【知識(shí)要點(diǎn)】
知識(shí)點(diǎn)一 一元一次方程的基礎(chǔ)
等式的概念：用等號(hào)表示相等關(guān)系的式子。
【注意】
1）等式可以是數(shù)字算式，可以是公式、方程，也可以是運(yùn)算律、運(yùn)算法則等。
2）等式與代數(shù)式的區(qū)別：等式含有等號(hào)，表示兩個(gè)式子相等關(guān)系，而代數(shù)式不含等號(hào)，只能作為等式的一邊。
方程的概念：含有未知數(shù)的等式叫做方程。
【特征】它含有未知數(shù)，同時(shí)又是—個(gè)等式。
一元一次方程的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)都是1（次），這樣的的整式方程叫一元一次方程。
一元一次方程標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（x為未知數(shù)，a、b是常數(shù)且a≠0）
方程的解的概念：能使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。
知識(shí)點(diǎn)二 等式的性質(zhì)（解一元一次方程的基礎(chǔ)）
等式的性質(zhì)1：等式兩邊都加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。
表示為：如果a=b，則a±c=b±c
等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍相等。
表示為：如果 a=b，那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)，那么 ac = bc
【注意事項(xiàng)】
1．等式兩邊都要參加運(yùn)算，并且是同一種運(yùn)算。
2．等式兩邊加或減,乘或除的數(shù)一定是同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子。
3．等式兩邊不能都除以0，即0不能作除數(shù)或分母。
4. 等式左右兩邊互換，所得結(jié)果仍是等式。
考查題型一 等式的性質(zhì)
題型１．(2023·山東濱州·中考真題）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：去分母得，那么其變形的依據(jù)是（ ）
A．等式的性質(zhì)1B．等式的性質(zhì)2C．分式的基本性質(zhì)D．不等式的性質(zhì)2
題型１－１．(2023·青?！ぶ锌颊骖}）下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
題型１－２．(2023·安徽·中考真題）設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
題型１－３．(2023·山東聊城·中考真題）若﹣3＜a≤3，則關(guān)于x的方程x＋a＝2解的取值范圍為（ ）
A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5
題型１－４．(2023·福建·中考真題）推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式、若推理過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．
例如，有人聲稱(chēng)可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：
設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令，
等式兩邊都乘以x，得．①
等式兩邊都減，得．②
等式兩邊分別分解因式，得．③
等式兩邊都除以，得．④
等式兩邊都減m，得x＝0.⑤
所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0.
以上推理過(guò)程中，開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是______．
易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)：
知識(shí)點(diǎn)三 解一元一次方程
合并同類(lèi)項(xiàng)：把若干能合并的式子的系數(shù)相加，且字母和字母的指數(shù)不變，起到化簡(jiǎn)的作用。
移項(xiàng)：把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊。（依據(jù)：等式的性質(zhì)1）
去括號(hào)：括號(hào)前負(fù)號(hào)時(shí)，去掉括號(hào)時(shí)里面各項(xiàng)應(yīng)變號(hào)。
去分母：在方程的兩邊都乘以各自分母的最小公倍數(shù)。
【去分母易錯(cuò)點(diǎn)】1）去分母時(shí)不含分母的項(xiàng)也需要乘分母的最小公倍數(shù)。
2）當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化成整數(shù)。
例：嘗試通過(guò)計(jì)算加深理解：0.2x?0.10.6?0.5x+
解一元一次方程的基本步驟：
考查題型二 解一元一次方程
題型２．(2023·貴州黔西·中考真題）小明解方程的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得①
去括號(hào)，得②
移項(xiàng)，得③
合并同類(lèi)項(xiàng)，得④
以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
題型２－１．(2023·廣西·中考真題）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7
題型２－２．(2023·浙江溫州·中考真題）解方程，以下去括號(hào)正確的是（ ）
A．B．C．D．
題型２－３．(2023·浙江金華·中考真題）若分式的值為2，則x的值是_______．
題型２－４．(2023·重慶·中考真題）若關(guān)于x的方程的解是，則a的值為_(kāi)_________．
題型２－５．(2023·浙江杭州·中考真題）計(jì)算：．圓圓在做作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)題中有一個(gè)數(shù)字被墨水污染了．
(1)如果被污染的數(shù)字是，請(qǐng)計(jì)算．
(2)如果計(jì)算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．
題型２－６．(2023·四川廣元·中考真題）解方程：．
易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)：
知識(shí)點(diǎn)四 實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程
用方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：
審：理解并找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系;
設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問(wèn)題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);
列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;
解：求解方程;
驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;
答：實(shí)際問(wèn)題的答案.
常見(jiàn)利用方程解決實(shí)際問(wèn)題等量關(guān)系：
銷(xiāo)售中盈虧問(wèn)題：
1）成本價(jià)：俗稱(chēng)進(jìn)價(jià)，是商家進(jìn)貨時(shí)的價(jià)格；
2）標(biāo)價(jià)：商家出售時(shí)標(biāo)注的價(jià)格；
3）打折：打折就是以標(biāo)價(jià)為基礎(chǔ)，按一定比例降價(jià)出售。如：打9折，就是按標(biāo)價(jià)的90℅出售。
4）利潤(rùn)=售價(jià)－進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)>0時(shí)盈利，利潤(rùn)0時(shí)盈利，利潤(rùn)0，∴y隨x的增大而增大，當(dāng)x=100時(shí)，y最大為：20×100+6000=8000元，此時(shí)方案為：真絲襯衣件數(shù)進(jìn)貨100件，真絲圍巾進(jìn)貨200件，最大利潤(rùn)為8000元；
（3）設(shè)降價(jià)z元，根據(jù)題意可得100×（100-80）+100×（300-260）+100×（300-260-z）≥8000×90%，解得：z≤28，∴每件最多降價(jià)28元．
題型４－２．(2023·四川資陽(yáng)·中考真題）北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜愛(ài)，人們爭(zhēng)相購(gòu)買(mǎi)．現(xiàn)有甲、乙兩種型號(hào)的“冰墩墩”，已知一個(gè)甲種型號(hào)比一個(gè)乙種型號(hào)多20元，購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種型號(hào)各10個(gè)共需1760元．
(1)求甲、乙兩種型號(hào)的“冰墩墩”單價(jià)各是多少元？
(2)某團(tuán)隊(duì)計(jì)劃用不超過(guò)4500元購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種型號(hào)的“冰墩墩”共50個(gè)，求最多可購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)甲種型號(hào)的“冰墩墩”？
（1）設(shè)乙種型號(hào)的單價(jià)是x元，則甲種型號(hào)的單價(jià)是元．
根據(jù)題意得：
解得：．
∴
答：甲種型號(hào)的單價(jià)是98元，乙種型號(hào)的單價(jià)是78元．
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種型號(hào)的“冰墩墩”a個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)乙種型號(hào)的“冰墩墩”個(gè)．
根據(jù)題意，得：
解得：
∴a最大值是30．
答：最多可購(gòu)買(mǎi)甲種型號(hào)的“冰墩墩”30個(gè)．
考查題型五 比賽積分問(wèn)題
題型５．(2023·貴州銅仁·中考真題）為了增強(qiáng)學(xué)生的安全防范意識(shí)，某校初三（1）班班委舉行了一次安全知識(shí)搶答賽，搶答題一共20個(gè)，記分規(guī)則如下：每答對(duì)一個(gè)得5分，每答錯(cuò)或不答一個(gè)扣1分．小紅一共得70分，則小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．14B．15C．16D．17
【詳解】解：設(shè)小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為x個(gè)，由題意得5x?20?x=70，解得，
故選B．
考查題型六 數(shù)字問(wèn)題
題型６．(2023·吉林·中考真題）古埃及人的“紙草書(shū)”中記載了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：一個(gè)數(shù)，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來(lái)總共是33，若設(shè)這個(gè)數(shù)是，則所列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【詳解】解：由題意可得．故選C
題型６－１．(2023·山東棗莊·中考真題）幻方是古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載了最早的幻方——九宮圖．將數(shù)字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎行以及兩條斜對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)字之和都是15，則的值為_(kāi)_____．
【詳解】解：如圖，由題意，圖中①表示的數(shù)是，
圖中②表示的數(shù)是，
則，
解得，
故答案為：1．
考查題型七 幾何問(wèn)題
題型７．(2023·四川自貢·中考真題）等腰三角形頂角度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°，則這個(gè)底角的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【詳解】解：設(shè)這個(gè)底角的度數(shù)為x，則頂角的度數(shù)為（2x+20°），根據(jù)題意得：
，
解得：，
即這個(gè)底角的度數(shù)為40°．故選：B
題型７－１．(2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b，且，若，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（ ）
A．B．0C．3D．
【詳解】解：∵
∴，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)互為相反數(shù)，
∴可設(shè)表示的數(shù)為，則表示的數(shù)為，
∵
∴，
解得：，
∴點(diǎn)表示的數(shù)為-3，
故選：A．
考查題型八 和差倍分問(wèn)題
題型８．(2023·山東東營(yíng)·中考真題）植樹(shù)節(jié)當(dāng)天，七年級(jí)1班植樹(shù)300棵，正好占這批樹(shù)苗總數(shù)的，七年級(jí)2班植樹(shù)棵數(shù)是這批樹(shù)苗總數(shù)的，則七年級(jí)2班植樹(shù)的棵數(shù)是（ ）
A．36B．60C．100D．180
【詳解】解：設(shè)這批樹(shù)苗一共有x棵，
由題意得：，
解得，
∴七年級(jí)2班植樹(shù)的棵數(shù)是棵，故選C．
題型８－１．(2023·湖南岳陽(yáng)·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡，問(wèn)：城中家?guī)缀?？大意為：今?00頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒(méi)有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問(wèn)：城中有多少戶(hù)人家？在這個(gè)問(wèn)題中，城中人家的戶(hù)數(shù)為（ ）
A．25B．75C．81D．90
【詳解】解：設(shè)城中有戶(hù)人家，
依題意得：，
解得：，
∴城中有75戶(hù)人家．
故選：B．
題型８－２．(2023·遼寧大連·中考真題）我國(guó)古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有共買(mǎi)豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足．”其大意是：“今有人合伙買(mǎi)豬，每人出100錢(qián)，則會(huì)多出100錢(qián)；每人出90錢(qián)，恰好合適．”若設(shè)共有x人，根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)___________．
【詳解】依題意：.故答案為：100x-100=90x.
題型８－３．(2023·重慶·中考真題）盲盒為消費(fèi)市場(chǎng)注入了活力，既能夠營(yíng)造消費(fèi)者購(gòu)物過(guò)程中的趣味體驗(yàn)，也為商家實(shí)現(xiàn)銷(xiāo)售額提升拓展了途徑．某商家將藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱共22個(gè)，搭配為A，B，C三種盲盒各一個(gè)，其中A盒中有2個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，1個(gè)迷你音箱；B盒中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤(pán)的數(shù)量，藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比為3：2；C盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，2個(gè)迷你音箱．經(jīng)核算，A盒的成本為145元，B盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為_(kāi)_________元．
【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)B盒中藍(lán)牙耳機(jī)3a個(gè)，迷你音箱2a個(gè)，優(yōu)盤(pán)的數(shù)量為3a+2a=5 a個(gè)，則，解得，a=1；
設(shè)藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱的成本分別為x、y、z元，根據(jù)題意列方程組得，
②-①得，，
③×3-①得，，
故答案為：155．
題型８－４．(2023·廣東·中考真題）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，幾名學(xué)生要湊錢(qián)購(gòu)買(mǎi)1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問(wèn)學(xué)生人數(shù)和該書(shū)單價(jià)各是多少？
【詳解】解：設(shè)學(xué)生人數(shù)為x人，由題意得：
，
解得：，
∴該書(shū)的單價(jià)為（元），
答：學(xué)生人數(shù)為7人，該書(shū)的單價(jià)為53元．
題型８－５．(2023·湖南婁底·中考真題）“綠水青山就是金山銀山”．科學(xué)研究表明：樹(shù)葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．已知一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量比一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量的2倍少，若一片國(guó)槐樹(shù)葉與一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵總量為．
(1)請(qǐng)分別求出一片國(guó)槐樹(shù)葉和一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量；
(2)婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹(shù)，據(jù)估計(jì)三棵銀杏樹(shù)共有約50000片樹(shù)葉．問(wèn)這三棵銀杏樹(shù)一年的平均滯塵總量約多少千克？
【詳解】（1）解：設(shè)一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量為mg，則一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量為mg，則

解得：

答：一片國(guó)槐樹(shù)葉和一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量分別為22mg，40mg．
（2）50000（mg），
而2000000mg=2000g=2kg，
答：這三棵銀杏樹(shù)一年的平均滯塵總量約2千克．
題型８－６．(2023·廣西梧州·中考真題）運(yùn)用方程或方程組解決實(shí)際問(wèn)題：若干學(xué)生分若干支鉛筆，如果每人5支，那么多余3支；如果每人7支，那么缺5支．試問(wèn)有多少名學(xué)生？共有多少支鉛筆？
【詳解】解：設(shè)學(xué)生有x人，由題意得5x＋3＝7x?5，
解得：x＝4，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意
則6x＋3＝23．
答：學(xué)生有4人，鉛筆23支．
考查題型九 電費(fèi)水費(fèi)問(wèn)題
題型９．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）某超市糯米的價(jià)格為5元/千克，端午節(jié)推出促銷(xiāo)活動(dòng)：一次購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量不超過(guò)2千克時(shí)，按原價(jià)售出，超過(guò)2千克時(shí)，超過(guò)的部分打8折．若某人付款14元，則他購(gòu)買(mǎi)了_______千克糯米；設(shè)某人的付款金額為元，購(gòu)買(mǎi)量為千克，則購(gòu)買(mǎi)量關(guān)于付款金額的函數(shù)解析式為_(kāi)_____．
【詳解】解：∵14>10，
超過(guò)2千克，
設(shè)購(gòu)買(mǎi)了千克，則，
解得，
設(shè)某人的付款金額為元，購(gòu)買(mǎi)量為千克，則購(gòu)買(mǎi)量關(guān)于付款金額的函數(shù)解析式為：
，
故答案為：3，．
題型９－１．(2023·廣西賀州·中考真題）為了提倡節(jié)約用水，某市制定了兩種收費(fèi)方式：當(dāng)每戶(hù)每月用水量不超過(guò)時(shí)，按一級(jí)單價(jià)收費(fèi)；當(dāng)每戶(hù)每月用水量超過(guò)時(shí)，超過(guò)部分按二級(jí)單價(jià)收費(fèi)．已知李阿姨家五月份用水量為，繳納水費(fèi)32元．七月份因孩子放假在家，用水量為，繳納水費(fèi)51.4元．
（1）問(wèn)該市一級(jí)水費(fèi)，二級(jí)大費(fèi)的單價(jià)分別是多少？
（2）某戶(hù)某月繳納水費(fèi)為64.4元時(shí)，用水量為多少？
【詳解】（1）設(shè)該市一級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為元/，二級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為元/，
依題意得，解得，
答：該市一級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為3.2元/，二級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為6.5元/．
（2）當(dāng)水費(fèi)為64.4元，則用水量超過(guò)，
設(shè)用水量為，得，，
解得：．
答：當(dāng)繳納水費(fèi)為64.4元時(shí)，用水量為．
考查題型十 行程問(wèn)題
題型１０．(2023·江蘇蘇州·中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．它的代數(shù)成就主要包括開(kāi)方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù)，其中方程術(shù)是其最高的代數(shù)成就．《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及之？”譯文：“相同時(shí)間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為長(zhǎng)度單位）”設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可列出的方程是（ ）
A．B．C．D．
【詳解】解：令在相同時(shí)間內(nèi)走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，從而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，
設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可得，
根據(jù)題意可列出的方程是，
故選：B．
題型１０－１．(2023·甘肅武威·中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問(wèn)何日相逢？”大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海．現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時(shí)起飛，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少天相遇？設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，根據(jù)題意可列方程為（ ）
A．B．C．D．
【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，
根據(jù)題意得：x+x=1，
∴（+）x=1，
故選：A．
題型１０－２．(2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）我國(guó)元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書(shū)是中國(guó)較早的數(shù)學(xué)著作之一，書(shū)中記載一道問(wèn)題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問(wèn)快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【詳解】解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬，依題意，得： 240x-150x=150×12．故選：D．
題型１０－３．(2023·湖南常德·中考真題）小強(qiáng)的爸爸平常開(kāi)車(chē)從家中到小強(qiáng)奶奶家，勻速行駛需要4小時(shí)，某天，他們以平常的速度行駛了的路程時(shí)遇到了暴雨，立即將車(chē)速減少了20千米／小時(shí)，到達(dá)奶奶家時(shí)共用了5小時(shí)，問(wèn)小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是多少千米？
【詳解】解：設(shè)小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是千米，則平時(shí)每小時(shí)行駛千米，減速后每小時(shí)行駛千米，由題可知：遇到暴雨前用時(shí)2小時(shí)，遇到暴雨后用時(shí)5-2=3小時(shí)，
則可得：，
解得：，
答：小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是240千米．
題型１０－４．(2023·重慶·中考真題）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛(ài)好者約定從地沿相同路線(xiàn)騎行去距地30千米的地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先騎行2千米，甲才開(kāi)始從地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙，求甲騎行的速度；
(2)若乙先騎行20分鐘，甲才開(kāi)始從地出發(fā)，則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)地，求甲騎行的速度．
(1)解：設(shè)乙的速度為千米/時(shí)，則甲的速度為千米/時(shí)，
由題意得：，
解得：，
則，
答：甲騎行的速度為千米/時(shí)；
(2)設(shè)乙的速度為千米/時(shí)，則甲的速度為千米/時(shí)，
由題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，
則，
答：甲騎行的速度為千米/時(shí)．
題型１０－５．(2023·廣西百色·中考真題）據(jù)國(guó)際田聯(lián)《田徑場(chǎng)地設(shè)施標(biāo)準(zhǔn)手冊(cè)》，400米標(biāo)準(zhǔn)跑道由兩個(gè)平行的直道和兩個(gè)半徑相等的彎道組成，有8條跑道，每條跑道寬1.2米，直道長(zhǎng)87米；跑道的彎道是半圓形，環(huán)形跑道第一圈（最內(nèi)圈）彎道半徑為35.00米到38.00米之間．
某校據(jù)國(guó)際田聯(lián)標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)校場(chǎng)地實(shí)際，建成第一圈彎道半徑為36米的標(biāo)準(zhǔn)跑道．小王同學(xué)計(jì)算了各圈的長(zhǎng)：
第一圈長(zhǎng)：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈長(zhǎng)：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈長(zhǎng)：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
請(qǐng)問(wèn)：
（1）第三圈半圓形彎道長(zhǎng)比第一圈半圓形彎道長(zhǎng)多多少米？小王計(jì)算的第八圈長(zhǎng)是多少？
（2）小王緊靠第一圈邊線(xiàn)逆時(shí)針跑步、鄧教練緊靠第三圈邊線(xiàn)順時(shí)針騎自行車(chē)（均以所靠邊線(xiàn)長(zhǎng)計(jì)路程），在如圖的起跑線(xiàn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)20秒兩人在直道第一次相遇．若鄧教練平均速度是小王平均速度的2倍，求他們的平均速度各是多少？
（注：在同側(cè)直道，過(guò)兩人所在點(diǎn)的直線(xiàn)與跑道邊線(xiàn)垂直時(shí)，稱(chēng)兩人直道相遇）
分析：（1）根據(jù)題意，計(jì)算第三圈與第一圈的路程差即可解第一問(wèn)，根據(jù)題中路程公式，可解得第八圈的路程；
（2）分析兩人在左邊的直道上相遇，且兩人的總路程剛好是第一圈的長(zhǎng)度加上兩個(gè)半圓賽道長(zhǎng)度的差，小王的速度為，則老師的速度為，列關(guān)于的一元一次方程，解方程即可解題．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，第三圈彎道比第一圈彎道長(zhǎng)：
（米）；
第八圈長(zhǎng)：（米）
答：第三圈彎道比第一圈彎道長(zhǎng)15米，第八圈長(zhǎng)453米．
（2）由于兩人是第一次相遇，教練的速度更快，且是在直道上兩人相遇，
那么兩人一定在左邊的直道上相遇，
兩人的總路程剛好是第一圈的長(zhǎng)度加上兩個(gè)半圓賽道長(zhǎng)度的差：
（米）
設(shè)小王的速度為，則老師的速度為
答：小王的速度為，老師的速度為．
考查題型十一 其它問(wèn)題
題型１１．(2023·河北·中考真題）“曹沖稱(chēng)象”是流傳很廣的故事，如圖．按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出．然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個(gè)搬運(yùn)工，這時(shí)水位恰好到達(dá)標(biāo)記位置．如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個(gè)搬運(yùn)工，水位也恰好到達(dá)標(biāo)記位置．已知搬運(yùn)工體重均為120斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則正確的是（ ）
A．依題意B．依題意
C．該象的重量是5040斤D．每塊條形石的重量是260斤
【詳解】解：根據(jù)題意可得方程；
則A錯(cuò)誤，B正確；
解上面的方程得：x=240,
故D錯(cuò)誤；
∴大象的重量是20×240+3×120=5160（斤）
故C錯(cuò)誤，
故選：B．
題型１１－１．(2023·四川南充·中考真題）《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何．”設(shè)雞有x只，可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【詳解】解：設(shè)雞有x只，則兔子有（35-x）只，
根據(jù)題意可得：2x+4(35-x)=94，故選：D．
題型１１－２．(2023·湖北十堰·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗， 醐灑一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，問(wèn)清跴酒各幾何?”大意是：現(xiàn)有一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗?酒價(jià)值3斗谷子， 現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問(wèn)清灑， 酳酒各幾斗? 如果設(shè)清酒斗，那么可列方程為（ ）
A．B．
C．x3+30?x10=5D．
【詳解】解：根據(jù)題意，得：10x+3（5－x）=30，故選：A．
題型１１－３．(2023·青海西寧·中考真題）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，興趣小組的同學(xué)用一根質(zhì)地均勻的輕質(zhì)木桿和若干個(gè)鉤碼做實(shí)驗(yàn)．如圖所示，在輕質(zhì)木桿O處用一根細(xì)線(xiàn)懸掛，左端A處掛一重物，右端B處掛鉤碼，每個(gè)鉤碼質(zhì)量是50g．若OA=20cm，OB=40cm，掛3個(gè)鉤碼可使輕質(zhì)木桿水平位置平衡．設(shè)重物的質(zhì)量為xg，根據(jù)題意列方程得（ ）
A．B．
C．D．
【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：A．
題型１１－４．(2023·湖南株洲·中考真題）《九章算術(shù)》之“粟米篇”中記載了中國(guó)古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十……”（粟指帶殼的谷子，糲米指糙米），其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米……”．問(wèn)題：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得糲米為（ ）
A．1.8升B．16升C．18升D．50升
【詳解】解：由題可知，3斗的粟即為30升的粟，設(shè)其可以換得糲米為x升，
則，∴，∴可以換得糲米為18升；故選：C．
題型１１－５．(2023·浙江嘉興·中考真題）某動(dòng)物園利用杠桿原理稱(chēng)象：如圖，在點(diǎn)P處掛一根質(zhì)地均勻且足夠長(zhǎng)的鋼梁（呈水平狀態(tài)），將裝有大象的鐵籠和彈簧秤（秤的重力忽略不計(jì)）分別懸掛在鋼梁的點(diǎn)A，B處，當(dāng)鋼梁保持水平時(shí)，彈簧秤讀數(shù)為k（N）．若鐵籠固定不動(dòng)，移動(dòng)彈簧秤使擴(kuò)大到原來(lái)的n（）倍，且鋼梁保持水平，則彈簧秤讀數(shù)為_(kāi)______（N）（用含n，k的代數(shù)式表示）．
【詳解】設(shè)彈簧秤新讀數(shù)為x
根據(jù)杠桿的平衡條件可得：
解得
故答案為：．
題型１１－６．(2023·江蘇南通·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買(mǎi)羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買(mǎi)羊，若每人出5錢(qián)，還差45錢(qián)；若每人出7錢(qián)，多余3錢(qián)。問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則可列方程為_(kāi)__________．
【詳解】解：依題意，得：5x+45=7x-3．故答案為：5x+45=7x-3．
題型１１－７．(2023·吉林長(zhǎng)春·中考真題）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無(wú)房可住；若每間住9人，則余下一間無(wú)人住，設(shè)店中共有x間房，可求得x的值為_(kāi)_______．
【詳解】設(shè)店中共有x間房，
由題意得，，
解得，
所以，店中共有8間房，
故答案為：8．
題型１１－８．(2023·遼寧大連·中考真題）我國(guó)古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩(shī)：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齊足”其大意是：“牧童們?cè)跇?shù)下拿著竹竿高興地玩耍，不知與多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若設(shè)有牧童x人，根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)_________．
【詳解】解：設(shè)有牧童x人，根據(jù)題意得：6x+14=8x，
題型１１－９．(2023·湖北湖北·中考真題）我國(guó)明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書(shū)中有這樣一道題：一支竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托，對(duì)折索子來(lái)量竿，卻比竿子短一托．如果1托為5尺，那么索長(zhǎng)為_(kāi)______尺．（其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，如果用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)折后再去量竿，就比竿短5尺，則繩索長(zhǎng)幾尺．）
【詳解】解：設(shè)繩索長(zhǎng)尺，
由題意得：，
解得，
即繩索長(zhǎng)20尺，
故答案為：20．
題型１１－１０．(2023·江蘇連云港·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”其大意是：今有幾個(gè)人共同出錢(qián)購(gòu)買(mǎi)一件物品．每人出8錢(qián)，剩余3錢(qián)；每人出7錢(qián)，還缺4錢(qián)．問(wèn)人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？請(qǐng)你求出以上問(wèn)題中的人數(shù)和物品價(jià)格．
【詳解】解：設(shè)人數(shù)為人，由題意得
，
解得．
所以物品價(jià)格是．
答：有7人，物品價(jià)格是53錢(qián)．
題型１１－１１．(2023·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）電影《劉三姐》中，有這樣一個(gè)場(chǎng)景，羅秀才搖頭晃腦地吟唱道：“三百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數(shù)要單數(shù)，看你怎樣分得勻？”該歌詞表達(dá)的是一道數(shù)學(xué)題．其大意是：把300條狗分成4群，每個(gè)群里，狗的數(shù)量都是奇數(shù)，其中一個(gè)群，狗的數(shù)量少：另外三個(gè)群，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同．問(wèn)：應(yīng)該如何分？請(qǐng)你根據(jù)題意解答下列問(wèn)題：
(1)劉三姐的姐妹們以對(duì)歌的形式給出答案：“九十九條打獵去，九十九條看羊來(lái)，九十九條守門(mén)口，剩下三條給財(cái)主．”請(qǐng)你根據(jù)以上信息，判斷以下三種說(shuō)法是否正確，在題后相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．
①劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案．（ ）
②劉三姐的姐妹們給出的答案是唯一正確的答案．（ ）
③該歌詞表達(dá)的數(shù)學(xué)題的正確答案有無(wú)數(shù)多種．（ ）
(2)若羅秀才再增加一個(gè)條件：“數(shù)量多且數(shù)量相同的三個(gè)群里，每個(gè)群里狗的數(shù)量比數(shù)量較少的那個(gè)群里狗的數(shù)量多40條”，求每個(gè)群里狗的數(shù)量．
(1)根據(jù)題意，姐妹們給出的答案是符合要求的；除此之外，還可分成97,97,97,9等，
劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案，
∵這里的每群狗的數(shù)量還需要是正整數(shù)，
∴答案不是無(wú)數(shù)種，
∴①√，②×，③×，
故答案為：√，×，×；
(2)設(shè)數(shù)量少的狗群的數(shù)量為只，則狗的數(shù)量多且數(shù)量相同的群里狗的數(shù)量為只，由題意得：
，
解得，
（只），
所以，數(shù)量少的群里狗的數(shù)量為45只，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同的群里狗的數(shù)量為85只．
題型１１－１２．(2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）某公司專(zhuān)業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，6月初（當(dāng)月月歷如圖）接到一份求購(gòu)5000件該產(chǎn)品的訂單，要求本月底完成，7月1日按期交貨．
經(jīng)盤(pán)點(diǎn)目前公司已有該產(chǎn)品庫(kù)存2855件，補(bǔ)充原材料后，從本月7日開(kāi)始生產(chǎn)剩余數(shù)量的該產(chǎn)品，已知該公司除周六、周日正常休息外，每天的生產(chǎn)量相同．但因受高溫天氣影響，從本月10日開(kāi)始，每天的生產(chǎn)量比原來(lái)減少了25件，截止到17日生產(chǎn)結(jié)束，庫(kù)存總量達(dá)3830件．如果按照10日開(kāi)始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，能否按期完成訂單？請(qǐng)說(shuō)明理由．如果不能，請(qǐng)你給該公司生產(chǎn)部門(mén)提出一個(gè)合理的建議，以確保能按期交貨．
分析：設(shè)10日開(kāi)始每天生產(chǎn)量為件，根據(jù)題意列出一元一次方程，繼而根據(jù)，如果按照公司10日開(kāi)始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，截止月底生產(chǎn)的天數(shù)為9天，列出一元一次不等式，求得從20日開(kāi)始每天的生產(chǎn)量至少達(dá)到130件，即可求解．
【詳解】解：設(shè)10日開(kāi)始每天生產(chǎn)量為件，
根據(jù)題意，得．
解得，．
如果按照公司10日開(kāi)始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，截止月底生產(chǎn)的天數(shù)為9天，
因此該公司9天共可生產(chǎn)900件產(chǎn)品．
因?yàn)椋圆荒馨雌谕瓿捎唵危?br>由，
所以為確保按期交貨，從20日開(kāi)始每天的生產(chǎn)量至少達(dá)到130件．
種類(lèi)
真絲襯衣
真絲圍巾
進(jìn)價(jià)（元/件）
a
80
售價(jià)（元/件）
300
100
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

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