判斷函數(shù)單調(diào)性有哪些方法？
首先我們回憶一下函數(shù)的單調(diào)性的概念和導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
函數(shù) y = f (x) 在給定區(qū)間 G 上，當(dāng) x 1、x 2 ∈D 且 x 1＜ x 2 時
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
則 f ( x ) 在D 上是增函數(shù)；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
則 f ( x ) 在D 上是減函數(shù)；
若 f(x) 在D上是增函數(shù)或減函數(shù)，
則 f(x) 在D上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。
D = ( a , b )
(2)作差f(x1)－f(x2) (作商)
用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：
(1)任取x1、x2∈D，且x1< x2.
(4)定號(判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù))(與0比較)
(3)變形(因式分解、配方、通分、提取公因式)
本章學(xué)后，此方法基本上就被淘汰
切線斜率 的正負(fù)
導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性之間具有如下的關(guān)系：
(1)若在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)>0,則在這個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增；(2)若在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x) 0；所以函數(shù) f (x) = x3 + 3x 在 R 上單調(diào)遞增，如圖(1)所示；
例2 已知導(dǎo)函數(shù) 的下列信息:
當(dāng)1 < x < 4 時,
當(dāng) x > 4 , 或 x < 1時,
當(dāng) x = 4 , 或 x = 1時,
試畫出函數(shù) 的圖象的大致形狀.
變式：已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：
試畫出函數(shù) 圖象的大致形狀。
設(shè) 是函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)， 的圖象如右圖所示,則 的圖象最有可能的是( )
1.導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間首先要確定函數(shù)的定義域2單調(diào)區(qū)間不能用“∪” 聯(lián)系，而只能用“ ，”隔開
例： f(x)=x3, f(x)=x-sinx
已知函數(shù)在(a,b)上的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍:（1）若f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù), 則轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在(a,b)上恒成立;（2）若f(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù), 則轉(zhuǎn)化為f′(x)≤0在(a,b)上恒成立. 然后檢驗參數(shù)的取值能否使f′(x)恒等于0.
逆向問題——已知單調(diào)性求參數(shù)
f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.
例3.討論二次函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.
在R上是減函數(shù)，則（ ）
2.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f ' (x)的圖象可能是（ ）
區(qū)間為
4.已知函數(shù)f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，若f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,4)，則k=____.
5.討論f (x)=x3-6x2+9x-3的單調(diào)性.
解:f ' (x)=3x2-12x+9
令3x2-12x+9

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

6.1 函數(shù)的單調(diào)性

版本： 北師大版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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