2022-2023學年江蘇省南京市第二十七高級中學高二上學期期末數(shù)學試題 一、單選題1．在等比數(shù)列中，，公比，則（    ）A．24 B．48C．54 D．66【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式基本量計算出答案.【詳解】．故選：A2．曲線在點處的切線與直線平行，則實數(shù)（    ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解．【詳解】，時，，所以．故選：C．3．已知平面的一個法向量，平面的一個法向量，若，則（    ）A． B．4 C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)題意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，結(jié)合空間向量的坐標運算，代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則可得，且，，則可得，解得故選:C4．若直線與圓相切，則實數(shù)取值的集合為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由直線與圓相切可得，結(jié)合點到直線的距離公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由圓可得，表示圓心為，半徑為的圓，則圓心到直線的距離，因為直線與圓相切，所以，即，解得或，即實數(shù)取值的集合為故選:B5．已知，則n＝（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】利用排列數(shù)、組合數(shù)公式得到，解方程即得解.【詳解】解：，整理得，解得（舍），．故選：C．6．函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A． B．C． D．【答案】D【詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．【名師點睛】本題主要考查導數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點，運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導函數(shù)的正負，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．7．安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有　　A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】D【詳解】4項工作分成3組,可得：=6，安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，可得：種．故選D.8．已知數(shù)列首項為2，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知的遞推公式，利用累加法可求數(shù)列通項.【詳解】由已知得，，則當時，有 ，經(jīng)檢驗當時也符合該式．∴. 故選：D 二、多選題9．下列四個選項中，不正確的是（    ）A．數(shù)列，的一個通項公式是B．數(shù)列的圖象是一群孤立的點C．數(shù)列1，，1，，與數(shù)列，1，，1，是同一數(shù)列D．數(shù)列，，是遞增數(shù)列【答案】ACD【分析】由可判斷A；由數(shù)列的通項公式以及可判斷B；由數(shù)列定義可判斷C；由遞減數(shù)列定義可判斷D．【詳解】對于A，當通項公式為時，，不符合題意，故選項A錯誤；對于B，由數(shù)列的通項公式以及可知，數(shù)列的圖象是一群孤立的點，故選項B正確；對于C，由于兩個數(shù)列中的數(shù)排列的次序不同，因此不是同一數(shù)列，故選項C錯誤；對于D，數(shù)列，，是遞減數(shù)列，故選項D錯誤．故選：ACD．10．下列結(jié)論中正確的有（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】根據(jù)常見的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和常用的導數(shù)運算法則求解即可.【詳解】選項A中，若，則，故A正確；選項B中，若，則，令，則，解得，故B正確；選項C中，若，則，故C正確；選項D中，若，則x，故D錯誤．故選:ABC【點睛】1.常見的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(1)  (C為常數(shù));(2)；(3);  ；(4);，且)；(5)； ，且)．2.常用的導數(shù)運算法則法則1： ．法則2：．法則3：11．已知名同學排成一排，下列說法正確的是（    ）A．甲不站兩端，共有種排法B．甲、乙必須相鄰，共有種排法C．甲、乙不相鄰，共有種排法D．甲不排左端，乙不排右端，共有種排法【答案】AD【分析】A選項通過特殊元素法判斷；B選項利用捆綁法判斷；C選項利用插空法判斷；D選項用總情況減去不滿足的情況即可.【詳解】A選項：甲不站兩端，甲有種，剩余6人全排，共有種排法，正確；B選項：甲、乙必須相鄰，甲、乙捆綁有種，作為整體和剩余5人全排，共有種排法，錯誤；C選項：甲、乙不相鄰，先排其他5人有種，再把甲、乙插入6個空中，共有種排法，錯誤；D選項：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排減去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同時乙在右端的，共有種排法，正確.故選：AD.12．如圖，在四面體中，點在棱上，且滿足，點，分別是線段，的中點，則用向量，，表示向量中正確的為（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】連接，利用空間向量基本定理以及空間向量的線性運算進行求解即可.【詳解】連接，因為點，分別是線段，的中點，所以，化簡可得，故B錯誤；所以，故A正確，故C錯誤，D正確；故選：. 三、填空題13．已知，1，、，2，、，，，若向量與垂直為坐標原點），則等于__．【答案】4【分析】由向量垂直的坐標表示求解.【詳解】，，向量與垂直，，．故答案為：4． 四、雙空題14．已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______，值域為______．【答案】          【解析】令，求得函數(shù)的定義域，根據(jù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域內(nèi)的減區(qū)間，再利用二次函數(shù)的值域求整個函數(shù)的值域.【詳解】解：令，可得，故函數(shù)的定義域為.因為在其定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，故求在定義域內(nèi)的減區(qū)間，又函數(shù)在定義域內(nèi)的減區(qū)間為，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，，則，即函數(shù)的值域為.故答案為：；.【點睛】本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基本知識的考查. 五、填空題15．求和：Sn＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.【答案】2n＋－2【分析】先化簡數(shù)列，結(jié)合分組求和法即可求解．【詳解】被求和式的第k項為：所以Sn＝2＝2故答案為：2n＋－2．16．如圖，圓形花壇分為部分，現(xiàn)在這部分種植花卉，要求每部分種植種，且相鄰部分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有______種（用數(shù)字作答）【答案】260【分析】先分1，3相同與1，3不相同兩類，每類中按分步計數(shù)原理，分2，4相同或不同兩類求解，然后再分類計數(shù)原理求和.【詳解】根據(jù)題意：當1，3相同時，2，4相同或不同兩類，有：種，當1，3不相同時，2，4相同或不同兩類，有：種，所以不同的種植方案共有種，故答案為：260【點睛】本題主要考查計數(shù)原理的應用問題，還考查了分析求解問題的能力，所以中檔題. 六、解答題17．已知等比數(shù)列的首項為2，前項和為，且.(1)求；(2)已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由可得公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由錯位相減法即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，因為，所以，所以，所以，所以.（2）由（1）得，，所以，……①所以，……②①-②，得，所以.18．已知雙曲線的實軸長為，一個焦點的坐標為-. （1）求雙曲線的標準方程;（2）已知斜率為的直線與雙曲線交于，兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由雙曲線的實軸長及焦點坐標，再由，，之間的關(guān)系求出，進而求出雙曲線的方程；（2）由題意設直線的方程，與雙曲線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進而求出弦長的值，再由題意可得參數(shù)的值，即求出直線的方程．【詳解】（1）由得，又，則，故雙曲線的方程為．（2）設直線的方程為，代入雙曲線方程可得，設，，，，則，．因為，所以，解得，所以直線的方程為．19．從4面不同顏色（紅、黃、藍、綠）的旗子中，選出3面排成一排作為一種信號，共能組成多少種信號？【答案】24【分析】分步完成：第一步選3面旗幟，第二步3面旗幟全排列，由此可得．【詳解】從4面不同顏色旗子中，選出3面排成一排能組成種信號．20．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關(guān)系：，設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用達到最小，并求最小值．【答案】(1)(2)當隔熱層修建5cm厚時，總費用最小，最小值為70萬元． 【分析】（1）根據(jù)已給模型確定函數(shù)解析式；（2）利用導數(shù)求得最小值．【詳解】（1）每年能源消耗費用為，建造費用為，．．（2），令得或（舍．當時，，當時，．在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．當時，取得最小值（5）．當隔熱層修建厚時，總費用最小，最小值為70萬元．21．三棱柱中，，，線段的中點為，且.(1)求證：平面；(2)點在線段上，且，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由、根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面；（2）以為原點，以所在的直線為建立空間直角坐標系，求出平面、平面的一個法向量由二面角的向量求法可得答案.【詳解】（1）三棱柱中，，在中，，線段的中點為，所以，所以；因為，平面，平面，，平面，所以平面；（2）做交于點，以為原點，以所在的直線為建立空間直角坐標系，則，，，，.所以，，，因為，所以，所以，設平面的一個法向量，則，解得，令，則，所以，設平面的一個法向量，則，令，則，，所以，設二面角的平面角為，則，由圖知二面角的平面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為. 22．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析. 【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，再分類討論求出不等式，的解集作答.（2）將不等式等價變形，再分別證明和即可作答.【詳解】（1）依題意，，令，則或.當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，當時，，當時，，于是得在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，當時，，當時，，因此函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當時，，，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即，令，，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即，于是得，而，因此，，所以成立.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用導數(shù)探討含參函數(shù)的單調(diào)性，求出導數(shù)后分類討論解不等式是解決問題的關(guān)鍵. 

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