一、選擇題
1．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則z的虛部為( )
A.B.C.0D.1
2．已知直線與直線平行，則a的值為( )
A.B.1C.D.0
3．在長(zhǎng)方體中，已知點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，且，，，則直線與AP所成的角為( )
A.B.C.D.
4．開(kāi)普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.將某行星H看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，H繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌跡近似成曲線，行星P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距離太陽(yáng)最近的距離稱為近日點(diǎn)距離，距離太陽(yáng)最遠(yuǎn)的距離稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.若行星C的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是20（距離單位：億千米），近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是81，則( )
A.181B.97C.52D.19
5．已知向量，滿足，，且，則，夾角的余弦值為( )
A.B.C.D.
6．已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為2和5，且母線與下底面所成為角的正切值為，則該圓臺(tái)的表面積為( )
A.B.C.D.
7．已知角，且，則( )
A.B.或C.D.或
8．已知A，B是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為( )
A.2B.3C.4D.7
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列說(shuō)法正確的是( )
A.直線的傾斜角為120°
B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在x，y軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為
C.直線恒過(guò)定點(diǎn)
D.已知直線l過(guò)點(diǎn)，且與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A?B兩點(diǎn)，則面積的最小值為4
10．已知圓，圓，則下列選項(xiàng)正確的是( )
A.直線MN的方程為
B.若P?Q兩點(diǎn)分別是圓M和圓N上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為5
C.圓M和圓N的一條公切線長(zhǎng)為
D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)M?N兩點(diǎn)的所有圓中面積最小的圓的面積為
11．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A.若，則
B.若，則是銳角三角形
C.若，，，則符合條件有兩個(gè)
D.對(duì)任意，都有
12．在邊長(zhǎng)為2的正方體中，M，N分別是BC，的中點(diǎn)，則( )
A.AM與為異面直線
B.
C.點(diǎn)到平面的距離為2
D.若點(diǎn)Q為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則的范圍
三、填空題
13．若橢圓的離心率為，則m的值為_(kāi)__________.
14．已知向量，的夾角為，且，，則在上投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)__________.
15．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為“塹堵”.已知三棱柱為一“塹堵”，其中，，，且該“塹堵”外接球的表面積為，則該“塹堵”的高為_(kāi)__________.
16．若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.
四、解答題
17．在中，，，.
（1）求BC邊高線所在的直線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A的直線l與直線BC的交點(diǎn)為D，若B?C到l的距離之比為，求D的坐標(biāo).
18．如圖，在三棱錐中，底面ABC，.
（1）求證：平面平面PBC；
（2）若M是PC的中點(diǎn)，二面角的大小為45°且，求直線與平面所成角的正切值.
19．在①；②；③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.
在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中且滿足___________.
（1）求角C的大??；
（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).
20．已知圓C經(jīng)過(guò)?兩點(diǎn)，且圓心在直線上.
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相交于P?Q兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.
21．如圖，在正方體中，點(diǎn)E?F分別為棱?的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱上一動(dòng)點(diǎn).
（1）證明：直線平面；
（2）證明：.
22．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線l交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P位于第三象限），點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為R.當(dāng)時(shí)，的面積為1，且.
（1）求橢圓E的方程；
（2）若的面積為，求直線l的方程.
參考答案
1．答案：B
解析：由題可得，則z的虛部為，
故選B.
2．答案：A
解析：因?yàn)?，所以，解?
故選：A.
3．答案：B
解析：因?yàn)?，則直線與所成的角即為直線與所成的角，
如圖，連接，可知直線與所成的角即為（或其補(bǔ)角），
則，
因?yàn)槠矫妫矫?，則，
在，可知，且為銳角，則，
所以直線與所成的角為.
故選：B.
4．答案：A
解析：設(shè)某行星運(yùn)行軌道（橢圓）的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)分別為,，則半焦距為，所以行星C的近日點(diǎn)距離為，遠(yuǎn)日點(diǎn)距離為，
由題意，解得,，所以.
故選：A
5．答案：A
解析：因?yàn)椋?br>即，解得，
所以，夾角的余弦值為.
故選：A.
6．答案：D
解析：如圖所示圓臺(tái)的軸截面，
過(guò)點(diǎn)A作，
因此有，
因?yàn)槟妇€與下底面所成為角的正切值為，
所以，
該圓臺(tái)的表面積為，
故選：D
7．答案：C
解析：因?yàn)?，則，可知，
且，解得，
則，可得，
所以.
故選：C.
8．答案：D
解析：由題意可知：圓的圓心，半徑，
則，
設(shè)P、C到直線AB的距離分別為,，
因?yàn)椋獾茫?br>分別過(guò)P、C作，垂足分別為M，N，再過(guò)C作，垂足為D，
顯然當(dāng)P、C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離較大，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即直線AB與直線PC垂直時(shí)，等號(hào)成立，
所以點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為7.
故選：D.
9．答案：ACD
解析：對(duì)于選項(xiàng)A：直線的斜率，傾斜角為120°，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋淼茫?br>令，解得，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)B、D：可知直線l的斜率存在，設(shè)為，則直線，
令，解得，即直線l在y軸上的截距為；
令，解得，即直線l在x軸上的截距為；
對(duì)于B：若在x，y軸上截距互為相反數(shù)，則，解得或，
所以直線方程為或，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于D：直線l與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A?B兩點(diǎn)，則，可知，，
可得面積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積的最小值為4，故D正確；
故選：ACD.
10．答案：AD
解析：由題意可知：圓的圓心，半徑，
圓N：，的圓心，半徑，
對(duì)于選項(xiàng)A：直線MN的方程為，即，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?br>所以的最大值為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋芍獔AM與圓N外切，
如圖，直線l為兩圓的公切線，A，B為切點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)A作，交NB于D，
則為平行四邊形，可得，，
所以公切線長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)為直徑的圓時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M?N兩點(diǎn)的所有圓中面積最小，
此時(shí)圓的面積為，故D正確；
故選：AD.
11．答案：ABD
解析：對(duì)于A選項(xiàng)，由，根據(jù)正弦定理得，（r為外接圓半徑），即，則，
故A正確；
對(duì)于B，，
所以，
所以，
所以，，三個(gè)數(shù)有0個(gè)或2個(gè)為負(fù)數(shù)，又因A，B，C最多一個(gè)鈍角，
所以，，，即A，B，C都是銳角，
所以一定為銳角三角形，故B正確；
對(duì)于C，由正弦定理得，則，
又，則，知滿足條件的三角形只有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以，又函?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，所以，故D正確；
故選：ABD
12．答案：BCD
解析：以D為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，，，，
對(duì)于A，因?yàn)?，，則，所以，
所以M，N，A，四點(diǎn)共面，所以AM與不是異面直線，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，則，
所以，所以，故B正確；
對(duì)于C，，，設(shè)平面的法向量，
則，令，則，又，
所以點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；
對(duì)于D，點(diǎn)Q為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則設(shè)，，
，所以，則，，
則，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，又，所以，
即的范圍，故D正確.
故選：BCD.
13．答案：4
解析：因?yàn)?，所以該橢圓的焦點(diǎn)在橫軸上，所以
所以有，，
因?yàn)樵摍E圓的離心率為，
所以，
故答案為：4
14．答案：
解析：因?yàn)?，所以?br>又向量與的夾角為，且，
所以，
所以在方向上的投影向量為.
因?yàn)?，所以在方向上的投影向?
故答案為：.
15．答案：
解析：如圖，將三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，
則三棱柱的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，
設(shè)球的半徑為R，該“塹堵”的高為h，
由題意可得，解得，
所以該“塹堵”的高為.
故答案為：.
16．答案：
解析：因?yàn)?，可得，且?br>所以曲線C是以為圓心，1為半徑的右半圓，
直線過(guò)定點(diǎn)，斜率為k，如圖所示：
當(dāng)直線l過(guò)時(shí)，可得；
當(dāng)直線與曲線C相切，則，解得；
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
故答案為：.
17．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）由題意可知：直線BC的斜率為，則BC邊的高線所在的直線斜率為，
所以BC邊的高線所在的直線方程為，即.
（2）由（1）可知直線的方程為：，即，
若直線l的斜率不存在，則直線，
可知B?C到l的距離分別為4,2，不合題意；
若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線，即，
由題意可得：，即或，
當(dāng)，則直線，
聯(lián)立方程，解得，即；
當(dāng)，則直線，
聯(lián)立方程，解得，即；
綜上所述：D的坐標(biāo)為或.
18．答案：（1）證明見(jiàn)詳解；
（2）
解析：（1）因?yàn)榈酌?，平面?br>所以，
因?yàn)椤螦BC＝90°，所以，
因?yàn)?平面，
所以平面，
因平面，
所以平面平面PBC.
（2）由（1）可知平面，平面，
所以，
因?yàn)椋?br>所以為二面角的平面角，
所以，
令，則，
如圖，過(guò)點(diǎn)A作于N，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>則平面，且M為的中點(diǎn)，連接，
則為直線與平面所成的角，
在中，,
在中，，M是PC的中點(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫?，平面，所?
在中，，，
則直線與平面所成角的正切值為.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）若選①，因?yàn)?，所以?br>即，所以，
所以，且，則；
若選②，因?yàn)?，所以?br>即，化簡(jiǎn)可得，所以或（舍），即；
若選③，因?yàn)?，所以?br>化簡(jiǎn)可得，，即，且，則；
（2）因?yàn)?，則，解得，
且，
由正弦定理可得，，即，
又因?yàn)椋?，所以，則，
由余弦定理可得，，則，
所以三角形的周長(zhǎng)為.
20．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知其圓心為，
由題意可得，解得，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相交于P?Q兩點(diǎn)，且，
則，所以，所以，
所以圓心C到直線l的距離，
由題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l為，即，
所以，化簡(jiǎn)得，解得或，
所以直線l的方程為或.
21．答案：（1）證明見(jiàn)詳解；
（2）證明見(jiàn)詳解
解析：（1）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸所在的直線，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，則，，，，，，
可得，，可知，
則，且平面，平面，所以平面.
（2）設(shè)，則，可得，
由（1）可知：，
因?yàn)?，所?
22．答案：（1）；
（2）或.
解析：（1）連接，，因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為R，
所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，
所以，所以，
又，則，
可得，解得，
則，故橢圓E的方程為.
（2）由（1）知，設(shè)，，
直線l的方程為，，
聯(lián)立消去x，整理得，
則，，且，
所以的面積為
，
令，得，
解得或，從而或.
故直線l的方程為，或，
即，或.

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