【知識(shí)要點(diǎn)】
第一種 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d）
三點(diǎn)定圓的畫(huà)法：
1）連接線段AB,BC。
2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點(diǎn)為O，此時(shí)OA=OB=OC。
于是以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑，便可作出經(jīng)過(guò)A、B、C的圓，這樣的圓只能是
一個(gè)。
定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。
第二種 直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。
切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線長(zhǎng)定義：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。
切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。
第三種 圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：
兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。
三角形外接圓的概念：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。
外接圓圓心和三角形位置關(guān)系：
1）銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；
2）直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；
3）鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）。
三角形內(nèi)切圓的概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。
【擴(kuò)展】三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心
考查題型一 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
典例1．(2023·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知長(zhǎng)方形中，，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)與圓A的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi)B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外
C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi)D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外
變式1-1．(2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外時(shí)，的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
變式1-2．(2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）點(diǎn)是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)到上的點(diǎn)的最小距離是，最大距離是，則的半徑是______．
考查題型二 直線與圓的位置關(guān)系
典例2．(2023·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考中考真題）如圖是“光盤(pán)行動(dòng)”的宣傳海報(bào)，圖中餐盤(pán)與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．相交C．相離D．平行
變式2-1．(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知平面內(nèi)有和點(diǎn)，，若半徑為，線段，，則直線與的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相交C．相切D．相交或相切
變式2-2．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，當(dāng)時(shí)，與的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．無(wú)法確定
變式2-3．(2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）若正方形的邊長(zhǎng)為2，則的周長(zhǎng)是______．
（2）下列結(jié)論：①；②若是的中點(diǎn)，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是______（把你認(rèn)為所有正確的都填上）．
變式2-4．(2023·上海·統(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，圓O的半徑為2，如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么線段AO長(zhǎng)的取值范圍是____．
考查題型三 切線的判定定理
典例3．(2023·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙的直徑，過(guò)圓上一點(diǎn)作⊙的切線交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．
(1)直線與⊙相切嗎？并說(shuō)明理由；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
變式3-1．(2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，∠ =45°，，以為直徑的⊙與邊交于點(diǎn)．
(1)判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若，求圖中陰影部分的面積．
變式3-2．(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，，直線，，點(diǎn)O在BD上．
(1)判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．
變式3-3．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，的頂點(diǎn)、在⊙上，頂點(diǎn)在⊙外，邊與⊙相交于點(diǎn)，，連接、，已知．
(1)求證：直線是⊙的切線；
(2)若線段與線段相交于點(diǎn)，連接．
①求證：；
②若，求⊙的半徑的長(zhǎng)度．
變式3-4．(2023·四川南充·中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)E．
(1)求證：是的切線．
(2)若，求的值．
變式3-5．(2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過(guò)⊙O上一點(diǎn)C的直線，且AD⊥DC于點(diǎn)D，AC平分∠BAD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，OE＝6cm．
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)求AD的長(zhǎng)．
變式3-6．(2023·山東濰坊·中考真題）筒車(chē)是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，車(chē)輪縛以竹簡(jiǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)低則舀水，高則瀉水．如圖，水力驅(qū)動(dòng)筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，竹筒把水引至A處，水沿射線方向?yàn)a至水渠，水渠所在直線與水面平行；設(shè)筒車(chē)為，與直線交于P，Q兩點(diǎn)，與直線交于B，C兩點(diǎn)，恰有，連接．
(1)求證：為的切線；
(2)筒車(chē)的半徑為，．當(dāng)水面上升，A，O，Q三點(diǎn)恰好共線時(shí)，求筒車(chē)在水面下的最大深度（精確到，參考值：）．
考查題型四 切線的性質(zhì)定理
典例4．(2023·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長(zhǎng)線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是( )
A．25°B．35°C．40°D．50°
變式4-1．(2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
變式4-2．(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，已知三角形為直角三角形，，BC為切線，為切點(diǎn)，則和面積之比為（ ）
A．B．C．D．
變式4-3．(2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的切線，B為切點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．若，且，則的長(zhǎng)度是（ ）
A．3B．4C．D．
變式4-4．(2023·四川眉山·中考真題）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿，分別相切于點(diǎn)，，不倒翁的鼻尖正好是圓心，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
變式4-5．(2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）為⊙外一點(diǎn)，與⊙相切于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
變式4-6．(2023·寧夏·中考真題）把量角器和含角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長(zhǎng)直角邊重合，移動(dòng)量角器使外圓弧與斜邊相切時(shí)，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度處，短直角邊過(guò)量角器外沿刻度處（即，）．則陰影部分的面積為（ ）
A．B．
C．D．
變式4-7．(2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，、是的弦，過(guò)點(diǎn)A的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則___________°．
變式4-8．(2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，點(diǎn)O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為_(kāi)__________．
變式4-9．(2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，半徑為1的在內(nèi)平移（可以與該三角形的邊相切），則點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離的最大值為_(kāi)_______．
變式4-10．(2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙于點(diǎn)A，長(zhǎng)邊與⊙相切于點(diǎn)B，角尺的直角頂點(diǎn)為C，已知，則⊙的半徑為_(kāi)____．
考查題型五 利用切線長(zhǎng)定理求解與證明
典例5．(2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接，，，，，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
變式5-1．(2023·湖南永州·中考真題）如圖，已知是的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，線段交于點(diǎn)M．給出下列四種說(shuō)法：①；②；③四邊形有外接圓；④M是外接圓的圓心，其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
變式5-2．(2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）________．
變式5-3．(2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)為⊙外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線、，點(diǎn)、為切點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．已知，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
變式5-4．(2023·江西·統(tǒng)考中考真題）（1）課本再現(xiàn)：在中，是所對(duì)的圓心角，是所對(duì)的圓周角，我們?cè)跀?shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)圓心O與的位置關(guān)系進(jìn)行分類．圖1是其中一種情況，請(qǐng)你在圖2和圖3中畫(huà)出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關(guān)系中任選一種情況證明；
（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖4，若的半徑為2，分別與相切于點(diǎn)A，B，，求的長(zhǎng)．
變式5-5．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在四邊形中，，，是的直徑，平分．
（1）求證：直線與相切；
（2）如圖2，記（1）中的切點(diǎn)為，為優(yōu)弧上一點(diǎn)，，.求的值．
考查題型六 三角形外接圓的相關(guān)計(jì)算
典例6．(2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（ ）
A．B．C．D．
變式6-1．(2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的外接圓，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，；④，其中一定正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
變式6-2．(2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，CD是的直徑．若，弦，則的值為（ ）
A．B．C．D．
變式6-3．(2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，△BCD內(nèi)接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交?O于點(diǎn)A，連接AC，則∠OAC的度數(shù)為（ ）
A．40°B．55°C．70°D．110°
變式6-4．(2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形．若，，則的半徑是______．
變式6-5．(2023·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，各小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是的外心，在不添加其他字母的情況下，則除外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫(xiě)出來(lái)__________________________．
變式6-6．(2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，點(diǎn)，，均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)，在上，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．
考查題型七 三角形內(nèi)切圓的相關(guān)計(jì)算
典例7．(2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，過(guò)△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點(diǎn)E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
變式7-1．(2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形材料中， ，，，，．現(xiàn)用此材料截出一個(gè)面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（ ）
A．B．C．D．
變式7-2．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊內(nèi)切的圖形來(lái)自我國(guó)古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊的內(nèi)心成中心對(duì)稱，則圓中的黑色部分的面積與的面積之比是（ ）
A．B．C．D．
變式7-3．(2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和的外接圓相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②若，則；③若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則；④．其中一定正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
變式7-4．(2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，D，P是上一點(diǎn)，則∠EPF的度數(shù)是（ ）
A．65°B．60°C．58°D．50°
變式7-5．(2023·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，在△ABC中點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心,∠A=60°,CD=2,BD=4．則△DBC的面積是（ ）
A．4B．2C．2D．4
變式7-6．(2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為_(kāi)_____．
變式7-7．(2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成，點(diǎn)、、、在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，，則內(nèi)心的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
變式7-8．(2023·四川達(dá)州·中考真題）已知的三邊a、b、c滿足，則的內(nèi)切圓半徑=____．
變式7-9．(2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）在中，，，，則的內(nèi)切圓的半徑為_(kāi)_________．
變式7-10．(2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知：．
(1)尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出內(nèi)切圓的圓心O；（只保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）
(2)如果的周長(zhǎng)為14，內(nèi)切圓的半徑為1.3，求的面積．
考查題型八 圓與圓的位置關(guān)系
典例8．(2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）實(shí)驗(yàn)學(xué)校的花壇形狀如圖所示，其中，等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，且⊙O1經(jīng)過(guò)⊙O2的圓心O2．已知實(shí)線部分為此花壇的周長(zhǎng)，則花壇的周長(zhǎng)為（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
變式8-1．(2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，在平面內(nèi)，，兩兩外切，其中的半徑為8，，的半徑都為5．用一張半徑為R的圓形紙片把這三個(gè)圓完全覆蓋，則R的最小值為（ ）
A．B．10C．13D．15
變式8-2．(2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）已知⊙O的半徑OA長(zhǎng)為3，點(diǎn)B在線段OA上，且OB＝2，如果⊙B與⊙O有公共點(diǎn)，那么⊙B的半徑r的取值范圍是（ ）
A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤5
變式8-3．(2023·上海楊浦·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以點(diǎn)C為圓心、DC長(zhǎng)為半徑的圓C和以點(diǎn)E為圓心、EB長(zhǎng)為半徑的圓E的位置關(guān)系是（）
A．外離B．外切C．相交D．不能確定
變式8-4．(2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）中，已知，以點(diǎn)A、B、C為圓心的圓分別記作圓A、圓B、圓C，這三個(gè)圓的半徑長(zhǎng)都是2，那么下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．圓A與圓C相交B．圓B與圓C外切
C．圓A與圓B外切D．圓A與圓B外離．
位置關(guān)系
圖形
定義
性質(zhì)及判定
點(diǎn)在圓外

點(diǎn)在圓的外部
d>r?點(diǎn)P在圓外
點(diǎn)在圓上
點(diǎn)在圓周上
d=r?點(diǎn)P在圓上
點(diǎn)在圓內(nèi)

點(diǎn)在圓的內(nèi)部
dr?直線l與⊙O相離
相切
直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)
d=r?直線l與⊙O相切
相交
直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線
dR+r?兩圓外離
外切
圖2
兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．
d=R+r?兩圓外切
相交
圖3
兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．
R?r

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