考向一 恒力做功與變力做功
考向二 功率的分析和計算
考向四 機(jī)車啟動問題
考向四 機(jī)車啟動圖像
考向一 恒力做功與變力做功
一、功
1．定義：一個物體受到力的作用，如果在力的方向上發(fā)生了一段位移，就說這個力對物體做了功。
2．做功的兩個要素
(1)作用在物體上的力。
(2)物體在力的方向上發(fā)生的位移。
3．公式：W＝Flcs α。
(1)如圖所示，α是力與位移方向之間的夾角，l為力的作用點的位移。
(2)該公式只適用于恒力做功。
4．功的正負(fù)
(1)當(dāng)0°≤α＜90°時，W＞0，力對物體做正功。
(2)當(dāng)α＝90°時，W＝0，力對物體不做功。
(3)當(dāng)90°＜α≤180°時，W＜0，力對物體做負(fù)功，或者說物體克服這個力做了功。
5．恒力做功的計算方法
直接用W＝Flcsα計算。
恒力做功與物體的運(yùn)動路徑無關(guān)，只與初、末位置有關(guān)。
6．合力做功的計算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcsα求功。
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3…，再應(yīng)用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：先求動能變化ΔEk，再利用動能定理W合＝ΔEk求功。
7．幾種力做功比較
(1)重力、彈簧彈力、電場力、分子力做功與位移有關(guān)，與路徑無關(guān)．
(2)滑動摩擦力、空氣阻力、安培力做功與路徑有關(guān)．
(3)一對作用力與反作用力的功
(4)摩擦力做功有以下特點：
①單個摩擦力(包括靜摩擦力和滑動摩擦力)可以做正功,也可以做負(fù)功,還可以不做功。
②相互作用的一對靜摩擦力做功的代數(shù)和總等于零;相互作用的一對滑動摩擦力做功的代數(shù)和不為零,且總為負(fù)值。
③相互作用的一對滑動摩擦力做功過程中會發(fā)生物體間機(jī)械能轉(zhuǎn)移和機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能,內(nèi)能Q=Ffx相對。
(5).一對平衡力的功
一對平衡力作用在同一個物體上，若物體靜止，則兩個力都不做功；若物體運(yùn)動，則這一對力所做的功一定是數(shù)值相等，一正一負(fù)或均為零。
8、變力做功的求解方法
【典例1】(2023·廣東深圳市第一次調(diào)研)如圖所示，升降機(jī)內(nèi)斜面的傾角θ＝30°，質(zhì)量為2 kg的物體置于斜面上始終不發(fā)生相對滑動，在升降機(jī)以5 m/s的速度勻速上升4 s的過程中．g取10 m/s2，求：
(1)斜面對物體的支持力所做的功；
(2)斜面對物體的摩擦力所做的功；
(3)物體重力所做的功；
(4)合外力對物體所做的功．
答案:(1)300 J (2)100 J (3)－400 J (4)0
解析：物體置于升降機(jī)內(nèi)隨升降機(jī)一起勻速運(yùn)動過程中，處于受力平衡狀態(tài)，受力分析如圖所示
由平衡條件得Ffcs θ－FNsin θ＝0，F(xiàn)fsin θ＋FNcs θ－G＝0
代入數(shù)據(jù)得Ff＝10 N，F(xiàn)N＝10eq \r(3) N
x＝vt＝20 m
(1)斜面對物體的支持力所做的功
WN＝FNxcs θ＝300 J
(2)斜面對物體的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxcs (90°－θ)＝100 J
(3)物體重力做的功WG＝Gxcs 180°＝－400 J
(4)合外力對物體做的功
方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：F合＝0，W合＝F合xcs α＝0.
【典例2】(2023·山東省菏澤市一模)如圖甲所示，一物塊前端有一滑輪，輕繩的一端系在右方固定處，水平穿過滑輪，另一端用力F拉住，力F大小如圖乙所示，前10 s內(nèi)物塊的v-t圖像如圖丙所示，保持力F與水平方向之間的夾角θ＝60°不變，當(dāng)用力F拉繩使物塊前進(jìn)時，下列說法正確的是( )
A．0～5 s內(nèi)拉力F做的功為75 J
B．3 s末拉力F的功率為9 W
C．5～10 s內(nèi)摩擦力大小為6 N
D．5～10 s內(nèi)拉力F做的功為150 J
答案:CD
解析：通過穿過滑輪的輕繩用力F拉物塊，等效于如圖所示的兩個力F同時拉物塊，拉力F做的功等于這兩個力做功的代數(shù)和。由題圖乙知，0～5 s內(nèi)拉力大小F1＝6 N，根據(jù)題圖丙求得物塊在0～5 s的位移s1＝eq \f(1,2)×5×5 m＝12.5 m，所以0～5 s內(nèi)拉力做的功W1＝F1s1＋F1s1csθ，解得W1＝112.5 J，故A錯誤；由題圖丙知，物體3 s末的速度v1＝3 m/s，拉力F的功率P1＝F1v1＋F1v1csθ，解得P1＝27 W，故B錯誤；由題圖丙知，5～10 s內(nèi)物塊做勻速運(yùn)動，物塊所受合力等于零，水平方向由平衡條件得F2＋F2csθ＝f，又由題圖乙可知，F(xiàn)2＝4 N，解得5～10 s內(nèi)摩擦力大小為f＝6 N，故C正確；根據(jù)題圖丙求得物塊在5～10 s的位移s2＝5×5 m＝25 m，所以5～10 s內(nèi)拉力做的功W2＝F2s2＋F2s2csθ，解得W2＝150 J，故D正確。
【典例3】(多選)(2023·安徽省皖南八校聯(lián)考)如圖所示，固定的光滑豎直桿上套著一個滑塊，滑塊用輕繩系著繞過光滑的定滑輪O?，F(xiàn)以大小不變的拉力F拉繩，使滑塊從A點由靜止開始上升，滑塊運(yùn)動到C點時速度最大。已知滑塊質(zhì)量為m，滑輪O到豎直桿的距離為d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度為g(已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)。則( )
A．拉力F大小為eq \f(5,3)mg
B．拉力F大小為eq \f(5,4)mg
C．滑塊由A到C過程，輕繩對滑塊所做的功為eq \f(25,36)mgd
D．滑塊由A到C過程，輕繩對滑塊所做的功為eq \f(25,48)mgd
答案: AC
解析：滑塊到C點時速度最大，其所受合力為零，則有Fcs 53°－mg＝0，解得F＝eq \f(5,3)mg，故A正確，B錯誤；拉力F做的功等于輕繩拉力對滑塊做的功，滑輪與A間繩長L1＝eq \f(d,sin 37°)，滑輪與C間繩長L2＝eq \f(d,sin 53°)，滑輪右側(cè)繩子增大的長度ΔL＝L1－L2＝eq \f(d,sin 37°)－eq \f(d,sin 53°)＝eq \f(5d,12)，拉力做功W＝FΔL＝eq \f(25,36)mgd，故C正確，D錯誤。
練習(xí)1、(2023·北京海淀區(qū)模擬)質(zhì)量為M的木板放在光滑的水平面上，一個質(zhì)量為m的滑塊以某一速度沿木板表面從A點滑至B點，在木板上前進(jìn)了L，而木板前進(jìn)l，如圖7-1-4所示．若滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ，求摩擦力對滑塊、對木板做功各為多少？摩擦力做的總功為多少？
答案: －μmg(l＋L) μmgl －μmgL
解析：(1)摩擦力對滑塊做功的求解：
滑塊所受摩擦力Ff＝μmg，位移為(l＋L)，且摩擦力與位移方向相反，故摩擦力對滑塊做的功為W1＝－μmg(l＋L)．
(2)摩擦力對木板做功的求解：
木板受的摩擦力Ff′＝μmg，方向與其位移l方向相同，故摩擦力對木板做的功W2＝μmgl.
(3)總功的求解：摩擦力做的總功W＝W1＋W2＝－μmgL.
練習(xí)2、(2023·遼寧遼陽模擬)如圖所示，木塊B上表面是水平的，木塊A置于B上，并與B保持相對靜止，一起沿固定的光滑斜面由靜止開始下滑，在下滑過程中( )
A．A所受的合外力對A不做功
B．B對A的彈力做正功
C．B對A的摩擦力做正功
D．A對B做正功
答案:C
解析：A、B一起沿固定的光滑斜面由靜止開始下滑，加速度為gsin θ(θ為斜面傾角)，由于A速度增大，由動能定理知，A所受的合外力對A做正功，對A受力分析，可知B對A的支持力方向豎直向上，B對A的摩擦力方向水平向左，故B對A的摩擦力做正功，B對A的彈力做負(fù)功，A、B錯誤，C正確；A與B相對靜止，由牛頓第二定律及幾何關(guān)系可知A對B的作用力垂直斜面向下，A對B不做功，D錯誤．
練習(xí)3、(多選)(2023安徽六安模擬)如圖所示，A、B質(zhì)量分別為m和M，B系在固定于墻上的水平輕彈簧的另一端，并置于光滑的水平面上，彈簧的勁度系數(shù)為k，將B向右拉離平衡位置x后，無初速度釋放，在以后的運(yùn)動中A、B保持相對靜止，則在彈簧恢復(fù)原長的過程中( )
A．A受到的摩擦力最大值為eq \f(mkx,M)
B．A受到的摩擦力最大值為eq \f(mkx,M＋m)
C．摩擦力對A做功為eq \f(mkx2,2M)
D．摩擦力對A做功為eq \f(mkx2,2?M＋m?)
答案: BD
解析：剛釋放時，A、B加速度最大，以整體為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律得kx＝(M＋m)am，解得am＝eq \f(kx,M＋m)，此時A受到的摩擦力最大，對A根據(jù)牛頓第二定律得Ffm＝mam＝eq \f(mkx,M＋m)，故A錯誤，B正確；在彈簧恢復(fù)原長的過程，A受的摩擦力隨位移增大而線性減小到零，所以摩擦力對A做的功為W＝eq \f(Ffm,2)·x＝eq \f(mkx2,2?M＋m?)，故C錯誤，D正確．
【巧學(xué)妙記】
定性判斷力是否做功及做正、負(fù)功的方法
(1)看力F的方向與位移l的方向間的夾角α——常用于恒力做功的情形。
(2)看力F的方向與速度v的方向間的夾角θ——常用于曲線運(yùn)動的情形。
(3)根據(jù)動能的變化判斷：動能定理描述了合力做功與動能變化的關(guān)系，即W合＝ΔEk，當(dāng)動能增加時合力做正功，當(dāng)動能減少時合力做負(fù)功。
(4)根據(jù)功能關(guān)系或能量守恒定律判斷。
考向二 功率的分析和計算
一、功率
1．定義：功與完成這些功所用時間的比值。
2．物理意義：描述力對物體做功的快慢。
3．公式
(1)P＝eq \f(W,t)，P為時間t內(nèi)的平均功率。
(2)P＝Fvcsα(α為F與v的夾角)
①v為平均速度，則P為平均功率。
②v為瞬時速度，則P為瞬時功率。
③當(dāng)力F和速度v不在同一直線上時，可以將力F分解或者將速度v分解。
4．額定功率與實際功率
(1)額定功率：動力機(jī)械正常工作時輸出的最大功率。
(2)實際功率：動力機(jī)械實際工作時輸出的功率，要求小于或等于額定功率。
二、功率的理解與計算
1．公式P＝eq \f(W,t)和P＝Fv的區(qū)別
P＝eq \f(W,t)是功率的定義式，P＝Fv是功率的計算式．
2．平均功率的計算方法
(1)利用eq \x\t(P)＝eq \f(W,t).
(2)利用eq \x\t(P)＝F·eq \x\t(v)cs α，其中eq \x\t(v) 為物體運(yùn)動的平均速度．
3．瞬時功率的計算方法
(1)利用公式P＝Fvcs α，其中v為t時刻的瞬時速度．
(2)P＝F·vF，其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度．
(3)P＝Fv·v，其中Fv為物體受到的外力F在速度v方向上的分力．
【典例4】(2023年6月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平等級性考試）12. 風(fēng)力發(fā)電已成為我國實現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)的重要途徑之一。如圖所示，風(fēng)力發(fā)電機(jī)是一種將風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能的裝置。某風(fēng)力發(fā)電機(jī)在風(fēng)速為時，輸出電功率為，風(fēng)速在范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化效率可視為不變。該風(fēng)機(jī)葉片旋轉(zhuǎn)一周掃過的面積為，空氣密度為，風(fēng)場風(fēng)速為，并保持風(fēng)正面吹向葉片。下列說法正確的是（ ）
A. 該風(fēng)力發(fā)電機(jī)的輸出電功率與風(fēng)速成正比
B. 單位時間流過面積的流動空氣動能為
C. 若每天平均有的風(fēng)能資源，則每天發(fā)電量為
D. 若風(fēng)場每年有風(fēng)速在范圍內(nèi)，則該發(fā)電機(jī)年發(fā)電量至少為
答案:D
解析：AB．單位時間流過面積的流動空氣體積為
單位時間流過面積的流動空氣質(zhì)量為
單位時間流過面積的流動空氣動能為
風(fēng)速在范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化效率可視為不變，可知該風(fēng)力發(fā)電機(jī)的輸出電功率與風(fēng)速的三次方成正比，AB錯誤；
C．由于風(fēng)力發(fā)電存在轉(zhuǎn)化效率，若每天平均有的風(fēng)能資源，則每天發(fā)電量應(yīng)滿足
C錯誤；
D．若風(fēng)場每年有風(fēng)速在的風(fēng)能資源，當(dāng)風(fēng)速取最小值時，該發(fā)電機(jī)年發(fā)電量具有最小值，根據(jù)題意，風(fēng)速為時，輸出電功率為，風(fēng)速在范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化效率可視為不變，可知風(fēng)速為時，輸出電功率為
則該發(fā)電機(jī)年發(fā)電量至少為D正確；
故選D。
【典例5】(多選)(2023福建福州檢測)如圖所示，四個小球質(zhì)量分別為mA＝mB＝2m、mC＝mD＝m，在距地面相同的高度處以相同的速率分別豎直下拋、豎直上拋、平拋和斜拋，不計空氣阻力，則下列關(guān)于這四個小球從拋出到落地過程的說法正確的是( )
A．小球飛行過程中單位時間內(nèi)的速度變化量相同
B．C、D兩小球落地時，重力的瞬時功率相同
C．從開始運(yùn)動至落地，重力對四個小球做的功均相同
D．從開始運(yùn)動至落地，重力對小球A做功的平均功率最大
答案:AD
解析：由于四個小球在飛行過程中只受重力的作用，則四個小球的加速度均等于重力加速度，則由Δv＝gΔt可知單位時間內(nèi)，四個小球的速度變化量相同，A正確；由于小球在運(yùn)動過程中，只有重力做功，則小球的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得mgh＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，解得四個小球落地瞬間的速度大小均為v＝eq \r(2gh＋v\\al(2,0))，但由于C、D兩球落地瞬間豎直方向的分速度大小不等，則重力的瞬時功率不相等，B錯誤；由題意知WGA＝2mgh、WGB＝2mgh、WGC＝mgh、WGD＝mgh，C錯誤；由題意可知，小球A做豎直下拋運(yùn)動，則小球A在空中運(yùn)動時間最短，而重力做功最多，所以平均功率最大，D正確．
練習(xí)4、（多選）(2023年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試）長征途中，為了突破敵方關(guān)隘，戰(zhàn)士爬上陡銷的山頭，居高臨下向敵方工事內(nèi)投擲手榴彈，戰(zhàn)士在同一位置先后投出甲、乙兩顆質(zhì)量均為m的手榴彈，手榴彈從投出的位置到落地點的高度差為h，在空中的運(yùn)動可視為平拋運(yùn)動，軌跡如圖所示，重力加速度為g，下列說法正確的有（ ）
A. 甲在空中的運(yùn)動時間比乙的長
B. 兩手榴彈在落地前瞬間，重力的功率相等
C. 從投出到落地，每顆手榴彈的重力勢能減少
D. 從投出到落地，每顆手榴彈的機(jī)械能變化量為
答案:BC
解析：A．由平拋運(yùn)動規(guī)律可知，做平拋運(yùn)動的時間
因為兩手榴彈運(yùn)動的高度差相同，所以在空中運(yùn)動時間相等，故A錯誤；
B．做平拋運(yùn)動的物體落地前瞬間重力的功率
因為兩手榴彈運(yùn)動的高度差相同，質(zhì)量相同，所以落地前瞬間，兩手榴彈重力功率相同，故B正確；
C．從投出到落地，手榴彈下降的高度為h，所以手榴彈重力勢能減小量故C正確；
D．從投出到落地，手榴彈做平拋運(yùn)動，只有重力做功，機(jī)械能守恒，故D錯誤。
故選BC。
練習(xí)5、（多選）(2023年浙江省高三7月普通高中學(xué)業(yè)水平等級性考試物理）16.如圖所示，系留無人機(jī)是利用地面直流電源通過電纜供電的無人機(jī)，旋翼由電動機(jī)帶動?，F(xiàn)有質(zhì)量為、額定功率為的系留無人機(jī)從地面起飛沿豎直方向上升，經(jīng)過到達(dá)高處后懸停并進(jìn)行工作。已知直流電源供電電壓為，若不計電纜的質(zhì)量和電阻，忽略電纜對無人機(jī)的拉力，則（ ）
A. 空氣對無人機(jī)的作用力始終大于或等于
B. 直流電源對無人機(jī)供電的額定電流為
C. 無人機(jī)上升過程中消耗的平均功率為
D. 無人機(jī)上升及懸停時均有部分功率用于對空氣做功
答案:BD
解析：A．無人機(jī)先向上加速后減速，最后懸停，則空氣對無人機(jī)的作用力先大于200N后小于200N，最后等于200N，選項A錯誤；
B．直流電源對無人機(jī)供電的額定電流選項B正確；
C．若空氣對無人機(jī)的作用力為F=mg=200N
則無人機(jī)上升過程中消耗的平均功率
但是由于空氣對無人機(jī)向上的作用力不是一直為200N，則選項C錯誤；
D．無人機(jī)上升及懸停時，螺旋槳會使周圍空氣產(chǎn)生流動，則會有部分功率用于對空氣做功，選項D正確。
故選BD。
【巧學(xué)妙記】
求解功率時應(yīng)注意的三個問題
(1)首先要明確所求功率是平均功率還是瞬時功率。
(2)平均功率與一段時間(或過程)相對應(yīng),計算時應(yīng)明確是哪個力在哪段時間(或過程)內(nèi)做功的平均功率。
(3)瞬時功率計算時應(yīng)明確是哪個力在哪個時刻(或狀態(tài))的功率。
考向四 機(jī)車啟動問題
【典例6】(2023·湖南高考)“復(fù)興號”動車組用多節(jié)車廂提供動力，從而達(dá)到提速的目的。總質(zhì)量為m的動車組在平直的軌道上行駛。該動車組有四節(jié)動力車廂，每節(jié)車廂發(fā)動機(jī)的額定功率均為P，若動車組所受的阻力與其速率成正比(F阻＝kv，k為常量)，動車組能達(dá)到的最大速度為vm。下列說法正確的是( )
A．動車組在勻加速啟動過程中，牽引力恒定不變
B．若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，則動車組從靜止開始做勻加速運(yùn)動
C．若四節(jié)動力車廂輸出的總功率為2.25P，則動車組勻速行駛的速度為eq \f(3,4)vm
D．若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經(jīng)過時間t達(dá)到最大速度vm，則這一過程中該動車組克服阻力做的功為eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)－Pt
答案: C
解析：動車組在勻加速啟動過程中，由牛頓第二定律有F－F阻＝ma，加速度a恒定，F(xiàn)阻＝kv隨速度增大而增大，則牽引力也隨速度增大而增大，故A錯誤；若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，由牛頓第二定律有eq \f(4P,v)－kv＝ma，可知加速啟動的過程，加速度逐漸減小，故B錯誤；若四節(jié)動力車廂輸出的總功率為2.25P，動車組勻速行駛時加速度為零，有eq \f(2.25P,v1)＝kv1，而以額定功率勻速行駛時有eq \f(4P,vm)＝kvm，聯(lián)立解得v1＝eq \f(3,4)vm，故C正確；若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經(jīng)過時間t達(dá)到最大速度vm，由動能定理可知4Pt－W阻＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)－0，可得動車組克服阻力做的功為W阻＝4Pt－eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)，故D錯誤。
【典例7】(2023·北京高考)如圖所示，高速公路上汽車定速巡航(即保持汽車的速率不變)通過路面abcd，其中ab段為平直上坡路面，bc段為水平路面，cd段為平直下坡路面。不考慮整個過程中空氣阻力和摩擦阻力的大小變化。下列說法正確的是( )
A．在ab段汽車的輸出功率逐漸減小
B．汽車在ab段的輸出功率比bc段的大
C．在cd段汽車的輸出功率逐漸減小
D．汽車在cd段的輸出功率比bc段的大
答案:B
解析：汽車做勻速率運(yùn)動，則在各直線路段受力始終平衡。設(shè)上、下坡路面與水平路面夾角分別為θ1、θ2，汽車受到的阻力為f，行駛速率為v。在ab段，根據(jù)平衡條件可知，牽引力F1＝mgsinθ1＋f，所以在ab段汽車的輸出功率P1＝F1v不變，在bc段牽引力F2＝f＜F1，所以汽車的輸出功率P2＝F2vP2＝P3
C．P1>P2>P3 D．P1P2>P3 D．P1F2 B．F1F2.由于位移相同，力與水平方向夾角相等，根據(jù)W＝Fscs θ得W1＝F1scs θ，W2＝F2scs θ，故W1>W2，A、D正確，B、C錯誤．
12．(多選)(2023·湖南湘潭一模)質(zhì)量為2 kg的物塊放在水平面上，物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.1，在水平拉力的作用下物塊由靜止開始運(yùn)動，水平拉力做的功W隨物塊的位移x變化的關(guān)系如圖所示．重力加速度取g＝10 m/s2，下列說法正確的是( )
A．在x＝0至x＝2 m的過程中，物塊的加速度大小是1 m/s2
B．在x＝4 m時，摩擦力的瞬時功率是4 W
C．在x＝2 m至x＝6 m的過程中，物塊做勻加速直線運(yùn)動
D．在x＝0至x＝6 m的過程中，拉力的平均功率是4 W
答案:ABD
解析：W-x圖線的斜率表示水平拉力F的大小，由題圖可知，x＝0至x＝2 m的過程中，水平拉力為F1＝4 N，由牛頓第二定律有F1－μmg＝ma，解得a＝1 m/s2，故A正確．根據(jù)圖像可知，x＝4 m對應(yīng)拉力做的功W＝12 J，0～4 m的過程中，根據(jù)動能定理有W－μmgx＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝2 m/s，則在x＝4 m時，摩擦力的瞬時功率是P＝μmgv＝0.1×2×10×2 W＝4 W，故B正確．W-x圖線的斜率表示水平拉力F的大小，由圖可知，x＝2 m至x＝6 m的過程中，水平拉力F2＝2 N，而f＝μmg＝2 N，F(xiàn)2＝f，物塊做勻速直線運(yùn)動，故C錯誤．在x＝0至x＝2 m的過程中物塊的運(yùn)動時間t1＝eq \f(v,a)＝2 s，在x＝2 m至x＝6 m的過程中物塊的運(yùn)動時間t2＝eq \f(4,2) s＝2 s，在x＝0至x＝6 m的過程中，拉力的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t1＋t2)＝eq \f(16,4) W＝4 W，故D正確．
13．(2023·河北衡水模擬)我國成功研制全球最大水平臂上回轉(zhuǎn)自升塔式起重機(jī)，標(biāo)志著我國橋梁及鐵路施工裝備進(jìn)一步邁向世界前列。該起重機(jī)某次從t＝0時刻由靜止開始提升質(zhì)量為m的物體，其a-t圖像如圖乙所示，t1～t2時間內(nèi)起重機(jī)的功率為額定功率，不計其他阻力，重力加速度為g，則以下說法正確的是( )
A．物體勻加速階段的位移為a0t12
B．該起重機(jī)的額定功率為(mg＋ma0)a0t1
C．t2時刻物體的瞬時速度為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a0,g)))a0t1
D．0～t1和t1～t2時間內(nèi)牽引力做的功之比為t1∶2t2
答案:B
解析：由圖像可知0～t1內(nèi)物體做勻加速直線運(yùn)動，勻加速階段的位移x1＝eq \f(1,2)a0t12，A錯誤；當(dāng)t＝t1時，根據(jù)F－mg＝ma0，P額＝Fv1＝Fa0t1，聯(lián)立解得起重機(jī)的額定功率為P額＝(mg＋ma0)a0t1，B正確；因為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a0,g)))a0t1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(mg＋ma0,mg)))a0t1＝eq \f(P額,mg)，即該速度為物體的最大速度，從圖像中可以看出t2時刻物體的速度還沒有達(dá)到最大，C錯誤；0～t1內(nèi)牽引力做的功W1＝eq \f(P額,2)t1，t1～t2內(nèi)牽引力做的功W2＝P額(t2－t1)，故在0～t1和t1～t2時間內(nèi)牽引力做的功之比為t1∶2(t2－t1)，D錯誤。
14、(2023·北京朝陽區(qū)高三期末)某興趣小組對一輛自制遙控小車的性能進(jìn)行研究，他們讓這輛小車在水平的直軌道上由靜止開始運(yùn)動，并將小車運(yùn)動的全過程記錄下來，通過處理轉(zhuǎn)化為v－t圖像，如圖所示(除2～10 s時間段內(nèi)的圖像為曲線外，其余時間段圖像均為直線)．已知小車運(yùn)動的過程中，2～14 s時間段內(nèi)小車的功率保持不變，在14 s末停止遙控而讓小車自由滑行．小車的質(zhì)量為1 kg，可認(rèn)為在整個過程中小車所受到的阻力大小不變．求：
(1)小車所受到的阻力大小及0～2 s時間內(nèi)電動機(jī)提供的牽引力大小；
(2)小車勻速行駛階段的功率；
(3)小車在0～10 s運(yùn)動過程中位移的大?。?br>答案: (1)0.75 N 1.25 N (2)2.25 W (3)19.7 m
解析：(1)由圖象可得，在14～18s內(nèi)：
a3＝eq \f(Δv3,Δt3)＝eq \f(0－3,18－14) m/s2＝－0.75 m/s2
小車受到阻力大?。篺＝m|a3|＝0.75 N
在0～2 s內(nèi)：a1＝eq \f(Δv1,Δt1)＝eq \f(1,2) m/s2＝0.5 m/s2
由F－f＝ma1得，電動機(jī)提供的牽引力大小
F＝ma1＋f＝1.25 N
即小車所受到的阻力大小為0.75 N,0～2 s時間內(nèi)電動機(jī)提供的牽引力大小為1.25 N.
(2)在10～14 s內(nèi)小車做勻速直線運(yùn)動，F(xiàn)′＝f
故小車勻速行駛階段的功率：
P＝F′v＝0.75×3 W＝2.25 W.
(3)根據(jù)速度－時間圖象與時間軸圍成的“面積”等于物體的位移，可得0～2 s內(nèi)，x1＝eq \f(1,2)×2×1 m＝1 m
2～10 s內(nèi)，根據(jù)動能定理有：
Pt－fx2＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)
解得：x2＝18.7 m
故小車在加速過程中的位移為：
x＝x1＋x2＝19.7 m
即小車在0～10 s運(yùn)動過程中位移的大小為19.7 m
1. (2023年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試）9. 如圖所示，載有防疫物資的無人駕駛小車，在水平段以恒定功率、速度勻速行駛，在斜坡段以恒定功率、速度勻速行駛。已知小車總質(zhì)量為，，段的傾角為，重力加速度g取，不計空氣阻力。下列說法正確的有（ ）
A. 從M到N，小車牽引力大小為B. 從M到N，小車克服摩擦力做功
C. 從P到Q，小車重力勢能增加D. 從P到Q，小車克服摩擦力做功
答案:ABD
解析：A．小車從M到N，依題意有
代入數(shù)據(jù)解得故A正確；
B．依題意，小車從M到N，因勻速，小車所受的摩擦力大小為
則摩擦力做功為
則小車克服摩擦力做功為800J，故B正確；
C．依題意，從P到Q，重力勢能增加量為故C錯誤；
D．依題意，小車從P到Q，摩擦力為f2，有
摩擦力做功為
聯(lián)立解得則小車克服摩擦力做功為700J，故D正確。
故選ABD。
2、(2023年江蘇省普通高中學(xué)業(yè)水平等級性考試物理）質(zhì)量為的汽車在水平路面上勻速行駛，速度為，受到的阻力大小為。此時，汽車發(fā)動機(jī)輸出的實際功率是（ ）
A. B. C. D.
答案:C
解析：汽車勻速行駛，則牽引力與阻力平衡
汽車發(fā)動機(jī)的功率
故選C。
3.（多選）(2023年天津市普通高中學(xué)業(yè)水平等級性考試物理）8.復(fù)興號動車在世界上首次實現(xiàn)速度350km/h自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創(chuàng)新的又一重大標(biāo)志性成果。一列質(zhì)量為m的動車，初速度為，以恒定功率P在平直軌道上運(yùn)動，經(jīng)時間t達(dá)到該功率下的最大速度，設(shè)動車行駛過程所受到的阻力F保持不變。動車在時間t內(nèi)（ ）
A. 做勻加速直線運(yùn)動B. 加速度逐漸減小
C. 牽引力功率D. 牽引力做功
答案:BC
解析：AB．動車的功率恒定，根據(jù)可知動車的牽引力減小，根據(jù)牛頓第二定律得
可知動車的加速度減小，所以動車做加速度減小的加速運(yùn)動，A錯誤，B正確；
C．當(dāng)加速度為0時，牽引力等于阻力，則額定功率為C正確；
D．動車功率恒定，在時間內(nèi)，牽引力做功為
根據(jù)動能定理得D錯誤。
故選BC。
4．(2023年浙江省6月普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試）11. 中國制造的某一型號泵車如圖所示，表中列出了其部分技術(shù)參數(shù)。已知混凝土密度為，假設(shè)泵車的泵送系統(tǒng)以的輸送量給高處輸送混凝土，則每小時泵送系統(tǒng)對混凝土做的功至少為（ ）
A. B. C. D.
答案:C
解析：泵車的泵送系統(tǒng)以的輸送量給高處輸送混凝土，每小時泵送系統(tǒng)對混凝土做的功，故選C。
5、 (2023·浙江省1月高中學(xué)業(yè)水平考試)如圖7所示，質(zhì)量均為m的三個小球分別從高度都為h的光滑固定斜面頂端由靜止滑到底端，三個斜面傾角不同，則( )
A．重力對小球做功均為mgh
B．彈力對小球做功均為mgh
C．重力的平均功率均相等
D．彈力的平均功率不相等
答案:A
解析：根據(jù)重力做功的特點可知，重力對小球做功均為mgh，選項A正確；彈力的方向與位移方向垂直，則彈力對小球做功均為0，選項B錯誤；根據(jù)a＝gsin θ，則t＝eq \r(\f(2h,asin θ))＝eq \r(\f(2h,gsin2θ))，因各個斜面的傾角θ不同，則下滑的時間不同，根據(jù)eq \(P,\s\up6(－))G＝eq \f(WG,t)可知，重力的平均功率不相等，選項C錯誤；根據(jù)eq \(P,\s\up6(－))N＝eq \f(WN,t)可知，彈力的平均功率都為零，選項D錯誤。
6、(2023·山東省等級考試模擬)我國自主研制的絞吸挖泥船“天鯤號”達(dá)到世界先進(jìn)水平。若某段工作時間內(nèi)，“天鯤號”的泥泵輸出功率恒為1×104 kW，排泥量為1.4 m3/s，排泥管的橫截面積為0.7 m2，則泥泵對排泥管內(nèi)泥漿的推力為( )
A．5×106 N B．2×107 N
C．2×109 N D．5×109 N
答案: A
解析：設(shè)排泥的流量為Q，t時間內(nèi)排泥的長度為
x＝eq \f(V,S)＝eq \f(Qt,S)＝eq \f(1.4,0.7)t＝2t
輸出的功W＝Pt
排泥的功W＝Fx
輸出的功都用于排泥，則解得F＝eq \f(Pt,x)＝5×106 N
故A正確，B、C、D錯誤。
7．(2023·浙江1月選考)如圖所示，質(zhì)量m＝2 kg的滑塊以v0＝16 m/s的初速度沿傾角θ＝37°的斜面上滑，經(jīng)t＝2 s滑行到最高點。然后，滑塊返回到出發(fā)點。已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求滑塊：
(1)最大位移值x；
(2)與斜面間的動摩擦因數(shù)μ；
(3)從最高點返回到出發(fā)點的過程中重力的平均功率eq \x\t(P)。
答案:(1)16 m (2)0.25 (3)67.9 W
解析：(1)滑塊向上做勻減速直線運(yùn)動，有x＝eq \f(v0,2)t
得x＝16 m。
(2)以沿斜面向下為正方向，加速度a1＝eq \f(Δv,t)＝8 m/s2
上滑過程a1＝eq \f(mgsin θ＋μmgcs θ,m)＝gsin θ＋μgcs θ
解得μ＝0.25。
(3)下滑過程a2＝eq \f(mgsin θ－μmgcs θ,m)＝gsin θ－μgcs θ＝4 m/s2，由運(yùn)動學(xué)公式vt＝eq \r(2a2x)＝8eq \r(2) m/s≈11.3 m/s
重力的平均功率eq \x\t(P)＝mgeq \x\t(v)cs(90°－θ)＝48eq \r(2) W≈67.9 W。新課程標(biāo)準(zhǔn)
1.理解功和功率。了解生產(chǎn)生活中常見機(jī)械的功率大小及其意義。
命題趨勢
考查的內(nèi)容主要體現(xiàn)對能量觀念的認(rèn)識、模型建構(gòu)和科學(xué)推理等物理學(xué)科的核心素養(yǎng)。通常命題角度：(1)功和功率；有時會與電場、磁場、電磁感應(yīng)等知識綜合考查。
試題情境
生活實踐類
汽車啟動問題，生產(chǎn)生活中，各種交通工具、各種體育比賽項目、各種生產(chǎn)工具、各種娛樂項目功和功率的應(yīng)用
風(fēng)力發(fā)電功率計算和傳送帶等．
學(xué)習(xí)探究類
功的正負(fù)判斷和大小計算、變力做功的計算、功率的分析與計算、機(jī)車啟動問題，
做功情形
圖例
備注
都做正功
(1)一對相互作用力做的總功與參考系無關(guān)
(2)一對相互作用力做的總功W＝Flcs α。l是相對位移，α是F與l間的夾角
(3)一對相互作用力做的總功可正、可負(fù)，也可為零
都做負(fù)功
一正一負(fù)
一為零
一為正
一為負(fù)
方法
以例說法
應(yīng)用動
能定理
用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F(xiàn)做功為WF，則有：WF－mgl(1－cs θ)＝0，得WF＝mgl(1－cs θ)
微元法
質(zhì)量為m的木塊在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，運(yùn)動一周克服摩擦力做功Wf＝f·Δx1＋f·Δx2＋f·Δx3＋…＝f(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝f·2πR
平均
力法
彈簧由伸長x1被繼續(xù)拉至伸長x2的過程中，克服彈力做功W＝eq \f(kx1＋kx2,2)·(x2－x1)
圖像法
水平拉力F0拉著一物體在水平面上運(yùn)動的位移為x0，圖線與橫軸所圍“面積”表示拉力所做的功，W＝eq \f(1,2)F0x0
轉(zhuǎn)化法
通過轉(zhuǎn)換研究對象把變力轉(zhuǎn)化為恒力做功，Δl＝l1－l2＝heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)－\f(1,sin β)))
WT＝WF＝FΔl＝Fheq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)－\f(1,sin β)))
發(fā)動機(jī)最大輸出功率（）
332
最大輸送高度（m）
63
整車滿載質(zhì)量（）
最大輸送量（）
180

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