高考物理一輪復(fù)習(xí)專題5.3萬有引力定律應(yīng)用二--衛(wèi)星的變軌和和雙星模型-(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考向一衛(wèi)星的變軌和對接問題
考向二天體的“追及相遇”問題
考向三雙星或多星模型
考向四星球穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的臨界和黑洞問題
衛(wèi)星的變軌和對接問題
一、變軌原理
當(dāng)衛(wèi)星開啟發(fā)動(dòng)機(jī)，或者受空氣阻力作用時(shí)，萬有引力不再等于衛(wèi)星所需向心力，衛(wèi)星的軌道將發(fā)生變化。
1．衛(wèi)星軌道的漸變
(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度增加時(shí)，G eq \f(Mm,r2)m eq \f(v2,r)，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，如果速度減小很緩慢，衛(wèi)星每轉(zhuǎn)一周均可看成做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道運(yùn)行時(shí)，由v＝ eq \r(\f(GM,r))可知其運(yùn)行速度比在原軌道時(shí)大。例如，人造衛(wèi)星受到高空稀薄大氣的摩擦力，軌道高度不斷降低。
2．衛(wèi)星軌道的突變：由于技術(shù)上的需要，有時(shí)要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r(shí)間內(nèi)啟動(dòng)飛行器上的發(fā)動(dòng)機(jī)，使飛行器軌道發(fā)生突變，使其進(jìn)入預(yù)定的軌道。如圖所示，發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)，可以分多過程完成：
(1)先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道Ⅰ，使其繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率為v。
(2)變軌時(shí)在P點(diǎn)點(diǎn)火加速，短時(shí)間內(nèi)將速率由v1增加到v2，這時(shí) eq \f(GMm,r2)m eq \f(v2,r)，變軌到低軌道，最后在橢圓軌道的近地點(diǎn)處返回地面。
3．衛(wèi)星變軌時(shí)一些物理量的定性分析
(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ、Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v4，在軌道Ⅱ上過P、Q點(diǎn)時(shí)的速率分別為v2、v3，在P點(diǎn)加速，則v2>v1；在Q點(diǎn)加速，則v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度：因?yàn)樵赑點(diǎn)不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過，P點(diǎn)到地心的距離都相同，衛(wèi)星的加速度都相同，設(shè)為aP。同理，在Q點(diǎn)加速度也相同，設(shè)為aQ。又因Q點(diǎn)到地心的距離大于P點(diǎn)到地心的距離，所以aQaC
C．質(zhì)量大小關(guān)系是mA>mB>mC
D．所受萬有引力合力的大小關(guān)系是FA＝FB＝FC
答案: C
解析：三星體系中三顆星的角速度ω相同，軌道半徑rAmB>mC，結(jié)合萬有引力定律，可知A與B之間的引力大于A與C之間的引力，又大于B與C之間的引力，又知A、B、C受到的兩個(gè)萬有引力之間的夾角都是相等的，根據(jù)兩個(gè)分力的角度一定時(shí)，兩個(gè)力越大，合力越大，可知FA>FB>FC，故D錯(cuò)誤．
練習(xí)5、雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為( )
A.eq \r(\f(n3,k2))T B.eq \r(\f(n3,k))T C.eq \r(\f(n2,k))T D.eq \r(\f(n,k))T
答案: B
解析：設(shè)原來雙星間的距離為L，質(zhì)量分別為M、m，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心距質(zhì)量為m的恒星距離為r，雙星間的萬有引力提供向心力，對質(zhì)量為m的恒星：Geq \f(Mm,L2)＝m(eq \f(2π,T))2·r，對質(zhì)量為M的恒星：Geq \f(Mm,L2)＝M(eq \f(2π,T))2(L－r)，得Geq \f(M＋m,L2)＝eq \f(4π2,T2)·L，即T2＝eq \f(4π2L3,G?M＋m?)；則當(dāng)總質(zhì)量為k(M＋m)，間距為L′＝nL時(shí)，T′＝eq \r(\f(n3,k))T，選項(xiàng)B正確．
練習(xí)6、(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式(如圖)：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行．設(shè)這三顆星的質(zhì)量均為M，并且兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同，則( )
A．直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同
B．直線三星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T＝4πReq \r(\f(R,5GM))
C．三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離L＝eq \r(3,\f(12,5))R
D．三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為eq \f(1,2)eq \r(\f(5GM,R))
答案:BC
解析：直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度大小相等，方向相反，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；直線三星系統(tǒng)中，對甲星有Geq \f(M2,R2)＋Geq \f(M2,?2R?2)＝Meq \f(4π2,T2)R，解得T＝4πReq \r(\f(R,5GM))，選項(xiàng)B正確；對三角形三星系統(tǒng)中任一顆星，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得2Geq \f(M2,L2)cs 30°＝Meq \f(4π2,T2)·eq \f(L,2cs 30°)，又由題知兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同，即T＝4πReq \r(\f(R,5GM))，聯(lián)立解得L＝eq \r(3,\f(12,5))R，選項(xiàng)C正確；三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為v＝eq \f(2πR,T)＝eq \f(2π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2cs 30°))),T)＝eq \f(\r(3),6)·eq \r(3,\f(12,5))·eq \r(\f(5GM,R))，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
【巧學(xué)妙記】
解決雙星、多星問題，要抓住四點(diǎn)
(1)根據(jù)雙星或多星的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。
(2)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。
(3)星體的角速度相等。
(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關(guān)系，正確計(jì)算萬有引力和向心力。
考向四星球穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的臨界和黑洞問題
當(dāng)星球自轉(zhuǎn)越來越快時(shí)，星球?qū)Τ嗟郎系奈矬w的引力不足以提供向心力時(shí)，物體將會(huì)“飄起來”，進(jìn)一步導(dǎo)致星球瓦解，其臨界條件是eq \f(GMm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R.
【典例7】(2023·全國卷Ⅱ·16)2018年2月，我國500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19 ms.假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案:C
解析：脈沖星自轉(zhuǎn)，邊緣物體m恰對球體無壓力時(shí)萬有引力提供向心力，則有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，又知M＝ρ·eq \f(4,3)πr3，整理得密度ρ＝eq \f(3π,GT2)＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×?5.19×10－3?2) kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.
【典例8】.(多選)[2022·河南省九師聯(lián)盟模擬(二)]2019年4月10日，數(shù)百名科學(xué)家發(fā)布了人類拍到的首張黑洞照片，如圖2所示。理論表明，黑洞質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系為eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，其中c為光速，G為引力常量。若觀察到黑洞周圍有一星體繞它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率為v，軌道半徑為r，則可知( )
A.該黑洞的質(zhì)量M＝eq \f(v2r,2G)B.該黑洞的質(zhì)量M＝eq \f(v2r,G)
C.該黑洞的半徑R＝eq \f(2v2r,c2)D.該黑洞的半徑R＝eq \f(v2r,c2)
答案: BC
解析：設(shè)黑洞的質(zhì)量為M，環(huán)繞天體的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力提供環(huán)繞天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，化簡可得黑洞的質(zhì)量為M＝eq \f(v2r,G)，故B正確，A錯(cuò)誤；根據(jù)黑洞的質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，可得黑洞的半徑為R＝eq \f(2GM,c2)＝eq \f(2v2r,c2)，故C正確，D錯(cuò)誤。
練習(xí)7、北京時(shí)間2019年4月10日晚21點(diǎn)，人類史上首張黑洞照片面世。黑洞的概念是：如果將大量物質(zhì)集中于空間一點(diǎn)，其周圍會(huì)產(chǎn)生奇異的現(xiàn)象，即在質(zhì)點(diǎn)周圍存在一個(gè)界面——事件視界面，一旦進(jìn)入界面，即使光也無法逃脫，黑洞的第二宇宙速度大于光速。把上述天體周圍事件視界面看做球面，球面的半徑稱為史瓦西半徑。已知地球的半徑約為6400 km，地球的第一宇宙速度為7.9 km/s，天體的第二宇宙速度是第一宇宙速度的 eq \r(2)倍，光速為3.0×108 m/s，假設(shè)地球保持質(zhì)量不變收縮成黑洞，則地球黑洞的史瓦西半徑最接近( )
A．1 mm B．1 cm C．1 m D．1 km
答案:B
解析：設(shè)地球半徑為R，則第一宇宙速度v1＝ eq \r(\f(GM,R))；當(dāng)?shù)厍蚴湛s成黑洞時(shí)，設(shè)半徑為R0，根據(jù)題意，這時(shí)的第二宇宙速度v2′＝ eq \r(2)v1′＝ eq \r(\f(2GM,R0))≥c，聯(lián)立可得R0≤ eq \f(2v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)),c2)R，代入數(shù)據(jù)得，R0的最大值R0max≈9×10－3 m≈1 cm，B正確。
練習(xí)8、2022·蘇州調(diào)研]一個(gè)物體靜止在質(zhì)量均勻的星球表面的“赤道”上。已知引力常量G，星球密度ρ，若由于星球自轉(zhuǎn)使物體對星球表面的壓力恰好為零，則該星球自轉(zhuǎn)的角速度為( )
A. eq \r(\f(4,3)ρGπ) B.eq \r(\f(3π,ρG)) C.eq \f(4,3)ρGπ D.eq \f(3π,ρG)
答案:A
解析：星球赤道上的物體，萬有引力等于重力與隨地球自轉(zhuǎn)向心力的和，即：eq \f(GMm,R2)＝mg＋mω2R，且物體對星球壓力N＝mg，若要使N＝0，則ω應(yīng)加大到滿足eq \f(GMm,R2)＝mω2R，得：ω＝eq \r(\f(GM,R3))，又因?yàn)镸＝ρ·eq \f(4,3)πR3代入ω＝eq \r(\f(GM,R3))得：ω＝eq \r(\f(Gρ4πR3,3R3))＝eq \r(\f(4πGρ,3))，故A選項(xiàng)正確，B、C、D錯(cuò)誤。
1. (多選)(2023·遼寧省葫蘆島市高三(上)期末)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖所示．三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長為R.忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，則( )
A．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為eq \r(\f(Gm,R))
B．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為eq \r(\f(3Gm,R3))
C．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2πeq \r(\f(R3,3Gm))
D．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)
2、(多選)(2023·湖北省名師聯(lián)盟高三入學(xué)調(diào)研)如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質(zhì)量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個(gè)頂點(diǎn)，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，忽略其他星體對它們的作用，引力常量為G.下列說法中正確的是( )
A．星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心不一定是正方形的中心
B．每個(gè)星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度均為eq \r(\f(?4＋\r(2)?Gm,2L3))
C．若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小是原來的兩倍
D．若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變
3、(2023·四川省綿陽市高三二診)2020年7月23日，天問一號火星探測器搭乘長征五號遙四運(yùn)載火箭成功發(fā)射，中國航天開啟了走向深空的新旅程．由著陸巡視器和環(huán)繞器組成的天問一號經(jīng)過如圖所示的發(fā)射、地火轉(zhuǎn)移、火星捕獲、火星停泊、科學(xué)探測和離軌著陸六個(gè)階段，其中的著陸巡視器于2021年5月15日著陸火星，則( )
A．天問一號發(fā)射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．天問一號在“火星停泊段”運(yùn)行的周期大于它在“科學(xué)探測段”運(yùn)行的周期
C．天問一號從圖示“火星捕獲段”需經(jīng)過加速才能運(yùn)動(dòng)到“火星停泊段”
D．著陸巡視器從圖示“離軌著陸段”至著陸火星過程，機(jī)械能守恒
4. (2023·遼寧省大連市高三雙基測試)2021年5月15日，中國火星探測工程執(zhí)行探測任務(wù)的飛船“天問一號”著陸巡視器成功著陸于火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)。若飛船“天問一號”從地球上發(fā)射到與火星會(huì)合，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中虛線橢圓所示，飛向火星過程中，太陽對飛船“天問一號”的引力遠(yuǎn)大于地球和火星對它的吸引力，認(rèn)為地球和火星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列說法正確的是( )
A．飛船“天問一號”橢圓運(yùn)動(dòng)的周期小于地球公轉(zhuǎn)的周期
B．在與火星會(huì)合前，飛船“天問一號”的加速度小于火星公轉(zhuǎn)的向心加速度
C．飛船“天問一號”在無動(dòng)力飛行飛向火星過程中，引力勢能增大，動(dòng)能減少，機(jī)械能守恒
D．飛船“天問一號”在地球上的發(fā)射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間
5．(2023·江淮十校高三上第二次聯(lián)考)一近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T0，地球的自轉(zhuǎn)周期為T，則地球的平均密度與地球不致因自轉(zhuǎn)而瓦解的最小密度之比為( )
A.eq \f(T0,T) B.eq \f(T,T0) C.eq \f(T02,T2) D.eq \f(T2,T02)
6.(2023·湖北省部分示范高中教學(xué)協(xié)作體高三上期末)我國已掌握“高速半彈道跳躍式再入返回技術(shù)”，為實(shí)現(xiàn)“嫦娥”飛船月地返回任務(wù)奠定基礎(chǔ)．如圖所示，假設(shè)與地球同球心的虛線球面為地球大氣層邊界，虛線球面外側(cè)沒有空氣，返回艙從a點(diǎn)無動(dòng)力滑入大氣層，然后經(jīng)b點(diǎn)從c點(diǎn)“跳出”，再經(jīng)d點(diǎn)從e點(diǎn)“躍入”實(shí)現(xiàn)多次減速，可避免損壞返回艙．d點(diǎn)為軌跡最高點(diǎn)，離地面高h(yuǎn)，已知地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G.則返回艙( )
A．在d點(diǎn)加速度小于eq \f(GM,?R＋h?2)
B．在d點(diǎn)速度等于eq \r(\f(GM,R＋h))
C．虛線球面上的c、e兩點(diǎn)離地面高度相等，所以vc和ve大小相等
D．虛線球面上的a、c兩點(diǎn)離地面高度相等，所以va和vc大小相等
7．(2023·東營模擬)(多選)根據(jù)科學(xué)家們的推測，雙星的運(yùn)動(dòng)是產(chǎn)生引力波的來源之一。假設(shè)宇宙中有一由a、b兩顆星組成的雙星系統(tǒng)，這兩顆星繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測得a星的周期為T，a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則( )
A．b星的周期為eq \f(l－Δr,l＋Δr)T
B．b星的線速度大小為eq \f(π?l－Δr?,T)
C．a(chǎn)、b兩星的軌道半徑之比為eq \f(l,l－Δr)
D．a(chǎn)、b兩星的質(zhì)量之比為eq \f(l－Δr,l＋Δr)
8、(2023·河北衡水中學(xué)三月份教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)我國相繼完成“神十”與“天宮”對接、“嫦娥”攜“玉兔”落月兩大航天工程．某航天愛好者提出“玉兔”回家的設(shè)想：如圖所示，將攜帶“玉兔”的返回系統(tǒng)由月球表面發(fā)射到h高度的軌道上，與在該軌道繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的飛船對接，然后由飛船送“玉兔”返回地球．設(shè)“玉兔”質(zhì)量為m，月球半徑為R，月面的重力加速度為g月．以月面為零勢能面，“玉兔”在h高度的引力勢能可表示為Ep＝eq \f(GMmh,R（R＋h）)，其中G為引力常量，M為月球質(zhì)量．若忽略月球的自轉(zhuǎn)，從開始發(fā)射到對接完成需要對“玉兔”做的功為( )
A.eq \f(mg月R,R＋h)(h＋2R) B.eq \f(mg月R,R＋h)(h＋eq \r(2)R) C.eq \f(mg月R,R＋h)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(h＋\f(\r(2),2)R)) D.eq \f(mg月R,R＋h)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(h＋\f(1,2)R))
1.. (2023·遼寧大連市第一次模擬)如圖所示，已知地球半徑為R，甲、乙兩顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)。衛(wèi)星甲做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道直徑為4R，C是軌道上任意一點(diǎn)；衛(wèi)星乙的軌道是橢圓，橢圓的長軸長為6R，A、B是軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)。不計(jì)衛(wèi)星間相互作用，下列說法正確的是( )
A. 衛(wèi)星甲在C點(diǎn)的速度一定小于衛(wèi)星乙在B點(diǎn)的速度
B.衛(wèi)星甲的周期大于衛(wèi)星乙的周期
C.衛(wèi)星甲在C點(diǎn)的速度一定小于衛(wèi)星乙在A點(diǎn)的速度
D.在任意相等的時(shí)間內(nèi)，衛(wèi)星甲與地心的連線掃過的面積一定等于衛(wèi)星乙與地心的連線掃過的面積
2．(多選) (2023·安徽省合肥市高三二模)如圖所示，雙星系統(tǒng)由質(zhì)量不相等的兩顆恒星P、Q組成，P、Q質(zhì)量分別為M、m(M>m)，它們圍繞共同的圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。從地球上A點(diǎn)看過去，雙星運(yùn)動(dòng)的平面與AO垂直，AO距離恒為L。觀測發(fā)現(xiàn)質(zhì)量較大的恒星P做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，運(yùn)動(dòng)范圍的最大張角為Δθ(單位是弧度)。已知引力常量為G，Δθ很小，可認(rèn)為sin Δθ＝tan Δθ＝Δθ，忽略其他星體對雙星系統(tǒng)的作用力。則( )
A．恒星Q的角速度為eq \f(2π,T) eq \r(\f(M,m))
B．恒星Q的軌道半徑為eq \f(ML·Δθ,2m)
C．恒星Q的線速度為eq \f(πML·Δθ,mT)
D．兩顆恒星的質(zhì)量m和M滿足的關(guān)系式為eq \f(m3,?m＋M?2)＝eq \f(π2?L·Δθ?3,2GT2)
3、(2023·福建省仙游高三上學(xué)期第三次質(zhì)檢)當(dāng)?shù)厍蛭挥谔柡湍拘侵g且三者幾乎排成一條直線時(shí)，稱之為“木星沖日”，若2022年9月26日出現(xiàn)一次“木星沖日”．已知木星與地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍．則下列說法正確的是( )
A．下一次的“木星沖日”時(shí)間肯定在2024年
B．下一次的“木星沖日”時(shí)間肯定在2023年
C．木星運(yùn)行的加速度比地球的大
D．木星運(yùn)行的周期比地球的小
4、(2023·濟(jì)南模擬)(多選)如圖所示是我國發(fā)射的“天問一號”火星探測器的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖。首先在地面上由長征五號運(yùn)載火箭將探測器發(fā)射升空，然后經(jīng)過漫長的七個(gè)月地火轉(zhuǎn)移飛行，到達(dá)近火點(diǎn)時(shí)精準(zhǔn)“剎車”被火星捕獲，成為環(huán)繞火星飛行的一顆衛(wèi)星。以下說法中正確的是( )
A．長征五號需要把“天問一號”加速到第二宇宙速度
B．近火點(diǎn)的“剎車”是為了減小火星對“天問一號”的引力
C．從火星停泊軌道向遙感軌道變軌過程，“天問一號”還需要在近火點(diǎn)制動(dòng)減速
D．“天問一號”沿遙感軌道運(yùn)行時(shí)在近火點(diǎn)處的動(dòng)能最小
5、（多選）(2023·陜西省咸陽市高三下5月檢測)截至2020年底，中國在軌衛(wèi)星數(shù)量大約400顆，居世界第二位?，F(xiàn)有質(zhì)量相同的三顆衛(wèi)星a、b、c繞地球沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中衛(wèi)星a為遙感衛(wèi)星“高分三號”，在半徑為R的圓軌道上運(yùn)行，經(jīng)過時(shí)間t，轉(zhuǎn)過的角度為θ，b、c為地球的同步衛(wèi)星，某時(shí)刻衛(wèi)星a、b恰好相距最近，已知地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω，引力常量為G，則( )
A．若要衛(wèi)星c與b實(shí)現(xiàn)對接，直接讓衛(wèi)星c加速即可
B．衛(wèi)星a和b下次相距最近還需的時(shí)間為t0＝ eq \f(2πt,θ－ωt)
C．地球質(zhì)量為M＝ eq \f(θ2R3,Gt2)
D．衛(wèi)星a的機(jī)械能大于衛(wèi)星b的機(jī)械能
6、 (2023·安徽省六安市毛坦廠中學(xué)高三上月考)“雙星系統(tǒng)”由相距較近的星球組成，每個(gè)星球的半徑均遠(yuǎn)小于兩者之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體，它們在彼此的萬有引力作用下，繞某一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，某一雙星系統(tǒng)中A星球的質(zhì)量為m1，B星球的質(zhì)量為m2，它們球心之間的距離為L，引力常量為G，則下列說法正確的是( )
A．B星球的軌道半徑為eq \f(m2,m1＋m2)L
B．A星球運(yùn)行的周期為2πL eq \r(\f(L,G?m1＋m2?))
C．A星球和B星球的線速度大小之比為m1∶m2
D．若在O點(diǎn)放一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則它受到兩星球的引力之和一定為零
7.(2023·安徽省合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)如圖為我國發(fā)射北斗衛(wèi)星的示意圖，先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r1＝r的圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到A點(diǎn)時(shí)使衛(wèi)星加速進(jìn)入橢圓軌道，到橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)，再次改變衛(wèi)星的速度，使衛(wèi)星進(jìn)入半徑為r2＝2r的圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知衛(wèi)星在橢圓軌道時(shí)距地心的距離與速度的乘積為定值，衛(wèi)星在橢圓軌道上A點(diǎn)時(shí)的速度為v，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，則發(fā)動(dòng)機(jī)在A點(diǎn)對衛(wèi)星做的功與在B點(diǎn)對衛(wèi)星做的功之差為(不計(jì)衛(wèi)星的質(zhì)量變化)( )
A.eq \f(3,4)mv2＋eq \f(3GMm,4r) B.eq \f(3,4)mv2－eq \f(3GMm,4r)
C.eq \f(5,8)mv2＋eq \f(3GMm,4r) D.eq \f(5,8)mv2－eq \f(3GMm,4r)
8、(多選)(2023·肇慶模擬)2019年人類天文史上首張黑洞圖片正式公布．在宇宙中當(dāng)一顆恒星靠近黑洞時(shí)，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統(tǒng)．在相互繞行的過程中，質(zhì)量較大的恒星上的物質(zhì)會(huì)逐漸被吸入到質(zhì)量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過程也被稱之為“潮汐瓦解事件”．天鵝座X－1就是一個(gè)由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．在剛開始吞噬的較短時(shí)間內(nèi)，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時(shí)間內(nèi)，下列說法正確的是( )
A．兩者之間的萬有引力變大
B．黑洞的角速度變大
C．恒星的線速度變大
D．黑洞的線速度變大
9、(2023吉林一中一模)將火星和地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)近似看成是同一平面內(nèi)的同方向繞行的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知火星的軌道半徑r1＝2.3×1011 m，地球的軌道半徑為r2＝1.5×1011 m，根據(jù)你所掌握的物理和天文知識，估算出火星與地球相鄰兩次距離最小的時(shí)間間隔約為( )
A．1年 B．2年
C．3年 D．4年
10、(2023·遼寧省高三上高考模擬)2020年7月23日，中國火星探測任務(wù)“天問一號”探測器在海南文昌航天發(fā)射場發(fā)射升空。如圖所示，已知地球和火星到太陽的距離分別為R和1.5R，若某火星探測器在地球軌道上的A點(diǎn)被發(fā)射出去，進(jìn)入預(yù)定的橢圓軌道，通過橢圓軌道到達(dá)遠(yuǎn)日點(diǎn)B進(jìn)行變速被火星俘獲。下列說法正確的是( )
A．探測器在橢圓軌道A點(diǎn)的速度等于地球的公轉(zhuǎn)速度
B．探測器由A點(diǎn)大約經(jīng)0.7年才能抵達(dá)火星附近的B點(diǎn)
C．地球和火星相鄰兩次相距最近的時(shí)間間隔約為2.2年
D．探測器在橢圓軌道A點(diǎn)的加速度小于在B點(diǎn)的加速度
11、(2023·河南省洛陽市高三下5月第三次統(tǒng)一考試)火星和地球之間的距離成周期性變化，每隔一定時(shí)間會(huì)為人類探測火星提供一次最佳窗口期。已知火星和地球的公轉(zhuǎn)軌道幾乎在同一平面內(nèi)，公轉(zhuǎn)方向相同，火星的軌道半徑約是地球軌道半徑的1.5倍，則最佳窗口期大約每隔多長時(shí)間會(huì)出現(xiàn)一次( )
A．18個(gè)月 B．24個(gè)月
C．26個(gè)月 D．36個(gè)月
12、(2023·沈陽模擬)如圖所示為人類歷史上第一張黑洞照片。黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無法逃逸，科學(xué)家一般通過觀測繞黑洞運(yùn)行的天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律間接研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度為v＝ eq \r(\f(2GM,R))，其中引力常量為G，M是該黑洞的質(zhì)量，R是該黑洞的半徑。若天文學(xué)家觀測到與該黑洞相距為r的天體以周期T繞該黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列關(guān)于該黑洞的說法正確的是( )
A．該黑洞的質(zhì)量為eq \f(GT2,4πr3)
B．該黑洞的質(zhì)量為eq \f(4πr3,GT2)
C．該黑洞的最大半徑為eq \f(4π2r3,c2)
D．該黑洞的最大半徑為eq \f(8π2r3,c2T2)
13、(2023·湖北省宜昌市調(diào)研)2013年我國相繼完成“神十”與“天宮”對接、“嫦娥”攜“玉兔”落月兩大航天工程．某航天愛好者提出“玉兔”回家的設(shè)想：如圖5，將攜帶“玉兔”的返回系統(tǒng)由月球表面發(fā)射到h高度的軌道上，與在該軌道繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的飛船對接，然后由飛船送“玉兔”返回地球．設(shè)“玉兔”質(zhì)量為m，月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g月．以月球表面為零勢能面，“玉兔”在h高度的引力勢能可表示為Ep＝eq \f(mg月Rh,R＋h).若忽略月球的自轉(zhuǎn)，求：
(1)“玉兔”在h高度的軌道上的動(dòng)能；
(2)從開始發(fā)射到對接完成需要對“玉兔”做的功．
1.(2023·北京高考)2021年5月，“天問一號”探測器成功在火星軟著陸，我國成為世界上第一個(gè)首次探測火星就實(shí)現(xiàn)“繞、落、巡”三項(xiàng)任務(wù)的國家?！疤靻栆惶枴痹诨鹦峭２窜壍肋\(yùn)行時(shí)，近火點(diǎn)距離火星表面2.8×102 km、遠(yuǎn)火點(diǎn)距離火星表面5.9×105 km，則“天問一號”( )
A．在近火點(diǎn)的加速度比遠(yuǎn)火點(diǎn)的小
B．在近火點(diǎn)的運(yùn)行速度比遠(yuǎn)火點(diǎn)的小
C．在近火點(diǎn)的機(jī)械能比遠(yuǎn)火點(diǎn)的小
D．在近火點(diǎn)通過減速可實(shí)現(xiàn)繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)
2、(2023·浙江6月選考)空間站在地球外層的稀薄大氣中繞行，因氣體阻力的影響，軌道高度會(huì)發(fā)生變化?？臻g站安裝有發(fā)動(dòng)機(jī)，可對軌道進(jìn)行修正。圖中給出了國際空間站在2020.02～2020.08期間離地高度隨時(shí)間變化的曲線，則空間站( )
A．繞地運(yùn)行速度約為2.0 km/s
B．繞地運(yùn)行速度約為8.0 km/s
C．在4月份繞行的任意兩小時(shí)內(nèi)機(jī)械能可視為守恒
D．在5月份繞行的任意兩小時(shí)內(nèi)機(jī)械能可視為守恒
3、（多選）(2023·福建高考)兩位科學(xué)家因?yàn)樵阢y河系中心發(fā)現(xiàn)了一個(gè)超大質(zhì)量的致密天體而獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。他們對一顆靠近銀河系中心的恒星S2的位置變化進(jìn)行了持續(xù)觀測，記錄到的S2的橢圓軌道如圖所示。圖中O為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，橢圓偏心率(離心率)約為0.87。P、Q分別為軌道的遠(yuǎn)銀心點(diǎn)和近銀心點(diǎn)，Q與O的距離約為120 AU(太陽到地球的距離為1 AU)，S2的運(yùn)行周期約為16年。假設(shè)S2的運(yùn)動(dòng)軌跡主要受銀河系中心致密天體的萬有引力影響，根據(jù)上述數(shù)據(jù)及日常的天文知識，可以推出( )
A．S2與銀河系中心致密天體的質(zhì)量之比
B．銀河系中心致密天體與太陽的質(zhì)量之比
C．S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的速度大小之比
D．S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的加速度大小之比
4.(2023·江蘇卷·4)1970年成功發(fā)射的“東方紅一號”是我國第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢圓軌道繞地球運(yùn)動(dòng)．如圖所示，設(shè)衛(wèi)星在近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度分別為v1、v2，近地點(diǎn)到地心的距離為r，地球質(zhì)量為M，引力常量為G.則( )
A．v1＞v2，v1＝eq \r(\f(GM,r)) B．v1＞v2，v1＞eq \r(\f(GM,r))
C．v1＜v2，v1＝eq \r(\f(GM,r)) D．v1＜v2，v1＞eq \r(\f(GM,r))
5、（多選）(2023湖北省新高考適應(yīng)性測試）9. 嫦娥五號取壤返回地球，完成了中國航天史上的一次壯舉。如圖所示為嫦娥五號著陸地球前部分軌道的簡化示意圖，其中軌道I是月地轉(zhuǎn)移軌道，在P點(diǎn)由軌道I變?yōu)槔@地橢圓軌道Ⅱ，在近地點(diǎn)Q再變?yōu)槔@地橢圓軌道Ⅲ。下列說法正確的是（）
A. 在軌道Ⅱ運(yùn)行時(shí)，嫦娥五號在Q點(diǎn)的機(jī)械能比在P點(diǎn)的機(jī)械能大
B. 嫦娥五號在軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期比在軌道Ⅲ上運(yùn)行的周期長
C. 嫦娥五號分別沿軌道Ⅱ和軌道Ⅲ運(yùn)行時(shí)，經(jīng)過Q點(diǎn)的向心加速度大小相等
D. 嫦娥五號分別沿軌道Ⅱ和軌道Ⅲ運(yùn)行時(shí)，經(jīng)過Q點(diǎn)速度大小相等
新課程標(biāo)準(zhǔn)
1．會(huì)計(jì)算人造地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2．知道牛頓力學(xué)的局限性，體會(huì)人類對自然界的探索是不斷深入的。
3．初步了解相對論時(shí)空觀。
4．關(guān)注宇宙起源和演化的研究進(jìn)展。
命題趨勢
考查的內(nèi)容多貼近生活實(shí)際，萬有引力定律在航空航天領(lǐng)域的應(yīng)用，人造衛(wèi)星、月球探測、嫦娥系列、北斗系列等。考查考生的情境分析能力，理解和反思質(zhì)疑能力，提取信息進(jìn)行物理情境構(gòu)建的能力，應(yīng)用基本規(guī)律分析、推理和計(jì)算的能力。
試題情境
生活實(shí)踐類
人造地球衛(wèi)星的比較
學(xué)習(xí)探究類
利用“重力加速度法”、“環(huán)繞法”衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)參量的分析與計(jì)算，人造衛(wèi)星，宇宙速度，
考點(diǎn)16萬有引力定律應(yīng)用二---衛(wèi)星的變軌和雙星模型
考向一衛(wèi)星的變軌和對接問題
考向二天體的“追及相遇”問題
考向三雙星或多星模型
考向四星球穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的臨界和黑洞問題
衛(wèi)星的變軌和對接問題
一、變軌原理
當(dāng)衛(wèi)星開啟發(fā)動(dòng)機(jī)，或者受空氣阻力作用時(shí)，萬有引力不再等于衛(wèi)星所需向心力，衛(wèi)星的軌道將發(fā)生變化。
1．衛(wèi)星軌道的漸變
(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度增加時(shí)，G eq \f(Mm,r2)m eq \f(v2,r)，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，如果速度減小很緩慢，衛(wèi)星每轉(zhuǎn)一周均可看成做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道運(yùn)行時(shí)，由v＝ eq \r(\f(GM,r))可知其運(yùn)行速度比在原軌道時(shí)大。例如，人造衛(wèi)星受到高空稀薄大氣的摩擦力，軌道高度不斷降低。
2．衛(wèi)星軌道的突變：由于技術(shù)上的需要，有時(shí)要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r(shí)間內(nèi)啟動(dòng)飛行器上的發(fā)動(dòng)機(jī)，使飛行器軌道發(fā)生突變，使其進(jìn)入預(yù)定的軌道。如圖所示，發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)，可以分多過程完成：
(1)先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道Ⅰ，使其繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率為v。
(2)變軌時(shí)在P點(diǎn)點(diǎn)火加速，短時(shí)間內(nèi)將速率由v1增加到v2，這時(shí) eq \f(GMm,r2)m eq \f(v2,r)，變軌到低軌道，最后在橢圓軌道的近地點(diǎn)處返回地面。
3．衛(wèi)星變軌時(shí)一些物理量的定性分析
(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ、Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v4，在軌道Ⅱ上過P、Q點(diǎn)時(shí)的速率分別為v2、v3，在P點(diǎn)加速，則v2>v1；在Q點(diǎn)加速，則v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度：因?yàn)樵赑點(diǎn)不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過，P點(diǎn)到地心的距離都相同，衛(wèi)星的加速度都相同，設(shè)為aP。同理，在Q點(diǎn)加速度也相同，設(shè)為aQ。又因Q點(diǎn)到地心的距離大于P點(diǎn)到地心的距離，所以aQaC
C．質(zhì)量大小關(guān)系是mA>mB>mC
D．所受萬有引力合力的大小關(guān)系是FA＝FB＝FC
答案: C
解析：三星體系中三顆星的角速度ω相同，軌道半徑rAmB>mC，結(jié)合萬有引力定律，可知A與B之間的引力大于A與C之間的引力，又大于B與C之間的引力，又知A、B、C受到的兩個(gè)萬有引力之間的夾角都是相等的，根據(jù)兩個(gè)分力的角度一定時(shí)，兩個(gè)力越大，合力越大，可知FA>FB>FC，故D錯(cuò)誤．
練習(xí)5、雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為( )
A.eq \r(\f(n3,k2))T B.eq \r(\f(n3,k))T C.eq \r(\f(n2,k))T D.eq \r(\f(n,k))T
答案: B
解析：設(shè)原來雙星間的距離為L，質(zhì)量分別為M、m，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心距質(zhì)量為m的恒星距離為r，雙星間的萬有引力提供向心力，對質(zhì)量為m的恒星：Geq \f(Mm,L2)＝m(eq \f(2π,T))2·r，對質(zhì)量為M的恒星：Geq \f(Mm,L2)＝M(eq \f(2π,T))2(L－r)，得Geq \f(M＋m,L2)＝eq \f(4π2,T2)·L，即T2＝eq \f(4π2L3,G?M＋m?)；則當(dāng)總質(zhì)量為k(M＋m)，間距為L′＝nL時(shí)，T′＝eq \r(\f(n3,k))T，選項(xiàng)B正確．
練習(xí)6、(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式(如圖)：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行．設(shè)這三顆星的質(zhì)量均為M，并且兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同，則( )
A．直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同
B．直線三星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T＝4πReq \r(\f(R,5GM))
C．三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離L＝eq \r(3,\f(12,5))R
D．三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為eq \f(1,2)eq \r(\f(5GM,R))
答案:BC
解析：直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度大小相等，方向相反，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；直線三星系統(tǒng)中，對甲星有Geq \f(M2,R2)＋Geq \f(M2,?2R?2)＝Meq \f(4π2,T2)R，解得T＝4πReq \r(\f(R,5GM))，選項(xiàng)B正確；對三角形三星系統(tǒng)中任一顆星，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得2Geq \f(M2,L2)cs 30°＝Meq \f(4π2,T2)·eq \f(L,2cs 30°)，又由題知兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同，即T＝4πReq \r(\f(R,5GM))，聯(lián)立解得L＝eq \r(3,\f(12,5))R，選項(xiàng)C正確；三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為v＝eq \f(2πR,T)＝eq \f(2π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2cs 30°))),T)＝eq \f(\r(3),6)·eq \r(3,\f(12,5))·eq \r(\f(5GM,R))，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
【巧學(xué)妙記】
解決雙星、多星問題，要抓住四點(diǎn)
(1)根據(jù)雙星或多星的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。
(2)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。
(3)星體的角速度相等。
(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關(guān)系，正確計(jì)算萬有引力和向心力。
考向四星球穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的臨界和黑洞問題
當(dāng)星球自轉(zhuǎn)越來越快時(shí)，星球?qū)Τ嗟郎系奈矬w的引力不足以提供向心力時(shí)，物體將會(huì)“飄起來”，進(jìn)一步導(dǎo)致星球瓦解，其臨界條件是eq \f(GMm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R.
【典例7】(2023·全國卷Ⅱ·16)2018年2月，我國500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19 ms.假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案:C
解析：脈沖星自轉(zhuǎn)，邊緣物體m恰對球體無壓力時(shí)萬有引力提供向心力，則有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，又知M＝ρ·eq \f(4,3)πr3，整理得密度ρ＝eq \f(3π,GT2)＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×?5.19×10－3?2) kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.
【典例8】.(多選)[2022·河南省九師聯(lián)盟模擬(二)]2019年4月10日，數(shù)百名科學(xué)家發(fā)布了人類拍到的首張黑洞照片，如圖2所示。理論表明，黑洞質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系為eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，其中c為光速，G為引力常量。若觀察到黑洞周圍有一星體繞它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率為v，軌道半徑為r，則可知( )
A.該黑洞的質(zhì)量M＝eq \f(v2r,2G)B.該黑洞的質(zhì)量M＝eq \f(v2r,G)
C.該黑洞的半徑R＝eq \f(2v2r,c2)D.該黑洞的半徑R＝eq \f(v2r,c2)
答案: BC
解析：設(shè)黑洞的質(zhì)量為M，環(huán)繞天體的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力提供環(huán)繞天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，化簡可得黑洞的質(zhì)量為M＝eq \f(v2r,G)，故B正確，A錯(cuò)誤；根據(jù)黑洞的質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，可得黑洞的半徑為R＝eq \f(2GM,c2)＝eq \f(2v2r,c2)，故C正確，D錯(cuò)誤。
練習(xí)7、北京時(shí)間2019年4月10日晚21點(diǎn)，人類史上首張黑洞照片面世。黑洞的概念是：如果將大量物質(zhì)集中于空間一點(diǎn)，其周圍會(huì)產(chǎn)生奇異的現(xiàn)象，即在質(zhì)點(diǎn)周圍存在一個(gè)界面——事件視界面，一旦進(jìn)入界面，即使光也無法逃脫，黑洞的第二宇宙速度大于光速。把上述天體周圍事件視界面看做球面，球面的半徑稱為史瓦西半徑。已知地球的半徑約為6400 km，地球的第一宇宙速度為7.9 km/s，天體的第二宇宙速度是第一宇宙速度的 eq \r(2)倍，光速為3.0×108 m/s，假設(shè)地球保持質(zhì)量不變收縮成黑洞，則地球黑洞的史瓦西半徑最接近( )
A．1 mm B．1 cm C．1 m D．1 km
答案:B
解析：設(shè)地球半徑為R，則第一宇宙速度v1＝ eq \r(\f(GM,R))；當(dāng)?shù)厍蚴湛s成黑洞時(shí)，設(shè)半徑為R0，根據(jù)題意，這時(shí)的第二宇宙速度v2′＝ eq \r(2)v1′＝ eq \r(\f(2GM,R0))≥c，聯(lián)立可得R0≤ eq \f(2v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)),c2)R，代入數(shù)據(jù)得，R0的最大值R0max≈9×10－3 m≈1 cm，B正確。
練習(xí)8、2022·蘇州調(diào)研]一個(gè)物體靜止在質(zhì)量均勻的星球表面的“赤道”上。已知引力常量G，星球密度ρ，若由于星球自轉(zhuǎn)使物體對星球表面的壓力恰好為零，則該星球自轉(zhuǎn)的角速度為( )
A. eq \r(\f(4,3)ρGπ) B.eq \r(\f(3π,ρG)) C.eq \f(4,3)ρGπ D.eq \f(3π,ρG)
答案:A
解析：星球赤道上的物體，萬有引力等于重力與隨地球自轉(zhuǎn)向心力的和，即：eq \f(GMm,R2)＝mg＋mω2R，且物體對星球壓力N＝mg，若要使N＝0，則ω應(yīng)加大到滿足eq \f(GMm,R2)＝mω2R，得：ω＝eq \r(\f(GM,R3))，又因?yàn)镸＝ρ·eq \f(4,3)πR3代入ω＝eq \r(\f(GM,R3))得：ω＝eq \r(\f(Gρ4πR3,3R3))＝eq \r(\f(4πGρ,3))，故A選項(xiàng)正確，B、C、D錯(cuò)誤。
1. (多選)(2023·遼寧省葫蘆島市高三(上)期末)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖所示．三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長為R.忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，則( )
A．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為eq \r(\f(Gm,R))
B．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為eq \r(\f(3Gm,R3))
C．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2πeq \r(\f(R3,3Gm))
D．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)
答案:ABC
解析：每顆星受到的合力為F＝2Geq \f(m2,R2)sin 60°＝eq \r(3)Geq \f(m2,R2)，軌道半徑為r＝eq \f(\r(3),3)R，由向心力公式得F＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r，解得a＝eq \f(\r(3)Gm,R2)，v＝eq \r(\f(Gm,R))，ω＝eq \r(\f(3Gm,R3))，T＝2πeq \r(\f(R3,3Gm))，顯然加速度a與m有關(guān)，故A、B、C正確，D錯(cuò)誤．
2、(多選)(2023·湖北省名師聯(lián)盟高三入學(xué)調(diào)研)如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質(zhì)量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個(gè)頂點(diǎn)，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，忽略其他星體對它們的作用，引力常量為G.下列說法中正確的是( )
A．星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心不一定是正方形的中心
B．每個(gè)星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度均為eq \r(\f(?4＋\r(2)?Gm,2L3))
C．若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小是原來的兩倍
D．若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變
答案:BD
解析：四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心一定是正方形的中心，故A錯(cuò)誤；由eq \r(2)Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(m2,?\r(2)L?2)＝(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝mω2·eq \f(\r(2),2)L，可知ω＝eq \r(\f(?4＋\r(2)?Gm,2L3))，故B正確；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝ma可知，若邊長L和星體質(zhì)量m均為原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小是原來的eq \f(1,2)，故C錯(cuò)誤；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝meq \f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為v＝eq \r(\f(?4＋\r(2)?Gm,4L))，所以若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變，故D正確．
3、(2023·四川省綿陽市高三二診)2020年7月23日，天問一號火星探測器搭乘長征五號遙四運(yùn)載火箭成功發(fā)射，中國航天開啟了走向深空的新旅程．由著陸巡視器和環(huán)繞器組成的天問一號經(jīng)過如圖所示的發(fā)射、地火轉(zhuǎn)移、火星捕獲、火星停泊、科學(xué)探測和離軌著陸六個(gè)階段，其中的著陸巡視器于2021年5月15日著陸火星，則( )
A．天問一號發(fā)射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．天問一號在“火星停泊段”運(yùn)行的周期大于它在“科學(xué)探測段”運(yùn)行的周期
C．天問一號從圖示“火星捕獲段”需經(jīng)過加速才能運(yùn)動(dòng)到“火星停泊段”
D．著陸巡視器從圖示“離軌著陸段”至著陸火星過程，機(jī)械能守恒
答案:B
解析：由于天問一號需要到達(dá)火星，因此其最終會(huì)脫離地球的引力束縛，其發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度，A錯(cuò)誤；由題圖可知，天問一號在“火星停泊段”運(yùn)行的軌道半長軸大于它在“科學(xué)探測段”運(yùn)行的軌道半長軸，則由開普勒第三定律有eq \f(r13,r23)＝eq \f(T12,T22)，可知天問一號在“火星停泊段”運(yùn)行的周期大于它在“科學(xué)探測段”運(yùn)行的周期，B正確；天問一號從“火星捕獲段”進(jìn)入軌道較低的“火星停泊段”，需要在近火點(diǎn)減速，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；假設(shè)著陸巡視器從“離軌著陸段”至著陸火星過程機(jī)械能守恒，則隨著著陸巡視器到火星表面的距離降低(重力勢能減小)，著陸巡視器的速度會(huì)越來越大(動(dòng)能增大)，到火星表面時(shí)速度達(dá)到最大，與實(shí)際情況不符(出于安全考慮，著陸巡視器著陸火星時(shí)，速度應(yīng)很小)，故假設(shè)不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
4. (2023·遼寧省大連市高三雙基測試)2021年5月15日，中國火星探測工程執(zhí)行探測任務(wù)的飛船“天問一號”著陸巡視器成功著陸于火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)。若飛船“天問一號”從地球上發(fā)射到與火星會(huì)合，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中虛線橢圓所示，飛向火星過程中，太陽對飛船“天問一號”的引力遠(yuǎn)大于地球和火星對它的吸引力，認(rèn)為地球和火星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列說法正確的是( )
A．飛船“天問一號”橢圓運(yùn)動(dòng)的周期小于地球公轉(zhuǎn)的周期
B．在與火星會(huì)合前，飛船“天問一號”的加速度小于火星公轉(zhuǎn)的向心加速度
C．飛船“天問一號”在無動(dòng)力飛行飛向火星過程中，引力勢能增大，動(dòng)能減少，機(jī)械能守恒
D．飛船“天問一號”在地球上的發(fā)射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間
答案:C
解析：根據(jù)開普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，可知飛船“天問一號”橢圓運(yùn)動(dòng)的半長軸大于地球公轉(zhuǎn)半徑，所以飛船“天問一號”橢圓運(yùn)動(dòng)的周期大于地球公轉(zhuǎn)的周期，A錯(cuò)誤；在與火星會(huì)合前，飛船“天問一號”距太陽的距離小于火星公轉(zhuǎn)半徑，所以根據(jù)牛頓第二定律Geq \f(Mm,r2)＝ma，可知，飛船“天問一號”的加速度大于火星公轉(zhuǎn)的向心加速度，B錯(cuò)誤；飛船“天問一號”在無動(dòng)力飛行飛向火星過程中，引力勢能增大，動(dòng)能減少，機(jī)械能守恒，C正確；飛船“天問一號”要脫離地球的束縛，所以發(fā)射速度大于第二宇宙速度，D錯(cuò)誤。
5．(2023·江淮十校高三上第二次聯(lián)考)一近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T0，地球的自轉(zhuǎn)周期為T，則地球的平均密度與地球不致因自轉(zhuǎn)而瓦解的最小密度之比為( )
A.eq \f(T0,T) B.eq \f(T,T0) C.eq \f(T02,T2) D.eq \f(T2,T02)
答案:D
解析：對近地衛(wèi)星，有 Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T0))2R，M＝ρ1·eq \f(4,3)πR3，聯(lián)立解得ρ1＝eq \f(3π,GT02)，以地球赤道處一質(zhì)量為m0的物體為研究對象，只有當(dāng)它受到的萬有引力大于或等于它隨地球一起旋轉(zhuǎn)所需的向心力時(shí)，地球才不會(huì)瓦解，設(shè)地球不因自轉(zhuǎn)而瓦解的最小密度為ρ2，則有Geq \f(Mm0,R2)＝m0(eq \f(2π,T))2R，M＝ρ2·eq \f(4,3)πR3，聯(lián)立解得ρ2＝eq \f(3π,GT2)，所以eq \f(ρ1,ρ2)＝eq \f(T2,T02)，故選D.
6.(2023·湖北省部分示范高中教學(xué)協(xié)作體高三上期末)我國已掌握“高速半彈道跳躍式再入返回技術(shù)”，為實(shí)現(xiàn)“嫦娥”飛船月地返回任務(wù)奠定基礎(chǔ)．如圖所示，假設(shè)與地球同球心的虛線球面為地球大氣層邊界，虛線球面外側(cè)沒有空氣，返回艙從a點(diǎn)無動(dòng)力滑入大氣層，然后經(jīng)b點(diǎn)從c點(diǎn)“跳出”，再經(jīng)d點(diǎn)從e點(diǎn)“躍入”實(shí)現(xiàn)多次減速，可避免損壞返回艙．d點(diǎn)為軌跡最高點(diǎn)，離地面高h(yuǎn)，已知地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G.則返回艙( )
A．在d點(diǎn)加速度小于eq \f(GM,?R＋h?2)
B．在d點(diǎn)速度等于eq \r(\f(GM,R＋h))
C．虛線球面上的c、e兩點(diǎn)離地面高度相等，所以vc和ve大小相等
D．虛線球面上的a、c兩點(diǎn)離地面高度相等，所以va和vc大小相等
答案:C
解析：在d點(diǎn)，由萬有引力提供向心力，則有eq \f(GMm,?R＋h?2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,?R＋h?2)，所以在d點(diǎn)加速度等于eq \f(GM,?R＋h?2)，A錯(cuò)誤；若返回艙在與d點(diǎn)相切的圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力，則有eq \f(GMm,?R＋h?2)＝meq \f(v2,R＋h)，解得v＝eq \r(\f(GM,R＋h)).而在d點(diǎn)時(shí)，由于返回艙做近心運(yùn)動(dòng)，則萬有引力大于所需的向心力，所以線速度小于eq \r(\f(GM,R＋h))，B錯(cuò)誤；從a到c過程由于空氣阻力做負(fù)功，動(dòng)能減小，c到e過程，沒有空氣阻力，只有引力做功，機(jī)械能守恒，所以a、b、c點(diǎn)的速度大小關(guān)系有va>vc＝ve，C正確，D錯(cuò)誤．
7．(2023·東營模擬)(多選)根據(jù)科學(xué)家們的推測，雙星的運(yùn)動(dòng)是產(chǎn)生引力波的來源之一。假設(shè)宇宙中有一由a、b兩顆星組成的雙星系統(tǒng)，這兩顆星繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測得a星的周期為T，a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則( )
A．b星的周期為eq \f(l－Δr,l＋Δr)T
B．b星的線速度大小為eq \f(π?l－Δr?,T)
C．a(chǎn)、b兩星的軌道半徑之比為eq \f(l,l－Δr)
D．a(chǎn)、b兩星的質(zhì)量之比為eq \f(l－Δr,l＋Δr)
答案:BD
解析：兩顆星繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以兩顆星的周期相等，則Tb＝Ta＝T，A錯(cuò)誤。a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則ra＋rb＝l、ra－rb＝Δr，所以ra＝eq \f(l＋Δr,2)、rb＝eq \f(l－Δr,2)。a、b兩星的軌道半徑之比eq \f(ra,rb)＝eq \f(l＋Δr,l－Δr)，b星的線速度大小vb＝eq \f(2πrb,T)＝eq \f(π?l－Δr?,T)，B正確，C錯(cuò)誤。兩顆星繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則Geq \f(mamb,l2)＝maraeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2＝mbrbeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，所以a、b兩星的質(zhì)量之比eq \f(ma,mb)＝eq \f(rb,ra)＝eq \f(l－Δr,l＋Δr)，D正確。
8、(2023·河北衡水中學(xué)三月份教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)我國相繼完成“神十”與“天宮”對接、“嫦娥”攜“玉兔”落月兩大航天工程．某航天愛好者提出“玉兔”回家的設(shè)想：如圖所示，將攜帶“玉兔”的返回系統(tǒng)由月球表面發(fā)射到h高度的軌道上，與在該軌道繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的飛船對接，然后由飛船送“玉兔”返回地球．設(shè)“玉兔”質(zhì)量為m，月球半徑為R，月面的重力加速度為g月．以月面為零勢能面，“玉兔”在h高度的引力勢能可表示為Ep＝eq \f(GMmh,R（R＋h）)，其中G為引力常量，M為月球質(zhì)量．若忽略月球的自轉(zhuǎn)，從開始發(fā)射到對接完成需要對“玉兔”做的功為( )
A.eq \f(mg月R,R＋h)(h＋2R) B.eq \f(mg月R,R＋h)(h＋eq \r(2)R) C.eq \f(mg月R,R＋h)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(h＋\f(\r(2),2)R)) D.eq \f(mg月R,R＋h)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(h＋\f(1,2)R))
答案:D
解析：本題以月面為零勢面，開始發(fā)射時(shí)，“玉兔”的機(jī)械能為零，對接完成時(shí)，“玉兔”的動(dòng)能和重力勢能都不為零，該過程對“玉兔”做的功等于“玉兔”機(jī)械能的增加．忽略月球的自轉(zhuǎn)，月球表面上，“玉兔”所受重力等于地球?qū)Α坝裢谩钡囊?，即Geq \f(Mm,R2)＝mg月，對于在h高處的“玉兔”，月球?qū)ζ涞娜f有引力提供向心力，即Geq \f(Mm,（R＋h）2)＝meq \f(v2,R＋h)，“玉兔”的動(dòng)能Ek＝eq \f(1,2)mv2，由以上可得，Ek＝eq \f(g月R2m,2（R＋h）).對“玉兔”做的功W＝Ek＋Ep＝eq \f(mg月R,R＋h)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(h＋\f(1,2)R)).選項(xiàng)D正確．
1.. (2023·遼寧大連市第一次模擬)如圖所示，已知地球半徑為R，甲、乙兩顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)。衛(wèi)星甲做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道直徑為4R，C是軌道上任意一點(diǎn)；衛(wèi)星乙的軌道是橢圓，橢圓的長軸長為6R，A、B是軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)。不計(jì)衛(wèi)星間相互作用，下列說法正確的是( )
圖5
A. 衛(wèi)星甲在C點(diǎn)的速度一定小于衛(wèi)星乙在B點(diǎn)的速度
B.衛(wèi)星甲的周期大于衛(wèi)星乙的周期
C.衛(wèi)星甲在C點(diǎn)的速度一定小于衛(wèi)星乙在A點(diǎn)的速度
D.在任意相等的時(shí)間內(nèi)，衛(wèi)星甲與地心的連線掃過的面積一定等于衛(wèi)星乙與地心的連線掃過的面積
答案:C
解析：如果衛(wèi)星乙以B點(diǎn)到地心的距離為半徑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度為vB，由公式Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))可知v甲C＞vB，衛(wèi)星乙從B點(diǎn)減速做近心運(yùn)動(dòng)才能進(jìn)入橢圓軌道，則衛(wèi)星乙在B點(diǎn)的速度小于vB，所以衛(wèi)星甲在C點(diǎn)的速度一定大于衛(wèi)星乙在B點(diǎn)的速度，故A錯(cuò)誤；由題意可知，衛(wèi)星甲的軌道半徑小于衛(wèi)星乙做橢圓運(yùn)動(dòng)的半長軸，由開普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知，衛(wèi)星甲的周期小于衛(wèi)星乙的周期，故B錯(cuò)誤；如果衛(wèi)星乙以A點(diǎn)到地心的距離為半徑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度為vA，由公式Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))可知，v甲C＜vA，衛(wèi)星乙從A點(diǎn)加速做離心運(yùn)動(dòng)才能進(jìn)入橢圓軌道，則衛(wèi)星乙在A點(diǎn)的速度大于vA，所以衛(wèi)星甲在C點(diǎn)的速度一定小于衛(wèi)星乙在A點(diǎn)的速度，故C正確；由開普勒第二定律可知，衛(wèi)星在同一軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)衛(wèi)星與地心的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，故D錯(cuò)誤。
2．(多選) (2023·安徽省合肥市高三二模)如圖所示，雙星系統(tǒng)由質(zhì)量不相等的兩顆恒星P、Q組成，P、Q質(zhì)量分別為M、m(M>m)，它們圍繞共同的圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。從地球上A點(diǎn)看過去，雙星運(yùn)動(dòng)的平面與AO垂直，AO距離恒為L。觀測發(fā)現(xiàn)質(zhì)量較大的恒星P做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，運(yùn)動(dòng)范圍的最大張角為Δθ(單位是弧度)。已知引力常量為G，Δθ很小，可認(rèn)為sin Δθ＝tan Δθ＝Δθ，忽略其他星體對雙星系統(tǒng)的作用力。則( )
A．恒星Q的角速度為eq \f(2π,T) eq \r(\f(M,m))
B．恒星Q的軌道半徑為eq \f(ML·Δθ,2m)
C．恒星Q的線速度為eq \f(πML·Δθ,mT)
D．兩顆恒星的質(zhì)量m和M滿足的關(guān)系式為eq \f(m3,?m＋M?2)＝eq \f(π2?L·Δθ?3,2GT2)
答案:BCD
解析：恒星P與Q具有相同的角速度，則角速度ω＝eq \f(2π,T)，A錯(cuò)誤；恒星P的軌道半徑R＝Ltan eq \f(Δθ,2)＝eq \f(1,2)L·Δθ，對雙星系統(tǒng)，有mω2r＝Mω2R，解得恒星Q的軌道半徑為r＝eq \f(ML·Δθ,2m)，B正確；恒星Q的線速度大小v1＝ωr＝eq \f(2π,T)·eq \f(ML·Δθ,2m)＝eq \f(πML·Δθ,mT)，C正確；對雙星系統(tǒng)，由萬有引力提供向心力有Geq \f(Mm,?R＋r?2)＝mω2r＝Mω2R，解得GM＝ω2r(r＋R)2，Gm＝ω2R(r＋R)2，相加得G(M＋m)＝ω2(R＋r)3，又由mω2r＝Mω2R，聯(lián)立可得eq \f(m3,?m＋M?2)＝eq \f(π2?L·Δθ?3,2GT2)，D正確。
3、(2023·福建省仙游高三上學(xué)期第三次質(zhì)檢)當(dāng)?shù)厍蛭挥谔柡湍拘侵g且三者幾乎排成一條直線時(shí)，稱之為“木星沖日”，若2022年9月26日出現(xiàn)一次“木星沖日”．已知木星與地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍．則下列說法正確的是( )
A．下一次的“木星沖日”時(shí)間肯定在2024年
B．下一次的“木星沖日”時(shí)間肯定在2023年
C．木星運(yùn)行的加速度比地球的大
D．木星運(yùn)行的周期比地球的小
答案:B
解析：設(shè)太陽質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，軌道半徑為r，周期為T，加速度為a.對行星由牛頓第二定律可得Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(4π2,T2)r，解得a＝eq \f(GM,r2)，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，由于木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍，因此，木星運(yùn)行的加速度比地球的小，木星運(yùn)行的周期比地球的大，故C、D錯(cuò)誤；地球
公轉(zhuǎn)周期T1＝1年，由T＝2πeq \r(\f(r3,GM))可知，木星公轉(zhuǎn)周期T2＝eq \r(125)T1≈11.2年．設(shè)經(jīng)時(shí)間t，再次出現(xiàn)“木星沖日”，則有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq \f(2π,T1)，ω2＝eq \f(2π,T2)，解得t≈1.1年，因此下一次“木星沖日”發(fā)生在2023年，故A錯(cuò)誤，B正確．
4、(2023·濟(jì)南模擬)(多選)如圖所示是我國發(fā)射的“天問一號”火星探測器的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖。首先在地面上由長征五號運(yùn)載火箭將探測器發(fā)射升空，然后經(jīng)過漫長的七個(gè)月地火轉(zhuǎn)移飛行，到達(dá)近火點(diǎn)時(shí)精準(zhǔn)“剎車”被火星捕獲，成為環(huán)繞火星飛行的一顆衛(wèi)星。以下說法中正確的是( )
A．長征五號需要把“天問一號”加速到第二宇宙速度
B．近火點(diǎn)的“剎車”是為了減小火星對“天問一號”的引力
C．從火星停泊軌道向遙感軌道變軌過程，“天問一號”還需要在近火點(diǎn)制動(dòng)減速
D．“天問一號”沿遙感軌道運(yùn)行時(shí)在近火點(diǎn)處的動(dòng)能最小
答案:AC
解析：“天問一號”要脫離地球的吸引，需要加速到第二宇宙速度，A正確；近火點(diǎn)的“剎車”是為了減小“天問一號”所需的向心力，B錯(cuò)誤；從火星停泊軌道向遙感軌道變軌過程，“天問一號”所需的向心力進(jìn)一步減小，需要在近火點(diǎn)制動(dòng)減速，C正確；“天問一號”沿遙感軌道運(yùn)行時(shí)在近火點(diǎn)處的動(dòng)能最大，D錯(cuò)誤。
5、（多選）(2023·陜西省咸陽市高三下5月檢測)截至2020年底，中國在軌衛(wèi)星數(shù)量大約400顆，居世界第二位?，F(xiàn)有質(zhì)量相同的三顆衛(wèi)星a、b、c繞地球沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中衛(wèi)星a為遙感衛(wèi)星“高分三號”，在半徑為R的圓軌道上運(yùn)行，經(jīng)過時(shí)間t，轉(zhuǎn)過的角度為θ，b、c為地球的同步衛(wèi)星，某時(shí)刻衛(wèi)星a、b恰好相距最近，已知地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω，引力常量為G，則( )
A．若要衛(wèi)星c與b實(shí)現(xiàn)對接，直接讓衛(wèi)星c加速即可
B．衛(wèi)星a和b下次相距最近還需的時(shí)間為t0＝ eq \f(2πt,θ－ωt)
C．地球質(zhì)量為M＝ eq \f(θ2R3,Gt2)
D．衛(wèi)星a的機(jī)械能大于衛(wèi)星b的機(jī)械能
答案:BC
解析：直接讓衛(wèi)星c加速，會(huì)導(dǎo)致其所受萬有引力不足以提供做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，致使該衛(wèi)星向高軌道運(yùn)動(dòng)，從而無法實(shí)現(xiàn)追上衛(wèi)星b并與其對接，故A錯(cuò)誤；衛(wèi)星a和b的角速度分別為ωb＝ω，ωa＝ eq \f(θ,t)，衛(wèi)星a和b下次相距最近還需的時(shí)間滿足(ωa－ωb)t0＝2π，聯(lián)立可得t0＝ eq \f(2πt,θ－ωt)，故B正確；衛(wèi)星a的角速度為ωa＝ eq \f(θ,t)＝ eq \f(2π,T)，解得周期為Ta＝ eq \f(2π,θ)t，根據(jù)牛頓第二定律有G eq \f(Mm,R2)＝m eq \f(4π2,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(a)))R，解得地球質(zhì)量為
M＝ eq \f(θ2R3,Gt2)，故C正確；衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道越高，需要的發(fā)射速度越大，質(zhì)量相等條件下的機(jī)械能越大，所以衛(wèi)星a的機(jī)械能小于衛(wèi)星b的機(jī)械能，故D錯(cuò)誤。
6、 (2023·安徽省六安市毛坦廠中學(xué)高三上月考)“雙星系統(tǒng)”由相距較近的星球組成，每個(gè)星球的半徑均遠(yuǎn)小于兩者之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體，它們在彼此的萬有引力作用下，繞某一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，某一雙星系統(tǒng)中A星球的質(zhì)量為m1，B星球的質(zhì)量為m2，它們球心之間的距離為L，引力常量為G，則下列說法正確的是( )
A．B星球的軌道半徑為eq \f(m2,m1＋m2)L
B．A星球運(yùn)行的周期為2πL eq \r(\f(L,G?m1＋m2?))
C．A星球和B星球的線速度大小之比為m1∶m2
D．若在O點(diǎn)放一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則它受到兩星球的引力之和一定為零
答案: B
解析：由于兩星球的周期相同，則它們的角速度也相同，設(shè)兩星球運(yùn)行的角速度為ω，軌道半徑分別為r1、r2，根據(jù)牛頓第二定律，對A星球有：Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，對B星球有：Geq \f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，得r1∶r2＝m2∶m1，又r1＋r2＝L，得r1＝eq \f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq \f(m1,m1＋m2)L，A錯(cuò)誤；根據(jù)Geq \f(m1m2,L2)＝m1eq \f(4π2,T2)r1，r1＝eq \f(m2,m1＋m2)L，解得A星球運(yùn)行的周期T＝2πL·eq \r(\f(L,G?m1＋m2?))，B正確；A星球和B星球的線速度大小之比eq \f(vA,vB)＝eq \f(ωr1,ωr2)＝eq \f(m2,m1)，C錯(cuò)誤；O點(diǎn)處質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受到B星球的萬有引力FB＝eq \f(Gm2m,r\\al(2,2))＝eq \f(Gm2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m1,m1＋m2)L))2)，受到A星球的萬有引力FA＝eq \f(Gm1m,r\\al(2,1))＝eq \f(Gm1m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,m1＋m2)L))2)，故該質(zhì)點(diǎn)受到兩星球的引力之和不為零，D錯(cuò)誤。
7.(2023·安徽省合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)如圖為我國發(fā)射北斗衛(wèi)星的示意圖，先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r1＝r的圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到A點(diǎn)時(shí)使衛(wèi)星加速進(jìn)入橢圓軌道，到橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)，再次改變衛(wèi)星的速度，使衛(wèi)星進(jìn)入半徑為r2＝2r的圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知衛(wèi)星在橢圓軌道時(shí)距地心的距離與速度的乘積為定值，衛(wèi)星在橢圓軌道上A點(diǎn)時(shí)的速度為v，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，則發(fā)動(dòng)機(jī)在A點(diǎn)對衛(wèi)星做的功與在B點(diǎn)對衛(wèi)星做的功之差為(不計(jì)衛(wèi)星的質(zhì)量變化)( )
A.eq \f(3,4)mv2＋eq \f(3GMm,4r) B.eq \f(3,4)mv2－eq \f(3GMm,4r)
C.eq \f(5,8)mv2＋eq \f(3GMm,4r) D.eq \f(5,8)mv2－eq \f(3GMm,4r)
答案:D
解析：當(dāng)在r1＝r的圓軌道上運(yùn)行時(shí)，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v02,r)，解得在圓軌道上運(yùn)行時(shí)通過A點(diǎn)的速度為v0＝eq \r(\f(GM,r))，所以發(fā)動(dòng)機(jī)在A點(diǎn)對衛(wèi)星做的功為W1＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(GMm,2r)；當(dāng)在r2＝2r的圓軌道上運(yùn)行時(shí)，有Geq \f(Mm,?2r?2)＝meq \f(v0′2,2r)，解得在圓軌道上運(yùn)行時(shí)通過B點(diǎn)的速度為v0′＝ eq \r(\f(GM,2r))，而根據(jù)題意可知在橢圓軌道上通過B點(diǎn)時(shí)的速度為v1＝eq \f(r1,r2)v＝eq \f(1,2)v，故發(fā)動(dòng)機(jī)在B點(diǎn)對衛(wèi)星做的功為W2＝eq \f(1,2)mv0′2－eq \f(1,2)mv12＝eq \f(GMm,4r)－eq \f(1,8)mv2，所以W1－W2＝eq \f(5,8)mv2－eq \f(3GMm,4r)，D正確。
8、(多選)(2023·肇慶模擬)2019年人類天文史上首張黑洞圖片正式公布．在宇宙中當(dāng)一顆恒星靠近黑洞時(shí)，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統(tǒng)．在相互繞行的過程中，質(zhì)量較大的恒星上的物質(zhì)會(huì)逐漸被吸入到質(zhì)量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過程也被稱之為“潮汐瓦解事件”．天鵝座X－1就是一個(gè)由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．在剛開始吞噬的較短時(shí)間內(nèi)，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時(shí)間內(nèi)，下列說法正確的是( )
A．兩者之間的萬有引力變大
B．黑洞的角速度變大
C．恒星的線速度變大
D．黑洞的線速度變大
答案:AC
解析：假設(shè)恒星和黑洞的質(zhì)量分別為M、m，環(huán)繞半徑分別為R、r，且m

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