2024-2025 學年高中數(shù)學人教A版選擇性必修三專題8.2 非線性回歸問題（3類必考點）-試卷下載-教習網(wǎng)

專題8.2 非線性回歸問題 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc18139" 【考點1：非線性回歸類型一：冪函數(shù)型】 PAGEREF _Toc18139 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc3372" 【考點2：非線性回歸類型二：指數(shù)函數(shù)型】 PAGEREF _Toc3372 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc20956" 【考點3：非線性回歸類型三：對數(shù)函數(shù)型】 PAGEREF _Toc20956 \h 14 【知識要點】 1、建立非線性回歸模型的基本步驟： ①確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預報變量； ②畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（是否存在非線性關系）； ③由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關系，一般選用反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型等）； ④通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型； ⑤按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程； ⑥消去新元，得到非線性回歸方程； ⑦得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等. 常見的非線性回歸方程的轉(zhuǎn)化：【考點1：非線性回歸類型一：冪函數(shù)型】【知識點：類型一：冪函數(shù)型】 1．（23-24高二下·廣東·期中）某地政府為提高當?shù)剞r(nóng)民收入，指導農(nóng)民種植藥材，取得較好的效果.以下是某農(nóng)戶近5年種植藥材的年收入的統(tǒng)計數(shù)據(jù)： (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)決定使用模型擬合與之間的關系，請求出此模型的回歸方程；（結(jié)果保留一位小數(shù)） (2)統(tǒng)計學中常通過計算殘差的平方和來判斷模型的擬合效果.在本題中，若殘差平方和小于0.5，則認為擬合效果符合要求.請判斷（1）中回歸方程的擬合效果是否符合要求，并說明理由. 參考數(shù)據(jù)及公式：，.設，則，. 2．（2024·山東濟南·三模）近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應的年份代碼依次為1，2，3，4，5． (1)根據(jù)散點圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由） (2)根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關于x的回歸方程； (3)根據(jù)（2）的結(jié)果，估計2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，， 3．（2024·陜西安康·模擬預測）隨著移動互聯(lián)網(wǎng)和直播帶貨技術的發(fā)展，直播帶貨已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，特別是商家通過展示產(chǎn)品，使顧客對商品有更全面的了解.下面統(tǒng)計了某新手開啟直播帶貨后從6月份到10月份每個月的銷售量(萬件)的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點圖．其中6月份至10月份相應的代碼為，如:表示6月份. (1)根據(jù)散點圖判斷，模型①與模型②哪一個更適宜作為月銷售量關于月份代碼的回歸方程?（給出判斷即可，不必說明理由） (2)（i）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立關于的回歸方程;(計算結(jié)果精確到0.01) （ⅱ）根據(jù)結(jié)果預測12月份的銷售量大約是多少萬件? 參考公式與數(shù)據(jù):，，，其中. 4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）某企業(yè)擬對某產(chǎn)品進行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技升級投入（萬元）與科技升級直接收益（萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了與的兩個回歸模型：模型①：模型②：. (1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①?②的相關指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高?更可靠的模型； (2)根據(jù)（1）選擇的模型，預測對該產(chǎn)品科技升級的投入為100萬元時的直接收益. （附：刻畫回歸效果的相關指數(shù)越大，模型的擬合效果越好） 5．（23-24高二下·黑龍江大興安嶺地·期中）碳排放是引起全球氣候變暖問題的主要原因．2009年世界氣候大會，中國做出了減少碳排放的承諾，2010年被譽為了中國低碳創(chuàng)業(yè)元年．2020年中國政府在聯(lián)合國大會發(fā)言提出：中國二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和．碳中和是指主體在一定時間內(nèi)產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放量，實現(xiàn)正負抵消，達到相對“零排放”．如圖為本世紀來，某省的碳排放總量的年度數(shù)據(jù)散點圖．該數(shù)據(jù)分為兩段，2010年前該省致力于經(jīng)濟發(fā)展，沒有有效控制碳排放；從2010年開始，該省通過各種舉措有效控制了碳排放．用x表示年份代號，記2010年為．用h表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010年開始的年度碳排放量．表一：2011~2017年某省碳排放總量年度統(tǒng)計表（單位：億噸） (1)若關于x的線性回歸方程為，根據(jù)回歸方程估計若未采取措施，2017年的碳排放量；并結(jié)合表一數(shù)據(jù)，說明該省在控制碳排放舉措下，減少排碳多少億噸？ (2)根據(jù)，設2011~2017年間各年碳排放減少量為，建立z關于x的回歸方程． ①根據(jù)，求表一中y關于x的回歸方程（精確到0.001）； ②根據(jù)①所求的回歸方程確定該省大約在哪年實現(xiàn)碳達峰？參考數(shù)據(jù)：．參考公式：． 6．（2024高三上·四川成都·期末）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊計劃了解當?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：）與樣本對原點的距離（單位：m）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計理的值．（表中，） (1)利用樣本相關系數(shù)的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關于樣本對原點的距離的回歸方程類型？ (2)根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題： ①建立關于的回歸方程； ②樣本對原點的距離時，金屬含量的預報值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)，其線性相關系數(shù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．【考點2：非線性回歸類型二：指數(shù)函數(shù)型】【知識點：類型二：指數(shù)函數(shù)型】 1．（2024·四川宜賓·模擬預測）下表為某外來生物物種入侵某河流生態(tài)后的前3個月繁殖數(shù)量（單位：百只）的數(shù)據(jù)，通過相關理論進行分析，知可用回歸模型對與的關系進行擬合，則根據(jù)該回歸模型，預測第7個月該物種的繁殖數(shù)量為（????） A．百只 B．百只 C．百只 D．百只 2．（2024高三下·重慶·開學考試）當前，人工智能技術以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智能被認為是推動未來社會發(fā)展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段．某公司在這個領域逐年加大投入，以下是近年來該公司對產(chǎn)品研發(fā)年投入額（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表． (1)公司擬分別用①和②兩種方案作為年銷售量關于年投入額的回歸分析模型，請根據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗回歸方程；（計算過程保留到小數(shù)點后兩位，最后結(jié)果保留到小數(shù)點后一位） (2)根據(jù)下表數(shù)據(jù)，用決定系數(shù)（只需比較出大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪種更好，并選擇擬合精度更高的模型，預測年投入額為百萬元時，產(chǎn)品的銷售量是多少? 參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，，，，，． 3．（2024·四川內(nèi)江·一模）某企業(yè)為響應國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對年盈利額（單位：億元）的影響，通過對“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進行分析，建立了兩個函數(shù)模型：；，其中、、、均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，令，，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)： (1)請從相關系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合度更好？ (2)根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程．（系數(shù)精確到0.01）附：相關系數(shù) 回歸直線中：，． 4．（2024·全國·模擬預測）一座城市的夜間經(jīng)濟不僅有助于拉動本地居民內(nèi)需，還能延長外地游客、商務辦公者等的留存時間，帶動當?shù)亟?jīng)濟發(fā)展，是衡量一座城市生活質(zhì)量、消費水平、投資環(huán)境及文化發(fā)展活力的重要指標．數(shù)據(jù)顯示，近年來中國各地政府對夜間經(jīng)濟的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長，下表為2017—2022年中國夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模（單位：萬億元），其中2017—2022年對應的年份代碼依次為1~6． (1)已知可用函數(shù)模型擬合與的關系，請建立關于的回歸方程（的值精確到0.01）； (2)某傳媒公司預測2023年中國夜間經(jīng)濟的市場規(guī)模將達到48.1萬億元，現(xiàn)用（1）中求得的回歸方程預測2023年中國夜間經(jīng)濟的市場規(guī)模，若兩個預測規(guī)模誤差不超過1萬億元，則認為（1）中求得的回歸方程是理想的，否則是不理想的，判斷（1）中求得的回歸方程是否理想．參考數(shù)據(jù)：其中．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為． 5．（2024·全國·模擬預測）一座城市的夜間經(jīng)濟不僅有助于拉動本地居民內(nèi)需，還能延長外地游客、商務辦公者等的留存時間，帶動當?shù)亟?jīng)濟發(fā)展，是衡量一座城市生活質(zhì)量、消費水平、投資環(huán)境及文化發(fā)展活力的重要指標．數(shù)據(jù)顯示，近年來中國各地政府對夜間經(jīng)濟的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長，下表為2017—2022年中國夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模（單位：萬億元），設2017—2022年對應的年份代碼依次為1~6． (1)已知可用函數(shù)模型擬合y與x的關系，請建立y關于x的回歸方程（a，b的值精確到0.01）； (2)某傳媒公司發(fā)布的2023年中國夜間經(jīng)濟城市發(fā)展指數(shù)排行榜前10名中，吸引力超過90分的有4個，從這10個城市中隨機抽取5個，記吸引力超過90分的城市數(shù)量為X，求X的分布列與數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：其中．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，． 6．（2024·遼寧·模擬預測）土壤食物網(wǎng)對有機質(zhì)的分解有兩條途徑，即真菌途徑和細菌途徑．在不同的土壤生態(tài)系統(tǒng)中，由于提供能源的有機物其分解的難易程度不同，這兩條途徑所起的作用也不同．以細菌分解途徑為主導的土壤，有機質(zhì)降解快，氮礦化率高，有利于養(yǎng)分供應，以真菌途徑為主的土壤，氮和能量轉(zhuǎn)化比較緩慢，有利于有機質(zhì)存貯和氮的固持．某生物實驗小組從一種土壤數(shù)據(jù)中隨機抽查并統(tǒng)計了8組數(shù)據(jù)，如下表所示：其散點圖如下，散點大致分布在指數(shù)型函數(shù)的圖象附近． (1)求關于的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）； (2)在做土壤相關的生態(tài)環(huán)境研究時，細菌與真菌的比值能夠反映土壤的碳氮循環(huán)．以樣本的頻率估計總體分布的概率，若該實驗小組隨機抽查8組數(shù)據(jù)，再從中任選4組，記真菌（單位：百萬個）與細菌（單位：百萬個）的數(shù)值之比位于區(qū)間內(nèi)的組數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望. 附：經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，【考點3：非線性回歸類型三：對數(shù)函數(shù)型】【知識點：類型三：對數(shù)函數(shù)型】 1．（2024·福建寧德·三模）2024海峓兩岸各民族歡度“三月三”暨福籽同心愛中華福建省第十一屆“三月三”畬族文化節(jié)活動在寧德隆重開幕.海峽兩岸各民族同胞齊聚于此，與當?shù)厝罕姽餐瑲g慶“三月三”，暢敘兩岸情.在活動現(xiàn)場，為了解不同時段的入口游客人流量，從上午10點開始第一次向指揮中心反饋入口人流量，以后每過一個小時反饋一次.指揮中心統(tǒng)計了前5次的數(shù)據(jù)，其中為第次入口人流量數(shù)據(jù)（單位:百人），由此得到關于的回歸方程.已知，根據(jù)回歸方程（參考數(shù)據(jù):），可頂測下午4點時入口游客的人流量為（????） A．9.6 B．11.0 C．11.4 D．12.0 2．（2024高二下·河南·階段練習）某劇場的座位數(shù)量是固定的，管理人員統(tǒng)計了最近在該劇場舉辦的五場表演的票價（單位：元）和上座率（上座人數(shù)與總座位數(shù)的比值）的數(shù)據(jù)，其中，并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到如下的散點圖： (1)由散點圖判斷與哪個模型能更好地對與的關系進行擬合（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程． (2)根據(jù)（1）所求的回歸方程，預測票價為多少時，劇場的門票收入最多．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：．參考數(shù)據(jù)：，設，則，． 3．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預測）某新能源汽車公司對其產(chǎn)品研發(fā)投資額x（單位：百萬元）與其月銷售量y（單位：千輛）的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，得到如下統(tǒng)計表和散點圖. (1)通過分析散點圖的特征后，計劃用作為月銷售量y關于產(chǎn)品研發(fā)投資額x的回歸分析模型，根據(jù)統(tǒng)計表和參考數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸方程； (2)公司決策層預測當投資額為11百萬元時，決定停止產(chǎn)品研發(fā)，轉(zhuǎn)為投資產(chǎn)品促銷.根據(jù)以往的經(jīng)驗，當投資11百萬元進行產(chǎn)品促銷后，月銷售量的分布列為：結(jié)合回歸方程和的分布列，試問公司的決策是否合理. 參考公式及參考數(shù)據(jù)：，，. 4．（2024·河北承德·模擬預測）某公司研制了一種對人畜無害的滅草劑，為了解其效果，通過實驗，收集到其不同濃度（）與滅死率的數(shù)據(jù)，得下表： (1)以為解釋變量，為響應變量，在和中選一個作為滅死率關于濃度（）的經(jīng)驗回歸方程，不用說明理由； (2)（i）根據(jù)（1）的選擇結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出所選經(jīng)驗回歸方程；（ii）依據(jù)（i）中所求經(jīng)驗回歸方程，要使滅死率不低于，估計該滅草劑的濃度至少要達到多少？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，. 5．（2024高二下·吉林長春·階段練習）《中共中央國務院關于全面推進鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的意見》，這是21世紀以來第個指導“三農(nóng)”工作的中央一號文件.文件指出，民族要復興，鄉(xiāng)村必振興，要大力推進數(shù)字鄉(xiāng)村建設，推進智慧農(nóng)業(yè)發(fā)展.某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺進行農(nóng)產(chǎn)品銷售，眾多網(wǎng)紅主播參與到直播當中，在眾多網(wǎng)紅直播中，統(tǒng)計了名網(wǎng)紅直播的觀看人次和農(nóng)產(chǎn)品銷售量的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點圖. (1)利用散點圖判斷，和哪一個更適合作為觀看人次和銷售量的回歸方程類型；（只要給出判斷即可，不必說明理由） (2)對數(shù)據(jù)作出如下處理：得到相關統(tǒng)計量的值如表：其中令，. 根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求（單位：千件）關于（單位：十萬次）的回歸方程，并預測當觀看人次為萬人時的銷售量；參考數(shù)據(jù)和公式：，附：對于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，. 6．（2024高三·云南昆明·階段練習）《中共中央國務院關于全面推進鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的意見》，這是21世紀以來第18個指導“三農(nóng)”工作的中央一號文件.文件指出，民族要復興，鄉(xiāng)村必振興，要大力推進數(shù)字鄉(xiāng)村建設，推進智慧農(nóng)業(yè)發(fā)展.某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺進行農(nóng)產(chǎn)品銷售，眾多網(wǎng)紅主播參與到直播當中，在眾多網(wǎng)紅直播中，統(tǒng)計了10名網(wǎng)紅直播的觀看人次和農(nóng)產(chǎn)品銷售量的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點圖. (1)利用散點圖判斷，和哪一個更適合作為觀看人次x和銷售量y的回歸方程類型；（只要給出判斷即可，不必說明理由） (2)對數(shù)據(jù)作出如下處理：得到相關統(tǒng)計量的值如表：其中令，.根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關于x的回歸方程，并預測當觀看人次為280萬人時的銷售量； (3)規(guī)定：觀看人次大于等于120萬人次的主播為優(yōu)秀主播，從這10名主播中隨機抽取3名，記其中優(yōu)秀主播的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望. 參考數(shù)據(jù)和公式：，附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，. 7．（2024·福建·模擬預測）放行準點率是衡量機場運行效率和服務質(zhì)量的重要指標之一.某機場自2012年起采取相關策略優(yōu)化各個服務環(huán)節(jié)，運行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)與該機場飛往A地航班放行準點率（）（單位：百分比）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所作的散點圖及經(jīng)過初步處理后得到的一些統(tǒng)計量的值. 其中， (1)根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為該機場飛往A地航班放行準點率y關于年份數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗回歸方程，由此預測2023年該機場飛往A地的航班放行準點率. (2)已知2023年該機場飛往A地?B地和其他地區(qū)的航班比例分別為0.2、0.2和0.6.若以（1）中的預測值作為2023年該機場飛往A地航班放行準點率的估計值，且2023年該機場飛往B地及其他地區(qū)（不包含A、B兩地）航班放行準點率的估計值分別為和，試解決以下問題：（i）現(xiàn)從2023年在該機場起飛的航班中隨機抽取一個，求該航班準點放行的概率；（ii）若2023年某航班在該機場準點放行，判斷該航班飛往A地、B地、其他地區(qū)等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說明你的理由. 附：（1）對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，參考數(shù)據(jù)：，，.曲線方程變換公式變換后的線性關系式年份20192020202120222023年份代碼12345年收入（千元）5961646873序號123456723468101313223142505658回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2年份2011201220132014201520162017年份代號x1234567年度碳排放量y（單位：億噸）2.542.6352.722.802.8853.003.09697.900.21600.1414.1226.13第個月123繁殖數(shù)量12345611.53612經(jīng)驗回歸方程殘差平方和年份代碼123456中國夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模萬億元20.522.926.430.936.442.43.36673.28217.251.162.83年份代碼x123456中國夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模y/萬億元20.522.926.430.936.442.43.36673.28217.251.16編號12345678細菌百萬個708090100110120130140真菌百萬個8.010.012.515.017.521.027.039.0x12345y0.691.611.792.082.20345Ppy0.691.611.792.082.20（保留整數(shù)）25689濃度（）滅死率0.10.240.460.760.949.430.323666.6439.2662017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8