【知識要點(diǎn)】
菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
菱形的性質(zhì)：
1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
2）四條邊都相等；
3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角。
4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點(diǎn)，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心。
菱形的判定：
1）A
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
2）四條邊相等的四邊形是菱形。
3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
菱形的面積公式：菱形ABCD的對角線是AC、BD，則菱形的面積公式是：S＝底×高，S＝
考查題型一 利用菱形的性質(zhì)求角度
典例1．(2023·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將菱形紙片沿著線段剪成兩個全等的圖形，則的度數(shù)是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
變式1-1．(2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形紙片ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在上，連接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，則的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．80°D．90°
變式1-2．(2023·湖北黃岡·中考真題）若菱形的周長為16，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為（ ）
A．B．C．D．
變式1-3．(2023·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成，根據(jù)實(shí)際需要可以調(diào)節(jié)間的距離，若間的距離調(diào)節(jié)到60，菱形的邊長，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
變式1-4．(2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果．圖②是一個菱形，將圖②截去一個邊長為原來一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中的度數(shù)是__________．
變式1-5．(2023·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是菱形ABCD的一條對角線，點(diǎn)E在BC的延長線上，若，則的度數(shù)為_________度．
變式1-6．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，取大于的長為半徑，分別以點(diǎn)，為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過此兩點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)（作圖痕跡如圖所示），連接，，則的度數(shù)為_________．
考查題型二 利用菱形的性質(zhì)求線段長
典例2．(2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是菱形，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2，2），（﹣1，﹣），點(diǎn)D在第一象限，且AD∥x軸，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）
A．（6，2）B．（8，2）C．（6，）D．（8，）
變式2-1．(2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形對角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
變式2-2．(2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE + PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
變式2-3．(2023·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知菱形的邊長為4，E是的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)F， 交于點(diǎn)G，若，則的長是（ ）
A．3B．C．D．
變式2-4．(2023·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對角線BD上的一個動點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
變式2-5．(2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，．若M、N分別是邊上的動點(diǎn)，且，作，垂足分別為E、F，則的值為______．
變式2-6．(2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時，EF的長為________；當(dāng)點(diǎn)M的位置變化時，DF長的最大值為________．
變式2-7．(2023·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，菱形的對角線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
變式2-8．(2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在菱形ABCD中，對角線AC和BD的長分別是6和8，以AD為直角邊向菱形外作等腰直角三角形ADE．連接CE．請用尺規(guī)或三角板作出圖形，并直接寫出線段CE的長．
考查題型三 利用菱形的性質(zhì)求面積
典例3．(2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的兩個根是菱形的兩條對角線長，則這個菱形的面積為（ ）
A．6B．10C．12D．24
變式3-1．(2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接．若菱形的面積為8，則的面積為（ ）
A．2B．3C．4D．5
變式3-2(2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，連接CE交對角線BD于點(diǎn)F．若∠DEF＝∠DFE，則這個菱形的面積為（ ）
A．16B．6C．12D．30
變式3-3．(2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，分別以點(diǎn)，為圓心，，長為半徑畫弧，分別交對角線于點(diǎn)，．若，，則圖中陰影部分的面積為_________．（結(jié)果不取近似值）
變式3-4．(2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線，，分別以點(diǎn)A，B，C，D為圓心，的長為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為__________．（結(jié)果保留）
變式3-5．(2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）菱形中，對角線，則菱形的高等于___________．
變式3-6．(2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的邊長為10， ，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對角線BD上，連接AE，作且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．
(1)求菱形的面積；
(2)求證．
變式3-7．(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，在格點(diǎn)上，每一個小正方形的邊長為1．
（1）以為邊畫菱形，使菱形的其余兩個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（畫出一個即可）．
（2）計(jì)算你所畫菱形的面積．
考查題型四 添加一個條件證明四邊形是菱形
典例4．(2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是（ ）
A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形
C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形
變式4-1．(2023·山東德州·中考真題）如圖，下列條件中能使成為菱形的是（ ）
A．B．C．D．
變式4-2．(2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是______________．（只需寫出一個條件即可）
變式4-3．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形是平行四邊形，從①，②，③中選擇一個作為條件，補(bǔ)充后使四邊形成為菱形，則其選擇是___（限填序號）．
30．(2023·浙江舟山·中考真題）小惠自編一題：“如圖，在四邊形中，對角線，交于點(diǎn)O，，，求證：四邊形是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．

若贊同小惠的證法，請?jiān)诘谝粋€方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說法，請你補(bǔ)充一個條件，并證明．
變式4-4．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在的邊，上，，連接，．請從以下三個條件：①；②；③中，選擇一個合適的作為已知條件，使為菱形．
(1)你添加的條件是______（填序號）；
(2)添加了條件后，請證明為菱形．
考查題型五 菱形的證明
典例5．(2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，CD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長是_______．
變式5-1．(2023·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連接CE．
(1)求證：四邊形AECD為菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．
變式5-2．(2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，延長到點(diǎn)，使，且．
(1)求證：四邊形為菱形；
(2)若是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)、、分別在線段、、上運(yùn)動，求的最小值．
變式5-3．(2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt中，，．點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E.延長至點(diǎn)F，使得，連接、、．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，則的值為_______．
變式5-4．(2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）【閱讀材料】
【解答問題】
請根據(jù)材料中的信息，證明四邊形是菱形．
變式5-5．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且，連接BF．FD，DE，EB．
求證：四邊形DEBF是菱形．
變式5-6．(2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在⊙O中， ，OC與AD相交于點(diǎn)E．求證：
（1）AD∥BC
（2）四邊形BCDE為菱形．
變式5-7．(2023·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，且．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求的面積．
變式5-8．(2023·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）在復(fù)習(xí)菱形的判定方法時，某同學(xué)進(jìn)行了畫圖探究，其作法和圖形如下：
①畫線段AB；
②分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB長的一半為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)O；
③在直線MN上取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)O重合），連接AC、BC；
④過點(diǎn)A作平行于BC的直線AD，交直線MN于點(diǎn)D，連接BD．
（1）根據(jù)以上作法，證明四邊形ADBC是菱形；
（2）該同學(xué)在圖形上繼續(xù)探究，他以點(diǎn)O為圓心作四邊形ADBC的內(nèi)切圓，構(gòu)成如圖所示的陰影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求圖中陰影部分的面積．
變式5-9．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE．
(1)如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；
(2)如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC．
（ⅰ）求∠CED的大?。?br>（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．
老師的問題：
已知：如圖，．
求作：菱形，使點(diǎn)C，D分別在上．
小明的作法：
（1）以A為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)D；
（2）以B為圓心，長為半經(jīng)畫弧，交于點(diǎn)C；
（3）連接．
四邊形就是所求作的菱形，
專題25 特殊的平行四邊形-菱形
【考查題型】
【知識要點(diǎn)】
菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
菱形的性質(zhì)：
1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
2）四條邊都相等；
3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角。
4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點(diǎn)，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心。
菱形的判定：
1）A
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
2）四條邊相等的四邊形是菱形。
3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
菱形的面積公式：菱形ABCD的對角線是AC、BD，則菱形的面積公式是：S＝底×高，S＝
考查題型一 利用菱形的性質(zhì)求角度
典例1．(2023·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將菱形紙片沿著線段剪成兩個全等的圖形，則的度數(shù)是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
答案:C
分析：根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得出答案．
【詳解】解：∵紙片是菱形
∴對邊平行且相等
∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要知道兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
變式1-1．(2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形紙片ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在上，連接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，則的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．80°D．90°
答案:C
分析：由翻折的性質(zhì)知∠BAE==50°，=AB，再由菱形的性質(zhì)得∠BAD=120°，=AD，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠C=120°，
∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，
∵將△ABE沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在上，
∴∠BAE==50°，=AB，
∴=100°，=AD，
∴=20°，
∴==（180°-20°）÷2=80°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，求出=20°是解題的關(guān)鍵．
變式1-2．(2023·湖北黃岡·中考真題）若菱形的周長為16，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性質(zhì)得到AB＝4，利用正弦的定義得到∠B＝30°，則∠C＝150°，從而得到∠C：∠B的比值．
【詳解】解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周長為16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了正弦的定義及應(yīng)用．
變式1-3．(2023·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成，根據(jù)實(shí)際需要可以調(diào)節(jié)間的距離，若間的距離調(diào)節(jié)到60，菱形的邊長，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：如圖（見解析），先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)全等的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．
【詳解】如圖，連接AC
四邊形ABCD是菱形
如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成，
是等邊三角形
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，理解題意，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式1-4．(2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果．圖②是一個菱形，將圖②截去一個邊長為原來一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中的度數(shù)是__________．
答案:60
分析：先確定∠BAD的度數(shù)，再利用菱形的對邊平行，利用平行線的性質(zhì)即可求出∠ABC的度數(shù)．
【詳解】如圖，∵∠BAD=∠BAE=∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°，
∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°，
∵BC∥AD，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
故答案為：60．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與學(xué)生讀題審題的能力，解題關(guān)鍵是理解題意，求出∠BAD的度數(shù)．
變式1-5．(2023·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是菱形ABCD的一條對角線，點(diǎn)E在BC的延長線上，若，則的度數(shù)為_________度．
答案:64
分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)可以求得和，再應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵BD是菱形ABCD的一條對角線，，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：64．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
變式1-6．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，取大于的長為半徑，分別以點(diǎn)，為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過此兩點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)（作圖痕跡如圖所示），連接，，則的度數(shù)為_________．
答案:45°
分析：根據(jù)題意知虛線為線段AB的垂直平分線，得AE=BE，得；結(jié)合°，，可計(jì)算的度數(shù)．
【詳解】
∵
∴
∴
故答案為：45°．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，及垂直平分線的性質(zhì)，熟知以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
考查題型二 利用菱形的性質(zhì)求線段長
典例2．(2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是菱形，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2，2），（﹣1，﹣），點(diǎn)D在第一象限，且AD∥x軸，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）
A．（6，2）B．（8，2）C．（6，）D．（8，）
答案:B
分析：由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得AB的長，即AD的長，進(jìn)而可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)則與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相等，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2，2），（﹣1，﹣），
∴AB＝＝6，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝AB=6，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2+6＝8，
∵AD∥x軸，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相等，為2，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)是（8，2）．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是能夠熟練求解坐標(biāo)與圖形的結(jié)合問題．
變式2-1．(2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形對角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根據(jù)菱形的中心對稱性，A、C坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用橫反縱也反的口訣求解即可．
【詳解】∵菱形是中心對稱圖形，且對稱中心為原點(diǎn)，
∴A、C坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴C的坐標(biāo)為，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的中心對稱性質(zhì)，原點(diǎn)對稱，熟練掌握菱形的性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
變式2-2．(2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE + PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
答案:A
分析：取AB中點(diǎn)G點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知E點(diǎn)、G點(diǎn)關(guān)于對角線AC對稱，即有PE=PG，則當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時，PE+PF=PG+PF最小，再證明四邊形AGFD是平行四邊形，即可求得FG=AD．
【詳解】解：取AB中點(diǎn)G點(diǎn)，連接PG，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，且邊長為2，
∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E點(diǎn)、G點(diǎn)分別為AD、AB的中點(diǎn)，
∴根據(jù)菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)E、點(diǎn)G關(guān)于對角線AC軸對稱，
∴PE=PG，
∴PE+PF=PG+PF，
即可知當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時，PE+PF=PG+PF最小，且為線段FG，
如下圖，G、P、F三點(diǎn)共線，連接FG，
∵F點(diǎn)是DC中點(diǎn)，G點(diǎn)為AB中點(diǎn)，
∴，
∵在菱形ABCD中，，
∴，
∴四邊形AGFD是平行四邊形，
∴FG=AD=2，
故PE+PF的最小值為2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，找到E點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
變式2-3．(2023·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知菱形的邊長為4，E是的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)F， 交于點(diǎn)G，若，則的長是（ ）
A．3B．C．D．
答案:B
分析：過點(diǎn)A作AH垂直BC于點(diǎn)H，延長FG交AB于點(diǎn)P，由題干所給條件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cs∠AGP=，即可得到FG的長；
【詳解】過點(diǎn)A作AH垂直BC于點(diǎn)H，延長FG交AB于點(diǎn)P，
由題意可知，AB=BC=4，E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=2，
又∵，
∴BH=1，即H是BE的中點(diǎn)，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分線，，
∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，
又∵，，
∴PF=AD=4，
設(shè)FG=x，則AG=x，EG=PG=4-x，
∵，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cs∠AGP===，
解得x=；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵．
變式2-4．(2023·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對角線BD上的一個動點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
答案:C
分析：連接AF，則AF的長就是AM+FM的最小值，證明△ABC是等邊三角形，AF是高線，利用三角函數(shù)即可求解．
【詳解】解：連接AF，則AF的長就是AM+FM的最小值．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵
∴F是BC的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC．
則AF＝AB?sin60°＝2．
即的最小值是．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形以及三角函數(shù)，確定AF的長就是的最小值是關(guān)鍵．
變式2-5．(2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，．若M、N分別是邊上的動點(diǎn)，且，作，垂足分別為E、F，則的值為______．
答案:
分析：連接AC交BD于點(diǎn)O，過點(diǎn)M作MG//BD交AC于點(diǎn)G，則可得四邊形MEOG是矩形，以及，從而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，運(yùn)用勾股定理求出AO的長即可．
【詳解】解：連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，
∴
在Rt中，AB=4，BO=，
∵，
∴
過點(diǎn)M作MG//BD交AC于點(diǎn)G，
∴,
∴
又
∴，
∴四邊形MEOG是矩形，
∴ME=OG，
又
∴
∴
在和中，
,
∴≌
∴，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．
變式2-6．(2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時，EF的長為________；當(dāng)點(diǎn)M的位置變化時，DF長的最大值為________．
答案:
分析：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時，EF垂直平分AB，利用三角函數(shù)即可求得EF的長；根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，AF=FM,若DF取最大值，則FM取最小值，即為邊AD與BC的距離DG，即可求解.
【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時，由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AB，
∴AE=EB=AB=3，
在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，
tan60°=，
∴EF=3；
當(dāng)AF長取得最小值時，DF長取得最大值，
由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AM，則AF=FM，
∴FM⊥BC時，F(xiàn)M長取得最小值，此時DF長取得最大值，
過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)C，則四邊形DGMF為矩形，
∴FM=DG，
在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，
∴DG=DCsin60°=3，
∴DF長的最大值為AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，
故答案為：3；6-3．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
變式2-7．(2023·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，菱形的對角線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
答案:(1)見解析
(2)
分析：（1）根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)即可得證；
（2）連接交于點(diǎn)，勾股定理求得，，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得正方形和菱形的對角線的長度，根據(jù)即可求解．
（1）
證明：正方形和菱形，
，
在與中
（）
（2）
如圖，連接交于點(diǎn)，
，即AB=4，
，
在中，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
變式2-8．(2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在菱形ABCD中，對角線AC和BD的長分別是6和8，以AD為直角邊向菱形外作等腰直角三角形ADE．連接CE．請用尺規(guī)或三角板作出圖形，并直接寫出線段CE的長．
答案:作圖見解析；或
分析：分和兩種情況，利用三角形全等及菱形的性質(zhì)，求出相應(yīng)線段長度，再利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：（1）如下圖所示，當(dāng)時，．
作圖方法：利用三角板以AD為直角邊，作，取，作交CA的延長線于點(diǎn)F．
∵ 在菱形ABCD中，對角線AC和BD的長分別是6和8，
∴，，，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）如下圖所示，當(dāng)時，．
作圖方法：利用三角板以AD為直角邊，作，取，作交BD的延長線于點(diǎn)F，作交EF的延長線于點(diǎn)G．
同（1）可證，
∴，，
∴，
∵ ，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是注意存在和兩種情況，避免漏解．
考查題型三 利用菱形的性質(zhì)求面積
典例3．(2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的兩個根是菱形的兩條對角線長，則這個菱形的面積為（ ）
A．6B．10C．12D．24
答案:C
分析：利用因式分解法求出已知方程的解確定出菱形兩條對角線長，進(jìn)而求出菱形面積即可．
【詳解】解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形兩對角線長為4和6，
則這個菱形的面積為×4×6＝12．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了求解一元二次方程和菱形的面積公式，難度一般．
變式3-1．(2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接．若菱形的面積為8，則的面積為（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案:B
分析：連接，相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形中位線定理可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，最后利用三角形的面積公式即可得．
【詳解】解：如圖，連接，相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
四邊形是菱形，且它的面積為8，
，
點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，
，
，，
，
，
，
則的面積為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式3-2(2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，連接CE交對角線BD于點(diǎn)F．若∠DEF＝∠DFE，則這個菱形的面積為（ ）
A．16B．6C．12D．30
答案:B
分析：連接AC交BD于O，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，證明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，則BD＝6，所以O(shè)B＝OD＝3，接著利用勾股定理計(jì)算出OC，從而得到AC＝，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算它的面積．
【詳解】解：連接AC交BD于O，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，
∵E為AD邊的中點(diǎn)，
∴DE＝2，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE＝2，
∵，
∴∠DEF＝∠BCF，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝4，
∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，
∴OB＝OD＝3，
在Rt△BOC中，，
∴AC＝2OC＝，
∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形面積＝ab（a、b是兩條對角線的長度）．
變式3-3．(2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，分別以點(diǎn)，為圓心，，長為半徑畫弧，分別交對角線于點(diǎn)，．若，，則圖中陰影部分的面積為_________．（結(jié)果不取近似值）
答案:
分析：連接BD交AC于點(diǎn)G，證明△ABD是等邊三角形，可得BD＝2，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理求出AC，再由S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案．
【詳解】解：連接BD交AC于點(diǎn)G，
∵四邊形是菱形，
∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，
∵，
∴△ABD是等邊三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，
∴BD＝2，
∴BG＝，
∴，
∴AC＝，
∴S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積公式等，在求陰影部分面積時，能夠?qū)⑶蟛灰?guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵．
變式3-4．(2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線，，分別以點(diǎn)A，B，C，D為圓心，的長為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為__________．（結(jié)果保留）
答案:
分析：先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB的長和菱形的面積，再根據(jù)扇形的面積公式求出四個扇形的面積和即可得出答案
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，，，
∴AC⊥BD，AO=6，BO=8；
∴；
∴菱形ABCD的面積=
∵四個扇形的半徑相等，都為，且四邊形的內(nèi)角和為360°，
∴四個扇形的面積=，
∴陰影部分的面積=；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積計(jì)算、菱形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
變式3-5．(2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）菱形中，對角線，則菱形的高等于___________．
答案:
分析：過A作AE⊥BC，垂足為E，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出菱形邊長，再利用菱形的面積公式得到方程，解之可得AE．
【詳解】解：如圖，過A作AE⊥BC，垂足為E，即AE為菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB=BD=12，OA=AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC==13，
∵S菱形ABCD=，
∴，
解得：AE=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，能熟記菱形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：菱形的四條邊都相等，菱形的對角線互相平分且垂直．
變式3-6．(2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的邊長為10， ，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對角線BD上，連接AE，作且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．
(1)求菱形的面積；
(2)求證．
答案:(1)
(2)見解析
分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，再根據(jù)題意及特殊角的三角函數(shù)值求出AC和BD的長度，根據(jù)菱形的面積＝對角線乘積的一半即可求解．
（2）連接EC，設(shè)∠BAE的度數(shù)為x，易得EC=AE，利用三角形的內(nèi)角和定理分別表示出∠EFC和∠ECF的度數(shù)，可得∠EFC=∠ECF，即EC=EF，又因?yàn)镋C=AE，即可得到AE=EF．
(1)
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，
∵
∴
∵AB=10，
∴，
∴，
∴菱形的面積=
(2)
證明：如圖，連接EC，
設(shè)∠BAE的度數(shù)為x，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD是AC的垂直平分線，
∴AE=CE，∠AED=∠CED，∠EAC=∠ECA=60°-x，
∵∠ABD=30°，
∴∠AED=∠CED =30°+x，
∴∠DEF=∠AEF-∠AED=120°-（30°+x）=90°-x
∵∠BDC=∠ADC=30°
∴∠EFC=180°-（∠DEF+∠BDC）=180°-（90°-x+30°）= x+60°，
∵∠CED =30°+x，
∴∠ECD =180°-（∠CED+∠BDC）=180°-（30°+x+30°）=120°- x，
∴∠ECF =180°-∠ECD =180°-（120°- x）= x+60°，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=EC，
∵AE=CE，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、菱形面積的求解、特殊角的三角函數(shù)值以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式3-7．(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，在格點(diǎn)上，每一個小正方形的邊長為1．
（1）以為邊畫菱形，使菱形的其余兩個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（畫出一個即可）．
（2）計(jì)算你所畫菱形的面積．
答案:（1）答案不唯一，見解析；（2）6或8或10（答案不唯一）
分析：（1）根據(jù)菱形的定義并結(jié)合格點(diǎn)的特征進(jìn)行作圖；
（2）利用菱形面積公式求解．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意，菱形ABCD即為所求
（2）圖1中AC=2，BD=6
∴圖1中菱形面積．
圖2中，AC=，BD=
∴圖2中菱形面積．
圖3中，
∴圖3菱形面積．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，掌握菱形的概念準(zhǔn)確作圖是關(guān)鍵．
考查題型四 添加一個條件證明四邊形是菱形
典例4．(2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是（ ）
A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形
C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形
答案:D
分析：由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，
∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．
變式4-1．(2023·山東德州·中考真題）如圖，下列條件中能使成為菱形的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根據(jù)菱形的判定定理可得．
【詳解】解：A、AB=CD不能判定?ABCD是菱形，故不符合題意；
B、AC=BD只能判定?ABCD是矩形，故不符合題意；
C、∠BAD=90°只能判定?ABCD是矩形，故不符合題意；
D、AB=BC能判定?ABCD是菱形，故符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定，熟練地掌握菱形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．
變式4-2．(2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是______________．（只需寫出一個條件即可）
答案:AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等（只需寫出一個條件即可）
分析：由菱形的判定方法進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：可以添加的條件是：AB＝CD，理由如下：
∵，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形；
也可以添加條件是：，理由如下：
∵，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形；
也可以添加的條件是OA=OC，理由如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形；
也可以添加的條件是OB=OD，理由如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形．
故答案為：AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等．（只需寫出一個條件即可）
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，熟記“對角線互相垂直的平行四邊形為菱形”，是解題的關(guān)鍵．
變式4-3．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形是平行四邊形，從①，②，③中選擇一個作為條件，補(bǔ)充后使四邊形成為菱形，則其選擇是___（限填序號）．
答案:①
分析：根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：①時，平行四邊形是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；
②時，平行四邊形是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；
③由平行四邊形的性質(zhì)可知，，則不能作為構(gòu)成菱形的條件；
故答案為：①．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．
30．(2023·浙江舟山·中考真題）小惠自編一題：“如圖，在四邊形中，對角線，交于點(diǎn)O，，，求證：四邊形是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．

若贊同小惠的證法，請?jiān)诘谝粋€方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說法，請你補(bǔ)充一個條件，并證明．
答案:贊成小潔的說法，補(bǔ)充，見解析
分析：贊成小潔的說法，補(bǔ)充：，由四邊相等的四邊形是菱形即可判斷．
【詳解】贊成小潔的說法，補(bǔ)充：．
證明：，，
，．
又∵．
∴，
∴四邊形是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．
變式4-4．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在的邊，上，，連接，．請從以下三個條件：①；②；③中，選擇一個合適的作為已知條件，使為菱形．
(1)你添加的條件是______（填序號）；
(2)添加了條件后，請證明為菱形．
答案:(1)①
(2)見解析
分析：（1）添加合適的條件即可；
（2）證，得，再由菱形的判定即可得出結(jié)論．
(1)
解：添加的條件是．
故答案為：①．
(2)
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴為菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
考查題型五 菱形的證明
典例5．(2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，CD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長是_______．
答案:16
分析：連接EF交CD于O，先證明四邊形CFDE為菱形，從而求出CO的長度，然后根據(jù)余弦定義求出CE即可得出答案．
【詳解】解：連接EF交CD于O，如圖：
∵DEAC，DFBC，
∴四邊形CEDF是平行四邊形，
∵CD是△ABC的角平分線，
∴∠FCD＝∠ECD，
∵DEAC，
∴∠FCD＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE，
∴四邊形CEDF是菱形，
∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝，
在Rt△COE中，
CE＝＝＝4，
∴四邊形CEDF的周長是4CE＝4×4＝16，
故答案為：16．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，余弦的定義等知識，解題的關(guān)鍵是判斷出四邊形CEDF為菱形．
變式5-1．(2023·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連接CE．
(1)求證：四邊形AECD為菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．
答案:(1)見詳解
(2)△ABC的面積為
分析：（1）由題意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，則有四邊形AECD是平行四邊形，然后問題可求證；
（2）由（1）及題意易得，則有△BCE是等邊三角形，然后可得△ACB是直角三角形，則，進(jìn)而問題可求解．
（1）
證明：∵ABCD，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∵AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵DA=DC，
∴四邊形AECD是菱形；
（2）
解：由（1）知：，
∵∠D＝120°，
∴，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴，
∴△BCE是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式5-2．(2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，延長到點(diǎn)，使，且．
(1)求證：四邊形為菱形；
(2)若是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)、、分別在線段、、上運(yùn)動，求的最小值．
答案:(1)證明見解析
(2)
分析：（1）先根據(jù)四邊形為平行四邊形的性質(zhì)和證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)，即可得證；
（2）先根據(jù)菱形對稱性得，得到，進(jìn)一步說明的最小值即為菱形的高，再利用三角函數(shù)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
又∵點(diǎn)在的延長線上，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
又∵，
∴四邊形為菱形．
（2）解：如圖，由菱形對稱性得，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在上，
∴，
當(dāng)、、共線時，
，
過點(diǎn)作，垂足為，
∵，
∴的最小值即為平行線間的距離的長，
∵是邊長為2的等邊三角形，
∴在中，，，，
∴，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了最值問題，考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法．將最值問題轉(zhuǎn)化為求菱形的高是解答本題的關(guān)鍵．
變式5-3．(2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt中，，．點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E.延長至點(diǎn)F，使得，連接、、．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，則的值為_______．
答案:(1)見解析
(2)
分析：（1）根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得證；
（2）設(shè)，則，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，勾股定理求得，根據(jù)，，即可求解．
【詳解】（1）證明：，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
四邊形是菱形；
（2）解：，
設(shè)，則，
四邊形是菱形；
，，
，
在中，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求正切，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
變式5-4．(2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）【閱讀材料】
【解答問題】
請根據(jù)材料中的信息，證明四邊形是菱形．
答案:見解析
分析：由作圖可知AD＝AB＝BC，然后根據(jù)可得四邊形ABCD是平行四邊形，再由AD＝AB可得結(jié)論．
【詳解】解：由作圖可知AD＝AB＝BC，
∵，即，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AD＝AB，
∴平行四邊形ABCD是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作線段，平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握相關(guān)判定定理是解題的關(guān)鍵．
變式5-5．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且，連接BF．FD，DE，EB．
求證：四邊形DEBF是菱形．
答案:見解析
分析：先證明四邊形DEBF是平行四邊形，再結(jié)合可得結(jié)論．
【詳解】連接BD，交AC于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是茥形，
∴，，，
又∵，
∴，即，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
又∵，即，
∴四邊形DEBF是菱形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明四邊形是菱形，證明四邊形DEBF是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
變式5-6．(2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在⊙O中， ，OC與AD相交于點(diǎn)E．求證：
（1）AD∥BC
（2）四邊形BCDE為菱形．
答案:（1）見解析；（2）見解析
分析：（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=∠CBD，根據(jù)平行線的判定可得結(jié)論；
（2）證明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)得到BC=CD，從而證明菱形．
【詳解】解：（1）連接BD，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）連接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠CBF，
∵，
∴BC=CD，
∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE=BC，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，又BC=CD，
∴四邊形BCDE是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用垂徑定理得到BF=DF．
變式5-7．(2023·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，且．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求的面積．
答案:（1）見解析；（2）
分析：（1）先利用角平分線判定定理證得，再由已知角的等量關(guān)系推出，并可得，則可證明四邊形是平行四邊形，最后由得，即可證得結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的等量關(guān)系求出，則可利用三角函數(shù)求得，此題得解．
【詳解】（1）證明：如圖，
∵，
∴，
又∵，且，
∴為的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴四邊形是菱形．
（2）解：由（1）得四邊形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式5-8．(2023·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）在復(fù)習(xí)菱形的判定方法時，某同學(xué)進(jìn)行了畫圖探究，其作法和圖形如下：
①畫線段AB；
②分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB長的一半為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)O；
③在直線MN上取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)O重合），連接AC、BC；
④過點(diǎn)A作平行于BC的直線AD，交直線MN于點(diǎn)D，連接BD．
（1）根據(jù)以上作法，證明四邊形ADBC是菱形；
（2）該同學(xué)在圖形上繼續(xù)探究，他以點(diǎn)O為圓心作四邊形ADBC的內(nèi)切圓，構(gòu)成如圖所示的陰影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求圖中陰影部分的面積．
答案:（1）見解析；（2）
分析：（1）根據(jù)作法可得AC=BC，證明△ADO≌△BCO，根據(jù)對角線垂直平分的四邊形ADBC是菱形即可證明結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）四邊形ADBC是菱形，根據(jù)AB=2，∠BAD=30°，先求出圓O的半徑，進(jìn)而可以求圖中陰影部分的面積．
【詳解】解：（1）證明：根據(jù)作法可知：直線MN是AB的垂直平分線，
∴AC=BC，OA=OB，MN⊥AB，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠BCO，
在△ADO和△BCO中，
，
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴OD=OC，
∵OA=OB，MN⊥AB，
∴四邊形ADBC是菱形；
（2）∵四邊形ADBC是菱形，
∴，
∵∠BAD=30°，
設(shè)圓O切AD于點(diǎn)H，連接OH，
則OH⊥AD，
∴，
∴S圓O=，
在Rt△AOD中，∠DOA=30°，OA=，
∴，
∴CD=2OD=2，
∴S菱形ADBC=，
∴圖中陰影部分的面積=S菱形ADBC-S圓O=．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，菱形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，圓的面積計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是證明四邊形ADBC是菱形．
變式5-9．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE．
(1)如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；
(2)如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．
答案:(1)見解析
(2)（?。?；（ⅱ）見解析
分析：（1）先根據(jù)DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根據(jù)“AAS”證明，得出DE=BC，得出四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，得出四邊形BCDE為菱形；
（2）（?。└鶕?jù)垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形三線合一，證明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根據(jù)∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出；
（ⅱ）連接EF，根據(jù)已知條件和等腰三角形的性質(zhì)，算出，得出，證明，再證明，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四邊形BCDE為平行四邊形，
∵CE⊥BD，
∴四邊形BCDE為菱形．
（2）（?。└鶕?jù)解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）連接EF，
∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵
∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)，作出輔助線，得出，得出，是解題的關(guān)鍵．
老師的問題：
已知：如圖，．
求作：菱形，使點(diǎn)C，D分別在上．
小明的作法：
（1）以A為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)D；
（2）以B為圓心，長為半經(jīng)畫弧，交于點(diǎn)C；
（3）連接．
四邊形就是所求作的菱形，

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