一、選擇題
1．設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足(i是虛數(shù)單位),則( )
A.B.C.D.
2．在中,“”是“”的( )
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
3．甲?乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，甲譯出密碼的概率為0.4，乙譯出密碼的概率為0.5.則密碼被破譯的概率為( )
A.0.9B.0.8C.0.7D.0.2
4．若m,n,l表示不同的直線(xiàn),,表示不同的平面,則下列推理正確的是( )
A.若,,則B.若,,則
C.若,,則D.若,,則
5．下列命題正確的是( )
A.對(duì)于任意非零向量,,,若向量,在向量上的投影向量相等,則
B.若,則一定成立
C.向量與是共線(xiàn)向量,則A,B,C,D四點(diǎn)一定共線(xiàn)
D.若,且,則與所在直線(xiàn)的夾角是
6．在中,,若,則的值為( )
A.B.C.D.
7．在中,,,,O是的內(nèi)心,若,其中x,,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為( )
A.B.C.D.
8．球缺指的是一個(gè)球被平面截下的一部分，垂直于截面的直徑被截后剩下的線(xiàn)段為球缺的高，設(shè)球的半徑為R，球缺的高為h，則球缺的體積. 圓錐的高為2，底面半徑為1，則以圓錐的高為直徑的球在圓錐外的體積為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知向量,,則( )
A.
B.若,則
C.若,則
D.
10．有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中是最小值，是最大值，則( )
A.，，，的平均數(shù)等于，，…，，的平均數(shù)
B.，，，的中位數(shù)等于，，…，，的中位數(shù)
C.，，，的標(biāo)準(zhǔn)差不小于，，…，，的標(biāo)準(zhǔn)差
D.，，，的極差不大于，，…，，的極差
11．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，將，分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.G到平面DEF的距離為
C.若面EFP，則二面角的余弦值為
D.四面體外接球表面積為
三、填空題
12．__________.（i為虛數(shù)單位）
13．已知圓錐的底面半徑為1,其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓,則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_________.
14．如圖，在平面中，圓O是半徑為1的圓，，設(shè)B，C為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是 .
四、解答題
15．某地區(qū)突發(fā)小型地質(zhì)災(zāi)害，為了了解該地區(qū)受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失，制定合理的幫扶方案，研究人員經(jīng)過(guò)調(diào)查后將該地區(qū)所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失情況統(tǒng)計(jì)如下圖所示.
(1)求a的值；
(2)求所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失的平均值；
(3)現(xiàn)按照分層抽樣的方法從經(jīng)濟(jì)損失在的居民中隨機(jī)抽取8人，則在的居民有多少人.
16．在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若.
（1）求A;
（2）若,的面積為,求的周長(zhǎng).
17．已知向量,的夾角為,且.
（1）若,求的坐標(biāo);
（2）若,,求的最小值.
18．某校舉行圍棋比賽,甲?乙?丙三人通過(guò)初賽,進(jìn)入決賽.決賽比賽規(guī)則如下:首先通過(guò)抽簽的形式確定甲?乙兩人進(jìn)行第一局比賽,丙輪空;第一局比賽結(jié)束后,勝利者和丙進(jìn)行比賽,失敗者輪空,以此類(lèi)推,每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽,直到一人累計(jì)獲勝三局,則此人獲得比賽勝利,比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽雙方獲勝的概率均為,且每局比賽相互獨(dú)立.
（1）求丙每局都獲勝的概率;
（2）求甲獲得比賽勝利的概率.
19．如圖,在四棱錐中,底面ABCD為直角梯形,,,,.
（1）M為PC上一點(diǎn),且,當(dāng)平面DMB時(shí),求實(shí)數(shù)的值;
（2）設(shè)平面PAD與平面PBC的交線(xiàn)為l,證明面ABCD;
（3）當(dāng)平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的大小為時(shí),求PC與平面ABCD所成角的正弦值.
參考答案
1．答案：A
解析：,,.
2．答案：A
解析：由,則或,
所以能推出,但推不出,
故“”是“”的充分而不必要條件.
3．答案：C
解析：甲?乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，甲譯出密碼的概率為0.4，乙譯出密碼的概率為0.5.
則密碼被破譯的概率為:.
故選：C.
4．答案：B
解析：在正方體中,記平面ABCD為平面,平面DCGH為平面,EF
為m,EH為n,AE為l,
對(duì)于A(yíng)選項(xiàng),,,但m和n相交,所以A錯(cuò);
對(duì)于選項(xiàng),,,但m和n相交,所以C錯(cuò);
對(duì)于選項(xiàng),,,但與相交,所以D
錯(cuò);
對(duì)于B選項(xiàng),由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可知B對(duì);
5．答案：D
解析：對(duì)于A(yíng),由投影向量定義知,
則,不一定相等,所以A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,若,則有,
故不一定成立,所以錯(cuò)誤;
對(duì)于C,向量與是共線(xiàn)向量,
則A,B,C,D四點(diǎn)一定共線(xiàn),顯然不正確,
可能,即C錯(cuò)誤;
對(duì)于,設(shè),,
以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則,,
,,是等邊三角形,
.在菱形OACB中,對(duì)角線(xiàn)OC平分,與所在直線(xiàn)的夾角為.
所以D正確.
6．答案：A
解析：因?yàn)?所以D為AB上靠近點(diǎn)A的三等份點(diǎn),
所以,
因?yàn)?所以,,所以,
7．答案：B
解析：在中,設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,
由余弦定理,得.
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r,則,解得,
所以.
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為.
8．答案：A.
解析：作圓錐的軸截面，軸截面與球O內(nèi)接圓錐底面交于
所求體積即為球缺與內(nèi)接圓錐的體積之差
軸截面頂角為α，，設(shè)圓錐底面半徑為r，則，即
則圓錐的高為，則
球缺的高為，則
.
故選A.
9．答案：ACD
解析：顯然,A對(duì),
得:或,B錯(cuò),
,,C對(duì),
,D對(duì)
10．答案：BD
解析：對(duì)于選項(xiàng)A：，不確定，，，…，的平均數(shù)不確定，如1，2，2，2，2，4的平均數(shù)不等于2，2，2，2的平均數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，則，，，的中位數(shù)為，，，，，，的中位數(shù)為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：，，，，，的波動(dòng)性不小于，，，的波動(dòng)性，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差不大于，，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，則，，即，，，的極差不大于，，，，，的極差，故D正確.
故選BD.
11．答案：ACD
解析：A項(xiàng):連BD，EF可知.又因?yàn)椋?，，所以面EFG，所以.又因?yàn)?，所以面BDG，所以，故A項(xiàng)正確;
B項(xiàng):因?yàn)椋?，所以為，所以，故又因?yàn)?，故G到面DEF的距離（等體積法），故B項(xiàng)錯(cuò)誤;
C項(xiàng):令，連GH，HP.因?yàn)槊鍱FP，面BDG，面面，所以，.又因?yàn)槊鍮DG，所以，，所以即為二面角的平面角.又因?yàn)槊鍱FG，所以，故在中，.又因?yàn)?，故在中，由余弦定理的推?，故二面角的余弦值為，C項(xiàng)正確;
D項(xiàng):由于EG，F(xiàn)G，DG兩兩互相垂直，不妨將三棱雉放置于一個(gè)長(zhǎng)寬均為2、高為4的長(zhǎng)方體中，其外接球半徑，故其表面積，D項(xiàng)正確;故選ACD.
12．答案：0
解析：
13．答案：2
解析：圓錐的底面半徑為1,側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為,
又側(cè)面展開(kāi)圖是半圓,側(cè)面展開(kāi)圖的半徑為2,即圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2,
14．答案：
解析：若D 為BC 中點(diǎn), 令 ， 夾角為, 如下圖示,
又且,
此時(shí), 當(dāng) 時(shí) 最小值為 -2 ;
由, 則;
此時(shí), 當(dāng) 時(shí) 最大值為 6 ;
綜上, 的取值范圍是.
故答案為:.
15．答案：(1)
(2)3360元
(3)6
解析：（1）依題意，，解得.
（2）所有受災(zāi)居民經(jīng)濟(jì)損失的平均值為元.
（3）由（1）得經(jīng)濟(jì)損失在和在的人數(shù)比例為，
由分層抽樣知，經(jīng)濟(jì)損失在的居民有人.
16．答案：（1）
（2）18
解析：（1）由及正弦定理得:
因?yàn)?
所以.
由于,
所以.
又,故.
（2）由題得的面積,故①
由余弦定理得:,
又,故②,
由①②得:
所以的周長(zhǎng)為.
17．答案：（1）或;
（2）.
解析：（1）設(shè),由,得,即,
而向量,的夾角為,則,又
,即,解得,于是,即有或,
所以的坐標(biāo)是或.
（2）由,得,即,因此,
,
因此
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
所以當(dāng)時(shí),取得最小值.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）丙每局都獲勝有以下兩種情況:第一局甲獲勝,后三局丙獲勝;第一局乙獲勝,后三局丙獲勝,
第一局甲獲勝,后三局丙獲勝的概率,
第一局乙獲勝,后三局丙獲勝的概率,
丙每局都獲勝的概率.
（2）設(shè)甲獲勝為事件A,乙獲勝為事件,丙獲勝為事件,
比賽進(jìn)行三局,甲獲勝的概率為,
比賽進(jìn)行五局,有以下6種情況:AABBA,AABCA,ACBAA,ACCAA,BBAAA,
BCAAA,
甲獲勝的概率為,
比賽進(jìn)行七局,有一下8種情況:
AABCCBA,АСВBСАА,АСВАСВА,АССАВBA,ВВАССАА,ВСААСВА,
BCABCAA,BCCBAAA
甲獲勝的概率為,
故甲獲得比賽勝利的概率為.
19．答案：（1）
（2）證明見(jiàn)解析
（3）
解析：（1）如圖,連接AC交BD于點(diǎn)N,連接MN,
平面BDM,平面PAC,平面平面,,
在梯形ABCD中,,,,
,,.
（2）,平面PAD,平面PAD,面PAD,
又面PBC,面面,,
又面ABCD,面ABCD,面ABCD.
（3）取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OB,
為AD的中點(diǎn),且,,
且四邊形OBCD為平行四邊形,
,
,,,
又,為等邊三角形,
又,為等邊三角形,,
,平面POB,平面POB,平面POB,
平面POB,,
過(guò)點(diǎn)P作,由,則.平面PAD,平面PBC,
即平面平面,,,
為平面PAD與平面PBC所成的銳二面角,.
又由,,,
,,
,平面ABCD,平面ABCD,平面ABCD,
為PC與平面ABCD所成的角,
,
,
因此,PC與平面ABCD所成角的正弦值為

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