一、選擇題
1．已知復(fù)數(shù)z滿足,則( )
A.1B.C.D.
2．某校高一學(xué)生550人,高二學(xué)生500人,高三學(xué)生450人,現(xiàn)有分層抽樣,在高三抽取了18人,則高二應(yīng)抽取的人數(shù)為( )
A.24B.22C.20D.18
3．已知向量,滿足,且,則在上的投影向量為( )
A.B.C.D.
4．已知,,是三個(gè)不同的平面,l,m,n是三條不同的直線,則( )
A.若,,則
B.若,,,則
C.若,,,則
D.若,且,則
5．下表是足球世界杯連續(xù)八屆的進(jìn)球總數(shù)
則進(jìn)球總數(shù)的第一四分位數(shù)是( )
A.145B.146C.147D.166
6．一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體兩次,并記錄每次正四面體朝下的面上的數(shù)字.記事件A為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”,事件為“兩次記錄的數(shù)字和大于4”,事件C為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”,事件D為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”,則( )
A.A與D互斥B.C與D對(duì)立
C.A與B相互獨(dú)立D.A與C相互獨(dú)立
7．點(diǎn)O,G,P為所在平面內(nèi)的點(diǎn),且有,,,則點(diǎn)O,G,P分別為的( )
A.垂心,重心,外心B.垂心,重心,內(nèi)心
C.外心,重心,垂心D.外心,垂心,重心
8．在三棱錐中,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．某校舉辦數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)，10名教師組成評(píng)委小組，給參加數(shù)學(xué)演講比賽的選手打分.已知各位評(píng)委對(duì)某名選手的打分如下：
則下列結(jié)論正確的為( )
A.平均數(shù)為48B.極差為9
C.中位數(shù)為47D.第75百分位數(shù)為51
10．中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，O為的外心，，，的面積S滿足.若.則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.D.
11．如圖,在正方體中,,點(diǎn)P為線段上的一動(dòng)點(diǎn),則( )
A.三棱錐的體積為定值
B.當(dāng)時(shí),直線與面所成角的正切值為
C.直線PB與直線AC所成角的余弦值可能為
D.的最小值為
三、填空題
12．已知向量,,若,則實(shí)數(shù)__________.
13．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”,如,在不超過(guò)11的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和為偶數(shù)的概率是________(用分?jǐn)?shù)表示).
14．《九章算術(shù)?商功》中描述幾何體“陽(yáng)馬”為底面為矩形,一棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有陽(yáng)馬如圖平面點(diǎn)E,F分別在線段AB,BC上,則當(dāng)空間四邊形PEFD的周長(zhǎng)最小時(shí),直線PA與平面PFD所成角的正切值為_(kāi)________.
四、解答題
15．已知向量，，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；
（2）若當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
16．如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面.
(1)求證：；
(2)若，在棱上是否存在一點(diǎn)P，使得四棱錐的體積為？若存在，指出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
17．4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書(shū)日”.某高校為了了解全體師生閱讀時(shí)間的分配情況,對(duì)全校師生進(jìn)行抽樣問(wèn)卷調(diào)查日平均閱讀時(shí)間(單位:小時(shí)),得到樣本數(shù)據(jù),并繪制如圖3所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估算全校師生日平均閱讀時(shí)間;(每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值作代表)
(3)將(2)所得到的日平均閱讀時(shí)間保留為整數(shù),并根據(jù)頻率分布直方圖估算師生日平均閱讀時(shí)間的方差.
18．如圖所示,長(zhǎng)方形ABCD中,,,點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn),將沿AM翻折到,連接PB,PC,得到圖的四棱錐.
（1）求四棱錐的體積的最大值;
（2）若棱PB的中點(diǎn)為N,求CN的長(zhǎng);
19．若函數(shù)在時(shí),函數(shù)值y的取值區(qū)間恰為,就稱區(qū)間為的一個(gè)“倒域區(qū)間”.已知定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.
（1）求的解析式;
（2）求函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”;
（3）求函數(shù)在定義域內(nèi)的所有“倒域區(qū)間”.
參考答案
1．答案：D
解析：,
所以
故選:D.
2．答案：C
解析：設(shè)高二應(yīng)抽取的人數(shù)為人,則,解得人.
故選：C.
3．答案：C
解析:因?yàn)?且,所以在上的投影向量,
,
故選:C.
4．答案：B
解析：
對(duì)于A:若,,則或m與n相交或m與n異面,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B:根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知,若,且,,則,故B正確;
對(duì)于C:若,,則,又,則或m與l相交或m與l異面,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D:若,且,則或,故D錯(cuò)誤.
故選:B
5．答案：B
解析：將八屆進(jìn)球總數(shù)按照從小到大的順序重新排列為：141,145,147,161,169,171,172,
由可得,
第一四分位數(shù)應(yīng)該是第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)的平均數(shù),
即,所以進(jìn)球總數(shù)的第一四分位數(shù)是146.
故選：B.
6．答案：D
解析：連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體兩次,基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,.
其中事件A包括:,,,,,,,.
事件B包括:,,,,,,,,,.
事件C包括:,,,,,,,.
事件D包括:,,,,,,,.
對(duì)于A:因?yàn)槭录嗀與D有相同的基本事件,,,,,故A與D互斥不成立.故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B:因?yàn)槭录﨏與D有相同的基本事件,,,,,故C與對(duì)立不成立.故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C:因?yàn)?,而.因?yàn)?所以A與B不是相互獨(dú)立.故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D:因?yàn)?,而.因?yàn)閮蓚€(gè)事件的發(fā)生與否互不影響,且,所以A與C相互獨(dú)立.故D正確.
故選:D
7．答案：A
解析:由,得,
即,
則,
得
所以,則,同理可得,,
即O是三邊上高的交點(diǎn),則O為的垂心;
由,得,
設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則,即G,M,C三點(diǎn)共線,
所以G在的中線CM上,同理可得G在的其余兩邊的中線上,
即G是三邊中線的交點(diǎn),故G為的重心;
由,得,即,
又M是AB的中點(diǎn),所以P在AB的垂直平分線上,
同理可得,P在,AC垂直平分線上,
即P是三邊垂直平分線的交點(diǎn),故P是的外心,
故選:A
8．答案：A
解析：在中,,
即,又,
為等邊三角形
根據(jù)題意,有如下示意圖:
如圖,設(shè)的外接圓的圓心為,
連接,,,連接PH.
由題意可得,且,.
由上知:且,又,
,由,平面ABC.
設(shè)O為三棱錐外接球的球心,連接,OP,OC過(guò)O作,垂足為D,則外接球的半徑R滿足,,,代入解得,即有,
三棱錐外接球的表面積為.
故選:A.
9．答案：BC
解析：對(duì)于A項(xiàng)，平均數(shù)為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，極差為，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，這組數(shù)從小到大排序?yàn)椋?3、45、45、46、47、47、48、49、51、52，
所以中位數(shù)為47.故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為49.
故選：BC.
10．答案：ACD
解析：由，得
，即
得，又，故，
∴，即所以A正確；
，所以B錯(cuò)誤；
，所以C正確；
由，可知
得解得：，，故，所以D正確．
故選：ACD.
11．答案：ACD
解析：由題意得P到平面的距離為定值2,所以,A正確.
如圖1,當(dāng),即P為的中點(diǎn)時(shí),取的中點(diǎn)Q,連接PQ,,易證平面,所以直線與平面所成的角為,得,B錯(cuò)誤.
延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E,使得,連接PE,BE,易證,所以直線PB與直線AC所成的角為,
易得,,則,因?yàn)?
所以,C正確.易知,則,
將平面和平面沿著展開(kāi)得到的矩形如圖2所示,
連接,則.
12．答案：
解析：因?yàn)橄蛄?,
所以,,
又,
所以,
解得,
故答案為:.
13．答案：/
解析：因?yàn)椴怀^(guò)11的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11五個(gè)數(shù),
從中選取兩個(gè)不同的數(shù)的基本事件有,,,,,,,,,共10件;
其中和為偶數(shù)的基本事件有,,,,,共6件;
所以和為偶數(shù)的概率為.
故答案為:.
14．答案：
解析：把平面PAB沿AB展開(kāi)到與平面ABCD共面的的位置,如圖1,延長(zhǎng)DC到,使得,連接則因?yàn)镻D的長(zhǎng)度為定值,所以要使空間四邊形PEFD的周長(zhǎng)最小,只需使是小,即四點(diǎn)共線,此時(shí),在圖2中,過(guò)點(diǎn)A作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接PG,易得平面PAG,因?yàn)槠矫鍼FD,所以平面平面PFD,過(guò)A作于點(diǎn)H,易得平面PFD,故即直線PA與平面PFD所成的角.如圖1,因?yàn)樗运?所以所以在中,.
15．答案：（1）單調(diào)增區(qū)間為，；；
（2）.
解析：（1）因?yàn)?br>所以函數(shù)的最小正周期；
因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，
所以，，
解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；
（2）不等式有解，即；
因?yàn)?，所以，又?br>故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為，
所以.
16．答案：(1)證明見(jiàn)講解；
(2)當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積為，理由見(jiàn)詳解.
解析：（1）過(guò)點(diǎn)B作，垂足為D，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?br>又因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又,平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積為，理由如下：
過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，所以，
由（1）可知，，
所以，即，所以，
設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為h，
則，
所以，即到平面的距離為1，
在三棱柱中，，
由（1）可知，平面，所以平面，
又，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
所以Q到平面的距離為1，即，
故為中點(diǎn)，所以P為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積為.
17．答案：(1)0.01
(2)9.16
(3)13.28
解析：(1)由概率和為1得:,解得.
(2)由題意知,為全校師生日平均閱讀時(shí)間,則
,
所以全校師生日平均閱讀時(shí)間為(小時(shí)).
(3)將保留整數(shù)則,由題意知:
所以估算師生日平均閱讀時(shí)間的方差為13.28.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）取AM的中點(diǎn)G,連接PG,
因?yàn)?則,
當(dāng)平面⊥平面ABCM時(shí),P點(diǎn)到平面ABCM的距離最大,
四棱錐的體積取得最大值,
此時(shí)PG⊥平面ABCM,且,
底面ABCM為梯形,面積為,
則四棱錐的體積最大值為
（2）取AP中點(diǎn)Q,連接NQ,MQ,
則因?yàn)镹為PB中點(diǎn),所以NQ為的中位線,
所以且,
因?yàn)镸為CD的中點(diǎn),四邊形ABCD為矩形,
所以且,
所以且,
故四邊形CNQM為平行四邊形,
所以.
19．答案：（1）
（2）
（3）和
解析：（1）當(dāng)時(shí),則,
由奇函數(shù)的定義可得,
所以,..
（2）設(shè),因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減,且在上的值域?yàn)?
所以,,解得,
所以,函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.
（3）在時(shí),函數(shù)值的取值區(qū)間恰為,
其中且,,所以,,則,
只考慮或,
①當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故當(dāng)時(shí),,則,所以,,所以,,
由（2）知在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為;
②當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故當(dāng)時(shí),,所以,,所以,.
,
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,則,解得,
所以,在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.
綜上所述,函數(shù)在定義域內(nèi)的“倒域區(qū)間”為和.
年份
1994
1998
2002
2006
2010
2014
2018
2022
進(jìn)球總數(shù)
141
171
161
147
145
171
169
172

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