模型一：沿過點(diǎn)A的直線翻折使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B’落在斜邊AC上，
折痕為AD，求線段AD，DC，B’C長(zhǎng)度。
解法一（勾股定理思路）：
由已知條件可知，AB=AB’，BD= B’D
∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5
∴∠AB’D=90°，AB’=3，B’C=2
設(shè)BD=x，則B’D=x，DC=4-x
在Rt△DB’C中，由勾股定理可得DB’2+ B’C2=DC2 即x2+22=（4-x）2 解得x=1.5
∴B’D=1.5, DC=2.5
同理AD=32√5
解法二（相似三角形思路）：
由已知條件易證△ABC∽△DB’C 則ABBC = DB’B'C 則B’D=1.5 再由勾股定理求解線段AD長(zhǎng)
【模型變形】已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
AD為∠BAC的角平分線，求DC長(zhǎng)
解法（思路）：過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E
則△ABD≌△AED(AAS)(證明過程略)
∴∠ABD=∠AED，BD=DE，AB=AE
剩余步驟參照模型一解法一
模型二：沿過點(diǎn)C的直線翻折使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B’落在斜邊AC上，
折痕為CD，求線段AD，DC，AB’長(zhǎng)度。
解法一（勾股定理思路）：
由已知條件可知，BD=B’D，BC=B’C
∵∠ABC=90°， BC=4，AC=5
∴∠CB’D=90°， B’C=4，AB’ =1
設(shè)BD=x，則B’D=x，AD=3-x
在Rt△ADB’中，由勾股定理可得DB’2+ AB’2=AD2 即x2+12=（3-x）2 解得x=43
∴B’D=43, AD=53
在Rt△DCB’中，由勾股定理可Q求得CD長(zhǎng)
解法二（相似三角形思路）：
由已知條件易證△ABC∽△AB’D則ABBC = AB’B'D 則B’D=43 再由勾股定理求解線段CD長(zhǎng)
模型三：沿MN翻折使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，
求線段AN，BM，MN長(zhǎng)度。
解法一（勾股定理思路）:
設(shè)BM=x，則MC=AM=4-x，
在Rt△ABM中，由勾股定理可得BM2+ AB2=AM2 即x2+32=（4-x）2 解得x=78
則MC=258
在Rt△MNC中，由勾股定理可得MN=MC2?NC2=158
解法二（相似三角形思路）：
由已知條件易證△ABC∽△MNC則ABBC = MNNC , BCAC = NCMC 則MN=158, MC=258 ∴BM=78
模型四: 沿斜邊中線BE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接AF、FC，AF與BE交于點(diǎn)O，
求線段AF，F(xiàn)C的長(zhǎng)
解法(思路)：過點(diǎn)E作DE⊥AB，交AB邊于點(diǎn)D
由翻折的性質(zhì)可知，AE=EF,AF⊥BE
∵BE是Rt△ABC斜邊中線，∴S△ABE=12S△ABC=3
∴S△ABE=12AO?BE=3 解得AO=125 則AF=245
∵∠FEC=2∠EFA, ∠EFC =∠ECF
在△EFC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得 ∠FEC+∠EFC+∠ECF=180°
∴∠EFA+∠EFC=90°
在Rt△AFC中根據(jù)勾股定理可知FC=AC2?AF2=75
模型五: 沿斜邊中線BE翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連接AD、CD
求線段AD， CD的長(zhǎng)
解法(思路)：延長(zhǎng)BE，交DC邊于點(diǎn)F
由翻折的性質(zhì)可知，DE=EC, BF⊥CD
∵BE是Rt△ABC斜邊中線，∴S△BEC=12S△ABC=3
∴S△BEC=12FC?BE=3 解得FC=125 則DC=245
∵∠DEA=2∠EDC, ∠EAD =∠EDA
在△ADE中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得 ∠DEA+∠EAD+∠EDA=180°
∴∠EDA+∠EDC=90°
在Rt△ADC中根據(jù)勾股定理可知AD=AC2?DC2=75
模型六：線段AC上有一點(diǎn)D，沿直線BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上點(diǎn)E處，
求AD，DC，BD
解法(思路)：過點(diǎn)D作DM⊥BC, DN⊥AB，分別與BC、AB交于點(diǎn)M，點(diǎn)N
由翻折的性質(zhì)可知，∠ABD=∠DBC=45°,則DN=DM
設(shè)DN=x 則S△ABC=S△ABD+S△BDC=12AB?DN+12BC?DM=6 則x=127
∴BN=BM=127 則AN=97 , MC=167
則AD=157，DC=207 (可根據(jù)勾股定理和相似三角形兩種方法求解)
在Rt△BND中根據(jù)勾股定理/銳角三角函數(shù)可知BD長(zhǎng)
模型七：點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在AC與BC邊上，點(diǎn)C沿MN翻折，使點(diǎn)C落在AB邊
中點(diǎn)D處，DC與MN相交于點(diǎn)O，求MN,CM,CD,CN的長(zhǎng)度
解法(思路)：由翻折的性質(zhì)可知，DN=NC，DC⊥MN
設(shè)BN=x，則DN=4-x
在Rt△DBN中由勾股定理可得BD2+ BN2=DN2 則x=5532 所以NC=7332
在Rt△DBC中由勾股定理可得DC=12√73 則DO=OC=14√73
在Rt△NOC中由勾股定理可求得NO，從而求出MN的長(zhǎng)
過點(diǎn)D作DH⊥AC，交AC邊于點(diǎn)H
∵S△ADC=12S△ABC=3 ∴S△ADC=12AC?DH=3 解得DH=65
∴AH=910 設(shè)MC=y，則AM=5-y,HM=AM?AH=4110?y
在Rt△DHM中由勾股定理求得y值
【過關(guān)測(cè)試】
1．（2022春·四川成都·七年級(jí)校考期中）如圖，將一個(gè)等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，，，則的周長(zhǎng)（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖有一塊直角三角形紙片，，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．1.5C．D．3
3．（2020春·陜西銅川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過點(diǎn)D作交AB邊于點(diǎn)E，將沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的F處，連接AF，當(dāng)為直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．3C．1或2D．1或3
4．（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊和邊上，沿著直線翻折，點(diǎn)A落在邊上，記為點(diǎn)F，如果，則的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．C．D．
5．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)F在AC上，并且，點(diǎn)E為BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），將沿直線EF翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，結(jié)論①：當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為；結(jié)論②：點(diǎn)P到AB的距離的最小值是，則關(guān)于上述兩個(gè)結(jié)論，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．①正確，②錯(cuò)誤B．①錯(cuò)誤，②正確
C．①和②都正確D．①和②都錯(cuò)誤
6．（2023秋·天津和平·八年級(jí)天津市匯文中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，，為邊上的點(diǎn)，連接．如果將沿直線翻折后，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)到的距離是（ ）
A．2B．1C．D．3
7．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的中線，，把沿著直線翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，如果，那么線段的長(zhǎng)度為（ ）
A．2B．4C．D．
8．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，在中，點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，連接，把沿若翻折，得到．連接．若，，，則為（ ）
A．B．2C．3D．
9．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？计谀┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊和邊上，沿著直線翻折，點(diǎn)A落在邊上，記為點(diǎn)F，如果，則的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．C．D．
10．（2021秋·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在線段上，將沿翻折，點(diǎn)O落在邊上的點(diǎn)D處，則的長(zhǎng)為（ ）．
A．4B．3C．2D．1
11．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將沿AD翻折得到，連結(jié)BE，則線段BE的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．C．D．
12．（2022秋·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)E在邊BC上，將沿翻折，點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處，連結(jié)，若．下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．垂直平分B．
C．點(diǎn)E是的中點(diǎn)D．的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大5
13．（2022秋·廣東梅州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處連接，則長(zhǎng)度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，連接DE，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在BC的延長(zhǎng)線上．若FD平分∠EFB，則CF的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
15．（2021春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）ABC中，，，D、E兩點(diǎn)分別在邊AB，BC上，將三角形的部分沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落到射線BC上的F點(diǎn)，當(dāng)ADF為直角三角形時(shí)，則折痕DE的長(zhǎng)為______
16．（2022·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖，為等腰直角三角形，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連接，將沿翻折得到，當(dāng)?shù)囊贿呥^點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為___________．
17．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上．連接，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交邊于點(diǎn)．已知，，若為直角三角形，則的面積為______．
18．（2020秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖①，點(diǎn)D為一等腰直角三角形紙片的斜邊AB的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，將這張紙片沿DE翻折成如圖②，使BE與AC邊相交于點(diǎn)F，若圖①中AB＝2，則圖②中△CEF的周長(zhǎng)為______________．
19．（2019·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，將一個(gè)等腰直角三角形按照?qǐng)D示方式依次翻折，若，則下列說(shuō)法正確的有________.
①平分；②BC長(zhǎng)為；③是等腰三角形；
④的周長(zhǎng)等于的長(zhǎng).
20．（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在中，為邊上的中線，已知，，．將沿著翻折得到，連接，，則的面積為______．
21．（2023秋·上海靜安·八年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，，為邊上一點(diǎn)，將沿著直線翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，連接．如果，那么的長(zhǎng)為________．
22．（2021·浙江湖州·統(tǒng)考一模）如圖，已知在直角三角形紙片中，，點(diǎn)D、E分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，將沿著翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在內(nèi)（包括邊上），連結(jié)．
（1）如圖1，若．
①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
②當(dāng)與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)．
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，若有且只有一個(gè)位置使得構(gòu)成直角三角形，請(qǐng)求出滿足條件的的取值范圍．
23．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是等腰直角三角形ABC的斜邊，若點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC上，沿直線MN將△MCN翻折，使點(diǎn)C落在邊AB上，設(shè)其落點(diǎn)為P．
（1）求證：AM=PN；
（2）當(dāng)點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
（3）當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
24．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期末）在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)（如圖），點(diǎn)P、Q分別是射線BC、BA上的動(dòng)點(diǎn)，且BQ=BP，聯(lián)結(jié)PQ、QD、DP．
（1）求證：PQ⊥AB；
（2）如果點(diǎn)P在線段BC上，當(dāng)PQD是直角三角形時(shí)，求BP的長(zhǎng)；
（3）將PQD沿直線QP翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，如果點(diǎn)位于ABC內(nèi)，請(qǐng)直接寫出BP的取值范圍．
25．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在 中，，，，點(diǎn)在邊上，并且，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，求點(diǎn)到邊距離的最小值．
26．（2022秋·陜西·九年級(jí)期中）如圖1，在紙片中，，，，D，E分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，將沿翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接．
(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，求的長(zhǎng)．
(2)如圖3，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
專題17 直角三角形翻折模型
已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5
模型一：沿過點(diǎn)A的直線翻折使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B’落在斜邊AC上，
折痕為AD，求線段AD，DC，B’C長(zhǎng)度。
解法一（勾股定理思路）：
由已知條件可知，AB=AB’，BD= B’D
∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5
∴∠AB’D=90°，AB’=3，B’C=2
設(shè)BD=x，則B’D=x，DC=4-x
在Rt△DB’C中，由勾股定理可得DB’2+ B’C2=DC2 即x2+22=（4-x）2 解得x=1.5
∴B’D=1.5, DC=2.5
同理AD=32√5
解法二（相似三角形思路）：
由已知條件易證△ABC∽△DB’C 則ABBC = DB’B'C 則B’D=1.5 再由勾股定理求解線段AD長(zhǎng)
【模型變形】已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
AD為∠BAC的角平分線，求DC長(zhǎng)
解法（思路）：過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E
則△ABD≌△AED(AAS)(證明過程略)
∴∠ABD=∠AED，BD=DE，AB=AE
剩余步驟參照模型一解法一
模型二：沿過點(diǎn)C的直線翻折使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B’落在斜邊AC上，
折痕為CD，求線段AD，DC，AB’長(zhǎng)度。
解法一（勾股定理思路）：
由已知條件可知，BD=B’D，BC=B’C
∵∠ABC=90°， BC=4，AC=5
∴∠CB’D=90°， B’C=4，AB’ =1
設(shè)BD=x，則B’D=x，AD=3-x
在Rt△ADB’中，由勾股定理可得DB’2+ AB’2=AD2 即x2+12=（3-x）2 解得x=43
∴B’D=43, AD=53
在Rt△DCB’中，由勾股定理可Q求得CD長(zhǎng)
解法二（相似三角形思路）：
由已知條件易證△ABC∽△AB’D則ABBC = AB’B'D 則B’D=43 再由勾股定理求解線段CD長(zhǎng)
模型三：沿MN翻折使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，
求線段AN，BM，MN長(zhǎng)度。
解法一（勾股定理思路）:
設(shè)BM=x，則MC=AM=4-x，
在Rt△ABM中，由勾股定理可得BM2+ AB2=AM2 即x2+32=（4-x）2 解得x=78
則MC=258
在Rt△MNC中，由勾股定理可得MN=MC2?NC2=158
解法二（相似三角形思路）：
由已知條件易證△ABC∽△MNC則ABBC = MNNC , BCAC = NCMC 則MN=158, MC=258 ∴BM=78
模型四: 沿斜邊中線BE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接AF、FC，AF與BE交于點(diǎn)O，
求線段AF，F(xiàn)C的長(zhǎng)
解法(思路)：過點(diǎn)E作DE⊥AB，交AB邊于點(diǎn)D
由翻折的性質(zhì)可知，AE=EF,AF⊥BE
∵BE是Rt△ABC斜邊中線，∴S△ABE=12S△ABC=3
∴S△ABE=12AO?BE=3 解得AO=125 則AF=245
∵∠FEC=2∠EFA, ∠EFC =∠ECF
在△EFC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得 ∠FEC+∠EFC+∠ECF=180°
∴∠EFA+∠EFC=90°
在Rt△AFC中根據(jù)勾股定理可知FC=AC2?AF2=75
模型五: 沿斜邊中線BE翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連接AD、CD
求線段AD， CD的長(zhǎng)
解法(思路)：延長(zhǎng)BE，交DC邊于點(diǎn)F
由翻折的性質(zhì)可知，DE=EC, BF⊥CD
∵BE是Rt△ABC斜邊中線，∴S△BEC=12S△ABC=3
∴S△BEC=12FC?BE=3 解得FC=125 則DC=245
∵∠DEA=2∠EDC, ∠EAD =∠EDA
在△ADE中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得 ∠DEA+∠EAD+∠EDA=180°
∴∠EDA+∠EDC=90°
在Rt△ADC中根據(jù)勾股定理可知AD=AC2?DC2=75
模型六：線段AC上有一點(diǎn)D，沿直線BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上點(diǎn)E處，
求AD，DC，BD
解法(思路)：過點(diǎn)D作DM⊥BC, DN⊥AB，分別與BC、AB交于點(diǎn)M，點(diǎn)N
由翻折的性質(zhì)可知，∠ABD=∠DBC=45°,則DN=DM
設(shè)DN=x 則S△ABC=S△ABD+S△BDC=12AB?DN+12BC?DM=6 則x=127
∴BN=BM=127 則AN=97 , MC=167
則AD=157，DC=207 (可根據(jù)勾股定理和相似三角形兩種方法求解)
在Rt△BND中根據(jù)勾股定理/銳角三角函數(shù)可知BD長(zhǎng)
模型七：點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在AC與BC邊上，點(diǎn)C沿MN翻折，使點(diǎn)C落在AB邊
中點(diǎn)D處，DC與MN相交于點(diǎn)O，求MN,CM,CD,CN的長(zhǎng)度
解法(思路)：由翻折的性質(zhì)可知，DN=NC，DC⊥MN
設(shè)BN=x，則DN=4-x
在Rt△DBN中由勾股定理可得BD2+ BN2=DN2 則x=5532 所以NC=7332
在Rt△DBC中由勾股定理可得DC=12√73 則DO=OC=14√73
在Rt△NOC中由勾股定理可求得NO，從而求出MN的長(zhǎng)
過點(diǎn)D作DH⊥AC，交AC邊于點(diǎn)H
∵S△ADC=12S△ABC=3 ∴S△ADC=12AC?DH=3 解得DH=65
∴AH=910 設(shè)MC=y，則AM=5-y,HM=AM?AH=4110?y
在Rt△DHM中由勾股定理求得y值
【過關(guān)測(cè)試】
1．（2022春·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將一個(gè)等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，，，則的周長(zhǎng)（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用折疊性質(zhì)可得AB=BE，AD=DE，再將的周長(zhǎng)表示出來(lái)即可．
【詳解】解：沿折疊得到，
，，
，，
∵為等腰直角三角形，
，
，
，
的周長(zhǎng)為：
，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形，折疊變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用折疊和等腰直角三角形的性質(zhì)表示出所求三角形各邊之間的關(guān)系．
2．（2022春·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖有一塊直角三角形紙片，，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．1.5C．D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，利用翻折得到AE=AB=5，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．
【詳解】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴，
由翻折得AE=AB=5，DE=BD，
∴CE=AE-AC=1，
在Rt△CED中，，
∴，
解得BD=，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，熟記勾股定理的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
3．（2020春·陜西銅川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過點(diǎn)D作交AB邊于點(diǎn)E，將沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的F處，連接AF，當(dāng)為直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．3C．1或2D．1或3
【答案】C
【分析】首先利用勾股定理求出三角形ABC的邊長(zhǎng)，分∠EAF=90°和∠AFE=90°兩種情況，利用30°角的性質(zhì)列方程求解．
【詳解】解：在直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC，
根據(jù)勾股定理，得BC2=AB2-AC2=4AC2-AC2=9，
解得AC=，AB=2AC=2，
設(shè)BD=x,則用同樣方法得BE= ，
∴AE=AB-BE=2-，EF=BE=，
FC=BC-FB=3-2x,
∵∠AEF=∠B+∠EFB=60°，
當(dāng)∠EAF=90°，∠EFA=30°，
∴EF=2AE，
有=2（2-），
解得x=2，
②當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，AE=2EF，
有2×=2-，
解得x=1，
故選擇C．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)與折疊問題，解決問題的關(guān)鍵是確定折疊前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
4．（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊和邊上，沿著直線翻折，點(diǎn)A落在邊上，記為點(diǎn)F，如果，則的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】過點(diǎn)F作于G，先求出，則，設(shè)，則，在中，利用勾股定理求解即可．
【詳解】過點(diǎn)F作于G，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
即，
解得
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，能夠準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
5．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)F在AC上，并且，點(diǎn)E為BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），將沿直線EF翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，結(jié)論①：當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為；結(jié)論②：點(diǎn)P到AB的距離的最小值是，則關(guān)于上述兩個(gè)結(jié)論，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．①正確，②錯(cuò)誤B．①錯(cuò)誤，②正確
C．①和②都正確D．①和②都錯(cuò)誤
【答案】C
【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解可求得；延長(zhǎng)交于M，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到的距離最小，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出即可解決問題．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故①正確；
如圖，延長(zhǎng)交于M，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到的距離最?。?br>∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴點(diǎn)P到邊距離的最小值是．故②正確；
綜上，①和②都正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、最短問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．垂線段最短等知識(shí)，解第②題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)P位置．
6．（2023秋·天津和平·八年級(jí)天津市匯文中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，，為邊上的點(diǎn)，連接．如果將沿直線翻折后，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)到的距離是（ ）
A．2B．1C．D．3
【答案】A
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為D，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，，得到，過點(diǎn)M作于點(diǎn)F，根據(jù)，計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為D，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，，
所以，
過點(diǎn)M作于點(diǎn)F，
因?yàn)椋?br>所以，
解得．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，熟練掌握折疊性質(zhì)，中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的中線，，把沿著直線翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，如果，那么線段的長(zhǎng)度為（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)判定是等邊三角形，然后再利用求．
【詳解】解：連接，
∵是的中線，且沿著直線翻折，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，為等邊三角形，
∴，
在中，
∵，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，還考查的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；2、等邊三角形的判定和性質(zhì)求解．解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
8．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中校考期末）如圖，在中，點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，連接，把沿若翻折，得到．連接．若，，，則為（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】B
【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，由折疊性質(zhì)可知，，，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可求得，進(jìn)而在Rt中，由勾股定理得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，
∵點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，
∴，
∵把沿若翻折，得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在Rt中，由勾股定理，得：
，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)性質(zhì)．
9．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？计谀┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊和邊上，沿著直線翻折，點(diǎn)A落在邊上，記為點(diǎn)F，如果，則的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，，方法1：作于G，設(shè)，則，在中，，，問題隨之得解；方法2：如圖2，作于，設(shè)，則，，，在中，，，問題隨之得解．
【詳解】∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
方法1：如圖1，作于G，
∵在中，，，
∴，
∵，
則，
設(shè)，則，
在中，，，
即．
方法2：如圖2，作于，
設(shè)，則，，，
在中，，，
即．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)等知識(shí)，掌握折疊的性質(zhì)并靈活運(yùn)用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2021秋·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在線段上，將沿翻折，點(diǎn)O落在邊上的點(diǎn)D處，則的長(zhǎng)為（ ）．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】由直線解析式可求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出，，再由勾股定理可求出．由折疊可知，，，從而可求出．設(shè)，則，在中，利用勾股定理可列出關(guān)于x的方程，解出x，即得出的長(zhǎng)．
【詳解】對(duì)于直線，令，則，
解得：，
∴，
∴．
令，則，
∴，
∴，
∴．
由折疊可知，，，
∴．
設(shè)，則，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，勾股定理，折疊的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
11．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將沿AD翻折得到，連結(jié)BE，則線段BE的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】延長(zhǎng)AD交CE于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作于H，根據(jù)運(yùn)用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，利用的面積求出AH的長(zhǎng)，證明AD垂直平分線段CE，運(yùn)用與面積相等求出OC的長(zhǎng)，推出CE的長(zhǎng)，證明是直角三角形，在中，利用勾股定理即可解決問題．
【詳解】延長(zhǎng)AD交CE于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，
在中，∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴AD垂直平分線段CE，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
在中，．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換，直角三角形的斜邊中線，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握翻折性質(zhì)，直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，三線合一，勾股定理解直角三角形，面積法求高．
12．（2022秋·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)E在邊BC上，將沿翻折，點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處，連結(jié)，若．下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．垂直平分B．
C．點(diǎn)E是的中點(diǎn)D．的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大5
【答案】C
【分析】由折疊性質(zhì)可得，，，，進(jìn)而可以逐一判斷即可．
【詳解】解：由翻折可知：點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處，
∴，，
∴垂直平分，
故A正確，不符合題意；
在中，，，
∴，
∴，
∴，
故B正確，不符合題意；
由翻折可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
但是，
∴E不是的中點(diǎn)，
故C錯(cuò)誤，符合題意；
∵的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)，
∴的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大5，
故D正確，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形的折疊，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（2022秋·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處連接，則長(zhǎng)度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】當(dāng)落在上，長(zhǎng)度的值最小，根據(jù)勾股定理得到，由折疊的性質(zhì)知，，于是得到結(jié)論．
【詳解】解：當(dāng)落在上，長(zhǎng)度的值最小，
∵，，，
∴，
由折疊的性質(zhì)知，，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2022春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，連接DE，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在BC的延長(zhǎng)線上．若FD平分∠EFB，則CF的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由翻折得出AD=DF，∠A=∠DFE，再根據(jù)FD平分∠EFB，得出∠DFE=∠A，可求證△ABC∽△FBD，根據(jù)線段比例關(guān)系即可求解．
【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：AB==5，
∵將△ADE沿DE翻折得△DEF，
∴AD=DF，∠A=∠DFE，
∵FD平分∠EFB，
∴∠DFE=∠DFH，
∴∠DFE=∠A，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△FBD，
∴，
設(shè)BD=m，則AD=DF=5-m，
∴，
解得m=，BF=，
∴CF=BF-BC=-3=，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了以直角三角形為背景的翻折問題，緊扣翻折前后對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等來(lái)解決問題，通過相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列方程是解決本題的關(guān)鍵．
15．（2021春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）ABC中，，，D、E兩點(diǎn)分別在邊AB，BC上，將三角形的部分沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落到射線BC上的F點(diǎn)，當(dāng)ADF為直角三角形時(shí)，則折痕DE的長(zhǎng)為______
【答案】或
【分析】根據(jù)由折疊可知△DEF≌△DEB，△ADB∽△DEB，由相似比可知，由此可設(shè)DE=x，BE=2x，進(jìn)而可推出CE=6－2x，CF=4x-6，，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．
【詳解】解：如下圖所示：
由折疊可知△DEF≌△DEB，△ACB∽△DEB，
∴，
∴，
設(shè)DE=x，
∴BE=2x，
∴，
∴CE=6－2x，CF=4x-6，
∵△ACF為直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵△DEF≌△DEB，
∴DB=DF=，
∵△AFD為直角三角形，
∴，
代入可得，
化簡(jiǎn)后解得：x=3或，
故答案為：3或．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，用一元二次方程解決實(shí)際問題，本題綜合性較強(qiáng)需要對(duì)每個(gè)小知識(shí)點(diǎn)有著較為深刻的認(rèn)識(shí)．
16．（2022·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖，為等腰直角三角形，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連接，將沿翻折得到，當(dāng)?shù)囊贿呥^點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為___________．
【答案】或
【分析】分過點(diǎn)A與過點(diǎn)A兩種情況討論即可．
【詳解】解：①當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，如圖所示，
∵，，
∴∠B=45°．
由折疊性質(zhì)得：，，．
∴．
∴△是等腰直角三角形，且D點(diǎn)是的中點(diǎn)．
∴DE⊥AB．
∴DE=BD=AB?AD=7?3=4．
由勾股定理得；
②當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)A作AF∥BC交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥于點(diǎn)G．
由折疊性質(zhì)得：，
∵AF∥BC，
∴∠F=∠BED，
∴，
∴AF=AE．
∵∠ADF=∠BDE，
∴△ADF∽△BDE，
∴，
∴．
設(shè)，則，．
∵，AG⊥，
∴，
由勾股定理得：．
∴．
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
解得：，（舍去）．
即．
綜上，BE的長(zhǎng)為或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理建立方程，注意分類討論．
17．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上．連接，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交邊于點(diǎn)．已知，，若為直角三角形，則的面積為______．
【答案】或
【分析】分類討論當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，再根據(jù)翻折的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可解答．
【詳解】分類討論：①如圖，當(dāng)時(shí)，
∵，，，
∴，．
由翻折的性質(zhì)可知，，，
∴，
設(shè)，則，
∴，，
∴．
∵在Rt中，，
∴，
解得：（舍）．
∴，
∴；
②如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合，
∵，，
∴．
設(shè)，則，
∵在Rt中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
綜上可知的面積為或．
故答案為：或.
【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．
18．（2020秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖①，點(diǎn)D為一等腰直角三角形紙片的斜邊AB的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，將這張紙片沿DE翻折成如圖②，使BE與AC邊相交于點(diǎn)F，若圖①中AB＝2，則圖②中△CEF的周長(zhǎng)為______________．
【答案】
【分析】如圖，作DM⊥AC于M，DH⊥BC于H，DN⊥EB于N，連接DF．首先證明△DFB≌△DFC，推出CF=BF，可得，再利用勾股定理求解即可得到答案．
【詳解】解：如圖，作DM⊥AC于M，DH⊥BC于H，DN⊥EB于N，連接DF．
∵，，
∴，，．
∴，



∴，
∵∠BFM=∠EFC，
∴∠DFB=∠DFC，
在△DFB和△DFC中，
，
∴△DFB≌△DFC，
∴CF=BF，
∵，
∵，
∴

（負(fù)根舍去）

故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
19．（2019·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，將一個(gè)等腰直角三角形按照?qǐng)D示方式依次翻折，若，則下列說(shuō)法正確的有________.
①平分；②BC長(zhǎng)為；③是等腰三角形；
④的周長(zhǎng)等于的長(zhǎng).
【答案】②③④
【分析】對(duì)于①，因?yàn)橛蓤D可以知道而,所以錯(cuò)誤.
對(duì)于②，由圖可以知道,且，所以，，即
，所以正確.
對(duì)于③，由圖可知且,所以,所以是等腰三角形，所以正確.
對(duì)于④,在②中求出，而的周長(zhǎng)等于
，所以正確.
【詳解】解：對(duì)于①：
為等腰直角三角形，
，，
折疊得到，
，，，
∴為等腰直角三角形，
，.
由折疊得到，
∴，，
，
∴不平分，所以①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：，
，所以②正確；
對(duì)于③：，
為等腰三角形，所以③正確；
對(duì)于④：的周長(zhǎng)，
的周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)，所以④正確.
故答案為:: ②③④
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，以及結(jié)合著翻折去轉(zhuǎn)換變量，進(jìn)而求出最終結(jié)果.
20．（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，為邊上的中線，已知，，．將沿著翻折得到，連接，，則的面積為______．
【答案】6.72####
【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．由折疊可知垂直平分線段，，，利用勾股定理解和可求出，進(jìn)而求出；再證是直角三角形，利用勾股定理求出，最后利用三角形面積公式即可求解．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．
，為邊上的中線，
．
沿著翻折得到，
，，垂直平分線段，
在中，，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，，
又，
，
是直角三角形，
，
，，
，
點(diǎn)A到的距離等于的長(zhǎng)，
，
故答案為：6.72．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，平行線間的距離，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積公式等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用上述知識(shí)．
21．（2023秋·上海靜安·八年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，在中，，，為邊上一點(diǎn)，將沿著直線翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，連接．如果，那么的長(zhǎng)為________．
【答案】##
【分析】根據(jù)題意，作出圖形，進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)以及已知條件得出，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，進(jìn)而得出．
【詳解】解：如圖，
∵，
∴，
∴，
∵折疊，
∴，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．
22．（2021·浙江湖州·統(tǒng)考一模）如圖，已知在直角三角形紙片中，，點(diǎn)D、E分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，將沿著翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在內(nèi)（包括邊上），連結(jié)．
（1）如圖1，若．
①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
②當(dāng)與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)．
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，若有且只有一個(gè)位置使得構(gòu)成直角三角形，請(qǐng)求出滿足條件的的取值范圍．
【答案】（1）①67.5°；②；（2）
【分析】（1）由平行線性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求出；
（2）分或兩種情況討論，根據(jù)可知點(diǎn)F一定在BC邊上，再利用等腰直角三角形性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（3）分或兩種情況討論，根據(jù)點(diǎn)F落在內(nèi)（包括邊上）求出邊界點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的值即可解答．
【詳解】（1）①∵折疊到，
∴，
∵，，
∴，
∴．
②∵點(diǎn)F在內(nèi)部或邊上，
∴，
∵與相似
∴，即F在邊上，
I.若，且由折疊可得，
∴點(diǎn)F在點(diǎn)C處，如圖1，
又∵，
∴．
II.若，如圖2，
由折疊可得，
∴，
∴，
設(shè)，則，
由，
解得，
∵，
∴．
（3）∵不可能為，
I.若，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵時(shí)，即，
存在點(diǎn)F在內(nèi)部使得的一個(gè)．
若直角頂點(diǎn)F在邊上，即為邊界情況，如圖3，
∵
∴，
∴當(dāng)時(shí)存在一個(gè)的，
II.當(dāng)時(shí)，若F在邊上時(shí)，即為邊界情況，如圖4，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)的．
綜上可得：
時(shí)，分別存在一個(gè)的和一個(gè)的，總共存在兩個(gè)．
時(shí)只存在一個(gè)．
故滿足有且只有一個(gè)位置使得構(gòu)成直角三角形這一條件的的取值范圍．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊圖形性質(zhì)和相似三角形判定，同時(shí)還考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，分類討論思想的運(yùn)用，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，難度較大．
23．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是等腰直角三角形ABC的斜邊，若點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC上，沿直線MN將△MCN翻折，使點(diǎn)C落在邊AB上，設(shè)其落點(diǎn)為P．
（1）求證：AM=PN；
（2）當(dāng)點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
（3）當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）成立，理由見解析．
【分析】（1）連接PC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得MN是PC的垂直平分線，證明AM=PM=AC即可得到結(jié)論；
（2）易證得△CMN∽△CAB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得，繼而可得比例式；
（3）首先連接PC，則MN⊥PC，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，易證得△AEP∽△ACB，△MCN∽△PEC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得成立．
【詳解】解：（1）連接PC，如圖1，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°
∴∠A=∠B=45°
∴MC=NC
∵M(jìn)N是折痕，
∴MN垂直平分PC，MN//AB，MC=PM=PN
∴CP⊥AB，∠MPC=∠MCP=45°
∴∠MPA=45°
∴∠MPA=∠A
∴AM=PM
∴AM=PN
（2）如圖1，
∵M(jìn)N是折痕，
∴MN垂直平分PC，
∵AC=BC，AP=BP，
∴CP⊥AB，=1，
∴MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴，
∴；
（3）當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，仍然成立．
理由：如圖（2），連接PC，則MN⊥PC，
過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，
∵∠ACB=90°，∠A是公共角，
∴△AEP∽△ACB，
∴，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，
∴AE=EP，
∵∠MCN=90°，CP⊥MN，
∴∠ECP=∠MNC，
∴△MCN∽△PEC，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
24．（2021·上海·九年級(jí)期末）在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)（如圖），點(diǎn)P、Q分別是射線BC、BA上的動(dòng)點(diǎn)，且BQ=BP，聯(lián)結(jié)PQ、QD、DP．
（1）求證：PQ⊥AB；
（2）如果點(diǎn)P在線段BC上，當(dāng)PQD是直角三角形時(shí)，求BP的長(zhǎng)；
（3）將PQD沿直線QP翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，如果點(diǎn)位于ABC內(nèi)，請(qǐng)直接寫出BP的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）＜BP＜ ．
【分析】（1）由勾股定理得出AB，再根據(jù)相似三角形的判定得出△ABC∽△PBQ即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）分情況考慮P、Q在射線上，不存在△PDQ，此時(shí)P、Q繼續(xù)往右移動(dòng)，點(diǎn)將不可能位于ABC內(nèi)，BP應(yīng)小于當(dāng)前BP的數(shù)值；P在線段BC上時(shí)，由特殊銳角三角函數(shù)值求得PB即可．
【詳解】（1）∵∠C= 90°，AC=2，BC=，
∴在Rt△ABC中
AB= =
∴ =
∵BQ=BP
∴ =
∴= =
又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△PBQ
∴∠C=∠PQB=90°
∴PQ⊥AB；
（2）當(dāng)PQD是直角三角形時(shí)，
∵BQ與BP有比例關(guān)系，D點(diǎn)固定
∴直角三角形PQD的直角也固定，為∠QPD=90°
由（1）得PQ⊥AB
∴∠PQB=∠QPD=90°
∴AB∥PD
∴△CPD∽△CBA
則
∴P為BC的中點(diǎn)
∴BP=BC=×=
（3）如圖：
當(dāng)P、Q、D共線時(shí)，此時(shí)不存在△PDQ，在此基礎(chǔ)上，P繼續(xù)沿射線BC方向移動(dòng)，此時(shí)將PQD沿直線QP翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)不可能位于ABC內(nèi)，
∴BP應(yīng)小于當(dāng)前BP的數(shù)值，
在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，
∴tanB=，
∴∠B=30°，∠A=90°-30°=60°，
由（1）得PQ⊥AB，PCD是直角三角形，∠B=30°，∴∠BPQ=60°，
在Rt△PCD中，DC=AC=1，則CP=×1=，
∴BP=+=，
∴BP＜；
如圖：當(dāng)點(diǎn)D′落在BC上時(shí)，
由于∠BPQ=60°，
∴∠QPD=∠QPB=60°，
∴∠DPC=180°-∠QPD-∠QPB=60°，
此時(shí)，當(dāng)P繼續(xù)沿BC方向運(yùn)動(dòng)（BP＜），必定會(huì)落在ABC內(nèi)，
在Rt△PCD中，CP=DC=，BP=BC-CP=-=，
∴BP>，
綜上＜BP＜．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，特殊銳角三角函數(shù)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)，特殊銳角三角函數(shù)以及勾股定理的應(yīng)用．
25．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在 中，，，，點(diǎn)在邊上，并且，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，求點(diǎn)到邊距離的最小值．
【答案】1.2
【分析】如圖，延長(zhǎng)交于，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，則點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離最小，證明，得到，再求出的長(zhǎng)即可得到答案．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于，
由折疊的性質(zhì)可知，
∴點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離最小，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
，
，
∵，
，
點(diǎn)到邊距離的最小值為1.2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，勾股定理，圓上一點(diǎn)到定直線的距離的最小值等，確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
26．（2022秋·陜西·九年級(jí)期中）如圖1，在紙片中，，，，D，E分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，將沿翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接．
(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，求的長(zhǎng)．
(2)如圖3，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由翻折的性質(zhì)以及可得四邊形是菱形；進(jìn)而得到，通過相似三角形的性質(zhì)求出與的數(shù)量關(guān)系，列方程求解即可；
（2）作，交于點(diǎn)，得；由，可得四邊形是平行四邊形；從而得到，；然后連續(xù)運(yùn)用勾股定理分別得出的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出答案；
【詳解】（1）解：由翻折的性質(zhì)可得： ，
∵
∴
∴四邊形是菱形
∴
∴
∴
∴
在中，，，
∴
∴
設(shè) ，則:
∵
∴
解得：
∴；
（2）解：如圖，作，交于點(diǎn)；
∵
∴
∵四邊形是菱形
∴ ，
∵
∴四邊形是平行四邊形
∴ ，
∴ ，
∴
在中

在中
．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行線截得的線段對(duì)應(yīng)成比例、相似三角形、勾股定理；綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)尋找線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

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