1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（3分）某班六名同學體能測試成績（分如下：80，90，75，75，80，80，對這組數(shù)據(jù)表述錯誤的是
A．眾數(shù)是80B．方差是25C．平均數(shù)是80D．中位數(shù)是75
3．（3分）菱形的兩條對角線的分別為和，那么邊長是
A．B．C．D．
4．（3分）如圖，在矩形中，點的坐標是，點的坐標是，則的長是
A．6B．5C．D．
5．（3分）如圖，在中，，，平分，交邊于點，則的長為
A．8B．6C．4D．2
6．（3分）如圖，在正方形中，點是上一點，與交于點．若，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
7．（3分）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象大致是
A．B．
C．D．
8．（3分）若順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊的中點，得到的圖形一定是
A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形
9．（3分）若是方程的根，則的值為
A．B．1C．D．2
10．（3分）小王參加某企業(yè)招聘測試，他的筆試、面試、技能操作得分分別為85分、80分、90分，若依次按照的比例確定成績，則小王的成績是
A．255分B．84分C．84.5分D．86分
11．（3分）已知，，，是二次函數(shù)圖象上的兩點，若且，則當自變量的值取時，函數(shù)值為
A．B．C．D．
12．（3分）已知二次函數(shù)為常數(shù)），當時，的最大值是15，則的值是
A．或B．6或或C．或6D．6或或
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
13．（3分）已知函數(shù)關(guān)系式：，則自變量的取值范圍是 ．
14．（3分）已知，是方程的兩根，則 ．
15．（3分）將直線平移后經(jīng)過點，則平移后的直線解析式為 ．
16．（3分）某班同學畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送1056張照片，如果全班有名同學，根據(jù)題意，列出方程為 ．
17．（3分）如圖，每個小正方形的邊長為1，在中，點為的中點，則線段的長為 ．
18．（3分）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，對稱軸為直線，下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論為 ．（注只填寫正確結(jié)論的序號）
三、解答題（第19題6分，第20題8分，第21題6分，第22題8分，第23、24題各9分，第25、26題各10分）
19．（6分）已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、和三點．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）求此二次函數(shù)的圖象的對稱軸和頂點坐標．
20．（8分）解一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）用公式法解方程：．
21．（6分）某校八年級學生在一次射擊訓練中，隨機抽取10名學生的成績?nèi)缦卤?，請回答問題：
（1）填空：10名學生的射擊成績的眾數(shù)是 ，中位數(shù)是 ．
（2）求這10名學生的平均成績．
（3）若9環(huán)（含9環(huán)）以上評為優(yōu)秀射手，試估計全年級500名學生中有多少是優(yōu)秀射手？
22．（8分）如圖，矩形，，，過對角線中點的直線分別交、邊于點，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）當四邊形是菱形時，求菱形的邊長．
23．（9分）慶陽市是傳統(tǒng)的中藥材生產(chǎn)區(qū)，擁有豐富的中藥材資源，素有“天然藥庫”“中藥之鄉(xiāng)”的美稱．優(yōu)越的地理氣候條件形成了較獨特的資源稟賦，孕育了豐富的中藥植物資源和優(yōu)良品種．某種植戶2016年投資20萬元種植中藥材，到2018年三年共累計投資95萬元，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長率相同．
（1）求該種植戶每年投資的增長率；
（2）按這樣的投資增長率，請你預測2019年該種植戶投資多少元種植中藥材．
24．（9分）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、點，點在軸的負半軸上，若將沿直線折疊，點恰好落在軸正半軸上的點處．
（1）求的長；
（2）求點和點的坐標；
（3）軸上是否存在一點，使得？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
25．（10分）某公司生產(chǎn)一種健身產(chǎn)品在市場上很受歡迎，該公司每年的年產(chǎn)量為6萬件，每年可在國內(nèi)和國外兩個市場全部銷售，若在國內(nèi)銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤（元與國內(nèi)銷售量（萬件）的函數(shù)關(guān)系式為若在國外銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤為71元．
（1）求該公司每年的國內(nèi)和國外銷售的總利潤（萬元）與國內(nèi)銷售量（萬件）的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍．
（2）該公司每年的國內(nèi)國外銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值是多少？
（3）該公司計劃在國外銷售不低于5萬件，并從國內(nèi)銷售的每件產(chǎn)品中捐出元給希望工程，從國外銷售的每件產(chǎn)品中捐出元給希望工程，若這時國內(nèi)國外銷售的最大總利潤為393萬元，求的值．
26．（10分）如果一條拋物線與軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是 三角形；
（2）若拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求的值；
（3）如圖，是拋物線的“拋物線三角形”，是否存在以原點為對稱中心的矩形？若存在，求出過、、三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由．
（4）若拋物線與直線交點的橫坐標均為整數(shù)，是否存在整數(shù)的值使這條拋物線的“拋物線三角形”有一邊上的中線長恰好等于這邊的長？若存在，直接寫出的值；若不存在，說明理由．
2020-2021學年湖南省長沙市天心區(qū)長郡教育集團九年級（上）開學數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分，在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的，請在答題卡中填涂符合題意的選項）
1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是
A．B．C．D．
【分析】利用與一元二次方程定義進行分析即可．
【解答】解：、含有分式，不是一元二次方程，故此選項不合題意；
、含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項不合題意；
、當時，不是一元二次方程，故此選項不合題意；
、是一元二次方程，故此選項符合題意；
故選：．
【點評】此題主要考查了一元二次方程定義，關(guān)鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．
2．（3分）某班六名同學體能測試成績（分如下：80，90，75，75，80，80，對這組數(shù)據(jù)表述錯誤的是
A．眾數(shù)是80B．方差是25C．平均數(shù)是80D．中位數(shù)是75
【分析】根據(jù)眾數(shù)，方差、平均數(shù)，中位數(shù)的概念逐項分析即可．
【解答】解：、80出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是80，正確，不符合題意；
、方差是：，正確，不符合題意；
、平均數(shù)是，正確，不符合題意；
、把數(shù)據(jù)按大小排列，中間兩個數(shù)都為80，80，所以中位數(shù)是80，錯誤，符合題意．
故選：．
【點評】本題為統(tǒng)計題，考查方差、眾數(shù)、平均數(shù)與中位數(shù)的意義．中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯．
3．（3分）菱形的兩條對角線的分別為和，那么邊長是
A．B．C．D．
【分析】由菱形的性質(zhì)以及兩條對角線長可求出其邊長．
【解答】解：菱形的兩條對角線長分別為和，
該菱形的邊長為，
故選：．
【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理．此題比較簡單，注意掌握菱形的面積的求解方法是解此題的關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，在矩形中，點的坐標是，點的坐標是，則的長是
A．6B．5C．D．
【分析】利用矩形的性質(zhì)求得線段的長即可求得的長．
【解答】解：點的坐標是，點的坐標是，
線段，
四邊形是矩形，
，
故選：．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，能夠求得對角線的長是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．
5．（3分）如圖，在中，，，平分，交邊于點，則的長為
A．8B．6C．4D．2
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，，得出，證出，得出，即可得出的長．
【解答】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故選：．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出是解決問題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，在正方形中，點是上一點，與交于點．若，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
【分析】先證明，得到，在中利用三角形內(nèi)角和可求度數(shù)．
【解答】解：四邊形是正方形，
，，．
又，
．
．
．
故選：．
【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解決正方形中角的問題一般會涉及對角線平分對角成．
7．（3分）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象大致是
A．B．
C．D．
【分析】可先根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷、的符號，再判斷一次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正誤．
【解答】解：由二次函數(shù)圖象，得出，，，
、一次函數(shù)圖象，得，，故錯誤；
、一次函數(shù)圖象，得，，故錯誤；
、一次函數(shù)圖象，得，，故錯誤；
、一次函數(shù)圖象，得，，故正確；
故選：．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象，應該熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．
8．（3分）若順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊的中點，得到的圖形一定是
A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形
【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得到這個四邊形是平行四邊形，再由對角線垂直，能證出有一個角等于，則這個四邊形為矩形．
【解答】解：如圖，，、、、分別為各邊的中點，連接點、、、．
、、、分別為各邊的中點，
，，，（三角形的中位線平行于第三邊），
四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），
，，，
，
四邊形是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形），
，
四邊形是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．
故選：．
【點評】本題考查了中點四邊形．矩形的判定方法，常用的方法有三種：
①一個角是直角的平行四邊形是矩形．
②三個角是直角的四邊形是矩形．
③對角線相等的平行四邊形是矩形．
9．（3分）若是方程的根，則的值為
A．B．1C．D．2
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入已知方程后即可求得所求代數(shù)式的值．
【解答】解：是方程的根，
，
，
，
故選：．
【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．
10．（3分）小王參加某企業(yè)招聘測試，他的筆試、面試、技能操作得分分別為85分、80分、90分，若依次按照的比例確定成績，則小王的成績是
A．255分B．84分C．84.5分D．86分
【分析】根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)題意得：（分，
故選：．
【點評】此題考查了加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的求法是解本題的關(guān)鍵．
11．（3分）已知，，，是二次函數(shù)圖象上的兩點，若且，則當自變量的值取時，函數(shù)值為
A．B．C．D．
【分析】先求出拋物線的對稱軸為直線，則可判斷，和，關(guān)于直線對稱，所以，即，然后計算自變量為2對應的函數(shù)值即可．
【解答】解：拋物線的對稱軸為直線，
且，
，和，關(guān)于直線對稱，
，
，
當時，．
故選：．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大?。敃r，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置：當與同號時，對稱軸在軸左； 當與異號時，對稱軸在軸右．常數(shù)項決定拋物線與軸交點：拋物線與軸交于．
12．（3分）已知二次函數(shù)為常數(shù)），當時，的最大值是15，則的值是
A．或B．6或或C．或6D．6或或
【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的方法可以求得的值，從而可以解答本題．
【解答】解：二次函數(shù)，
拋物線的對稱軸為，
當時，即，
當時，的最大值是15，
當時，，得；
當時，即時，
當時，的最大值是15，
當時，，得（舍去），；
當時，即，
當時，的最大值是15，
當時，，得（舍去）；
由上可得，的值是或6；
故選：．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
13．（3分）已知函數(shù)關(guān)系式：，則自變量的取值范圍是 ．
【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解．
【解答】解：根據(jù)題意得，，
解得．
故答案為：．
【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：
（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；
（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)為非負數(shù)．
14．（3分）已知，是方程的兩根，則 ．
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后利用整體代入的方法計算代數(shù)式的值．
【解答】解：根據(jù)題意得，，
所以．
故答案為．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．
15．（3分）將直線平移后經(jīng)過點，則平移后的直線解析式為 ．
【分析】直接利用一次函數(shù)平移的性質(zhì)假設出解析式進而得出答案．
【解答】解：設平移后的解析式為：，
將直線平移后經(jīng)過點，
，
解得：，
故平移后的直線解析式為：．
故答案為：．
【點評】此題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，正確假設出解析式是解題關(guān)鍵．
16．（3分）某班同學畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送1056張照片，如果全班有名同學，根據(jù)題意，列出方程為 ．
【分析】如果全班有名同學，那么每名同學要送出張，共有名學生，那么總共送的張數(shù)應該是張，即可列出方程．
【解答】解：全班有名同學，
每名同學要送出張；
又是互送照片，
總共送的張數(shù)應該是．
故答案為：．
【點評】本題考查一元二次方程在實際生活中的應用．計算全班共送多少張，首先確定一個人送出多少張是解題關(guān)鍵．
17．（3分）如圖，每個小正方形的邊長為1，在中，點為的中點，則線段的長為 ．
【分析】根據(jù)勾股定理列式求出、、，再利用勾股定理逆定理判斷出是直角三角形，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．
【解答】解：根據(jù)勾股定理，，
，
，
，
是直角三角形，
點為的中點，
．
故答案為：．
【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理逆定理的應用，判斷出是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
18．（3分）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，對稱軸為直線，下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論為 ②⑤ ．（注只填寫正確結(jié)論的序號）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
【解答】解：①函數(shù)的對稱軸在軸右側(cè)，則，而，故，故①錯誤，不符合題意；
②將點，代入函數(shù)表達式得：，故②正確，符合題意；
③函數(shù)的對稱軸為直線，即，故，故③錯誤，不符合題意；
④由②③得：，，則，故，故④錯誤，不符合題意；
⑤當時，函數(shù)取得最小值，即，故⑤正確，符合題意；
故答案為②⑤．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用圖象與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于中等題型．
三、解答題（第19題6分，第20題8分，第21題6分，第22題8分，第23、24題各9分，第25、26題各10分）
19．（6分）已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、和三點．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）求此二次函數(shù)的圖象的對稱軸和頂點坐標．
【分析】（1）根據(jù)與的坐標設出拋物線的解析式，把坐標代入確定出即可；
（2）把解析式化成頂點式即可求得．
【解答】解：（1）設二次函數(shù)解析式為，
拋物線過點，
，
解得，
，
二次函數(shù)的解析式．
（2）由，
對稱軸是直線，頂點坐標是．
【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
20．（8分）解一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）用公式法解方程：．
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解答】解：（1），
，
，
，
，；
（2），，，
△，
則．
，．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
21．（6分）某校八年級學生在一次射擊訓練中，隨機抽取10名學生的成績?nèi)缦卤?，請回答問題：
（1）填空：10名學生的射擊成績的眾數(shù)是 7環(huán) ，中位數(shù)是 ．
（2）求這10名學生的平均成績．
（3）若9環(huán)（含9環(huán)）以上評為優(yōu)秀射手，試估計全年級500名學生中有多少是優(yōu)秀射手？
【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的意義將10名學生的射擊成績排序后找出第5、6位兩個數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是眾數(shù)．
（2）根據(jù)平均數(shù)的計算方法進行計算即可，
（3）樣本估計總體，用樣本中優(yōu)秀人數(shù)的所占的百分比估計總體中優(yōu)秀的百分比，用總?cè)藬?shù)乘以這個百分比即可．
【解答】解：（1）射擊成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是7環(huán)，共出現(xiàn)5次，因此眾數(shù)是7環(huán)，射擊成績從小到大排列后處在第5、6位的數(shù)都是7環(huán)，因此中位數(shù)是7環(huán)，
故答案為：7環(huán)，7環(huán)．
（2）環(huán)，
答：這10名學生的平均成績?yōu)?.5環(huán)．
（3）人，
答：全年級500名學生中有100名是優(yōu)秀射手．
【點評】考查平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的意義及求法，理解樣本估計總體的統(tǒng)計方法．
22．（8分）如圖，矩形，，，過對角線中點的直線分別交、邊于點，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）當四邊形是菱形時，求菱形的邊長．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，判定，得出四邊形的對角線互相平分，進而得出結(jié)論；
（2）在中，由勾股定理得出方程，解方程求出的長即可求得菱形的邊長．
【解答】（1）證明：四邊形是矩形，是的中點，
，，，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：當四邊形是菱形時，，
設，則，，
在中，，
，
解得：，
菱形的邊長為．
【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵．
23．（9分）慶陽市是傳統(tǒng)的中藥材生產(chǎn)區(qū)，擁有豐富的中藥材資源，素有“天然藥庫”“中藥之鄉(xiāng)”的美稱．優(yōu)越的地理氣候條件形成了較獨特的資源稟賦，孕育了豐富的中藥植物資源和優(yōu)良品種．某種植戶2016年投資20萬元種植中藥材，到2018年三年共累計投資95萬元，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長率相同．
（1）求該種植戶每年投資的增長率；
（2）按這樣的投資增長率，請你預測2019年該種植戶投資多少元種植中藥材．
【分析】（1）設這兩年該種植戶每年投資的年平均增長率為．根據(jù)題意2017年種植投資為萬元，2018年種植投資為萬元．根據(jù)題意得方程求解；
（2）用種植戶每年投資的增長率即可預測2019年該種植戶投資額．
【解答】解：（1）設這兩年該種植戶每年投資的年平均增長率為，則2017年種植投資為萬元，2018年種植投資為萬元，
根題意得：，
解得：（舍去）或．
該種植戶每年投資的增長率為；
（2）2019年該種植戶投資額為：（萬元）．
【點評】主要考查了一元二次方程的實際應用，解題的關(guān)鍵是掌握增長率問題中的一般公式為，其中為共增長了幾年，為第一年的原始數(shù)據(jù)，是增長率．
24．（9分）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、點，點在軸的負半軸上，若將沿直線折疊，點恰好落在軸正半軸上的點處．
（1）求的長；
（2）求點和點的坐標；
（3）軸上是否存在一點，使得？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）先求得點和點的坐標，則可得到、的長，然后依據(jù)勾股定理可求得的長，
（2）依據(jù)翻折的性質(zhì)可得到的長，于是可求得的長，從而可得到點的坐標；設，則．，中，依據(jù)勾股定理可求得的值，從而可得到點．
（3）先求得的值，然后依據(jù)三角形的面積公式可求得的長，從而可得到點的坐標．
【解答】解：（1）令得：，
．
令得：，解得：，
．
．
在中，．
（2），
，
．
設，則．
在中，，即，解得：，
．
（3）存在，理由如下：
，
．
點在軸上，，
，即，解得：，
點的坐標為或．
【點評】本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了翻折的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．
25．（10分）某公司生產(chǎn)一種健身產(chǎn)品在市場上很受歡迎，該公司每年的年產(chǎn)量為6萬件，每年可在國內(nèi)和國外兩個市場全部銷售，若在國內(nèi)銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤（元與國內(nèi)銷售量（萬件）的函數(shù)關(guān)系式為若在國外銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤為71元．
（1）求該公司每年的國內(nèi)和國外銷售的總利潤（萬元）與國內(nèi)銷售量（萬件）的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍．
（2）該公司每年的國內(nèi)國外銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值是多少？
（3）該公司計劃在國外銷售不低于5萬件，并從國內(nèi)銷售的每件產(chǎn)品中捐出元給希望工程，從國外銷售的每件產(chǎn)品中捐出元給希望工程，若這時國內(nèi)國外銷售的最大總利潤為393萬元，求的值．
【分析】（1）由利潤等于每件的利潤乘以件數(shù)，代入分段函數(shù)解析式，化簡可得解；
（2）結(jié)合（1）分別計算分段利潤函數(shù)的最大值，最后得出最大值即可；
（3）該公司計劃在國外銷售不低于5萬件，而該公司每年的年產(chǎn)量為6萬件
則該公司每年在國內(nèi)銷售的件數(shù)的范圍為：
則總利潤
按照值的范圍代入，結(jié)合最大利潤為393萬元，可分析求得．
【解答】解：（1）
（2）由（1）知，當時，的最大值為435；
當時，的最大值為時的值，即451，
當該公司每年的國內(nèi)銷售量為5萬件國外銷售量為1萬件時，可使公司每年的總利潤最大，最大值是451萬元．
（3）該公司計劃在國外銷售不低于5萬件，而該公司每年的年產(chǎn)量為6萬件
該公司每年在國內(nèi)銷售的件數(shù)的范圍為：
則總利潤
顯然當時，的值小于393，
當時，，當時，令
解得，
當時，令，解得
從國內(nèi)銷售的每件產(chǎn)品中捐出元給希望工程
不符合題意．
時國內(nèi)國外銷售的最大總利潤為393萬元．
【點評】本題考查了二次函數(shù)在成本利潤問題中的應用，前兩問相對比較簡單，第三問由于含有兩個變量，分析難度較大，總體來說，本題中等難度略大．
26．（10分）如果一條拋物線與軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是 等腰 三角形；
（2）若拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求的值；
（3）如圖，是拋物線的“拋物線三角形”，是否存在以原點為對稱中心的矩形？若存在，求出過、、三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由．
（4）若拋物線與直線交點的橫坐標均為整數(shù)，是否存在整數(shù)的值使這條拋物線的“拋物線三角形”有一邊上的中線長恰好等于這邊的長？若存在，直接寫出的值；若不存在，說明理由．
【分析】（1）拋物線的頂點必在拋物線與軸兩交點連線的垂直平分線上，因此這個“拋物線三角形”一定是等腰三角形．
（2）觀察拋物線的解析式，它的開口向下且經(jīng)過原點，由于，那么其頂點在第一象限，而這個“拋物線三角形”是等腰直角三角形，必須滿足頂點坐標的橫、縱坐標相等，以此作為等量關(guān)系來列方程解出的值．
（3）由于矩形的對角線相等且互相平分，所以若存在以原點為對稱中心的矩形，那么必須滿足，結(jié)合（1）的結(jié)論，這個“拋物線三角形”必須是等邊三角形，首先用表示出、的長，通過這個等邊三角形來列等量關(guān)系求出的值，進而確定、的坐標，即可確定、的坐標，利用待定系數(shù)即可求出過、、的拋物線的解析式．
（4）聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式，通過所得方程先求出這個方程的兩個根，然后通過這兩個根都是整數(shù)確定的整數(shù)值．
【解答】解：（1）如圖；
根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線的頂點必在、的垂直平分線上，所以，即：“拋物線三角形”必為等腰三角形．
故答案為：等腰．
（2）當拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，
該拋物線的頂點，，滿足．
則．
（3）存在．
如圖，作與關(guān)于原點中心對稱，則四邊形為平行四邊形．
當時，平行四邊形是矩形，
又，
為等邊三角形．
，
作，垂足為，
．
．
．
，，，．
，，，．
設過點、、的拋物線為，則
，
解得，
故所求拋物線的表達式為．
（4）由，，
當為整數(shù)時，須為完全平方數(shù)，設是整數(shù)）整理得：
，即
兩個整數(shù)的積為3，或或或
解得：或或或，
綜上，得：或；
根據(jù)題意，拋物線的“拋物線三角形”有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，
當時，拋物線方程為，滿足拋物線三角形的底邊長等于這邊的中線長；
當時，拋物線方程為，滿足拋物線三角形的底邊長等于這邊的中線長；
拋物線與直線交點的橫坐標均為整數(shù)時或．
【點評】本二次函數(shù)綜合題融入了新定義的形式，涉及到：二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，重在考查基礎知識的掌握情況，解題的思路并不復雜，但計算過程較為復雜，間接增大了題目的難度．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布
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