1、 （ ）
A. 54B. 66C. 26D. 14
2、四名志愿者到3個(gè)小區(qū)開展防詐騙宣傳活動(dòng)，向社區(qū)居民普及防詐騙、反詐騙的知識.每名志愿者只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A. 18種B. 30種C. 36種D. 72種
3、函數(shù)y=x2㏑x的單調(diào)遞減區(qū)間為
A. （1,1] B. （0,1) C. [1，+∞） D. （0，+∞）
4、已知數(shù)列滿足，則“”是“為等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．充分必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
5、下表是某企業(yè)在2024年1月—5月的5個(gè)月內(nèi)購買某品牌碳酸鋰價(jià)格（單位：千元）與月份代碼的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則預(yù)測2024年8月購買該品牌碳酸鋰價(jià)格約為（ ）
A. 2.41千元B. 2.38千元千元 D. 2.35千元
6、已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP的面積為，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
7、若，則的值為（ ）
A． B． C．253 D．126
8、已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，且雙曲線的離心率為，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9、事件A，B滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
10、如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）．
A．兩條異面直線和所成的角為
B．存在點(diǎn)P，使得平面
C．對任意點(diǎn)P，平面平面
D．點(diǎn)到直線的距離為4
11、已知直線交y軸于點(diǎn)P，圓，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線與交于點(diǎn)C，則（ ）．
A．若直線l與圓M相切，則B．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為
C．直線經(jīng)過一定點(diǎn)D．已知點(diǎn)，則為定值
三、填空題（本大題共3小題，共15分）
12、有兩箱零件，第一箱內(nèi)有件，其中有件次品；第二箱內(nèi)有件，其中有件次品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取個(gè)零件，則取出的零件是次品的概率是_____
13、已知函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)k的最大值是
14、已知數(shù)列滿足，則其前9項(xiàng)和
四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15、（本題滿分13分）
已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若是的極值點(diǎn)，且方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16、（本題滿分15分）
為了更好地做好個(gè)人衛(wèi)生，某市衛(wèi)生組織對該市市民進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)試卷競答，制定獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：試卷滿分為分，成績在分內(nèi)的市民獲二等獎(jiǎng)，成績在分內(nèi)的市民獲一等獎(jiǎng)，其他成績不得獎(jiǎng)．隨機(jī)抽取了名市民的答題成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．
現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取名市民的成績，求這名市民中恰有名市民獲獎(jiǎng)的概率．
若該市所有市民的答題成績近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：
若該市某小區(qū)有名市民參加了試卷競答，試估計(jì)成績不低于分的市民數(shù)結(jié)果四舍五入到整數(shù)；
若從該市所有參加了試卷競答的市民中參加試卷競答市民數(shù)大于隨機(jī)抽取名市民進(jìn)行座談，設(shè)其中競答成績不低于分的市民數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
（本題滿分15分）
如圖，已知三棱錐中，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面；
(2)點(diǎn)滿足，求平面與平面所成角的余弦值.
18、（本題滿分17分）
已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，是否存在整數(shù)t，使得對任意的正整數(shù)n均有成立？若存在，求出最大的整數(shù)t；若不存在，請說明理由.
19、（本題滿分17分）
已知雙曲線的焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為．
求的方程
若直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若是弦的中點(diǎn)，求的面積．
高二年級2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期末調(diào)研（數(shù)學(xué)學(xué)科）答案
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1、 （ ）
A. 54B. 66C. 26D. 14
2、四名志愿者到3個(gè)小區(qū)開展防詐騙宣傳活動(dòng)，向社區(qū)居民普及防詐騙、反詐騙的知識.每名志愿者只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A. 18種B. 30種C. 36種D. 72種
3、函數(shù)y=x2㏑x的單調(diào)遞減區(qū)間為
A. （1,1] B. （0,1) C. [1，+∞） D. （0，+∞）
4、已知數(shù)列滿足，則“”是“為等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．充分必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
5、下表是某企業(yè)在2024年1月—5月的5個(gè)月內(nèi)購買某品牌碳酸鋰價(jià)格（單位：千元）與月份代碼的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則預(yù)測2024年8月購買該品牌碳酸鋰價(jià)格約為（ ）
A. 2.41千元B. 2.38千元千元 D. 2.35千元
6、已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP的面積為，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
7、若，則的值為（ ）
A． B． C．253 D．126
8、已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，且雙曲線的離心率為，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9、事件A，B滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
10、如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）．
A．兩條異面直線和所成的角為
B．存在點(diǎn)P，使得平面
C．對任意點(diǎn)P，平面平面
D．點(diǎn)到直線的距離為4
11、已知直線交y軸于點(diǎn)P，圓，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線與交于點(diǎn)C，則（ ）．
A．若直線l與圓M相切，則B．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為
C．直線經(jīng)過一定點(diǎn)D．已知點(diǎn)，則為定值
三、填空題（本大題共3小題，共15分）
12、有兩箱零件，第一箱內(nèi)有件，其中有件次品；第二箱內(nèi)有件，其中有件次品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取個(gè)零件，則取出的零件是次品的概率是_____
13、已知函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)k的最大值是
14、已知數(shù)列滿足，則其前9項(xiàng)和 45
四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15、（本題滿分13分）
已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若是的極值點(diǎn)，且方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解（1）因?yàn)椋剩?br>故，-------------------------------------------------------------3分
故函數(shù)在處的切線方程為，即--------------------------------5分
（2）由于是的極值點(diǎn)，故，------------------------7分
此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減
即為函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故，--------------------------9分
故，
故方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即的圖象由3個(gè)不同交點(diǎn)，
而，，-----------------------------------11分
結(jié)合的圖象，當(dāng)時(shí)，可取負(fù)無窮小，
當(dāng)時(shí)，可取正無窮大，

可得到.------------------------------------------------------------------------------------------------13分
16、（本題滿分15分）
為了更好地做好個(gè)人衛(wèi)生，某市衛(wèi)生組織對該市市民進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)試卷競答，制定獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：試卷滿分為分，成績在分內(nèi)的市民獲二等獎(jiǎng)，成績在分內(nèi)的市民獲一等獎(jiǎng)，其他成績不得獎(jiǎng)．隨機(jī)抽取了名市民的答題成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．
現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取名市民的成績，求這名市民中恰有名市民獲獎(jiǎng)的概率．
若該市所有市民的答題成績近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：
若該市某小區(qū)有名市民參加了試卷競答，試估計(jì)成績不低于分的市民數(shù)結(jié)果四舍五入到整數(shù)；
若從該市所有參加了試卷競答的市民中參加試卷競答市民數(shù)大于隨機(jī)抽取名市民進(jìn)行座談，設(shè)其中競答成績不低于分的市民數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
解：由樣本頻率分布直方圖，得樣本中獲一等獎(jiǎng)的有人，
獲二等獎(jiǎng)的有人，所以有人獲獎(jiǎng)，人沒有獲獎(jiǎng)．------------------2分
從該樣本中隨機(jī)抽取名市民的成績，樣本點(diǎn)總數(shù)為．
設(shè)抽取的名市民中恰有名市民獲獎(jiǎng)為事件，則事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．
由古典概型概率計(jì)算公式，得，
所以抽取的名市民中恰有名市民獲獎(jiǎng)的概率為．-----------------------------------4分
由樣本頻率分布直方圖，得樣本平均數(shù)的估計(jì)值
．--------------------------------------------------------------------------------------6分
故該市所有參加試卷競答的市民成績近似服從正態(tài)分布
因?yàn)?，所以?------------------------------8分
，故該市某小區(qū)參加試卷競答成績不低于分的市民數(shù)約為．------------10分
由，得，即從該市所有參加試卷競答的市民中隨機(jī)抽取名市民，其成績不低于分的概率為，
所以隨機(jī)變量
隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，，．
，，
，，
，隨機(jī)變量的分布列如下：
-------------------------------------------------------------------------------------14分
所以． -----------------------------------------------------------------------------------------------15分
（本題滿分15分）
如圖，已知三棱錐中，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面；
(2)點(diǎn)滿足，求平面與平面所成角的余弦值.
【詳解】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.
因?yàn)椋?br>所以和為全等的等邊三角形.-----------------------------------------------------------------------2分
所以.又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.-------------------------------------------------------4分
又因?yàn)?，平面，所以平?
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?----------------------------------------------------------6分
（2）不妨設(shè)，由（1）知，和分別為等邊三角形，所以.
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.
在Rt中，.
在中，，所以.-------------------------------------------------------------8分
所以兩兩互相垂直.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由題知，
所以，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為.
則，即，令，則，
所以，.---------------------------------------------------------------------------------------------10分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為.
則，即，令，則，
所以，.---------------------------------------------------------------------------------------------12分
設(shè)平面與平面所成角為，則.--------------------------15分
18、（本題滿分17分）
已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，是否存在整數(shù)t，使得對任意的正整數(shù)n均有成立？若存在，求出最大的整數(shù)t；若不存在，請說明理由.
解析：（1）由題意得，整理得.----------------------------------2分
.----------------------------------------------------------------------------------------------------4分
.----------------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2），------------------------------------------------------------8分
.----------------------------------------------------------------------------------------------10分
假設(shè)存在整數(shù)t滿足總成立，
又，------------------------------------------------------12分
數(shù)列是遞增數(shù)列.------------------------------------------------------------------------------------------------13分
為的最小值，故，即.-------------------------------------------------------------------15分
又滿足條件的t的最大值為8.-----------------------------------------------------------------------------17分
19、（本題滿分17分）
已知雙曲線的焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為．
求的方程
若直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若是弦的中點(diǎn)，求的面積．
解：由雙曲線的一條漸近線方程為，所以，----------------------------2分
故F到漸近線的距離，
所以，又，，所以，，----------------------------4分
故C的方程為．-------------------------------------------------------------6分
設(shè)點(diǎn)，，
因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，則
由于，，
所以兩式相減，得，
所以，即直線的斜率為，------------------------------10分
所以直線的方程為，即．
聯(lián)立消去并整理，得，
所以，且，，------------------------12分
所以．----------------14分
點(diǎn)到直線的距離為，----------------------------------16分
所以的面積為． -----------------------------------------------------------17分
月份代碼
1
2
3
4
5
碳酸鋰價(jià)格
0.5
0.7
1
1.2
1.6
月份代碼
1
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5
碳酸鋰價(jià)格
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11
A
C
B
C
D
B
C
D
ABC
BCD
ACD

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