TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4462" 【考點(diǎn)1 求算術(shù)平方根、平方根、立方根】 PAGEREF _Tc4462 \h 1
\l "_Tc16513" 【考點(diǎn)2 利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值】 PAGEREF _Tc16513 \h 2
\l "_Tc13310" 【考點(diǎn)3 估算算術(shù)平方根的取值范圍】 PAGEREF _Tc13310 \h 2
\l "_Tc28182" 【考點(diǎn)4 求算術(shù)平方根的整數(shù)部分或小數(shù)部分】 PAGEREF _Tc28182 \h 2
\l "_Tc32277" 【考點(diǎn)5 與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc32277 \h 3
\l "_Tc24439" 【考點(diǎn)6 已知平方根、算術(shù)平方根或立方根，求該數(shù)】 PAGEREF _Tc24439 \h 4
\l "_Tc25248" 【考點(diǎn)7 利用平方根、立方根解方程】 PAGEREF _Tc25248 \h 4
\l "_Tc4327" 【考點(diǎn)8 已知平方根、算術(shù)平方根、立方根求參數(shù)】 PAGEREF _Tc4327 \h 4
\l "_Tc5567" 【考點(diǎn)9 平方根、算術(shù)平方根、立方根的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc5567 \h 5
\l "_Tc29536" 【考點(diǎn)9 實(shí)數(shù)、無理數(shù)的概念】 PAGEREF _Tc29536 \h 6
\l "_Tc1138" 【考點(diǎn)10 實(shí)數(shù)的大小比較】 PAGEREF _Tc1138 \h 6
\l "_Tc18445" 【考點(diǎn)11 實(shí)數(shù)與數(shù)軸】 PAGEREF _Tc18445 \h 7
\l "_Tc31421" 【考點(diǎn)12 程序框圖中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 PAGEREF _Tc31421 \h 7
\l "_Tc1114" 【考點(diǎn)13 新定義中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 PAGEREF _Tc1114 \h 9
\l "_Tc29672" 【考點(diǎn)14 實(shí)數(shù)的運(yùn)算】 PAGEREF _Tc29672 \h 10
\l "_Tc27577" 【考點(diǎn)15 實(shí)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc27577 \h 10
\l "_Tc11720" 【考點(diǎn)16 實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc11720 \h 11
【考點(diǎn)1 求算術(shù)平方根、平方根、立方根】
【例1】（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)期中）0.16的算術(shù)平方根是______，25的平方根是______．
【變式1-1】（2022·云南·景洪市第三中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算正確的是（ ）
A．31=±1B．?0.81=0.9C．9=±3D．(?3)2=3
【變式1-2】（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若m是169的正的平方根，n是121的負(fù)的平方根，求：
(1)m＋n的值；
(2)（m＋n）2的平方根．
【變式1-3】（2022·湖南·八年級(jí)單元測試）－27的立方根與9的平方根之和為（ ）
A．0B．6C．0或－6D．0或6
【考點(diǎn)2 利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值】
【例2】（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足(a﹣2)2+|2b+6|+5?c＝0．
(1)求實(shí)數(shù)a，b，c的值；
(2)求a?3b+c的平方根．
【變式2-1】（2022·全國·七年級(jí)）若y＝2x?1﹣1?2x+6x，則2x+2y?3的值為 _____．
【變式2-2】（2022·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）若x?2+|y+7|+(z?7)2=0，則x?y+z的平方根為（ ）
A．±2B．4C．2D．±4
【變式2-3】（2022·廣東湛江·八年級(jí)期末）已知|2020﹣m|+m?2021＝m，求m﹣20202的值．
【考點(diǎn)3 估算算術(shù)平方根的取值范圍】
【例3】（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用邊長為3的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)面積為18的大正方形，則大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式3-1】（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)軸上表示下列各數(shù)的點(diǎn)，能落在A，B兩個(gè)點(diǎn)之間的是（ ）
A．?3B．7
C．11D．13
【變式3-2】（2022·天津·九年級(jí)期末）估計(jì)7?2的值在（ ）
A．0到1之間B．1到2之間C．2到3之間D．3至4之間
【變式3-3】（2022·重慶·八年級(jí)期中）估計(jì)13+12的值在（ ）
A．1到2之間B．2到3之間C．3到4之間D．4到5之間
【考點(diǎn)4 求算術(shù)平方根的整數(shù)部分或小數(shù)部分】
【例4】（2022·上海徐匯·七年級(jí)階段練習(xí)）11的整數(shù)部分是______．小數(shù)部分是_______．
【變式4-1】（2022·浙江·七年級(jí)階段練習(xí)）6?11的小數(shù)部分為a，7+11的小數(shù)部分為b，則a+b2018=__________.
【變式4-2】（2022·重慶市萬盛經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)溱州中學(xué)七年級(jí)期中）已知2a?1＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整數(shù)部分，求a+b+2c的平方根．
【變式4-3】（2022·江蘇·八年級(jí)）設(shè)2+6的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是x、y，試求x、y的值與x-1的算術(shù)平方根．
【考點(diǎn)5 與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探究】
【例5】（2022·山東菏澤·八年級(jí)期中）將一組數(shù)3，6，3，12，15，……，228按下面的方法進(jìn)行排列：
3 6 3 12 15
18 21 24 27 30
……
若12的位置記為1,4，24的位置記為2,3，則這組數(shù)中最大的有理數(shù)的位置記為（ ）
A．14,4B．14,5C．15,5D．16,1
【變式5-1】（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）閱該下列材料：
（1）求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：
0.000004＝0.002，0.0004＝0.02，0.04＝0.2，4＝2，400＝20，
根據(jù)以上材料填空：40000＝__，4000000＝__．
（2）已知2≈1.414，直接寫出：0.02≈______，200≈_____，20000≈______．
【變式5-2】（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第二十八中學(xué)七年級(jí)期中）觀察下列各式：
(1)3227=2327,
(2)33326=33326,
(3)34463=43463,
(4)355124=535124
??
用字母n表示出一般規(guī)律是__________．（n為不小于2的整數(shù)）
【變式5-3】（2022·北京市十一學(xué)校二模）由102=100，1002=10000，我們可以確定1225是兩位數(shù)．根據(jù)類似的想法，由于1225個(gè)位上的數(shù)是5，我們能確定1225個(gè)位上的數(shù)是______，如果只看1225的前兩位12，而32=9，42=16，我們能確定1225十位上的數(shù)是______．
【考點(diǎn)6 已知平方根、算術(shù)平方根或立方根，求該數(shù)】
【例6】（2022·山西臨汾·七年級(jí)期中）若正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是x+2和2x?5，則a的值為___________．
【變式6-1】（2022·福建·古田縣玉田中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若一個(gè)數(shù)的平方根和立方根都是它的本身，則這個(gè)數(shù)是( )
A．0B．1C．0或1D．0或±1
【變式6-2】（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）若a的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為?8.69；x的平方根為±1.725，y的立方根為86.9，則（ ）
A．x=1100a,y=?1000bB．x=1100a,y=100b
C．x=100a,y=1100aD．x=11000a,y=?100b
【變式6-3】（2022·河南·平頂山市第三中學(xué)七年級(jí)期中）若4?2a與3a+1是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根．
(1)求a的值；
(2)求這個(gè)正數(shù)．
【考點(diǎn)7 利用平方根、立方根解方程】
【例7】（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）求下列等式中的x；
（1）若x2=196，則x=______；（2）若x2=322，則x=______；
（3）若x2=(?5)2，則x=______；（4）若(?x)2=1.21，則x=______．
【變式7-1】（2022·黑龍江·拜泉縣第三中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）用學(xué)過的知識(shí)解方程
(1)8(x+1)3=?125
(2)4(x?2)2?121=0
【變式7-2】（2022·黑龍江鶴崗·七年級(jí)期末）5+3x+1＝3．
【變式7-3】（2022·湖北·監(jiān)利市玉沙初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）解方程：
(1)x3+27＝0；
(2)16x﹣22﹣9＝0．
【考點(diǎn)8 已知平方根、算術(shù)平方根、立方根求參數(shù)】
【例8】2022·吉林四平·七年級(jí)期中）已知2a?1的平方根是±3，a+3b?1的算術(shù)平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求ab+5的平方根．
【變式8-1】（2022·福建廈門·七年級(jí)期中）已知a2=81，3b=?2，則b?a=______．
【變式8-2】（2022·四川·自貢市田家炳中學(xué)七年級(jí)期中）已知x+2的平方根±3，2x+y+7的立方根是3，試求7x?3y的立方根．
【變式8-3】（2022·江西·上饒市廣信區(qū)第七中學(xué)七年級(jí)期中）已知2a?1的算術(shù)平方根是17，3a+b?1的立方根是3．
(1)求a，b的值；
(2)求a+b的平方根．
【考點(diǎn)9 平方根、算術(shù)平方根、立方根的實(shí)際應(yīng)用】
【例9】（2022·山西呂梁·七年級(jí)期末）如圖，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小穎制作了一個(gè)表面積為30cm2的無蓋正方體紙盒，這個(gè)正方體紙盒的棱長是（ ）
A．5cmB．6cmC．10cmD．30cm
【變式9-1】（2022·安徽·潛山市羅漢初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）交通警察通常根據(jù)剎車時(shí)后車輪滑過的距離估計(jì)車輛行駛的速度．在某高速公路上，常用的計(jì)算公式是v2=256df+1，其中v表示車速（單位；km/h），d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：m），f表示摩擦系數(shù)，f=1.25．在調(diào)查這條高速公路的一次交通事故中，測得d=19.2m，求肇事汽車的速度大約是多少．
【變式9-2】（2022·福建福州·七年級(jí)期末）某學(xué)校有一塊長、寬分別為38m和16m的長方形空地，計(jì)劃沿邊建造一個(gè)長寬之比為5:3且面積為540m2的長方形標(biāo)準(zhǔn)籃球場，請(qǐng)判斷該學(xué)校能否用這塊長方形空地建造符合要求的籃球場？并說明理由．
【變式9-3】（2022·新疆·烏魯木齊市第九中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)長方體的水池長、寬、高之比為2：2：4，其體積為16 000cm3．
(1)求長方體的水池長、寬、高為多少？
(2)當(dāng)有一個(gè)半徑為r的球放入注滿水的水池中，溢出水池外的水的體積為水池體積的160，求該小球的半徑為多少（π取3，結(jié)果精確到0.01 cm）？
【考點(diǎn)9 實(shí)數(shù)、無理數(shù)的概念】
【例9】（2022·山東青島·八年級(jí)期中）下列各數(shù)1.414，36，20π，13，8，8.181181118…按規(guī)律排列），3.1415926中是無理數(shù)的有（ ）個(gè)．
A．3B．4C．5D．6
【變式9-1】（2022·福建·晉江市南僑中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于“19”，下列說法不正確的是（ ）
A．它是一個(gè)無理數(shù)B．它可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示
C．它可以表示面積為19的正方形的邊長D．它不是實(shí)數(shù)
【變式9-2】（2022·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)期中）設(shè)m為大于1且小于100的整數(shù)，則m的平方根中，屬于無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）
A．92個(gè)B．180個(gè)C．182個(gè)D．184個(gè)
【變式9-3】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)七年級(jí)）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里．
?|?5|,?32,0,?3.14,227,+1.99,??6,2π,?12.101001?（每兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)依次增加1）
(1)負(fù)數(shù)集合：{ …}；
(2)非負(fù)整數(shù)集合：{ …}；
(3)分?jǐn)?shù)集合：{ …}；
(4)無理數(shù)集合：{ …}．
【考點(diǎn)10 實(shí)數(shù)的大小比較】
【例10】（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）下列四個(gè)數(shù)中最小的實(shí)數(shù)是（ ）
A．0B．?πC．?2D．?3
【變式10-1】（2022·福建福州·七年級(jí)期中）比較大?。?7__________6．（用“>”或“bB．a(chǎn)0D．?a>b
【變式11-1】（2022·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，在數(shù)軸上表示-1，?2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，B，若點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C表示的數(shù)為______．
【變式11-2】（2022·安徽·蕪湖市第二十九中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，已知直徑為1個(gè)單位長度的圓形紙片上的點(diǎn)A與數(shù)軸上表示-1的點(diǎn)重合，若將該圓形紙片沿?cái)?shù)軸滾動(dòng)一周（無滑動(dòng)）后點(diǎn)A與數(shù)軸上的點(diǎn)A′重合，則點(diǎn)A′表示的數(shù)為_____________
【變式11-3】（2022·湖南·八年級(jí)單元測試）若實(shí)數(shù)a的位置如圖所示，則a、?a、1a、a2，的大小關(guān)系是______（用＜號(hào)連接）
【考點(diǎn)12 程序框圖中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】
【例12】（2022·遼寧葫蘆島·七年級(jí)期末）如圖是一個(gè)無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖下面說法正確的是（ ）
A．輸入值x為16時(shí)，輸出y值為4
B．輸入任意整數(shù)，都能輸出一個(gè)無理數(shù)
C．輸出值y為3時(shí)，輸入值x為9
D．存在正整數(shù)x，輸入x后該生成器一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值
【變式12-1】（2022·福建廈門·七年級(jí)期中）如圖是一個(gè)無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：
①當(dāng)輸出值y為2時(shí)，輸入值x為2或4；
②當(dāng)輸入值x為9時(shí)，輸出值y為3；
③對(duì)于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；
④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值．
其中正確的是________．
【變式12-2】（2022·河北邢臺(tái)·七年級(jí)期末）按下面程序計(jì)算：
（1）當(dāng)輸入x=5時(shí)，輸出的結(jié)果為______
（2）若輸入x的值為大于1的實(shí)數(shù)，最后輸出的結(jié)果為17，則符合條件的x的值是______
【變式12-3】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)期末）小王利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表：
那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是_______；當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是ｎ時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是_____
【考點(diǎn)13 新定義中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】
【例13】（2022·遼寧葫蘆島·七年級(jí)階段練習(xí)）對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，可用a表示不超過a的最大整數(shù)，如4=4，2=1，則19?1=______．
【變式13-1】（2022·全國·七年級(jí)）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定f(x)=x1+x，例如f(3)=31+3=34，f(13)=131+13=14，計(jì)算：f1+f2+f3+?+f2021+f12+f13+?+f12021= ___________
【變式13-2】（2022·四川省德陽市第二中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[2]＝2，[3.7]＝3，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72→第一次[72]＝8→第二次[8]＝2→第三次[2]＝1，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似地：對(duì)109只需進(jìn)行_________次操作后變?yōu)?
【變式13-3】（2022·重慶市第三十七中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知一個(gè)四位自然數(shù)n，若n滿足千位上的數(shù)字等于個(gè)位上的數(shù)字，百位上的數(shù)字等于十位和個(gè)位上的數(shù)字之和，則稱n為“加油數(shù)”．對(duì)于一個(gè)“加油數(shù)”n，將n的百位數(shù)字記為x，百位數(shù)字與十位數(shù)字的積記為y，令Fn=3x2?y．
例如：當(dāng)n=1541時(shí)，∵1=1且5=4+1，∴1541是“加油數(shù)”：此時(shí)x=5，y=5×4=20，F(xiàn)1541=3×52?20=55；當(dāng)n=3213時(shí)，∵3=3但2≠1+3，∴3213不是“加油數(shù)”．
(1)請(qǐng)判斷2422，1531是否是“加油數(shù)”、并說明理由；如果是，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的Fn的值；
(2)己知m是個(gè)位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字的“加油數(shù)”，將m的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和記為Gm，若FmGm能被4整除，求m的所有可能值．
【考點(diǎn)14 實(shí)數(shù)的運(yùn)算】
【例14】（2022·河南信陽·七年級(jí)期末）計(jì)算：
(1)?23×?42+3?43+?122?327
(2)1?2+2?3+3?2+2?5
【變式14-1】（2022·福建龍巖·八年級(jí)期中）計(jì)算：?12021??22?3?8+3?2．
【變式14-2】（2022·遼寧·鞍山市第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：
(1)?3?8+3125+(?2)2；
(2)7?2?2?π?(?7)2；
(3)1+3?27?14+30.125+1?6364；
(4)?42+16?3(?3)3?2?2．
【變式14-3】（2022·遼寧鞍山·七年級(jí)期中）計(jì)算
(1)0.04+3?8?14
(2)?23÷?4?327?1?9+1?2
【考點(diǎn)15 實(shí)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律探究】
【例15】（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)七年級(jí)期中）已知C32=3×21×2=3 ，C53=5×4×31×2×3=10，C64=6×5×4×31×2×3×4=15，……觀察以上計(jì)算過程，尋找規(guī)律計(jì)算C85的值為( ）
A．56B．54C．52D．50
【變式15-1】（2022·貴州銅仁·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）觀察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)： 250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示這組數(shù)的和是__________．
【變式15-2】（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期中）a是不為1的數(shù)，我們把11?a稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)為11?2=?1；已知a1=3，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，……以此類推，則a2018=____________．
【變式15-3】（2022·甘肅慶陽·八年級(jí)期末）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：1×2×3×4+1=52=12+3×1+12，
第2個(gè)等式：2×3×4×5+1=112=22+3×2+12，
第3個(gè)等式：3×4×5×6+1=192=32+3×3+12，
第4個(gè)等式：4×5×6×7+1=292=42+3×4+12，
…
按照以上規(guī)律，寫出第n個(gè)等式：______．（用含n的代數(shù)式表示）
【考點(diǎn)16 實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用】
【例16】（2022·福建龍巖·七年級(jí)期末）中國奇書《易經(jīng)》中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來計(jì)數(shù)，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿5進(jìn)1，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)．由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（ ）
A．10B．89C．165D．294
【變式16-1】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期中）用48米長的籬笆在空地上圍一個(gè)綠化場地，現(xiàn)有兩種設(shè)計(jì)方案：一種是圍成正方形場地，另一種是圍成圓形場地．選用哪一種方案圍成的場地的面積較大？并說明理由．
【變式16-2】（2022·上海靜安·七年級(jí)期中）如圖，在面積為2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以邊BC為直徑的半圓，則剩下的木料的面積為多少平方米？（π≈3.14，結(jié)果精確到0.1 ）
【變式16-3】（2022·浙江紹興·七年級(jí)期末）已知小正方形的邊長為1，在4×4的正方形網(wǎng)中．
（1）求S陰=_______________．
（2）在5×5的正方形網(wǎng)中作一個(gè)邊長為13的正方形．
專題11.2 實(shí)數(shù)十六大考點(diǎn)
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4462" 【考點(diǎn)1 求算術(shù)平方根、平方根、立方根】 PAGEREF _Tc4462 \h 1
\l "_Tc16513" 【考點(diǎn)2 利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值】 PAGEREF _Tc16513 \h 3
\l "_Tc13310" 【考點(diǎn)3 估算算術(shù)平方根的取值范圍】 PAGEREF _Tc13310 \h 5
\l "_Tc28182" 【考點(diǎn)4 求算術(shù)平方根的整數(shù)部分或小數(shù)部分】 PAGEREF _Tc28182 \h 7
\l "_Tc32277" 【考點(diǎn)5 與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc32277 \h 9
\l "_Tc24439" 【考點(diǎn)6 已知平方根、算術(shù)平方根或立方根，求該數(shù)】 PAGEREF _Tc24439 \h 11
\l "_Tc25248" 【考點(diǎn)7 利用平方根、立方根解方程】 PAGEREF _Tc25248 \h 13
\l "_Tc4327" 【考點(diǎn)8 已知平方根、算術(shù)平方根、立方根求參數(shù)】 PAGEREF _Tc4327 \h 16
\l "_Tc5567" 【考點(diǎn)9 平方根、算術(shù)平方根、立方根的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc5567 \h 18
\l "_Tc29536" 【考點(diǎn)9 實(shí)數(shù)、無理數(shù)的概念】 PAGEREF _Tc29536 \h 20
\l "_Tc1138" 【考點(diǎn)10 實(shí)數(shù)的大小比較】 PAGEREF _Tc1138 \h 22
\l "_Tc18445" 【考點(diǎn)11 實(shí)數(shù)與數(shù)軸】 PAGEREF _Tc18445 \h 24
\l "_Tc31421" 【考點(diǎn)12 程序框圖中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 PAGEREF _Tc31421 \h 26
\l "_Tc1114" 【考點(diǎn)13 新定義中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 PAGEREF _Tc1114 \h 29
\l "_Tc29672" 【考點(diǎn)14 實(shí)數(shù)的運(yùn)算】 PAGEREF _Tc29672 \h 32
\l "_Tc27577" 【考點(diǎn)15 實(shí)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc27577 \h 35
\l "_Tc11720" 【考點(diǎn)16 實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc11720 \h 37
【考點(diǎn)1 求算術(shù)平方根、平方根、立方根】
【例1】（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)期中）0.16的算術(shù)平方根是______，25的平方根是______．
【答案】 0.4 ±5
【分析】根據(jù)求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與平方根進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】0.16的算術(shù)平方根是0.4，25=5，則25的平方根是±5
故答案為：0.4，±5
【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與平方根，理解平方根與算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫a的平方根，其中屬于非負(fù)數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根．
【變式1-1】（2022·云南·景洪市第三中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算正確的是（ ）
A．31=±1B．?0.81=0.9C．9=±3D．(?3)2=3
【答案】D
【分析】直接利用立方根以及算術(shù)平方根的定義分別分析得出答案
【詳解】解：
A、31=1，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、?0.81=?0.9，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、9=3，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、(?3)2=3，故本選項(xiàng)符合題意
故選：D
【點(diǎn)睛】此題主要考查了立方根及算術(shù)平方根，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若m是169的正的平方根，n是121的負(fù)的平方根，求：
(1)m＋n的值；
(2)（m＋n）2的平方根．
【答案】(1)2
(2)±2
【分析】（1）根據(jù)平方根的定義求出m、n的值，然后代入計(jì)算即可求解；
（2）先求出（m＋n）2的值，然后再根據(jù)平方根的定義進(jìn)行求解．
（1）
∵±132=169，m是169的正的平方根，
∴m＝13，
∵（±11）2＝121，n是121的負(fù)的平方根，
∴n＝﹣11，
∴m+n＝13+（﹣11）＝2；
（2）
∵m+n＝2
∴（m+n）2＝4＝（±2）2，
∴（m+n）2的平方根是±2．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的定義，一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根，熟記一些常用的平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022·湖南·八年級(jí)單元測試）－27的立方根與9的平方根之和為（ ）
A．0B．6C．0或－6D．0或6
【答案】C
【分析】依據(jù)平方根和立方根求得這兩個(gè)數(shù)，然后利用加法法則計(jì)算即可．
【詳解】解：-27的立方根是-3，9的平方根是±3，
-3+3=0，-3+（-3）=-6．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是立方根和平方根，熟練掌握立方根和平方根的意義是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)2 利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值】
【例2】（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足(a﹣2)2+|2b+6|+5?c＝0．
(1)求實(shí)數(shù)a，b，c的值；
(2)求a?3b+c的平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝﹣3，c＝5
(2)a?3b+c的平方根為±2
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)性可知，(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，5?c＝0，求出a，b，c的值；
（2）由（1）得a＝2，b＝﹣3，c＝5，將a，b，c代入求解即可．
（1）
解：∵（a﹣2）2+|2b+6|+5?c＝0，
∴(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，5?c=0，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，c＝5；
（2）
解：由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
則a?3b+c＝2?3×(?3)+5＝4，而±4=±2，
故a?3b+c的平方根為±2．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性以及算術(shù)平方根的非負(fù)性，以及求一個(gè)數(shù)的平方根，熟練地運(yùn)用以上知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·全國·七年級(jí)）若y＝2x?1﹣1?2x+6x，則2x+2y?3的值為 _____．
【答案】2
【分析】根據(jù)被開方數(shù)非負(fù)性即可求出x、y的值，再代入計(jì)算即可．
【詳解】∵y＝2x?1﹣1?2x+6x，
∴2x?1≥01?2x≥0，解得x=12
∴y=3
∴2x+2y?3=2×12+2×3?3=4=2
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的非負(fù)性以及求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，熟記被開方數(shù)非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）若x?2+|y+7|+(z?7)2=0，則x?y+z的平方根為（ ）
A．±2B．4C．2D．±4
【答案】D
【分析】根據(jù)絕對(duì)值，平方，二次根式的非負(fù)性求出x，y，z，算出代數(shù)式的值計(jì)算即可；
【詳解】∵x?2+|y+7|+(z?7)2=0，
∴x?2=0y+7=0z?7=0，
解得x=2y=?7z=7，
∴x?y+z=2??7+7=16，
∴±16=±4；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的求解，結(jié)合絕對(duì)值、二次根式的非負(fù)性計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2022·廣東湛江·八年級(jí)期末）已知|2020﹣m|+m?2021＝m，求m﹣20202的值．
【答案】m﹣20202＝2021
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性確定a的范圍，進(jìn)而化簡絕對(duì)值，再根據(jù)平方根的定義求得代數(shù)式的值．
【詳解】解：∵m﹣2021≥0，
∴m≥2021，
∴2020﹣m≤0，
∴原方程可化為：m﹣2020+m?2021＝m，
∴m?2021＝2020，
∴m﹣2021＝20202，
∴m﹣20202＝2021．
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，化簡絕對(duì)值，平方根的定義，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性確定a的范圍化簡絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3 估算算術(shù)平方根的取值范圍】
【例3】（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用邊長為3的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)面積為18的大正方形，則大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念結(jié)合正方形的性質(zhì)得出其邊長，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵用邊長為3的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，
∴大正方形的面積為：9+9=18，
則大正方形的邊長為：18，
∵16

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6.3 實(shí)數(shù)

版本： 人教版

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