知識點1：拋體運動
1、平拋運動在斜面上的兩種類型
2、平拋運動物理量的求解
3、多體平拋問題
知識點2：平拋運動的求解技巧
如果知道速度的大小或方向，應(yīng)首先考慮分解速度。
如果知道位移的大小或方向，應(yīng)首先考慮分解位移。
兩種分解方法：①沿水平方向的勻速運動和豎直方向的自由落體運動；②沿斜面方向的勻加速運動和垂直斜面方向的勻減速運動。
知識點3：類平拋運動的求解技巧
常規(guī)分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的勻加速直線運動，兩分運動彼此獨立，互不影響，且與合運動具有等時性。
特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，將加速度分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y方向列方程求解。
根據(jù)物體受力特點和運動特點判斷情景是否屬于類平拋運動問題；
根據(jù)情景求出物體運動的加速度；
根據(jù)具體問題選擇常規(guī)分解法還是特殊分解法將運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向（即沿合力方向）的勻加速直線運動。
一、單選題
1．某同學在一次立定投籃練習中，在距離水平地面高為1.95m處將籃球（視為質(zhì)點）投出，籃球恰好垂直擊中距離地面高為3.2m的籃板上，籃球被水平彈回后，又恰好擊中自己的雙腳（視為質(zhì)點），籃球拋出點和雙腳可認為在同一豎直線上，不計空氣阻力，則籃球撞擊籃板前后瞬間的速度大小之比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)籃球撞擊籃板前后瞬間的速度大小分別為、，籃球拋出到垂直撞擊籃板過程可逆向看成做平拋運動，則有
，
解得
籃球被水平彈回后，又恰好擊中自己的雙腳，籃球做平拋運動，則有
，
解得
則籃球撞擊籃板前后瞬間的速度大小之比為
故選D。
2．如圖所示，從一根空心光滑豎直鋼管A上端邊緣，沿直徑方向向管內(nèi)水平拋入一鋼球，球與管壁多次相碰后落地（球與管壁相碰后，水平速度反向，豎直速度不變，不計空氣阻力），若換一根等高但較粗的光滑豎直鋼管B，用同樣方法拋入此鋼球，則鋼球（ ）
A．在A管中的運動時間長B．在B管中的運動時間長
C．在兩管中的運動時間一樣長D．在兩管中的運動時間無法比較
【答案】C
【詳解】由于鋼球水平拋入，所以可看成豎直方向做自由落體與水平方向做勻速直線運動，根據(jù)題意：兩鋼管等高，由自由落體公式，可知球在兩根管內(nèi)的運動時間相等。故C正確，ABD錯誤；
故選C。
3．3月15日，2023年全國室內(nèi)田徑錦標賽在天津團泊體育中心室內(nèi)田徑館開賽。在首日比賽中，黑龍江老將高興龍憑借最后一跳8米20的成績，以1厘米的優(yōu)勢反超江蘇名將王嘉男奪冠。經(jīng)測量，該運動員軌跡最高點距離地面，假設(shè)跳遠運動員落入沙坑瞬間速度方向與水平面的夾角為，運動員可視為質(zhì)點，不計空氣阻力，則有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】運動員在空中的運動可看做斜拋，從斜拋的最高點到落地點可看做平拋，根據(jù)平拋運動的規(guī)律可知
故選B。
4．如圖所示，為一半徑為R的圓弧，圓心位置O，一小球從與圓心等高的任意點沿半徑方向水平拋出，恰好垂直落在面上的Q點，且速度與水平方向夾角為，則小球拋出后的水平距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
如圖所示，小球恰好垂直落在面上的Q點，作速度的反向延長線，交于O點，由平拋運動的推論可知，速度反向延長線交水平位移的中點，故滿足
結(jié)合圓的幾何關(guān)系可得
聯(lián)立可解得，D正確。
故選D。
5．隨著2022年北京冬奧會的成功舉辦，冰雪項目在我國也越來越受歡迎。如圖所示，某運動員訓練時從助滑道上不同位置下滑，都從斜坡頂點B水平飛出。若以速度v1飛出，用時t1落在斜坡上的C點；若以速度v2飛出，用時t2落在斜坡上的D點。已知，不計空氣阻力。關(guān)于運動員從B點飛出，落回斜面的過程，下列判斷正確的是（ ）
A．兩次位移關(guān)系有
B．兩次初速度大小之比
C．兩次落在斜面上時速度與斜面夾角之比
D．兩次落在斜面上時速度大小之比
【答案】B
【詳解】B．令斜面的傾角為，運動員落在斜面上，則有
解得
可知速度與時間成正比，即
故B正確；
A．下落的高度為
運動的位移為
可知運動的位移與時間的平方成正比，即
故A錯誤；
C．落在斜面上時速度與水平方向的夾角為α，則有
則落在斜面上時速度與斜面的夾角大小
θ= α-
同一斜面不變，故落在斜面上時速度與斜面的夾角與運動員飛出時的初速度無關(guān)，則兩次落在斜面上時速度與斜面的夾角之比為
故C錯誤；
D．落在斜面上時的速度
可知落地時的速度大小之比與初速度之比相等，故兩次落在斜面上時速度大小之比為
故D錯誤。
故選B。
6．如圖所示，以的速度水平拋出的小球，飛行一段時間垂直地撞在傾角θ=30°的斜面上，g取，以下結(jié)論中正確的是（ ）
A．物體飛行時間是1s
B．物體撞擊斜面時的速度大小為20m/s
C．物體飛行的水平距離10m
D．物體下降的距離是10m
【答案】B
【詳解】ACD．將小球撞擊斜面時的速度分解成水平方向和豎直方向，據(jù)幾何關(guān)系可得
解得
又
得物體飛行的時間
故ACD項錯誤。
B．將小球撞擊斜面時的速度分解成水平方向和豎直方向，據(jù)幾何關(guān)系可得
得物體撞擊斜面時的速度
B正確。
故選B。
【點睛】平拋與斜面結(jié)合問題的解題思路是分解速度或分解位移，也有可能是同時分解速度和位移。
7．如圖所示，一光滑寬闊的斜面，傾角為，高為h，重力加速度為g?，F(xiàn)有一小球在A處貼著斜面以水平速度射出，最后從B處離開斜面。下列說法中正確的是（ ）
A．小球的運動軌跡不是拋物線
B．小球所受合力始終與速度垂直
C．小球到達B點的時間為
D．小球的加速度大小為
【答案】C
【詳解】AB．對小球受力分析，豎直向下的重力、垂直于斜面斜向上的支持力。其合力大小為重力的下滑分力，即
方向沿斜面向下，依題意可知小球合力方向與初速度方向垂直，且為恒力，隨著時間的變化，合外力方向與速度方向夾角變小，所以運動軌跡為拋物線，故AB錯誤；
C．把小球的實際運動分解為水平方向的勻速直線運動和沿合力方向的初速度為零的勻加速直線運動，根據(jù)運動的等時性，可得
解得
故C正確；
D．根據(jù)牛頓第二定律，可得
故D錯誤；
故選C。
8．隨著人們生活水平的提高，打高爾夫球?qū)⒅饾u成為普通人的休閑娛樂。如圖所示，假設(shè)甲、乙、丙三位運動員從同一點O沿不同方向斜向上擊出的高爾夫球分別落在水平地面上不同位置A、B、C，三條路徑的最高點在同一水平面內(nèi)，不計空氣阻力，則（ ）
A．甲擊出的高爾夫球在空中運動時間最長
B．三個高爾夫球在空中運動時間相等
C．三個高爾夫球飛到最高點時速度為零
D．三個高爾夫球擊出的初速度水平分量相等
【答案】B
【詳解】AB．三個高爾夫球在空中運動豎直方向的加速度均為g，因豎直高度相同，可知運動時間相等，選項A錯誤，B正確；
C．三個高爾夫球飛到最高點時都有水平速度，即在最高點的速度不為零，選項C錯誤；
D．根據(jù)可知，三個高爾夫球擊出的初速度水平分量不相等，甲最大，丙最小，選項D錯誤。
故選B。
9．投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，《禮記傳》中提到：“投壺，射之細也．宴飲有射以樂賓，以習容而講藝也．”如圖所示，甲、乙兩人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壺中時與水平面的夾角分別為53°和37°；已知兩支箭質(zhì)量相同，忽略空氣阻力、箭長，壺口大小等因素的影響，下列說法正確的是（，，，）（ ）
A．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，甲所投箭的初速度比乙的大
B．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，乙所投的箭在空中運動時間比甲的長
C．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲投壺位置距壺的水平距離比乙大
D．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲所射箭落入壺口時速度比乙小
【答案】D
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)位移與水平方向的夾角為，速度與水平方向的夾角為，由平拋運動規(guī)律有
AB．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，則有
由可得
可知，甲所投的箭在空中運動時間長，由
可知，甲所投箭的初速度較小，故AB錯誤；
CD．若箭在豎直方向下落的高度相等，則箭在空中運動時間相等，且有
則甲所投箭的初速度較小，由可知，甲、乙所射箭落入壺口時豎直速度相等，則由
可得，甲所射箭落入壺口時速度比乙小，故C錯誤，D正確。
故選D。
10．如圖所示，在豎直平面內(nèi)，截面為三角形的小積木懸掛在離地足夠高處，一玩具槍的槍口與小積木上點等高且相距為。玩具子彈以水平速度從槍口射出時，小積木恰好由靜止釋放，子彈從射出至擊中積木所用時間為，不計空氣阻力。下列說法正確的是（ ）
A．子彈將擊中點，大于
B．子彈將擊中點，等于
C．子彈將擊中點上方，小于
D．子彈將擊中點下方，大于
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意可知，子彈做平拋運動，小積木做自由落體運動，子彈和小積木豎直方向的運動相同，子彈一直與小積木的點等高，則子彈將擊中點，子彈在水平方向上做勻速直線運動，由可得，運動時間為
故選B。
11．據(jù)報載，近日東部戰(zhàn)區(qū)空軍某新訓旅組織新兵進行投彈訓練，從水平勻速向左飛行的飛機上以相等的時間間隔，依次放出三顆炸彈，不考慮空氣阻力，則在地面上靜止不動的人，某時刻看到的炸彈在空中下落的情況符合實際的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】炸彈落下前和飛機具有相同的速度，落下來時不計空氣阻力，由于慣性保持原來的水平速度不變，相同時間內(nèi)，在水平方向上和飛機前進的距離相等，所以炸彈始終在飛機的正下方。第二和第三顆炸彈同理也始終在飛機的正下方，并且在豎直方向做初速度為零的勻變速直線運動，則在連續(xù)相等的時間間隔內(nèi)位移之比為。
故選B。
12．固定的半圓形豎直軌道如圖所示，AB為水平直徑，O為圓心，質(zhì)量不等的甲、乙兩個小球同時從A點水平拋出，速度分別為、，經(jīng)時間、分別落在等高的C、D兩點，OC、OD與豎直方向的夾角均為，下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．甲球的速度變化量小于乙球的速度變化量
D．落在D點的小球垂直打在圓弧上
【答案】A
【詳解】AB．根據(jù)兩小球的軌跡可知
豎直方向的位移相同，兩小球下落的時間相同，即，水平位移之比為，所以水平速度之比為，故A正確，B錯誤；
C．在豎直方向上下落時間相同，甲球的速度變化量等于乙球的速度變化量，故C錯誤；
D．假設(shè)落在D點的小球垂直打在圓弧上，此時速度方向沿半徑，則速度的反向延長線交水平位移的中點，應(yīng)在圓心處，因為水平位移小于2R，所以速度的反向延長線不可能交于圓心，故D錯誤。
故選A。
一、單選題
1．如圖所示以9.8m/s的水平初速度拋出的物體，飛行一段時間后垂直地撞在傾角θ為30°的斜面上，可知物體完成這段飛行的時間是（ ）（g取）
A．2sB．C．D．
【答案】B
【詳解】小球撞在斜面上的速度與斜面垂直，將該速度分解，如圖
則
解得
則
故選B。
2．某同學要探究類平拋運動的規(guī)律，設(shè)計了如圖所示實驗裝置，他將一塊足夠大的平整方木板的一端放在水面地面上，另一端用支撐物墊起，形成一個傾角為的斜面。他先將一個小木塊輕輕放在斜面上，放手后發(fā)現(xiàn)小木塊會沿斜面向下運動；接著該同學將木塊置于木板左上角，同時給小木塊一個平行木板水平向右的初速度 ，為探究木塊的運動軌跡，在木板上沿斜面向下和水平方向建立xOy直角坐標系。木塊與木板表面間的動摩擦因數(shù)處處相同均為，不計空氣阻力，重力加速度為，下列說法正確的是（ ）
A．小木塊在斜面上的運動軌跡為一條拋物線，該同學實驗方案可行
B．小木塊獲得初速度開始運動的瞬間，其加速度大小為
C．小木塊沿y軸方向的分運動為勻加速直線運動
D．小木塊最終沿與y軸平行的方向做勻加速直線運動，加速度大小
【答案】D
【詳解】ABD．小木塊獲得初速度開始運動的瞬間，受重力、支持力、滑動摩擦力，滑動摩擦力的方向與方向反向，把重力分解為垂直斜面向下和沿斜面向下的兩個力，則根據(jù)牛頓第二定律有
解得小木塊獲得初速度開始運動的瞬間的加速度大小為
此后木塊在y方向做加速運動，x方向做減速運動，當x方向速度減為零時，x方向不再運動，最終木塊在y方向做勻加速直線運動，其加速度大小為
所以木塊不是做類平拋運動，故AB錯誤，D正確；
C．滑動摩擦力的方向從最初與方向反向，逐漸變?yōu)檠貀軸負方向，則小木塊沿y軸方向的分運動為先做加速度減小的加速直線運動，后做勻加速直線運動，故C錯誤。
故選D。
3．如圖所示，一足夠長的氣墊導軌靜置在水平桌面上，導軌上有一臺能自由滑動、并能豎直向上發(fā)射小球的裝置，發(fā)射前后裝置的運動狀態(tài)不變。初始時刻，整個裝置以v=4m/s的速度向右運動，小球相對裝置豎直向上以的速度發(fā)射，取，不計一切阻力，下列說法正確的是（ ）
A．小球做豎直上拋運動B．小球在空中的運動時間為t=0.2s
C．小球在距離發(fā)射點1.6m處恰好落回裝置中D．小球落回裝置時相對地面的速度為v=2m/s
【答案】C
【詳解】A．運動分析可知小球在水平方向做的勻速直線運動，豎直方向做初速度為的運動，故A錯誤；
B．小球在空中的運動時間為
故B錯誤；
C．小球在距離發(fā)射點
處恰好落回裝置中，故C正確；
D．小球相對地面落回裝置的速度
故D錯誤。
故選C。
4．從高處以水平速度平拋小球，同時從地面以初速度豎直上拋小球，兩球在空中相遇，如圖所示。下列說法中正確的是（ ）
A．從拋出到相遇所用的時間為
B．從拋出到相遇所用的時間為
C．兩球拋出時的水平距離為
D．兩球拋出時的水平距離為
【答案】C
【詳解】AB．小球在水平方向為勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，小球做豎直上拋運動，則相遇時，兩球在豎直方向的位移大小之和等于高度，即
解得
此過程中的時間也等于小球在水平方向的位移與初速度的比值。故AB錯誤；
CD．兩球之間的水平距離為
故C正確，D錯誤。
故選C。
5．如圖所示，在豎直放置的半球形容器的中心O點分別以水平初速度v1、v2沿相反方向拋出兩個小球1和2（可視為質(zhì)點），最終它們分別落在圓弧上的A點和B點，已知OA與OB互相垂直，且OA與豎直方向成α角，則兩小球的初速度之比為（ ）
A．tanαB．csα
C．D．
【答案】C
【詳解】兩小球被拋出后都做平拋運動，設(shè)容器的半徑為R，兩小球運動的時間分別為t1、t2。則對球1有
Rsinα=v1t1，
對球2有
Rcsα=v2t2，
解得
故選C。
二、多選題
6．一足夠大且光滑的矩形斜面，傾角為，高為h，現(xiàn)有一小球在A處沿平行于底邊的初速度滑上斜面，最后從B處離開斜面。已知重力加速度大小為g。下列說法正確的是（ ）
A．小球的運動軌跡為拋物線
B．小球的加速度為
C．小球從A處到達B處所用的時間為
D．小球從A處到達B處的位移為
【答案】ABC
【詳解】A．小球受重力和支持力兩個力作用，合力沿斜面向下，與初速度方向垂直，小球做類平拋運動，其運動軌跡為拋物線，故A項正確；
B．根據(jù)牛頓第二定律知，有
解得
故B項正確；
C．由幾何關(guān)系得，小球沿加速度方向上的位移為
根據(jù)公式
解得
故C項正確；
D．小球在沿初速度方向的位移為
則小球從A處到達B處的位移為
故D項錯誤。
故選ABC。
7．如圖所示，甲同學爬上山坡底端C點處的一棵樹，從樹上Q點正對著山坡水平拋出一個小石塊，石塊正好垂直打在山坡中點P。乙同學（身高不計）在山坡頂端的A點水平拋出一個小石塊，石塊也能落在P點。已知山坡長度，山坡與水平地面間夾角為，重力加速度為g，空氣阻力不計，，，則（ ）
A．Q、A兩點豎直高度差為
B．甲同學拋出的小石塊初速度大小為
C．甲、乙兩同學拋出的石塊在空中飛行的時間之比為
D．若乙同學僅將小石塊拋出的速度方向變?yōu)榇怪鄙狡缕矫嫦蛏?，則小石塊運動到最高點時的速度大小為
【答案】BC
【詳解】AB．設(shè)甲拋出的初速度為，Q點相對于P點的豎直高度為H，則
甲落在P點時速度的豎直分量
甲拋出小石塊的水平位移
，，
聯(lián)立可得
，，
則A點相對于P點的高度
Q、A兩點豎直高度差為
故A錯誤，B正確；
C．對于乙，有
，
結(jié)合前面式子可得
，
故C正確；
D．小石塊運動的最高點，此時速度即為水平方向分速度，大小為
故D錯誤。
故選BC。
三、解答題
8．如圖所示，在h=5m高的平臺上，沿著與水平線成θ=45°角的方向以初速度v0斜向上拋出一小球，小球的著地點與拋出點之間的水平距離用l表示，如果要限制在0~5m，則對v0的取值有何限制？（空氣阻力不計，g取10m/s2）
【答案】
【詳解】由題圖可知，豎直方向位移
水平方向位移
將以上兩式消去t，得
又因為,,，解得
當l=0時，得
v0=0
當l=5m時，得
v0=5m/s
所以v0的取值范圍為
曲線運動類型
平拋運動
斜拋運動
類平拋運動
定義
將物體以一定的初速度沿水平方向拋出，不考慮空氣阻力，物體只在重力作用下所做的運動。
將物體以v沿斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用下的運動。
在水平方向上不受力，維持初速度不變；在豎直方向上，存在一個恒力（區(qū)別于平拋運動的重力）。
圖示
運動規(guī)律
水平方向：做勻速直線運動，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t；
豎直方向：做自由落體運動，速度：vy＝gt，位移：y＝eq \f(1,2)gt2；合速度：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋?gt?2)，方向與水平方向夾角為θ，則tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)。
水平方向：速度公式：vx＝v0x＝v0cs θ；位移公式：x＝v0cs θ·t。
豎直方向：速度公式：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt，位移公式：y＝v0sin θ·t－eq \f(1,2)gt2。
在初速度v0方向做勻速直線運動，在合力方向做初速度為零的勻加速直線運動，加速度a＝eq \f(F合,m)。
重要結(jié)論
做平拋運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點。速度方向與水平方向的夾角為α，位移與水平方向的夾角為θ，則tan α＝2tan θ。
當vy＝0時，v＝v0x＝v0cs θ，物體到達最高點hmax＝eq \f(v\\al(0y2),2g)＝eq \f(v\\al(02)sin2θ,2g)。
做類平拋運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點。速度方向與水平方向的夾角為α，位移與水平方向的夾角為θ，則tan α＝2tan θ。
方法
內(nèi)容
斜面
總結(jié)
分解速度
水平：vx＝v0
豎直：vy＝gt
合速度：
v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))
分解速度，構(gòu)建速度三角形
分解位移
水平：x＝v0t
豎直：y＝eq \f(1,2)gt2
合位移：s＝eq \r(x2＋y2)
分解位移，構(gòu)建位移三角形
飛行時間
由t＝eq \r(\f(2h,g))知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關(guān)。
水平位移
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素無關(guān)。
落地速度
v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度與x軸正方向間的夾角，有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，所以落地速度只與初速度v0和下落高度h有關(guān)。
速度變化
水平方向做勻速直線運動，豎直方向的速度vy=gt，從拋出點看，每隔?t時間的速度的矢量關(guān)系如下圖所示。任意相等時間間隔?t內(nèi)的速度改變量均豎直向下，則有：?v=?vy=g?t。
兩物體同時從同一高度(或同一點)拋出
兩物體始終在同一高度，二者間距只取決于兩物體的水平分運動。
兩物體同時從不同高度拋出
兩物體高度差始終與拋出點高度差相同，二者間距由兩物體的水平分運動和豎直高度差決定。
兩物體從同一點先后拋出
兩物體豎直高度差隨時間均勻增大，二者間距取決于兩物體的水平分運動和豎直分運動。

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