1）求證：△ABP∽△DPQ；
（2）寫出對應(yīng)邊成比例的式子．
50．(2023·上海市黃興學(xué)校九年級月考）如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AB上，CE與AD交于點(diǎn)G，EF⊥AD于點(diǎn)F，AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，CD＝5cm，求AF、FG、GD的長．
專題03相似三角形的判定重難點(diǎn)專練
第I卷（選擇題）
一、單選題
1．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級期末）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AB上，將梯形ABCD沿直線EF翻折，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·上海徐匯區(qū)·）下列說法中，正確的是（ ）
A．兩個(gè)矩形必相似B．兩個(gè)含角的等腰三角形必相似
C．兩個(gè)菱形必相似D．兩個(gè)含角的直角三角形必相似
3．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，為中點(diǎn)，． 聯(lián)結(jié)．那么下列結(jié)果錯(cuò)誤的是( )
A．與相似
B．與相似
C．與相似
D．與相似
4．(2023·上海九年級專題練習(xí)）下列命題中的真命題是（ ）
A．兩個(gè)直角三角形都相似
B．若一個(gè)直角三角形的兩條邊和另一個(gè)直角三角形的兩條邊成比例，則這兩個(gè)直角三角形相似
C．兩個(gè)等腰三角形都相似
D．兩個(gè)等腰直角三角形都相似
5．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線可以作（ ）
A．2條B．3條C．4條D．5條
6．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）將一張矩形紙片對折后裁下，得到兩張大小完全一樣的矩形紙片，已知它們都與原來的矩形相似，那么原來矩形長與寬的比為（ ）
A．2:1B．:1C．3:1D．:1
7．(2023·上海九年級專題練習(xí)）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列條件判定△ABC∽△DEF的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
8．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）已知△ABC和△ADC均為直角三角形，點(diǎn)B、D位于AC的兩側(cè)，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（ ）．
A．B．C．D．
9．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，直線DE分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E，下列條件不能推出△ABC與△ADE相似的是（ ）
A．B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒ADD．
10．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）下列能判定△ABC和△DEF相似的是（ ）
A．∠A=40°，∠B=∠E=58°，∠D=82°B．∠A=∠E，
C．∠A=∠B，∠D=∠ED．AB=BC=DE=EF
11．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是△ABC邊AB上一點(diǎn)（AB>AC），下列條件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ）
A．B．
C．∠ACP=∠BD．∠APC=∠ACB
12．(2023·上海民辦蘭生復(fù)旦中學(xué)九年級月考）下列各命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①兩邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似；
②兩邊對應(yīng)成比例且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似；
③兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；
④三條直線被兩條直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例，那么這三條直線平行；
⑤如果一條直線截三角形兩邊的延長線，所得對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊；
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
13．(2023·上海九年級專題練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）．
A．所有等腰三角形都相似B．兩邊成比例的兩個(gè)等腰三角形相似
C．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似D．有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似
14．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，下列條件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE與△ACB一定相似的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
15．(2023·上海）如圖，四邊形是正方形，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，下列條件中，，△ABP不與△ECP相似的是（ ）
A．B．
C．D．
16．(2023·上海嘉定區(qū)·）下列命題是真命題的是（ ）
A．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似
B．兩邊對應(yīng)成比例且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似
C．四個(gè)內(nèi)角都對應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似
D．斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似
17．(2023·上海九年級專題練習(xí)）下列判斷中，不正確的有（ ）
A．三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似
B．兩邊對應(yīng)成比例，且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似
C．斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似
D．有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似
18．(2023·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級月考）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，平分，，與一定相似的三角形為（ ）
A．B．C．D．
19．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，圖中相似三角形共有（ ）
A．1對B．2對C．3對D．4對
20．（2017·上海宋慶齡學(xué)校九年級月考）下列命題中，說法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）兩個(gè)等邊三角形一定相似；（2）有一個(gè)角相等的兩個(gè)菱形一定相似；
（3）兩個(gè)等腰三角形腰上的高和腰對應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形必相似；
（4）兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)成比例的兩三角形相似.
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
第II卷（非選擇題）
二、填空題
21．(2023·上海九年級專題練習(xí)）已知在中，，點(diǎn)分別在邊上，將沿直線對折后，點(diǎn)正好落在對邊上，且折痕截所成的小三角形（即對折后的重疊部分）與相似，則折折痕__________
22．(2023·上海）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的相似對角線，在四邊形ABCD中，對角線BD是它的相似對角線，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
23．（2017·上海）如圖，在直角三角形ACB中，，D為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F在CB的延長線上，且，聯(lián)結(jié)DF，交AB于點(diǎn)H，如果，，那么___________.
24．（2017·上海）如圖，在△ABC中，D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，CD與BE交于點(diǎn)F，BE⊥CD，如果，，那么___________.

25．(2023·上海上外附中九年級月考）的邊長分別為的邊長分別，則與____________（選填“一定”“不一定” “一定不”）相似
26．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是兩條中線，F(xiàn)為其交點(diǎn)，那么CF=____cm．
27．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，則=______．
28．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一點(diǎn)E，且△ADE與原三角形相似，則AE=________．
29．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=12，AD=3，AE=2，那么DE=______．
30．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，E是□ABCD的邊BA延長線上的一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)F，圖中______對相似三角形．
31．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和_____的比例中項(xiàng)．
32．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，點(diǎn)E是DC上一點(diǎn)，∠DAE=∠BAC，則EC的長為________．
33．(2023·上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)九年級期中）在中，∠ACB=90°，AC>BC，O是邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線將分割成兩個(gè)部分，若其中的一個(gè)部分與相似，則滿足條件的直線共有____________條
34．(2023·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級月考）中，，，點(diǎn)在上，且，若要在上找一個(gè)點(diǎn)，使與相似，則__．
三、解答題
35．(2023·上海九年級專題練習(xí)）在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，連接EF(如圖1).
(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合(如圖2).
①求證：△APB∽△DCP；
②求PC、BC的長.
(2)探究：將直角尺從圖2中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止.在這個(gè)過程中(圖1是該過程的某個(gè)時(shí)刻)，觀察、猜想并解答：
① tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由.
② 設(shè)AE=x，當(dāng)△PBF是等腰三角形時(shí)，請直接寫出x的值.
36．(2023·上海普陀區(qū)·）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，把三角板的直角頂點(diǎn)放置BC中點(diǎn)E處，三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點(diǎn)G、F．
（1）求證：△GBE∽△GEF．
（2）設(shè)AG=x，GF=y，求Y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量取值范圍．
（3）如圖2，連接AC交GF于點(diǎn)Q，交EF于點(diǎn)P．當(dāng)△AGQ與△CEP相似，求線段AG的長．

37．(2023·上海浦東新區(qū)·）若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形．
已知是比例三角形，，，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；
如圖1，在四邊形ABCD中，，對角線BD平分，求證：是比例三角形．
如圖2，在的條件下，當(dāng)時(shí)，求的值．
38．(2023·上海黃浦區(qū)·中考模擬）如圖，線段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，點(diǎn)C為射線DP上一點(diǎn)，BE平分∠ABC交線段AD于點(diǎn)E（不與端點(diǎn)A、D重合）．
（1）當(dāng)∠ABC為銳角，且tan∠ABC=2時(shí)，求四邊形ABCD的面積；
（2）當(dāng)△ABE與△BCE相似時(shí)，求線段CD的長；
（3）設(shè)CD=x，DE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．
39．(2023·上海中考模擬）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，csA＝，D是AB邊的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE交BC邊于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF．
（1）如圖1，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，求EF的長；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上移動(dòng)時(shí)，∠DFE的正切值是否會發(fā)生變化，如果變化請說出變化情況；如果保持不變，請求出∠DFE的正切值；
（3）如圖3，聯(lián)結(jié)CD交EF于點(diǎn)Q，當(dāng)△CQF是等腰三角形時(shí)，請直接寫出BF的長．
40．（2017·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級期中）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線于對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的優(yōu)美線．
（1）如圖，在△ABC中，AD為角平分線，∠B=50°，∠C=30°，求證：AD為△ABC的優(yōu)美線；
（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的優(yōu)美線，且△ABD是以AB為腰的等腰三角形，求∠BAC的度數(shù)；
（3）在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是△ABC的優(yōu)美線，且△ABD是等腰三角形，直接寫出優(yōu)美線AD的長．
41．（2014·上海普陀區(qū)·）如圖，在正方形中，，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，作交的平分線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交邊于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，線段的長為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)是線段延長線上一動(dòng)點(diǎn)，那么（2）式中與的函數(shù)關(guān)系式保持不變嗎？如改變，試直接寫出函數(shù)關(guān)系式．
42．（2014·上海）已知：如圖，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜邊AB的長為4，過點(diǎn)C作射線CP//AB，D為射線CP上一點(diǎn)，E在邊BC上（不與B、C重合），且∠DAE=45°，AC與DE交于點(diǎn)O．
（1）求證：△ADE∽△ACB；
（2）設(shè)CD=x，BAE = y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果△COD與△BEA相似，求CD的值．
43．(2023·上海崇明區(qū)·九年級二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點(diǎn)Q，當(dāng)BP＝5時(shí)，CQ＝_____．
44．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°．過C作對角線BD的垂線交BD、AD于點(diǎn)E、F，求證：CD是DF和DA的比例中項(xiàng)．
45．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖,DF為RtABC斜邊AB的中垂線,交BC及AC的延長線于點(diǎn)E、F,已知CD=6,DE=4,求DF的長．
46．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，試找出圖中的一對相似三角形，并加以證明．
47．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，一張長8cm，寬6cm的矩形紙片，將它沿某直線折疊使得A、C重合，求折痕EF的長．
48．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是CD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是BC的延長線上的一點(diǎn)，且CE=CF，BE的延長線交DF于點(diǎn)G，求證：△BGF∽△DCF．
49．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，BP⊥PQ．
（1）求證：△ABP∽△DPQ；
（2）寫出對應(yīng)邊成比例的式子．
50．(2023·上海市黃興學(xué)校九年級月考）如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AB上，CE與AD交于點(diǎn)G，EF⊥AD于點(diǎn)F，AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，CD＝5cm，求AF、FG、GD的長．
參考答案
1．B
解析：
∵EF是點(diǎn)B、D的對稱軸，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，∵=，
∴設(shè)AD=1，BC=4，過A作AG⊥BC于G，
∴四邊形AGED是矩形，∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5，∴AB=CD==，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°，
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，
∴，∴DF=，∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，∴=．
故選B．
2．D
分析：
根據(jù)相似多邊形、相似三角形的判定逐項(xiàng)判斷即可得．
【詳解】
A、兩個(gè)矩形的對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊不一定成比例，則不一定相似，此項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、如果一個(gè)等腰三角形的頂角是，另一等腰三角形的底角是，則不相似，此項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、兩個(gè)菱形的對應(yīng)邊成比例，但四個(gè)內(nèi)角不一定對應(yīng)相等，則不一定相似，此項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、兩個(gè)含角的直角三角形必相似，此項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似多邊形、相似三角形的判定，熟練掌握相似圖形的判定方法是解題關(guān)鍵．
3．C
分析：
根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理逆定理可以判斷△AEF是直角三角形，再根據(jù)三角形相似的判定可以選出結(jié)果錯(cuò)誤的選項(xiàng)．
【詳解】
解：設(shè)正方形邊長為1 ，則由已知可得：，
∴，∴△AEF是直角三角形，
∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，
∠B=∠C=∠AEF=∠D，，
∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF兩兩相似，但是△ABE 與 △ADF 不相似，
∴A、B、D正確，C錯(cuò)誤，
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查正方形與三角形相似的綜合應(yīng)用，靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)和三角形相似的判定是解題關(guān)鍵．
4．D
分析：
根據(jù)相似三角形的判定逐項(xiàng)判斷即可得．
【詳解】
A、如一個(gè)直角三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為，另一個(gè)直角三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為，這兩個(gè)直角三角形不相似，則此項(xiàng)是假命題；
B、如一個(gè)直角三角形的三邊長分別為，另一個(gè)直角三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為，這兩個(gè)直角三角形不相似，則此項(xiàng)是假命題；
C、如一個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為，另一個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為，這兩個(gè)等腰三角形不相似，則此項(xiàng)是假命題；
D、等腰直角三角形的三個(gè)內(nèi)角都是，滿足三角形相似的判定定理，則此項(xiàng)是真命題；
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．
5．C
分析：
根據(jù)相似三角形的判定方法分析，即可做出判斷．
【詳解】
滿足條件的直線有4條，如圖所示：
如圖1，過D作DE∥AC，則有△BDE∽△BAC；
如圖2，過D作DE∥BC，則有△ADE∽△ABC；
如圖3，過D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，則有△ADE∽△ACB；
如圖4，過D作∠BED=∠A，又∠B=∠B，則有△BED∽△BAC，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定，解答的關(guān)鍵是對相似三角形的判定方法的理解與靈活運(yùn)用．
6．B
分析：
先設(shè)出原矩形的長和寬，可根據(jù)對折表示出對折后的矩形的長和寬，再根據(jù)相似矩形對應(yīng)邊成比例列出比例式，然后求解．
【詳解】
解：設(shè)原矩形長2a，寬b，則對折后的矩形的長為b，寬為a，
∵對折后的矩形與原矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似多邊形對應(yīng)邊成比例．
7．B
分析：
根據(jù)相似三角形的判定方法對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．
【詳解】
解：如圖示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，
①
，
，
故①是不正確的；
，，，，
，
，
，
故③是正確的；
，，，，
，
，
；
故④是正確的；
∵，，，，
∴，
有一組角相等兩邊對應(yīng)成比例，但該組角不是這兩邊的夾角，故不相似；
故②是錯(cuò)誤的；
綜上所述③④是正確的，正確的有2個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
此題主要要求學(xué)生熟練掌握相似三角形的判定定理：兩角對應(yīng)相等，兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等，三邊對應(yīng)成比例．
8．B
分析：
由△ADC和△ABC相似，可得到，從而完成求解．
【詳解】
∵△ADC和△ABC相似，且∠ACB=∠ACD=90°
∴
∴
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了直角三角形和相似三角形的知識，求解的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．
9．D
分析：
由題意可得一組對角相等，根據(jù)相似三角形的判定：（1）兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似添加條件即可．
【詳解】
解：有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，故選項(xiàng)A不符合題意；
兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似，故選項(xiàng)B不符合題意；
由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC與△ADE相似，所以選項(xiàng)C不符合題意；
而D不是夾角相等，故選項(xiàng)D符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】
相似三角形的判定：
（1）兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；
（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；
（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；
（4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．
10．A
分析：
根據(jù)相似三角形的判定方法即可判斷．
【詳解】
A、由∠A=40°，∠B=58°知，∠C=∠D=82o，又∠B=∠E，可判定△ABC∽△FED，符合題意；
B、由知，要使△ABC和△DEF相似，只需∠B=∠F,故此選項(xiàng)不能判定△ABC和△DEF相似；
C、因?yàn)椤螦=∠B，∠D=∠E是分別在同一三角形中相等的角，故此選項(xiàng)不能判定△ABC和△DEF相似；
D、由AB=BC=DE=EF得，但還差一對角相等或AC=DF，故此選項(xiàng)不能判定△ABC和△DEF相似，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解答的關(guān)鍵．
11．B
分析：
A．利用對應(yīng)邊成比例,且夾角相等來判斷即可;
B．對應(yīng)邊成比例,但夾角不相等,不能證ACP與ABC全等;
C．利用兩角對應(yīng)相等,兩三角形全等,進(jìn)行判定即可;
D．利用兩角對應(yīng)相等,兩三角形全等,進(jìn)行判定即可．
【詳解】
解：A．∵,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
B．對應(yīng)邊成比例,但夾角不相等,不能證ACP與ABC全等．
C．∵∠ACP=∠B,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
D．∵∠APC=∠ACB,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定:兩組對應(yīng)邊成比例且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．注意:兩邊對應(yīng)成比例必須夾角相等．
12．A
分析：
根據(jù)相似三角形的判定和平行線分線段成比例定理判斷選項(xiàng)的正確性．
【詳解】
①這兩條邊必須是對應(yīng)的直角邊，錯(cuò)誤；
②這個(gè)角必須是兩邊的夾角，錯(cuò)誤；
③假如一個(gè)是銳角三角形，一個(gè)鈍角三角形，錯(cuò)誤；
④如果截得兩條直線是平行關(guān)系也成比例，錯(cuò)誤；
⑤兩邊的延長線應(yīng)該在第三邊的同側(cè)，錯(cuò)誤；
一個(gè)都不對．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定和平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這兩個(gè)性質(zhì)定理．
13．D
分析：
根據(jù)相似三角形進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：A、所有等腰三角形不一定都相似，原命題是假命題；
B、兩邊成比例的兩個(gè)等腰三角形不一定相似，原命題是假命題；
C、有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形不一定相似，原命題是假命題；
D、有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似，是真命題；
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．
14．C
分析：
由兩角相等的兩個(gè)三角形相似得出①正確，由兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似得出③正確；即可得出結(jié)果．
【詳解】
∵∠DAE＝∠BAC，
∴當(dāng)ADE＝∠C時(shí)，△ADE∽△ACB，故①符合題意，
當(dāng)時(shí)，
∵∠B不一定等于∠AED，
∴△ADE與△ACB不一定相似，故②不符合題意，
當(dāng)時(shí)，△ADE∽△ACB．故③符合題意，
綜上所述：使△ADE與△ACB一定相似的是①③，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定，兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵
15．A
分析：
由四邊形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由E是CD的中點(diǎn)，易得CE:AB=1:2，然后分別利用相似三角形的判定定理，判定△ABP與△ECP相似．
【詳解】
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=BC，
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴CE:CD=1:2，
即CE:AB=1:2，
A、∵BP=PC，
∴BP=PC=BC，
沒辦法判定△ABP與△ECP中各邊成比例，故A錯(cuò)誤；
B、∵∠APE=90°，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∴△ABP∽△PCE，故B正確；
C、∵∠APB=∠EPC，
∴△ABP∽△EPC，故C正確；
D、∵BP=2PC，
∴PC:BP=1:2，
∴PC:BP=CE:AB=1:2，
∴△ABP∽△PCE，故D正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定以及正方形的性質(zhì)．注意靈活應(yīng)用判定定理是解題的關(guān)鍵．
16．D
分析：
根據(jù)相等的角可能為頂角或底角可對A進(jìn)行判斷；根據(jù)相似三角形的判定方法對B、D進(jìn)行判斷；利用矩形和正方形不相似可對C進(jìn)行判斷．
【詳解】
解：A、有一個(gè)頂角（或底角）對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、兩邊對應(yīng)成比例且它們的夾角相等的兩個(gè)三角形相似，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、四個(gè)內(nèi)角都對應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形不一定相似(四邊也必須對應(yīng)成比例)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,根據(jù)勾股定理另一條直角邊也和斜邊成比例,這樣的兩個(gè)直角三角形相似，所以D選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
此題考查的是相似三角形的判定,掌握相似三角形的各個(gè)判定方法是解決此題的關(guān)鍵.
17．B
分析：
由相似三角形的判定依次判斷可求解．
【詳解】
解：A、三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，故A選項(xiàng)不合題意；
B、兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，故B選項(xiàng)符合題意；
C、斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似，故C選項(xiàng)不合題意；
D、有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形，則他們的底角都是40°，所以有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似，故D選項(xiàng)不合題意； 故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定，熟練運(yùn)用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
18．B
分析：
由題意可得，根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求，即可證．
【詳解】
平分，
，
又
，且
故選．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定，熟練運(yùn)用相似三角形的判定解決問題是本題的關(guān)鍵．
19．D
解析：
試題分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4對，故選D．
考點(diǎn)：1．相似三角形的判定；2．平行線的判定．
20．D
分析：
利用相似圖形的判定和性質(zhì)，分別判斷即可.
【詳解】
解：（1）等邊三角形的內(nèi)角都是60°，各邊相等，得到對應(yīng)邊的比相等．所以一定相似，正確；
（2）有一個(gè)角相等的兩個(gè)菱形，其余的角也必對應(yīng)相等，菱形各邊相等，所以對應(yīng)邊的比相等，所以一定相似，正確；
（3）根據(jù)斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似，可得這兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，然后由腰對應(yīng)成比例可得這兩個(gè)三角形必相似，正確；
（4）理由：如圖，AD、A′D′分別是△ABC與△A′B′C′的中線，，
延長AD到M，使DM＝AD，連結(jié)MC．
在△ABD與△MCD中，AD＝MD，∠ADB＝∠MDC，BD＝CD，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴AB＝MC，
同理延長A′D′到M′，使D′M′＝A′D′，連結(jié)M′C′，那么A′B′＝M′C′，
∴，
在△ACM與△A′C′M′中，，
∴△ACM∽△A′C′M′，
∴∠MAC＝∠M′A′C′，
同理可得∠MAB＝∠M′A′B′，
∴∠MAC＋∠MAB＝∠M′A′C′＋∠M′A′B′，即∠BAC＝∠B′A′C′．
在△ABC與△A′B′C′中，，∠BAC＝∠B′A′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)成比例的兩三角形相似，正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似多邊形的定義及相似三角形的判定，判定兩個(gè)三角形相似的方法有：
（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；
（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；
（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
21．或．
分析：
先畫草圖借草圖分析．如圖
重疊的小三角形為，由對折知，所以要使△ABC和相似，只需，此時(shí)和C重合，N為AC中點(diǎn)，由三角形中位線定理易得MN的值；或只需，此時(shí)與B點(diǎn)重合，M=BM=AM=，再由相似的知識算得MN的值．
【詳解】
由AC=4，BC=3，∠ACB=90°據(jù)勾股定理得AB=5．下面分情況討論：
第一種情況
如圖1
當(dāng)∠MNC=90°時(shí)，折疊后A點(diǎn)落在C點(diǎn)．
∵∠BCA=90°
∴∠MNC=∠BCA
又由對折知：∠MCN=∠A
∴△MCN∽△ABC
由對折知N為AC的中點(diǎn)，據(jù)三角形中位線定理得
（㎝）；
第二種情況
如圖2
當(dāng)∠NMB=90°時(shí)，折疊后A點(diǎn)落在B點(diǎn)．
∵∠C=90°
∴∠C=∠NMB
又由對折知∠A=∠NBM
∴△ABC∽△BNM
∴
又由對折知
∴（㎝）．
綜上分析得MN=㎝或㎝．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】
本題是折疊類問題，考查相似三角形的判定，兼考查分類討論的數(shù)學(xué)方法．關(guān)鍵之處在于緊抓折疊的圖形成軸對稱及全等解決之．
22．145
分析：
先畫出示意圖，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一組對應(yīng)角相等，若∠A=∠C，則△ABD與△DBC全等不符合題意，所以必定有∠A=∠BDC,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°列式求解.
【詳解】
解：根據(jù)題意畫出示意圖，已知∠ABD=∠CBD，
△ABD與△DBC相似，但不全等，
∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.
又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，
∴∠ADB+∠BDC=145°，
即∠ADC=145°.
【點(diǎn)睛】
對于新定義問題，讀懂題意是關(guān)鍵.
23．
解析：
解：過B作BG∥CA交DF于G．∵AC=2，D為AC的中點(diǎn)，∴AD=DC=1，∵BF：AD=3：1，∴BF=3．∵BG∥CA，∴BG：CD=BF：CF=3：4，∴BG=．∵AC=2，BC=1，∴AB==.∵BG∥CA，∴BG：AD=BH：AH，∴=，∴=，∴AH=.在Rt△ADE和Rt△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠C=90°，∴△ADE∽△ABC，∴AE：AC=AD：AB，∴AE：2=1：，∴AE= ，∴EH=AH-AE==.故答案為：．
點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是通過做輔助線BG∥CA而把所有相關(guān)線段聯(lián)系起來．
24．
解析：
解：連接ED．∵D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，∴ED∥BC，2ED=BC，∵ED∥BC，∴BF=2EF，CF=2FD．在Rt△BCF中，∵∠CBF=30°，BC=4，∴CE=2，BF=，∴EF= ．在Rt△EFC中，EC== =，∴AC=2EC=.
點(diǎn)睛：本題考查了三角形中位線定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，通過連接DE，由三角形中位線定理得出ED和CB的關(guān)系，進(jìn)而得出EF的長．
25．不一定
分析：
先求出兩個(gè)三角形三邊的比，再根據(jù)三邊對應(yīng)成比例判斷兩個(gè)三角形相似即可．
【詳解】
解：∵的邊長分別為的邊長分別，
∴兩個(gè)三角形對應(yīng)邊的比分別為：
，
當(dāng)a=b=c時(shí)，，這兩個(gè)三角形相似，
當(dāng)a≠b≠c時(shí)，，這兩個(gè)三角形不相似，
∴與不一定相似，
故答案為：不一定．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解答的關(guān)鍵．
26．4
分析：
延長CF交AB于點(diǎn)H，連接DH．利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出CH，再根據(jù)三角形中位線定理推出DH∥AC，AC=2DH，可得，推出FG=2FH，由此即可解決問題；
【詳解】
解：延長CF交AB于點(diǎn)H，連接DH．
∵AF，BE是△ABC的中線，
∴CH是△ABC的中線，
∵∠ACB=90°，
∴CH=AB=6cm，
∵BD=CD，BH=AH，
∴DH∥AC，AC=2DH，
∴，
∴CF=2FH，
∴CF=CH=4cm．
故答案為：4
【點(diǎn)睛】
本題考查三角形的重心，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識可解決問題，屬于中考常考題型．
27．
分析：
根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，利用“有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
28．或
分析：
根據(jù)△ADE與原三角形相似，得到∠A=∠A，故分類討論，根據(jù)相似性質(zhì)即可求解．
【詳解】
解：（1）如圖1，當(dāng)△ADE∽△ABC時(shí)，，
即：，
∴；
（2）如圖2，當(dāng)△ADE∽△ACB時(shí)，，
即：，
∴．
故答案為：或
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的性質(zhì)，題目中沒有說明兩個(gè)三角形相似的對應(yīng)點(diǎn)，故分類討論是解題關(guān)鍵．
29．4
分析：
通過證明△AED∽△ABC，可得，即可求解．
【詳解】
∵AD=3，AE=2，AB=6，AC=9，
∴，
又∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
∴
∴DE=
故答案為：4
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．
30．3
分析：
由□ABCD可得，，再由平行線性質(zhì)推導(dǎo)而證明△AFE∽△CFD∽△BCE，從而完成求解．
【詳解】
∵□ABCD
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴
△CFD∽△BCE
∴△AFE∽△CFD∽△BCE
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形和相似三角形的知識；求解的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形和相似三角形的性質(zhì)，從而得到答案．
31．AB．
分析：
利用相似三角形的判定得出△ABC∽△ACD，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】
∵∠C＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC，
又∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD，
∴，即AC2＝AD?AB，
∴AC是AD和AB的比例中項(xiàng)，
故答案為：AB．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用相似三角形的判定得出△ABC∽△ACD．
32．
【詳解】
解：矩形ABCD中，DC=AB=2，AD=BC=1．又∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC，∴AB：AD=BC：DE，∴DE=，∴EC=DC﹣DE=．
點(diǎn)睛：本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例．
33．3
分析：
由于三角形ABC是直角三角形，所以必須保證直線l與三角形的任意一邊能夠形成直角三角形，進(jìn)而再判定其是否相似．
【詳解】
∵三角形ABC是直角三角形.
∴只有創(chuàng)造出一個(gè)直角時(shí)，才有可能滿足題中相似的條件；
①當(dāng)l∥BC時(shí)，可得三角形相似；
②當(dāng)l∥AC時(shí)，亦可得三角形相似；
③當(dāng)l⊥AB時(shí)，三角形也相似，
故滿足題中的直線L共有3條.
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定，對于沒有圖的題可根據(jù)題意畫出圖形，通過圖形得出小三角形與△ABC有一個(gè)角是公用角（也就是相等的）是解決此題的關(guān)鍵.
34．5或
分析：
分兩種情況討論，由是公共角，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，可求的值．
【詳解】
是公共角，
當(dāng)，即時(shí)，
解得：
當(dāng)，即時(shí)，
解得：
故答案為：5或
【點(diǎn)睛】
此題考查了相似三角形的判定．注意分類討論思想的應(yīng)用．
35．(1)①證明見解析；②PC=2，BC=5；(2)①tan∠PEF的值不變；②x=或x=或x=.
分析：
（1）①由勾股定理求BP，利用互余關(guān)系證明△APB∽△DCP；②利用相似比求PC，DP, 再根據(jù)BC=AD=AP+DP即可求得BC的長；
（2）①tan∠PEF的值不變．理由為：過F作FG⊥AD，垂足為點(diǎn)G. 則四邊形ABFG是矩形，同（1）的方法證明△APE∽△GFP，得相似比，再利用銳角三角函數(shù)的定義求值；②利用相似比求GP，再矩形性質(zhì)求出BF，△PBF是等腰三角形，分三種情況討論：(Ⅰ) 當(dāng)PB=PF時(shí)，根據(jù)BF=2AP求值；當(dāng)BF=BP時(shí)，(Ⅱ)根據(jù)BP=求值；(Ⅲ) 當(dāng)BF=PF時(shí)，根據(jù)PF=即可求出x值.
【詳解】
解：(1)①如圖3.2，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2，
∴在Rt△ABC中，
∠1+∠2=90°，BP=.
又∵∠BPC=90°,
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3.
∴△APB∽△DCP.
②由△APB∽△DCP.
∴，即.
∴PC=2，DP=4.
∴BC=AD=AP+DP=5.
(2)①tan∠PEF的值不變.
理由如下：
如圖3.1，過F作FG⊥AD，垂足為點(diǎn)G. 則四邊形ABFG是矩形.
∴∠A=∠PGF=90°，F(xiàn)G=AB=2，
∴在Rt△APE中，∠1+∠2=90°，
又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3.
∴△APE∽△GFP，
∴.
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=2.
∴tan∠PEF的值不變.
②由△APE∽△GFP.
∴.
∴GP=2AE=2x，
∵四邊形ABFG是矩形.
∴BF=AG=AP+GP=2x+1.
△PBF是等腰三角形，分三種情況討論：
(Ⅰ)當(dāng)PB=PF時(shí)，點(diǎn)P在BF的垂直平分線上.
∴ BF=2AP. 即2x+1=2，
∴x=.
(Ⅱ)當(dāng)BF=BP時(shí)，
BP=BP=
∴2x+1=.
∴x=.
(Ⅲ)當(dāng)BF=PF時(shí)，
∵PF=，
∴(2x)2+22=(2x+1)2，
∴x=.
【點(diǎn)睛】
本題是綜合題：熟練掌握線段垂直平分線的判定、矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定方法和性質(zhì)；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系和計(jì)算線段的長；合理作平行線構(gòu)建相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．
36．（1）見解析；（2）y=4﹣x+（0≤x≤3）；（3）當(dāng)△AGQ與△CEP相似，線段AG的長為2或4﹣．
解析：
分析：
（1）先判斷出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，進(jìn)而得出∠BGE=∠EGF，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出△BEG∽△CFE進(jìn)而得出CF=
，即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況，①△AGQ∽△CEP時(shí)，判斷出∠BGE=60°，即可求出BG；
②△AGQ∽△CPE時(shí)，判斷出EG∥AC，進(jìn)而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出結(jié)論．
【詳解】
（1）如圖1，延長FE交AB的延長線于F'，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE=2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠F'=∠CFE，
在△BEF'和△CEF中，
，
∴△BEF'≌△CEF，
∴BF'=CF，EF'=EF，
∵∠GEF=90°，
∴GF'=GF，
∴∠BGE=∠EGF，
∵∠GBE=∠GEF=90°，
∴△GBE∽△GEF；
（2）∵∠FEG=90°，
∴∠BEG+∠CEF=90°，
∵∠BEG+∠BGE=90°，
∴∠BGE=∠CEF，
∵∠EBG=∠C=90°，
∴△BEG∽△CFE，
∴，
由（1）知，BE=CE=2，
∵AG=x，
∴BG=4﹣x，
∴，
∴CF=，
由（1）知，BF'=CF=，
由（1）知，GF'=GF=y，
∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+
當(dāng)CF=4時(shí)，即：=4，
∴x=3，（0≤x≤3），
即：y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=4﹣x+（0≤x≤3）；
（3）∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵△AGQ與△CEP相似，
∴①△AGQ∽△CEP，
∴∠AGQ=∠CEP，
由（2）知，∠CEP=∠BGE，
∴∠AGQ=∠BGE，
由（1）知，∠BGE=∠FGE，
∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，
∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，
∴∠BGE=60°，
∴∠BEG=30°，
在Rt△BEG中，BE=2，
∴BG=，
∴AG=AB﹣BG=4﹣，
②△AGQ∽△CPE，
∴∠AQG=∠CEP，
∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，
∴∠AQG=∠FGE，
∴EG∥AC，
∴△BEG∽△BCA，
∴，
∴，
∴BG=2，
∴AG=AB﹣BG=2，
即：當(dāng)△AGQ與△CEP相似，線段AG的長為2或4﹣．
【點(diǎn)睛】
本題考核知識點(diǎn)：相似三角形綜合. 解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記相似三角形的判定和性質(zhì).
37．當(dāng)或或時(shí)，是比例三角形；證明見解析； ．
【詳解】
分析：根據(jù)比例三角形的定義分、、三種情況分別代入計(jì)算可得；
先證∽得，再由知即可得；
作，由知，再證∽得，即，結(jié)合知，據(jù)此可得答案．
【詳解】是比例三角形，且、，
當(dāng)時(shí)，得：，解得：；
當(dāng)時(shí)，得：，解得：；
當(dāng)時(shí)，得：，解得：負(fù)值舍去；
所以當(dāng)或或時(shí)，是比例三角形；
，
，
又，
∽，
，即，
，
，
平分，
，
，
，
，
是比例三角形；
如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，
，
，
，，
，
，
又，
∽，
，即，
，
又，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，理解比例三角形的定義，熟練掌握和運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
38．（1）16（2）當(dāng)△ABE∽△EBC時(shí)，線段CD的長為2或（3）（0＜x＜4.1）
解析：
試題分析:(1) 過C作CH⊥AB與H,由∠A=90°,DP∥AB,可得得四邊形ADCH為矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2, 所以CD=AH=5-2=3,
則四邊形ABCD的面積=,
(2) 由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,當(dāng)△ABE∽△EBC時(shí),
∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.
∠BEC=∠BAE=90°,延長CE交BA延長線于T,由∠ABE=∠EBC,
∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,則在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,
所以,即,解得,
(3) 延長BE交CD延長線于M,因?yàn)锳B∥CD,所以∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,
在△BCH中,由勾股定理可得:,
則DM=CM-CD=,又因?yàn)镈M∥AB,可得,即,
即可得到:.
試題解析:（1）過C作CH⊥AB與H,
由∠A=90°,DP∥AB,得四邊形ADCH為矩形,
在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,
所以CD=AH=5-2=3,
則四邊形ABCD的面積=,
（2）由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,
當(dāng)△ABE∽△EBC時(shí),
∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,
于是在△BCH中,BH=,
所以CD=AH=5-3=2.
∠BEC=∠BAE=90°,延長CE交BA延長線于T,
由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,
且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.
令CD=x,則在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,
所以,即,解得,
綜上,當(dāng)△ABE∽△EBC時(shí),線段CD的長為2或.
（3）延長BE交CD延長線于M,
由AB∥CD,得∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,
在△BCH中,,
則DM=CM-CD=,
又DM∥AB,得,即,
解得.
39．（1）；（2）不變；（3）或3或.
解析：
試題分析：（1）由已知條件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；
（2）過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)、，由（1）可得DH=3，DG=4；再證，即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況討論即可.
（1）∵，
∴
∵
∴
∵是邊的中點(diǎn)
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∵
∴
又∵
∴四邊形是矩形
∴
∵在中，
∴
（2）不變
過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)、
由（1）可得，
∵，
∴
又∵，
∴四邊形是矩形
∴
∵
∴ 即
又∵
∴
∴
∵
∴
（3）1° 當(dāng)時(shí)，易證，即
又∵，D是AB的中點(diǎn)
∴
∴
2° 當(dāng)時(shí)，易證
∵在中，
∴設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，易證，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
3° 在BC邊上截取BK=BD=5，由勾股定理得出
當(dāng)時(shí)，易證
∴設(shè)，則，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
40．（1）證明見解析；（2）113°.（3）優(yōu)美線AD的長為4-4
解析：
試題分析:(1)根據(jù)三角形的優(yōu)美線的定義,只要證明△ABD是等腰三角形,
△CAD∽△CBA即可解決問題,(2)如圖2中,分兩種情形討論求解①若AB=AD,
△CAD∽△CBA,則∠B=∠ADB=∠CAD,則AC∥BC,這與△ABC這個(gè)條件矛盾, ②若AB=BD, △CAD∽△CBA, (3)如圖3中,分三種情形討論①若AD=BD, △CAD∽△CBA,則設(shè)BD=AD=x,CD=y,可得,解方程即可, ②若AB=AD=4,由,設(shè)BD=AD=x,CD=y,可得,解方程即可, ③若AB=AD,顯然不可能.
(1)證明：
∵∠B=50°，∠C=30°，∴∠BAC=100°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=50°，
∴∠B=∠BAD=50°，∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠C=∠C，∠DAC=∠B=50°，
∴△CAD∽△CBA，
∴線段AD是△ABC的優(yōu)美線．
（2）若AB=AD，舍去，
（理由若△CAD∽△CBA，則∠B=∠ADB=∠CAD，則AC∥BC，）
若AB=BD，∠B=46°，
∴∠BAD=∠BDA=67°，
∵△CAD∽△CBA，
∴∠CAD=∠B=46°，
∴∠BAC=67°+46°=113°．
（3）或.
41．（1）證明見解析；（2）；（3）改變，.
解析：
試題分析：（1）欲證利用原圖無法證明，需構(gòu)建三角形且使之全等，因此在邊上截取線段，使，連接，證明與全等即可．
（2）由∽列式化簡即可得.
（3）在延長線上取點(diǎn)，令，
∴是等腰直角三角形.∴.
同理，，
∵，
∴∽.
∴，即.
整理，得.
試題解析：（1）在邊上截取線段，使，連接，
由正方形，得，
∵，∴.
∵，∴.
又∵，平分，∴.∴.
又∵，∴，即得.
∴，即得.
在和中，，
∴≌，
∴．
（2）在上取點(diǎn)，令，
∴是等腰直角三角形.∴.
同理，，
∵，
∴∽.
∴，即.
整理，得.
（3）改變，.
考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2. 等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；3.全等三角形的判定與性質(zhì)；4.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式.
42．(1)略；（2）y= ，定義域0＜x＜2；（3）當(dāng)CD=時(shí)，△COD與△BEA相似．
解析：
試題分析：
(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出角相等，然后角的等量代換，得出其余角相等，即可證明三角形相似；
由（1）的結(jié)論可以得到線段成比例，解直角三角形即可求出函數(shù)解析式，并確定定義域；
先由相似得出線段比例關(guān)系，設(shè)未知數(shù)解方程即可.
試題解析：
（1）證明：∵△ACB是等腰直角三角形
∴∠CAB＝∠B=45°
∵CP//AB
∴∠DCA＝∠CAB=45°
∴∠DCA＝∠B
∵∠DAE=45°
∴∠DAC+∠CAE=∠CAE+∠EAB
∴∠DAC=∠EAB
∴△DCA∽△EAB
∴
即且∠DAE=∠CAB=45°
∴△ADE∽△ACB．
（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H
由（1）得△DCA∽△EAB
∴
∵△ACB是等腰直角三角形，且CD=x
∴EB=x
∴EH=BH=x
∴AH=4—x
在Rt△AEH中，BAE=
即y=
定義域0＜x＜2．
（3）若△COD與△BEA相似，又△BEA與相似△DCA
即△COD與△DCA相似
∴只有△DCO∽△ACD
∴
∵∠DAO＝∠CEO
∴∠CEO＝∠EAB
∴tan∠CEO＝y(tǒng)
即
∴
∴
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的實(shí)數(shù)根，不合題意舍去
∴當(dāng)CD=時(shí)，△COD與△BEA相似．
圖13
H
考點(diǎn)：1.相似三角形的判定和性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.三角函數(shù)的定義.
43．
分析：
通過證明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解．
【詳解】
解：如圖，
∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴
∴CQ＝ ，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形、矩形的性質(zhì)．根據(jù)題意找相似的條件是關(guān)鍵．利用相似比計(jì)算線段的長度是常用的方法．
44．見解析．
分析：
根據(jù)如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可以證得△DCE∽△DBC，△DEF∽△DAB；根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得．
【詳解】
證明：（1）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，
∴△DEF∽△DAB，
∴DE：DA=DF：DB，
∴DE?DB=DA?DF，
∵∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，
∴△DEC∽△DCB，
∴，
∴DC2=DE?DB，
又∵DE?DB=DA?DF，
∴CD2=DF?DA．
∴CD是DF和DA的比例中項(xiàng)
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
45．DF的長為9．
分析：
先證明ACB∽BDE,得到,將DE,BE,AB代入即可得到AC的值,進(jìn)而求得BC的值,再通過證ADF∽CBA,得到,即可求出DF的長．
【詳解】
∵DF為RTABC斜邊AB的中垂線．
∴∠BDE =90°,．
∵DE=4．
∴．
∵∠ACB= ∠BDE,∠B=∠B．
∴ACB∽BDE．
∴．
∴．
∴利用勾股定理,可得：．
同理可得ADF∽CBA．
∴．
∴DF=9．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
46．△ADE∽△BDA
分析：
先利用勾股定理求得AD=，進(jìn)而有，又∠ADB=∠ADB
，利用“兩組邊對應(yīng)成比例及其夾角相等的兩個(gè)三角形相似”即可證得△ADE∽△BDA．
【詳解】
∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE，
∴AD=，BD=2，
∴，
∵∠ADB=∠ADB，
∴△ADE∽△BDA．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解答的關(guān)鍵．
47．EF的長為
分析：
聯(lián)結(jié)CF，根據(jù)翻折的圖形全等得到AF=CF，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；
【詳解】
聯(lián)結(jié)CF，
∵翻折的圖形全等，
∴AF=CF，
設(shè)AF=x，則DF=8-x，
，
，
∵OC=5，
∴OF=，
可證OE=OF，
∴EF=．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了勾股定理的折疊問題，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
48．見解析．
分析：
先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出DC=BC，∠DCB =∠DCF =90°，由CE=CF可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根據(jù)∠F為公共角即可得出結(jié)論．
【詳解】
∵正方形ABCD
∴∠DCB=∠DCF=90，DC=BC
∵CE=CF
∴△DCF≌△ECB
∴∠CDF =∠CBE
∵∠CDF＋∠F=90
∴∠CBE＋∠F=90
∴∠BGF=90=∠DCF
∴△BGF∽△DCF
【點(diǎn)睛】
本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解答此題的關(guān)鍵．
49．（1）證明見解析；（2）
分析：
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠A=∠D=90o，再由BP⊥PQ及“同角的余角相等”證得∠ABP=∠DPQ，
然后利用“兩組角相等的兩個(gè)三角形相似”即可證得結(jié)論．
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】
（1）矩形ABCD，BP⊥PQ
∴ ∠A=∠D=∠BPQ=90°
∴ ∠ABP+∠APB =90°，∠DPQ+∠APB =90
∴ ∠ABP=∠DPQ
∴ △ABP∽△DPQ
（2）∵△ABP∽△DPQ，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、垂線定義、同（或等）角的余角相等，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
50．AF＝4cm，F(xiàn)G＝3cm，GD＝5cm
分析：
根據(jù)平行線得△AEF∽△ABD，得到＝，代入已知數(shù)據(jù)求出EF，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到＝，＝，計(jì)算得到答案．
【詳解】
∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝，
又AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，
∴EF＝3cm，
在Rt△ABD中，AB＝15，BD＝9，
由勾股定理得，AD＝=12，
∵EF∥BC，
∴＝，
∴AF＝4，DF＝8，
∵EF∥BC，
∴＝，
∴FG＝3cm，GD＝5cm．
答：AF＝4cm，F(xiàn)G＝3cm，GD＝5cm．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是相似三角形、平行線分線段成比例定理和勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

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