人教版八年級數(shù)學(xué)下冊重難點專題提升精講精練專題09矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定重難點題型專訓(xùn)(原卷版+解析)

這是一份人教版八年級數(shù)學(xué)下冊重難點專題提升精講精練專題09矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定重難點題型專訓(xùn)(原卷版+解析)，共130頁。
題型一 矩形的性質(zhì)與判定重難點題型
題型二 菱形的性質(zhì)與判定重難點題型
題型三 正方形的性質(zhì)與判定重難點題型
題型四 特殊平行四邊形中長度問題
題型五 特殊平行四邊形中角度問題
題型六 利用特殊平行四邊形的性質(zhì)求面積
題型七 中點四邊形
題型八 特殊平行四邊形的動點問題
題型九 四邊形中的線段最值問題
題型十 特殊平行四邊形中的折疊問題
題型十一 四邊形其他綜合問題
【經(jīng)典例題一 矩形的性質(zhì)與判定重難點題型】
知識點1：矩形的性質(zhì)
1.邊：對邊平行且相等；
2.角：四個角都是直角；
3.對角線：對角線相等且互相平分；
4.對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有兩條對稱軸.（對稱軸為矩形對邊中點所在的直線）
知識點2：矩形的判定
定義法：有一個角是直角的平行四邊形；
對角線相等的平行四邊形是矩形；
有三個角都是90°的四邊形是矩形.
【例1】（2022春·安徽蕪湖·八年級蕪湖市第二十九中學(xué)校考期中）如圖，矩形中，，點是上的一點，，的垂直平分線交的延長線于點，連接交于點．若是的中點，則的長是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2021春·貴州銅仁·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，∠BAD的平分線交BC于E，若，則∠COE=（ ）
A．45B．60C．75D．30
【變式2】（2021春·北京豐臺·八年級北京市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是矩形的邊上一點，，是對角線上任意一點，，，垂足分別為和，則一定與圖中哪條線段的長度相等：__．
【變式3】（2022秋·福建漳州·九年級福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，，點在上，四邊形是矩形，連接交于點，連接交于點F，給出下列結(jié)論：①平分；②；③；④若點是線段的中點，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號為____________．
【變式4】（2022秋·江西吉安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，是上一點，過點作的平行線交的平分線于點，交的外角的平分線于點．
(1)求證：．
(2)連接，，點可在上移動，若四邊形是矩形，則點在的什么位置？請說明理由．
【變式5】（2022春·陜西商洛·八年級?？计谀┤鐖D，等腰的直角頂點是矩形對角線的交點，與邊交于點．
(1)如圖1，當(dāng)與在同一條直線上時，求證：．
(2)如圖2，當(dāng)與在同一條直線上時，若，，求的長．.
【經(jīng)典例題二 菱形的性質(zhì)與判定重難點題型】
知識點1：菱形的性質(zhì)
1.邊：對邊平行，四條邊都相等
2.角：對角相等
3.對角線：
4.對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，對角線所在直線就是對稱軸
知識點2：菱形的判定
定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
四條邊都相等的四邊形是菱形
【例2】（2022秋·山東泰安·八年級?？计谀┤鐖D，在菱形中，，，E，F(xiàn)分別是邊上的動點，連接和，G，H分別為，的中點，連接，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）菱形中，，E，F(xiàn)分別是，上的動點，且，連接，交于G，則下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③的最小值為．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．①②③C．①③D．②③
【變式2】（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在菱形中，，，點是對角線上的一個動點．則的最小值等于_________．
【變式3】（2022秋·湖北黃石·九年級校考階段練習(xí)）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．
（1）計算： =________；
（2）當(dāng)點E、F在BC、CD上滑動時，△CEF的面積最大值是____________．
【變式4】（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市十三中教育集團（總校）?？奸_學(xué)考試）已知，如圖，在菱形中，為對角線，E是上的點，分別連結(jié)，并延長交于點F，交于點G．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
【變式5】（2022春·黑龍江鶴崗·八年級統(tǒng)考期末）已知是菱形的對角線，，點是直線上的一個動點，連接，以為邊作菱形，并且使，連接，當(dāng)點在線段上時，如圖，易證：．
(1)當(dāng)點在線段的延長線上時（如圖），猜想，，之間的關(guān)系并證明；
(2)當(dāng)點在線段的延長線上時（如圖），直接寫出，，之間的關(guān)系．
【經(jīng)典例題三 正方形的性質(zhì)與判定重難點題型】
知識點1：正方形的性質(zhì)
邊：對邊平行，四條邊都相等
角：四個角都是直角
對角線
對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸
正方形面積求法：（表示正方形的邊長，表示正方形的對角線）
注：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形
知識點2：正方形的判定
有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形
有一組鄰邊相等的矩形是正方形
對角線互相垂直的矩形是正方形
有一個角是直角的菱形是正方形
對角線相等的菱形是正方形
知識點3：四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系
【例3】（2021春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長為3，點M在延長線上，，作交延長線于點N，則的長為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形的邊長為4，是對角線上一點，于點，于點，連接，．給出下列結(jié)論：①；②四邊形的周長為8；③；④的最小值為2．其中正確結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式2】（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為6的正方形中，是中點，將沿翻折至，延長交于，則___________．
【變式3】（2022秋·山東青島·九年級?？计谀┤鐖D，在正方形中，E為的中點，F(xiàn)為的中點， 的延長線與的延長線交于點H，與相交于點G，若，則的長為________．
【變式4】（江西省九江市2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖，點E在正方形的邊上，連接，過點D作與的延長線相交于點F，連接與邊相交于點G，與對角線相交于點H，且．
(1)求的度數(shù)；
(2)求證：．
【變式5】（2021春·江蘇常州·八年級常州市清潭中學(xué)校考期中）已知：在中，為中線，以、為邊向的形外作正方形、正方形．
(1)如圖①，當(dāng)時，求證：．
(2)如圖②③，當(dāng)時，與有怎樣的關(guān)系？在圖②和圖③中可任選一個圖，證明你的結(jié)論．
【經(jīng)典例題四 特殊平行四邊形中長度問題】
【例4】（2023秋·河北保定·九年級?？计谀┤鐖D，矩形，點A在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點D也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點O的最大距離為（ ）
A．B．2C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·河南南陽·九年級期末）如圖，菱形的對角線相交于點O，點E在上，連接，點F為的中點，連接，若，，，則線段的長為（ ）
A．5B．C．D．6
【變式2】（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，E，F(xiàn)分別為邊，的中點，連接，，點G，H分別為，的中點，連接，則的長為______
【變式3】（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長為8，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為__．
【變式4】（2021春·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點是線段上一動點，點為的中點，的延長線交于點．
(1)求證：；
(2)若厘米，厘米，從點出發(fā)，以1厘米/秒的速度向運動（不與重合），設(shè)運動時間為秒，求為何值時，四邊形是菱形？
【變式5】（2023春·八年級單元測試）在平行四邊形中，，將沿翻折至，連接．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)在平行四邊形中，已知：，將沿翻折至，連接．若以A、C、D、為頂點的四邊形是矩形，求的長．
【經(jīng)典例題五 特殊平行四邊形中角度問題】
【例5】（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在菱形 中，，， 分別是邊 和 的中點， 于點 ，則 的度數(shù)是 （ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，相交于點，平分交于，若，則的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
【變式2】（2022春·山西臨汾·八年級校聯(lián)考期末）如圖，矩形的對角線相交于點，過點作，交于點，連接，若，則的度數(shù)是_________．
【變式3】（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊上有一點G，以為邊向右作長方形，沿翻折，點E的對應(yīng)點恰好落在線段上，若，則的度數(shù)為_______．
【變式4】（2022秋·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，菱形的對角線，相交于點，分別延長，到點，，使，依次連接,,,各點．
(1)求證：；
(2)若，則當(dāng) °時，四邊形是正方形．
【變式5】（2022春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知，長方形ABCD的點A在直線a上，B，C，D三點在平面上移動變化（長方形形狀大小始終保持不變），請根據(jù)如下條件解答：
(1)圖1，若點B、D在直線b上，點C在直線b的下方，∠2＝30°，則∠1＝______；
(2)圖2，若點D在直線a的上方，點C在平行直線a，b內(nèi)，點B在直線b的下方，m，n表示角的度數(shù)，請寫出m與n的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
(3)圖3，若點D在平行直線a，b內(nèi)，點B，C在直線b的下方，x，y表示角的度數(shù)，且滿足關(guān)系式，求x的度數(shù)．
【經(jīng)典例題六 利用特殊平行四邊形的性質(zhì)求面積】
【例6】（2022秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形和都是矩形且點B在上，若，，則矩形的面積是（ ）
A．2B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·陜西漢中·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，對角線相交于點O，平分交于點E，，連接，則下面的結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的是（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【變式2】（2022春·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校閼c祝建黨90周年，美化社區(qū)環(huán)境，某小區(qū)要修建一塊藝術(shù)草坪．如圖，該草坪依次由部分互相重疊的一些全等的菱形組成，且所有菱形的較長的對角線在同一條直線上，前一個菱形對角線的交點是后一個菱形的一個頂點，如菱形、、，要求每個菱形的兩條對角線長分別為和．
（1）若使這塊草坪的總面積是，則需要___個這樣的菱形；
（2）若有個這樣的菱形（，且為整數(shù)），則這塊草坪的總面積是___．
【變式3】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，，垂足為E，點F、G分別為邊AD、DC的中點，，則___________．
【變式4】（2022秋·吉林長春·八年級長春市解放大路學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，點D為中點．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度向終點B運動．當(dāng)點P不與點A、B重合時，過點P作線段的垂線，交折線于點E，以線段為邊向右作正方形，設(shè)與正方形重疊部分的面積為S，點P的運動時間為t．
(1)用含t的代數(shù)式表示線段的長度；
(2)當(dāng)點F落在線段上時，求t的值；
(3)用含t的代數(shù)式表示重疊部分的面積S；
(4)連結(jié)，當(dāng)線段所在直線與的邊垂直時，直接寫出t的值．
【變式5】（2022春·山東青島·七年級校考期末）如圖，E、F分別是AD和BC上的兩點，EF將四邊形ABCD分成兩個邊長為6cm的正方形，∠DEF＝∠EFB＝∠B＝∠D＝90°；點H是CD上一點，且CH＝2cm，點P從點H出發(fā)，沿HD以1cm/s的速度運動，同時點Q從點A出發(fā)，沿A→B→C以4cm/s的速度運動．任意一點先到達終點即停止運動．
(1)如圖1，點Q在AB上運動，①連接QP，當(dāng)t＝_______時，QP∥BC；②當(dāng)t＝______時，P點在AQ的垂直平分線上．
(2)如圖2，連接EP、EQ，若QE⊥EP，求出t的值；
(3)當(dāng)t＝_______時，△EPD的面積等于面積的．
【經(jīng)典例題七 中點四邊形】
知識點：中點四邊形
定義：依次連接任意一個四邊形各邊中點所得到的四邊形叫做中點四邊形.
常見結(jié)論
【例7】（2022春·安徽合肥·八年級?？计谥校┤鐖D，、、、分別是四邊形四條邊的中點，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（ ）
A．當(dāng)四邊形是矩形時，四邊形是菱形
B．當(dāng)四邊形是菱形時，四邊形是矩形
C．當(dāng)四邊形滿足時，四邊形是菱形
D．當(dāng)四邊形滿足，時，四邊形是矩形
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為菱形，，，連接四邊形中點得到四邊形EFGH，則四邊形EFGH的面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2022春·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，順次連接E、F、G、H．若，，則四邊形EFGH的面積為______．
【變式3】（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）將連接四邊形對邊中點的線段稱為“中對線”．凸四邊形ABCD的對角線AC＝BD＝4，且兩條對角線的夾角為60°，那么該四邊形較短的“中對線”的長度為___．
【變式4】（2021秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點四邊形．
(1)四邊形的形狀是______，請證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)四邊形的對角線滿足______條件時，四邊形是菱形；
(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點四邊形是菱形？請寫出一種．
【變式5】（2022秋·山西運城·九年級?？茧A段練習(xí)）定義：對于一個四邊形，我們把依次連接它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”．如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．
概念理解：
下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是_____________．
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性質(zhì)探究：
如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論；
問題解決：
如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；
拓展應(yīng)用：
如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點，
（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．
【經(jīng)典例題題八 特殊平行四邊形的動點問題】
【例8】（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D，長方形中，，點是射線上一動點(不與重合)，將沿著所在的直線折疊得到，連接，若為直角三角形，則的長為（ ）
A．1B．8C．1或8D．1或9
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2021春·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，點在邊上，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊作等邊，且點在矩形內(nèi)，連接，則的最小值為（ ）
A．3B．2C．1D．
【變式2】（2023秋·廣東·八年級校聯(lián)考期末）在長方形中，，，點E是邊上的一個動點，把沿BE折疊，點A落在處，當(dāng)是直角三角形時，的長為______．
【變式3】（2021春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，動點P從點A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段運動，動點Q從點D出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線段運動，已知P、Q同時開始移動，當(dāng)動點P到達D點時，P、Q同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒．若線段的中點為M，在整個運動過程中，寫出點M運動路徑的長度為___________．
【變式4】（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在中，為銳角，．動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿運動．同時，動點Q從點A出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿運動．當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點P的運動時間為t秒．
(1)點P在上運動時，______；點P在上運動時，______．（用含t的代數(shù)式表示）
(2)點P在上，∥時，求t的值．
(3)當(dāng)直線平分的面積時，求t的值．
(4)若點Q的運動速度改變?yōu)槊棵隺個單位．當(dāng)，的某兩個頂點與P、Q所圍成的四邊形為菱形時，直接寫出a的值．
【變式5】（2021春·四川成都·八年級?？计谥校┮阎涸谥校?，點D為直線上一動點（點D不與B、C重合），以為邊作正方形，連接．
(1)如圖1，當(dāng)點D在線段的延長線上時，請你判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(2)如圖1，若，請連接并求出的長．
(3)如圖2，當(dāng)點D在線段的反向延長線上時，且點A、F分別在直線的兩側(cè)，其它條件不變；若連接正方形對角線，交點為O，連接，探究的形狀，并說明理由．
【經(jīng)典例題九 四邊形中的線段最值問題】
【例9】（2021春·四川涼山·八年級?？计谥校┤鐖D所示，四邊形是正方形，邊長為6，點分別在軸、軸的正半軸上，點D在OA上，且點的坐標(biāo)為，是上一動點，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·江蘇揚州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，是的中點，點在上，點在上，且．下面四個結(jié)論中：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）有最小值，為．正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式2】（2022秋·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，將矩形沿直線折疊，使得點A恰好落在邊上的點G處，且點E、F分別在邊上（含端點），連接，當(dāng)取得最小值時，折痕的長為___________．
【變式3】（2022春·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，為邊上一動點，于，于，為中點，則的最小值為__．
【變式4】（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形中，點為邊的上一動點，作交、分別于、點，連接．
(1)若點為的中點，求證：點為的中點；
(2)若點為的中點，，，求的長；
(3)若正方形邊長為4，直接寫出的最小值________．
【變式5】（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）【推理】
如圖1，在邊長為10的正方形中，點是上一動點，將正方形沿著折疊，點落在點處，連結(jié)，，延長交于點，與交于點．
(1)求證：．
【運用】
(2)如圖2，在【推理】條件下，延長交于點．若，求線段DH的長．
【拓展】
(3)如圖3，在【推理】條件下，連結(jié)．則線段的最小值為 ．
【經(jīng)典例題十 特殊平行四邊形中的折疊問題】
【例10】（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，，點、分別在邊、上，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D是一張長方形紙片，點是對角線的中點，點在邊上，把沿直線折疊，使點落在對角線上的點處，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【變式2】（2022·黑龍江哈爾濱·?？级＃┤鐖D，矩形中，，M為的中點，把矩形沿著過點M的直線折疊，點A剛好落在邊上的點E處，則的長為 ___________．
【變式3】（2022秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形，，將矩形沿對角線折疊，點落在點處，連接，若三角形為等腰三角形，則______．
【變式4】（2023秋·河南鄭州·九年級校考期末）實踐與探究
操作一：如圖①，已知正方形紙片，將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABCD的內(nèi)部點M，再將紙片沿過點A的直線AF折疊，使與重合，此時______度．
操作二：如圖②，將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點N．當(dāng)點E在邊某一位置時，點N恰好落在折痕上，此時______度．
在圖②中，運用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：
（1）設(shè)與的交點為點P．求證：；
（2）若，則線段的長______．
【變式5】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點E為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．
(1)求證：．
(2)如圖2，E為的中點，連接．
①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．
【經(jīng)典例題十一 四邊形其他綜合問題】
【例11】（2022·遼寧營口·?？寄M預(yù)測）如圖，在正方形中，E是邊上的一點，，，將正方形邊沿折疊到，延長交于G，連接，，現(xiàn)在有如下4個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022·山東濟南·山東省實驗初級中學(xué)校考模擬預(yù)測）矩形紙片中，，，將紙片折疊，使點B落在邊上的處，折痕為．延長交的延長線于M，折痕上有點P，下列五個結(jié)論中正確的有（ ）
①；②；③；④；⑤若，則四邊形是菱形．
A．2B．3C．4D．5
【變式2】（2022秋·陜西西安·九年級校考階段練習(xí)）如圖，平面內(nèi)三點，，，，，以為對角線作正方形，連接，則的最大值是______．
【變式3】（2022秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，以直角三角形的三條邊為邊長，向形外分別作正方形，連接，其中正方形和正方形的面積分別為1和5，則長為_____．
【變式4】（2023秋·陜西西安·九年級西安市曲江第一中學(xué)?？计谀┰诹庑沃校?，是直線上一動點，以為邊向右側(cè)作等邊（，，按逆時針排列），點的位置隨點的位置變化而變化．
(1)如圖1，當(dāng)點在線段上，且點在菱形內(nèi)部或邊上時，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是________；
(2)如圖2，當(dāng)點在線段上，且點在菱形外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；
(3)當(dāng)點在直線上時，其他條件不變，連接，若，，請直接寫出的面積．
【變式5】（2021春·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D1，點是正方形對角線的延長線上任意一點，以線段為邊作一個正方形，線段和相交于點．
(1)求證：，．
(2)若，，求的長．
(3)如圖2，正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、，與的面積之差是否會發(fā)生變化？若不變，請求出與的面積之差；若變化，請說明理由．
原圖形
中點四邊形的形狀
任意四邊形
平行四邊形
矩形
菱形
菱形
矩形
正方形
正方形
對角線相等的四邊形
菱形
對角線垂直的四邊形
矩形
對角線垂直且相等的四邊形
正方形
專題09 矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定重難點題型專訓(xùn)
【題型目錄】
題型一 矩形的性質(zhì)與判定重難點題型
題型二 菱形的性質(zhì)與判定重難點題型
題型三 正方形的性質(zhì)與判定重難點題型
題型四 特殊平行四邊形中長度問題
題型五 特殊平行四邊形中角度問題
題型六 利用特殊平行四邊形的性質(zhì)求面積
題型七 中點四邊形
題型八 特殊平行四邊形的動點問題
題型九 四邊形中的線段最值問題
題型十 特殊平行四邊形中的折疊問題
題型十一 四邊形其他綜合問題
【經(jīng)典例題一 矩形的性質(zhì)與判定重難點題型】
知識點1：矩形的性質(zhì)
1.邊：對邊平行且相等；
2.角：四個角都是直角；
3.對角線：對角線相等且互相平分；
4.對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有兩條對稱軸.（對稱軸為矩形對邊中點所在的直線）
知識點2：矩形的判定
定義法：有一個角是直角的平行四邊形；
對角線相等的平行四邊形是矩形；
有三個角都是90°的四邊形是矩形.
【例1】（2022春·安徽蕪湖·八年級蕪湖市第二十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，點是上的一點，，的垂直平分線交的延長線于點，連接交于點．若是的中點，則的長是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
【答案】C
【分析】根據(jù)線段中點的定義可得CG=DG，然后利用“角邊角”證明△DEG和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=CF，EG=FG，設(shè)DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據(jù)矩形的對邊相等可得BC=AD．
【詳解】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中點，AB=，
∴CG=DG=CD=AB =×=，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG(ASA)，
∴DE=CF，EG=FG，
設(shè)DE=x，
則BF=BC+CF=AD+CF=AE+DE+DE=6+x+x=6+2x，
在Rt△DEG中，
，
∴，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴6+2x= ，
解得x=4，
經(jīng)檢驗：x=4是方程的解，
∴AD=AE+DE=6+4=10，
∴BC=AD=10．
故選C．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2021春·貴州銅仁·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，∠BAD的平分線交BC于E，若，則∠COE=（ ）
A．45B．60C．75D．30
【答案】A
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義得出，得出，再證，推出是等邊三角形，得出，等量代換得出，利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：∵ 四邊形ABCD是矩形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵ AE平分∠BAD，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
又∵ ，
∴是等邊三角形，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
故選A．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)的應(yīng)用，通過推導(dǎo)得出是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2021春·北京豐臺·八年級北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是矩形的邊上一點，，是對角線上任意一點，，，垂足分別為和，則一定與圖中哪條線段的長度相等：__．
【答案】或
【分析】連接，根據(jù)題意的面積等于與面積和，由可得，再由的面積等于，即可得出答案．
【詳解】證明：連接，如圖,
，，，
，
又四邊形是矩形，
，，
，
，
．
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及三角形面積計算，應(yīng)用等面積法列式計算是解決本題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022秋·福建漳州·九年級福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，，點在上，四邊形是矩形，連接交于點，連接交于點F，給出下列結(jié)論：①平分；②；③；④若點是線段的中點，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號為____________．
【答案】①②③④
【分析】①先說明是等腰三角形，再由矩形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②證明即可判斷；③過，垂足為，然后根據(jù)角平分線定理可得，再求得，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；④連接，然后證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角的和差即可判斷．
【詳解】解：①∵
∴是等腰三角形
∵四邊形是矩形
∴
∴平分，故①正確；
②∵，即
∴
∵∵，
∴
在和中
∴
∴，即②正確；
③過作，垂足為，
∵平分，
∴
∵，
∴
∴，即；故③正確；
④由②得，
∵為中點
∴
∵
∴
在和△中
∴
∴
∴是等腰三角形
∵
∴
∴，即
∴是等腰直角三角形，故④正確．
故答案為：①②③④．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及解直角三角形，勾股定理，考查知識點較多，靈活應(yīng)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵．
【變式4】（2022秋·江西吉安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，是上一點，過點作的平行線交的平分線于點，交的外角的平分線于點．
(1)求證：．
(2)連接，，點可在上移動，若四邊形是矩形，則點在的什么位置？請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)若四邊形是矩形，則為的中點時，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線和等腰三角形腰長相等性質(zhì)證明，進而可以解決問題；
（2）設(shè)定四邊形為矩形，由矩形的性質(zhì)得點為的中點．
【詳解】（1）證明：是的角平分線，
；
，
，
為等腰三角形，
，
同理：，
；
（2）解：若四邊形是矩形，則為的中點，理由如下：
四邊形為矩形，
，
為的中點，
答：若四邊形是矩形，則為的中點．
【點睛】考查了矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
【變式5】（2022春·陜西商洛·八年級?？计谀┤鐖D，等腰的直角頂點是矩形對角線的交點，與邊交于點．
(1)如圖1，當(dāng)與在同一條直線上時，求證：．
(2)如圖2，當(dāng)與在同一條直線上時，若，，求的長．.
【答案】(1)見解析；
(2)3.4
【分析】（1）連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，，，因為是直角三角形，所以是的垂直平分線，故，在中，，定理代換即可證得結(jié)論；
（2）連接，由（1）可知，，設(shè)，則，利用勾股定理求出的值即可．
【詳解】（1）證明：連接，
四邊形是矩形，
，，，
是直角三角形，
，
是的垂直平分線，
，
在中，，
；
（2）解：連接，
由（1）可知，，
設(shè)，則，
在菱形中，，，
在中，根據(jù)勾股定理得，
，
即，
解得，
．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理，熟記矩形的性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有； ②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等．
【經(jīng)典例題二 菱形的性質(zhì)與判定重難點題型】
知識點1：菱形的性質(zhì)
1.邊：對邊平行，四條邊都相等
2.角：對角相等
3.對角線：
4.對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，對角線所在直線就是對稱軸
知識點2：菱形的判定
定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
四條邊都相等的四邊形是菱形
【例2】（2022秋·山東泰安·八年級校考期末）如圖，在菱形中，，，E，F(xiàn)分別是邊上的動點，連接和，G，H分別為，的中點，連接，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】連接，得到是的中位線，，當(dāng)時，最小，得到最小值，則，證得是等腰直角三角形，求出即可．
【詳解】連接，如圖所示：
∵四邊形是菱形，
∴，
∵G，H分別為，的中點，
∴是的中位線，
∴，
當(dāng)時，最小，得到最小值，則，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即的最小值為．
故選：B．
【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）菱形中，，E，F(xiàn)分別是，上的動點，且，連接，交于G，則下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③的最小值為．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．①②③C．①③D．②③
【答案】B
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及，先證明是等邊三角形，再根據(jù)“”可得≌，進而可得，可說明是等邊三角形，在是等邊三角形中，要求最小，根據(jù)垂線段最短即可知當(dāng)時，最小，再通過勾股定理即可求出．
【詳解】∵四邊形是菱形，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴結(jié)論①正確；
∵，
∴．
∵，
∴，
即，
∴是等邊三角形，
∴結(jié)論②正確；
∵當(dāng)時，最小，
在中，，可知，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是，
∴結(jié)論③正確．
故選：B．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理等知識，充分利用含角的菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在菱形中，，，點是對角線上的一個動點．則的最小值等于_________．
【答案】
【分析】過點作交于點，連接，根據(jù)菱形的對稱性，得到，根據(jù)，得到，推出，得到，根據(jù)，推出，得到的最小值為
【詳解】解：過點作交于點，連接，
∵四邊形是菱形，
∴B、關(guān)于對稱，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為，
∵，，
∴，
∴的最小值為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了菱形，含30°的直角三角形，垂線段，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形性質(zhì)，含30°的直角三角形性質(zhì)，垂線段性質(zhì)．
【變式3】（2022秋·湖北黃石·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．
（1）計算： =________；
（2）當(dāng)點E、F在BC、CD上滑動時，△CEF的面積最大值是____________．
【答案】 6
【分析】（1）連接AC，證明，從而得到：，即可求出；
（2）利用，可以推出四邊形AECF的面積等于△ABC的面積，利用△CEF的面積等于△ABC的面積減去△AEF的面積，當(dāng)△AEF的面積面積最小時，即可求出△CEF的面積．
【詳解】解：（1）連接，
∵四邊形為菱形，
∴，
∴，
∴，
∵△AEF為等邊三角形，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴（ASA），
∴，
∴；
故答案為：6．
（2）∵
∴四邊形AECF的面積=，
∴，
∴當(dāng)最小時，最大，
根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時，最短，此時最小，
∵為等邊三角形，
∴當(dāng)時，，
，
∴，
同理可求：，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接菱形的對角線，構(gòu)造全等三角形．
【變式4】（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市十三中教育集團（總校）校考開學(xué)考試）已知，如圖，在菱形中，為對角線，E是上的點，分別連結(jié)，并延長交于點F，交于點G．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】(1)根據(jù)SAS證明后,再證明后，即可證明．
(2)連接交于點O,由菱形的性質(zhì)得出,結(jié)合，證明是等邊三角形，繼而得出,由直角三角形斜邊.上中線的性質(zhì)得出，即可求出的長度.
【詳解】（1）證明：如圖1，
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如圖2，連接交于點O，
∵四邊形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴ ，
∵，
∴，
∴
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識是解決問題的關(guān)鍵．
【變式5】（2022春·黑龍江鶴崗·八年級統(tǒng)考期末）已知是菱形的對角線，，點是直線上的一個動點，連接，以為邊作菱形，并且使，連接，當(dāng)點在線段上時，如圖，易證：．
(1)當(dāng)點在線段的延長線上時（如圖），猜想，，之間的關(guān)系并證明；
(2)當(dāng)點在線段的延長線上時（如圖），直接寫出，，之間的關(guān)系．
【答案】(1)，證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知可得是等邊三角形，進而證明，可得，根據(jù)，即可得證；
（2）方法同（1）證明，可得，根據(jù)，即可得證；
（1）
結(jié)論：，
理由如下：
四邊形是菱形，四邊形是菱形，
，，
，
是等邊三角形，
∴，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
；
（2）
結(jié)論：，
理由如下：理由如下：
四邊形是菱形，
，
，
是等邊三角形，
∴．
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題三 正方形的性質(zhì)與判定重難點題型】
知識點1：正方形的性質(zhì)
邊：對邊平行，四條邊都相等
角：四個角都是直角
對角線
對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸
正方形面積求法：（表示正方形的邊長，表示正方形的對角線）
注：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形
知識點2：正方形的判定
有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形
有一組鄰邊相等的矩形是正方形
對角線互相垂直的矩形是正方形
有一個角是直角的菱形是正方形
對角線相等的菱形是正方形
知識點3：四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系
【例3】（2021春·江蘇蘇州·八年級校考期中）如圖，正方形的邊長為3，點M在延長線上，，作交延長線于點N，則的長為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】如圖所示，在上取一點F，使得，連接，先證明得到，進而可以證明得到，設(shè)，則，，在中利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：如下圖所示，在上取一點F，使得，連接，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
設(shè)，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形的邊長為4，是對角線上一點，于點，于點，連接，．給出下列結(jié)論：①；②四邊形的周長為8；③；④的最小值為2．其中正確結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】由題意可得，，則四邊形是矩形，可以得出，，即可判定①②，連接，則有，要使最小，則為最小，根據(jù)點到直線垂線段最短即可求解．
【詳解】∵四邊形是正方形，且邊長為4，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴四邊形是矩形，、都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，故①錯誤；
∴，故②正確；
連接，如圖所示，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，，，
∴（SAS），
∴，故③正確；
要使最小，則為最小，則需滿足，
∴此時為等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∴，
∴的最小值為，故④錯誤；
綜上分析：正確的有2個，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為6的正方形中，是中點，將沿翻折至，延長交于，則___________．
【答案】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到，然后利用兩個三角形全等的判定得到，從而設(shè)，利用勾股定理得到方程，求解即可得到答案．
【詳解】解：連接，如圖所示：
在邊長為6的正方形中，是中點，將沿翻折至，
，
在和中，
，
，
，設(shè)，則，
在中，，
則由得，
，
即，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查求線段長，涉及折疊性質(zhì)、正方形性質(zhì)、直角三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定是解決問題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022秋·山東青島·九年級校考期末）如圖，在正方形中，E為的中點，F(xiàn)為的中點， 的延長線與的延長線交于點H，與相交于點G，若，則的長為________．
【答案】10
【分析】先證，從而證得，再由F為的中點， ，證得B為的中點，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而求得長．
【詳解】解：∵正方形，
∴，
又∵E為的中點，F(xiàn)為的中點，
∴，
∴，
在和中
，
∴
∴,
又∵，
∴，
∴,
又∵F為的中點，
∴,
∴，
故答案為：10．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式4】（江西省九江市2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖，點E在正方形的邊上，連接，過點D作與的延長線相交于點F，連接與邊相交于點G，與對角線相交于點H，且．
(1)求的度數(shù)；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）先證明，得到，則，再證明，根據(jù)，求出，則；
（2）在上取一點P，使，連接，證明，得到，再推出，進而證明是等邊三角形，得到，即可證明．
【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，且，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：在上取一點P，使，連接，
由（1）得，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)性質(zhì)、定理．
【變式5】（2021春·江蘇常州·八年級常州市清潭中學(xué)?？计谥校┮阎涸谥?，為中線，以、為邊向的形外作正方形、正方形．
(1)如圖①，當(dāng)時，求證：．
(2)如圖②③，當(dāng)時，與有怎樣的關(guān)系？在圖②和圖③中可任選一個圖，證明你的結(jié)論．
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可得，由“”可證，可得BC=FH，可得結(jié)論；
（2）由“”可證，可得，由“”可證，可得，，由三角形內(nèi)角和可證．
【詳解】（1）證明：∵以、為邊向的形外作正方形、正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，為中線，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如圖②，延長至M，使，連接，延長交于N，
∵為中線，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
圖③時同理可證．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題四 特殊平行四邊形中長度問題】
【例4】（2023秋·河北保定·九年級校考期末）如圖，矩形，點A在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點D也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點O的最大距離為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】取 的中點 ，連接 ， ，由勾股定理可求 的長，由直角三角形的性質(zhì)可求 的長，由三角形的三邊可求解．
【詳解】如圖，取的中點，連接，，
矩形，，，
，，
點是的中點，
，
，
，點是的中點，
，
在中，，
當(dāng)點在上時，，
的最大值為，
故選：A．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的三邊形關(guān)系，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·河南南陽·九年級期末）如圖，菱形的對角線相交于點O，點E在上，連接，點F為的中點，連接，若，，，則線段的長為（ ）
A．5B．C．D．6
【答案】B
【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)找到和，然后利用勾股定理計算出菱形的邊長的長，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，求出的長．
【詳解】已知菱形，對角線互相垂直平分，
∴，在中，
∵，，
∴根據(jù)勾股定理得，
∵，
∴，
在中，，
即菱形的邊長為，
∵點F為的中點，點O為中點，
∴ ．
故選：B
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、中位線的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形性質(zhì)，并能結(jié)合勾股定理、中位線的相關(guān)知識點靈活運用是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，E，F(xiàn)分別為邊，的中點，連接，，點G，H分別為，的中點，連接，則的長為______
【答案】
【分析】連接，延長交于點M，連接，由正方形的性質(zhì)，即可證得，可得，，再由勾股定可理可求得的長，根據(jù)三角形中位線定理即可求解．
【詳解】解：如圖：連接，延長交于點M，連接，
四邊形是正方形，
，，，
，，
為的中點，
，
，
，，
，
點H為的中點，
，
為的中點，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，正確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長為8，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為__．
【答案】5
【分析】由題意分析可知，點F為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點G的運動軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得最小值．
【詳解】解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接，過點作于，于，
又，
四邊形是矩形，
，
，
，
是等邊三角形，，
，，，
，
是等邊三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
當(dāng)時，有最小值，即有最小值，
點與點重合時，，
故答案為5．
【點睛】本題考查了線段極值問題，分清主動點和從動點，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點G的運動軌跡，是本題的關(guān)鍵．
【變式4】（2021春·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點是線段上一動點，點為的中點，的延長線交于點．
(1)求證：；
(2)若厘米，厘米，從點出發(fā)，以1厘米/秒的速度向運動（不與重合），設(shè)運動時間為秒，求為何值時，四邊形是菱形？
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)是矩形，得出，，再根據(jù)點為的中點，得出，得出，即可證出；
（2）根據(jù)已知條件得出的度數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求出的值．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵點為的中點，
∴，
又∵（對頂角相等），
∴，
∴.
（2）解：由題意可知，則，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得即，
解得，
∴當(dāng)時，四邊形是菱形．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，菱形的性質(zhì)，掌握知識點靈活運用是解題的關(guān)鍵．
【變式5】（2023春·八年級單元測試）在平行四邊形中，，將沿翻折至，連接．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)在平行四邊形中，已知：，將沿翻折至，連接．若以A、C、D、為頂點的四邊形是矩形，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)或
【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，再由折疊的性質(zhì)證明即可證明；
（2）根據(jù)等邊對等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理證明，即可證明；
（3）分兩種情況當(dāng)四邊形為矩形和四邊形為矩形，畫出對應(yīng)的圖形，利用矩形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
由折疊的性質(zhì)可知，
∴，，
∴，
∴，即；
（2）證明：∵，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴；
（3）解：分兩種情況：①如圖1所示：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴；
②如圖2所示：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
綜上所述：的長為或．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題五 特殊平行四邊形中角度問題】
【例5】（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在菱形 中，，， 分別是邊 和 的中點， 于點 ，則 的度數(shù)是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先延長交的延長線于點G．根據(jù)已知可得的度數(shù)，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得到的度數(shù)，從而不難求得的度數(shù)．
【詳解】延長交的延長線于點G．如圖所示：
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵F是邊的中點，
∴，
在與中，
∴
∴，
∴F為中點．
由題可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形為菱形，
∴，，
∵E，F(xiàn)分別為，的中點，
∴，，
∴；
故選：D．
【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，相交于點，平分交于，若，則的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由矩形的性質(zhì)得出OA=OB，再由角平分線得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=BE，證明△AOB是等邊三角形，得出∠ABO=60°，OB=AB，得出OB=BE，由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵∠DAO=30°，
∴∠EAO=15°，
∴∠BAO=45°+15°=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，OB=AB，
∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE，
∴∠BEO=×（180°-30°）=75°．
故選：D．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022春·山西臨汾·八年級校聯(lián)考期末）如圖，矩形的對角線相交于點，過點作，交于點，連接，若，則的度數(shù)是_________．
【答案】15°##15度
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)有DO=OA=OB=OC，結(jié)合OG⊥AC，可知OG是AC的垂直平分線，即有∠COG=90°，AG=CG，則有∠OAG=∠OCG，根據(jù)∠BOG=15°，可得∠COB=75°，進而有∠OCB、∠OBC的度數(shù)，則可得∠OCD=∠BCD-∠OCB=，即問題得解．
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，且AC、BD相互平分，，
∴DO=OA=OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵OG⊥AC，
∴OG是AC的垂直平分線，∠COG=90°，
∴AG=CG，
∴∠OAG=∠OCG，
∵，
∴∠OAG=∠OCD，
∵∠BOG=15°，∠COG=90°，
∴∠COB=75°，
∵∠OCB=∠OBC，
∴在△OBC中有∠OCB=∠OBC=，
∵在矩形ABCD中∠BCD=90°，
∴∠OCD=∠BCD-∠OCB=，
∴∠OCD=∠OAG=∠OCG=，
∴∠BCG=∠BCD-∠OCD-∠OCG=，
故答案為：15°．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OG是AC的垂直平分線是解答本題的關(guān)鍵．
【變式3】（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊上有一點G，以為邊向右作長方形，沿翻折，點E的對應(yīng)點恰好落在線段上，若，則的度數(shù)為_______．
【答案】18
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，得到點B，C，E三點共線，利用折疊的性質(zhì)得到，利用，，進行求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴點B，C，E三點共線，
∵沿翻折，點E的對應(yīng)點恰好落在線段上，
∴，
∵，
∴設(shè)，則，
∴，
∴，
∴∠EBF的度數(shù)為，
故答案為：．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識點，證明三點共線，是解題的關(guān)鍵．
【變式4】（2022秋·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，菱形的對角線，相交于點，分別延長，到點，，使，依次連接,,,各點．
(1)求證：；
(2)若，則當(dāng) °時，四邊形是正方形．
【答案】(1)見解析
(2)25
【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出 ，證出，由證明即可；
（2）由菱形的性質(zhì)得出，，，，證出，得出四邊形是菱形，證明是等腰直角三角形，得出，，證出四邊形是矩形，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，
，
，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：若，則當(dāng)時，四邊形是正方形．理由如下：
∵四邊形是菱形，
， ，，，
，
，
∴四邊形是平行四邊形，
又，∴四邊形是菱形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∴四邊形是矩形，
∴四邊形是正方形；
故答案為：25．
【點睛】本題考查了正方形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式5】（2022春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知，長方形ABCD的點A在直線a上，B，C，D三點在平面上移動變化（長方形形狀大小始終保持不變），請根據(jù)如下條件解答：
(1)圖1，若點B、D在直線b上，點C在直線b的下方，∠2＝30°，則∠1＝______；
(2)圖2，若點D在直線a的上方，點C在平行直線a，b內(nèi)，點B在直線b的下方，m，n表示角的度數(shù)，請寫出m與n的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
(3)圖3，若點D在平行直線a，b內(nèi)，點B，C在直線b的下方，x，y表示角的度數(shù)，且滿足關(guān)系式，求x的度數(shù)．
【答案】(1)60°
(2)m+n=90°
(3)50°
【分析】（1）利用互余關(guān)系，兩直線平行，內(nèi)錯角相等計算即可．
（2）過點C作CE∥a,根據(jù)平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)計算即可．
（3）結(jié)合（2），構(gòu)造方程組計算即可．
(1)
如圖1，∵a∥b，
∴∠1=∠3，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=90°-∠2，
∴∠1=90°-∠2，
∵∠2=30°，
∴∠1=60°．
(2)
過點C作CE∥a,設(shè)度數(shù)為m的角為α，度數(shù)為n的角為β，
∵a∥b，
∴CE∥b,
∴∠1=∠4，∴∠2=∠α，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD∥AB, ∠2+∠1=90°，
∴∠4=∠β，
∴∠α+∠β=90°，
故m+n=90°．
(3)
如圖3，過點D作c∥a,設(shè)度數(shù)為x的角為α，度數(shù)為y的角為β，
∵a∥b，
∴c∥b,
∴∠6=∠7，∴∠5=∠α，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6=∠β，
∴∠α+∠β=90°，
故x+y=90°,
∵x-y=10°，
解得x=50°．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題六 利用特殊平行四邊形的性質(zhì)求面積】
【例6】（2022秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形和都是矩形且點B在上，若，，則矩形的面積是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】如圖所示，連接，利用勾股定理求出進而求出，根據(jù)平行線間間距相等和矩形的性質(zhì)可得，則．
【詳解】解：如圖所示，連接，
四邊形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
故選D．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·陜西漢中·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，對角線相交于點O，平分交于點E，，連接，則下面的結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的是（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】B
【分析】由矩形的性質(zhì)可得，可證是等邊三角形，可得，故①正確；在中，由勾股定理可求得，故②錯誤；可證，可求，故③錯誤；由，可得，故④正確；由三角形的面積公式可求得故⑤正確；即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴，故①正確；
在中，
，
∴故②錯誤；
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③錯誤；
∵，
∴，故④正確；
∵，
∴
∵
∴，故⑤正確；
∴正確的有①④⑤共3個．
故選：B．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022春·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校閼c祝建黨90周年，美化社區(qū)環(huán)境，某小區(qū)要修建一塊藝術(shù)草坪．如圖，該草坪依次由部分互相重疊的一些全等的菱形組成，且所有菱形的較長的對角線在同一條直線上，前一個菱形對角線的交點是后一個菱形的一個頂點，如菱形、、，要求每個菱形的兩條對角線長分別為和．
（1）若使這塊草坪的總面積是，則需要___個這樣的菱形；
（2）若有個這樣的菱形（，且為整數(shù)），則這塊草坪的總面積是___．
【答案】 4
【分析】（1）利用菱形的對角線互相垂直平分，可分別作出四個滿足條件的菱形，另外菱形重合的部分也是菱形，并且這些小菱形的對角線分別為2，3，結(jié)合菱形的面積對角線另一條對角線，即可求出圖形的面積和需要的菱形個數(shù)；
（2）由（1）可知若有個這樣的菱形，且為整數(shù)），則這塊草坪的總面積．
【詳解】解：（1）每個菱形的兩條對角線長分別為和．
小菱形的對角線分別為2，3，
菱形的面積對角線另一條對角線，
占地面積為，
，
則需要 4個這樣的菱形；
（2）當(dāng)有一個這樣的菱形，則草坪的面積為，
當(dāng)有2個這樣的菱形，則草坪的面積為，
依此類推
若有個這樣的菱形，且為整數(shù)），則這塊草坪的總面積是．
故答案為：4；．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和菱形的面積公式，掌握菱形的性質(zhì)和菱形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，，垂足為E，點F、G分別為邊AD、DC的中點，，則___________．
【答案】96
【分析】連接，交于點，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)三角形的中位線定理可得，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可得，最后利用菱形的面積公式即可得．
【詳解】解：如圖，連接，交于點，
，且點為邊的中點，
，
點分別為邊的中點，，
，
四邊形是菱形，
，
，
，
，
故答案為：96．
【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形的中位線定理、勾股定理、菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式4】（2022秋·吉林長春·八年級長春市解放大路學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，點D為中點．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度向終點B運動．當(dāng)點P不與點A、B重合時，過點P作線段的垂線，交折線于點E，以線段為邊向右作正方形，設(shè)與正方形重疊部分的面積為S，點P的運動時間為t．
(1)用含t的代數(shù)式表示線段的長度；
(2)當(dāng)點F落在線段上時，求t的值；
(3)用含t的代數(shù)式表示重疊部分的面積S；
(4)連結(jié)，當(dāng)線段所在直線與的邊垂直時，直接寫出t的值．
【答案】(1)當(dāng)時，；當(dāng)時，
(2)
(3)當(dāng)時，；當(dāng) 時，；當(dāng)時，
(4)或2或1
【分析】（1）分點在線段和在線段上兩種情況進行討論，利用等腰直角三角形的性質(zhì)進行求解即可；
（2）根據(jù)題意，分別用含的代數(shù)式表示出，利用進行求解即可；
（3）分，，三種情況討論，利用面積公式進行計算即可；
（4）分，三種情況進行討論，畫出相應(yīng)圖形，根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，得到線段之間的等量關(guān)系進行求解即可．
【詳解】（1）∵等腰直角三角形，
∴，
∵，點為中點，
∴，
當(dāng)時，點在上，
∵，，
∴，
當(dāng)時，點在上時，
∵，
∴，
∵，
∴；
綜上所述：當(dāng)時，；當(dāng)時，；
（2）當(dāng)點上時，點在上，如圖：
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）當(dāng)時，正方形在的內(nèi)部，
∴；
當(dāng)時，如圖：設(shè)交于點，
∵，
∴
∴，
∴
；
當(dāng)時，如圖：
，
；
綜上所述：當(dāng)時，；當(dāng) 時，；當(dāng)時，；
（4）當(dāng)時，如圖：
則：，
∴，
∴，
解得﹔
當(dāng)時，此時在線段上，且是正方形的對角線，
∵，
又∵，
∴點與點重合，
∴，
∴；
當(dāng)時，此時在直線上，與點重合，如圖
∴，
∴，
∴
綜上所述：的值為或2或1．
【點睛】本題考查幾何的綜合應(yīng)用．重點考查了等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想進行求解是解題的關(guān)鍵．
【變式5】（2022春·山東青島·七年級校考期末）如圖，E、F分別是AD和BC上的兩點，EF將四邊形ABCD分成兩個邊長為6cm的正方形，∠DEF＝∠EFB＝∠B＝∠D＝90°；點H是CD上一點，且CH＝2cm，點P從點H出發(fā)，沿HD以1cm/s的速度運動，同時點Q從點A出發(fā)，沿A→B→C以4cm/s的速度運動．任意一點先到達終點即停止運動．
(1)如圖1，點Q在AB上運動，①連接QP，當(dāng)t＝_______時，QP∥BC；②當(dāng)t＝______時，P點在AQ的垂直平分線上．
(2)如圖2，連接EP、EQ，若QE⊥EP，求出t的值；
(3)當(dāng)t＝_______時，△EPD的面積等于面積的．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)或
【分析】（1）①根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，據(jù)此建立方程，解方程即可得；
②如圖（見解析），根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)可得，據(jù)此建立方程，解方程即可得；
（2）先根據(jù)三角形全等的判定證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，據(jù)此建立方程，解方程即可得；
（3）先根據(jù)點的運動速度和路徑求出，再分①，②和③三種情況，分別根據(jù)面積關(guān)系建立方程，解方程即可得．
（1）
解：①由題意得：，
如圖，當(dāng)時，則，
四邊形是長方形，
，即，
解得，
故答案為：；
②如圖，當(dāng)點在的垂直平分線上時，
則，
，
解得，
故答案為：．
（2）
解：由題意得：，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得．
（3）
解：點從點運動到點所需時間為，從點運動到點所需時間為，從點運動到點所需時間為；點從點運動到點所需時間為，
則，
分以下三種情況：
①如圖，當(dāng)點在上運動時，即，
過點作于點，則，
的面積為，
的面積為，
的面積等于的面積的，
，
解得（不符題意，舍去）；
②如圖，當(dāng)點在上運動時，即，
由（2）已得：，
則的面積為，
的面積等于的面積的，
，
解得，符合題設(shè)；
③如圖，當(dāng)點在上運動時，即，
此時，
則的面積為，
的面積等于的面積的，
，
解得，符合題設(shè)；
綜上，當(dāng)或時，的面積等于的面積的，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題七 中點四邊形】
知識點：中點四邊形
定義：依次連接任意一個四邊形各邊中點所得到的四邊形叫做中點四邊形.
常見結(jié)論
【例7】（2022春·安徽合肥·八年級?？计谥校┤鐖D，、、、分別是四邊形四條邊的中點，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（ ）
A．當(dāng)四邊形是矩形時，四邊形是菱形
B．當(dāng)四邊形是菱形時，四邊形是矩形
C．當(dāng)四邊形滿足時，四邊形是菱形
D．當(dāng)四邊形滿足，時，四邊形是矩形
【答案】C
【分析】先證四邊形EFGH是平行四邊形；再根據(jù)選項條件結(jié)合矩形、菱形的判定定理進行判斷即可．
【詳解】解：，分別是，的中點，
，，
，分別是，的中點，
，，
，，
四邊形是平行四邊形；
，分別是，的中點，、分別是、中點，
，，
當(dāng)四邊形是矩形時，，
，
四邊形是菱形，故A正確，不符合題意；
當(dāng)四邊形是菱形時，，
，，
，
四邊形是菱形，故B正確，不符合題意；
當(dāng)四邊形滿足時，不能證明四邊形是菱形，故C錯誤，符合題意；
當(dāng)四邊形滿足，時，
∵，，
∴AC是BD的垂直平分線，即
∵，
∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90°
∴四邊形是矩形，故D正確，不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了中點四邊形，靈活利用矩形、菱形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為菱形，，，連接四邊形中點得到四邊形EFGH，則四邊形EFGH的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】連接AC、BD交于點O， 由三角形的中位線結(jié)合菱形的性質(zhì)可證明中點四邊形EFGH為矩形， 即可得，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)可求解AC，BD的長，進而可求解．
【詳解】解：連接AC、BD交于點O，
∵E，F(xiàn)，G，H分別是AD，AB，BC，CD的中點，
∴
∴EF=GH，EH=FG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAC=60°，
∴AC⊥BD，∠BAC=30°，AC=2AO，BD=2BO，
∴EF⊥EH，即∠FEH=90°，
∴四邊形EFGH為矩形，
∵
故選：D．
【點睛】本題主要考查中點四邊形， 菱形的性質(zhì)， 矩形的性質(zhì)與判定， 等知識點的理解和掌握， 證明四邊形EFGH為矩形是解此題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022春·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，順次連接E、F、G、H．若，，則四邊形EFGH的面積為______．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，由可得是菱形，邊長為2，由，可得，則，是等邊三角形，進而即可求解．
【詳解】解：點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，，
，，
，
四邊形是菱形，
，
∴，
，
連接，則是等邊三角形，
四邊形EFGH的面積為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了中點四邊形，三角形中位線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，求得是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）將連接四邊形對邊中點的線段稱為“中對線”．凸四邊形ABCD的對角線AC＝BD＝4，且兩條對角線的夾角為60°，那么該四邊形較短的“中對線”的長度為___．
【答案】2
【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得菱形EFGH，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：如圖，設(shè)兩條對角線AC、BD的夾角為60°，取四邊的中點并連接起來，設(shè)AC與EH交點M．
∴EH是三角形ABD的中位線，
∴EH＝BD＝2，EHBD，
同理，F(xiàn)G＝BD＝2，F(xiàn)GBD，EF＝AC＝2，EFAC，HG＝AC＝2，HGAC，
∴EHHGAC，EF＝FG＝HG＝HE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵EH＝BD＝2，EHBD，
∴∠AOB＝60°＝∠AME，
∵FEAC，
∴∠FEH＝∠AME＝60°，
∴△HEF為等邊三角形，
∴HF＝EH＝2，
∴較短的“中對線”長度為2．
故答案為：2．
【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，理解題意，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式4】（2021秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點四邊形．
(1)四邊形的形狀是______，請證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)四邊形的對角線滿足______條件時，四邊形是菱形；
(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點四邊形是菱形？請寫出一種．
【答案】(1)平行四邊形．證明見解析
(2)；
(3)矩形的中點四邊形是菱形．
【分析】（1）連接，根據(jù)三角形的中位線定理得到，，，，推出，，，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形是平行四邊形；
（2）根據(jù)有一組是鄰邊的平行四邊形是菱形，可知當(dāng)四邊形的對角線滿足的條件時，四邊形是菱形；
（3）矩形的中點四邊形是菱形．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得，，再根據(jù)矩形對角線相等，然后根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形．
【詳解】（1）四邊形的形狀是平行四邊形．理由如下：
如圖，連接．
、分別是、中點，
，，
同理，，
，，
四邊形是平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；
（2）當(dāng)四邊形的對角線滿足的條件時，四邊形是菱形．理由如下：
如圖，連接、．
、、、分別為四邊形四條邊上的中點，
，，，，
，
，
又四邊形是平行四邊形
平行四邊形是菱形；
故答案為：；
（3）矩形的中點四邊形是菱形．理由如下：
連接、．
、、、分別為四邊形四條邊上的中點，
，，，，，，
四邊形是矩形，
，
，
四邊形是菱形．
【點睛】本題主要考查對三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，熟練掌握各定理是解決此題的關(guān)鍵．
【變式5】（2022秋·山西運城·九年級?？茧A段練習(xí)）定義：對于一個四邊形，我們把依次連接它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”．如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．
概念理解：
下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是_____________．
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性質(zhì)探究：
如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論；
問題解決：
如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；
拓展應(yīng)用：
如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點，
（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．
【答案】概念理解：D；性質(zhì)探究：①，②；問題解決：見解析；拓展應(yīng)用：（1），理由見解析；（2）
【分析】概念理解：根據(jù)定義“中方四邊形”，即可得出答案；
性質(zhì)探究：由四邊形ABCD是“中方四邊形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，利用三角形中位線定理即可得出答案；
問題解決：如圖2，取四邊形BCGE各邊中點分別為P、Q、R、L并順次連接成四邊形MNRL，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，利用三角形中位線定理可證得四邊形MNRL是平行四邊形，再證得△EAC≌△BAG（SAS），推出?MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可證得結(jié)論；
拓展應(yīng)用：（1）如圖3，分別作AD、BC的中點E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，可得四邊形ENFM是正方形，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）如圖4，分別作AD、BC的中點E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，連接BD交AC于O，連接OM、ON，當(dāng)點O在MN上（即M、O、N共線）時，OM+ON最小，最小值為MN的長，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可求得答案．
【詳解】解：概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四邊形”，理由如下：
因為正方形的對角線相等且互相垂直，
故選：D；
性質(zhì)探究：①AC=BD，②AC⊥BD；
理由如下：如圖1，
∵四邊形ABCD是“中方四邊形”，
∴EFGH是正方形且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，
∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC，
∴AC⊥BD，AC=BD，
故答案為：AC⊥BD，AC=BD；
問題解決：如圖2，取四邊形BCGE各邊中點分別為M、N、R、L并順次連接成四邊形MNRL，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，
∵四邊形BCGE各邊中點分別為M、N、R、L，
∴MN、NR、RL、LM分別是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位線，
∴MNBG，MN=BG，
RLBG，RL=BG，
RNCE，RN=CE，
MLCE，ML=CE，
∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML，
∴四邊形MNRL是平行四邊形，
∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
又∵∠BAC=∠BAC，
∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，
即∠EAC=∠BAG，
在△EAC和△BAG中，
，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，
又∵RL=BG，RN=CE，
∴RL=RN，
∴?MNRL是菱形，
∵∠EAB=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°．
又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK=90°，
∴∠BKP=90°，
又∵MNBG，MLCE，
∴∠LMN=90°，
∴菱形MNRL是正方形，即原四邊形BCGE是“中方四邊形”；
拓展應(yīng)用：（1）MN=AC，理由如下：
如圖3，分別作AD、BC的中點E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，
∵四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點，
∴四邊形ENFM是正方形，
∴FM=FN，∠MFN=90°，
∴MN===FM，
∵M，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，
∴FM=AC，
∴MN=AC；
（2）如圖4，分別作AD、BC的中點E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，
連接BD交AC于O，連接OM、ON，
當(dāng)點O在MN上（即M、O、N共線）時，OM+ON最小，最小值為MN的長，
∴2（OM+ON） 2MN，
由性質(zhì)探究②知：AC⊥BD，
又∵M，N分別是AB，CD的中點，
∴AB=2OM，CD=2ON，
∴2（OM+ON）=AB+CD，
∴AB+CD2MN，
由拓展應(yīng)用（1）知：MN=AC；
又∵AC=2，
∴MN=，
∴AB+CD的最小值為2．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短等知識，理解“中方四邊形”的定義并運用是本題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題題八 特殊平行四邊形的動點問題】
【例8】（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D，長方形中，，點是射線上一動點(不與重合)，將沿著所在的直線折疊得到，連接，若為直角三角形，則的長為（ ）
A．1B．8C．1或8D．1或9
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，分為兩種情況，一種是點在線段上，另一種是點在的延長線上，利用勾股定理分別求解即可．
【詳解】解：①當(dāng)點在線段上時，如圖1所示：
，
，，三點共線，
，
，
，
；
②當(dāng)點在的延長線上時，如圖2所示：
，，，
，
設(shè)，則，
，
，
，解得，
，
綜上所述，的值為1或9，
故答案為：D．
【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確進行分類討論．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2021春·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，點在邊上，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊作等邊，且點在矩形內(nèi)，連接，則的最小值為（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】B
【分析】以為邊作等邊三角形，過點H作于N，于M，可證四邊形是矩形，可證，由“”可證，可得，當(dāng)時，有最小值，即有最小值，即可求解．
【詳解】解：如圖，以為邊作等邊三角形，過點H作于N，于M，
又∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∵是等邊三角形，，
∴，，，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴當(dāng)時，有最小值，即有最小值，
∴點F與點M重合時，，
故選B．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2023秋·廣東·八年級校聯(lián)考期末）在長方形中，，，點E是邊上的一個動點，把沿BE折疊，點A落在處，當(dāng)是直角三角形時，的長為______．
【答案】
【分析】由勾股定理求得，當(dāng)在上時，是直角三角形，設(shè)，由翻折的性質(zhì)和勾股定理求得．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，，
， ，
當(dāng)在上時，是直角三角形，如圖1所示：
設(shè)，
由翻折的性質(zhì)得：，
，
，
在中，
，
解得：，即
【點睛】本題考查了翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識．
【變式3】（2021春·江蘇蘇州·八年級校考期中）如圖，矩形中，，，動點P從點A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段運動，動點Q從點D出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線段運動，已知P、Q同時開始移動，當(dāng)動點P到達D點時，P、Q同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒．若線段的中點為M，在整個運動過程中，寫出點M運動路徑的長度為___________．
【答案】
【分析】分類討論點Q在線段上和點Q在線段上時點M的軌跡，計算出軌跡即可．
【詳解】解：①如圖，點Q在線段上，過點O作于點K，過點Q作于點H，
矩形，
，
，
，
，
，
，
，
點M在線段上，當(dāng)點P到達K點時，點Q到達O點，此時點M在點E處，
這時段點M的運動軌跡為；
②如圖，點Q在線段上，取的中點，的中點M，連接，則點M的運動軌跡是線段，
在中，．
在整個過程中，點M的運動軌跡的長度為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是找到點Q和點P的軌跡之間的關(guān)系．
【變式4】（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在中，為銳角，．動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿運動．同時，動點Q從點A出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿運動．當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點P的運動時間為t秒．
(1)點P在上運動時，______；點P在上運動時，______．（用含t的代數(shù)式表示）
(2)點P在上，∥時，求t的值．
(3)當(dāng)直線平分的面積時，求t的值．
(4)若點Q的運動速度改變?yōu)槊棵隺個單位．當(dāng)，的某兩個頂點與P、Q所圍成的四邊形為菱形時，直接寫出a的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）分為點P在BC上或點P在上兩種情況解題即可；
（2）當(dāng)點P在上，點Q在上時，可得四邊形是平行四邊形，從而即可解題；
（3）過平行四邊形的中心時，平分四邊形的面積，即與關(guān)于的對稱中心對稱或和關(guān)于的對稱中心對稱，進而得出結(jié)果；
（4）可得，則點P在上，點Q在上時，分為四邊形和為菱形時解題即可．
【詳解】（1）當(dāng)點P在BC上時，
∵，
∴，
當(dāng)點P在上時，
，
故答案為：，
（2）解：當(dāng)點P在上，點Q在上時，，
，
∴四邊形是平行四邊形，
，
∴，
∴；
（3）解：當(dāng)時，
當(dāng)時，直線平分四邊形的面積，
∴，
∴，
當(dāng)時，
當(dāng)時，直線平分四邊形的面積，
∴，
∴，
綜上所述，或時，直線平分四邊形的面積；
（4）∵當(dāng)
，
點P在上，點Q在上，
①當(dāng)四邊形為菱形時，
此時，
∴，
∴，
②當(dāng)四邊形為菱形時，
此時，
∴，
∴，
∴這種情況不存在，
∴．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是弄清運動過程，找出符合條件的點的位置．
【變式5】（2021春·四川成都·八年級?？计谥校┮阎涸谥?，，點D為直線上一動點（點D不與B、C重合），以為邊作正方形，連接．
(1)如圖1，當(dāng)點D在線段的延長線上時，請你判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(2)如圖1，若，請連接并求出的長．
(3)如圖2，當(dāng)點D在線段的反向延長線上時，且點A、F分別在直線的兩側(cè)，其它條件不變；若連接正方形對角線，交點為O，連接，探究的形狀，并說明理由．
【答案】(1)，理由見解析
(2)；
(3)是等腰三角形，理由見解析
【分析】（1）設(shè)法證明即可求解；
（2）與（1）同理證明，可得，，然后結(jié)合圖形可得，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)鄰補角的定義求出，再根據(jù)同角的余角相等求出，然后利用“邊角邊”證明，再求出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出，再根據(jù)正方形的對角線相等求出，從而得到是等腰三角形．
【詳解】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴，
∵，則，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：是等腰三角形，理由如下，
∵，
∴，
則，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
則為直角三角形，
∵正方形中，O為中點，
∴，
∵在正方形中，，，
∴，
∴是等腰三角形．
【點睛】本題考查了四邊形的綜合題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性質(zhì)，此類題目通常都是用同一種思路求解，在（1）中找出證明三角形全等的思路是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題九 四邊形中的線段最值問題】
【例9】（2021春·四川涼山·八年級?？计谥校┤鐖D所示，四邊形是正方形，邊長為6，點分別在軸、軸的正半軸上，點D在OA上，且點的坐標(biāo)為，是上一動點，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】要求和的最小值，，不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化，的值，從而找出其最小值求解．
【詳解】解：連接，交于，則就是和的最小值，
∵再直角中，，，，
∴，
∴，
∴和的最小值是，
故選：B．
【點睛】本題考查了最短路徑問題，涉及了正方形的性質(zhì)、軸對稱、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是對這些知識的理解與綜合應(yīng)用．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·江蘇揚州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，是的中點，點在上，點在上，且．下面四個結(jié)論中：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）有最小值，為．正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)知，結(jié)合是的中點知且，繼而得，結(jié)合即可證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，即可判斷（1）（2）（3），根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)，時，值最小，根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定得出，求出即可．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，，
∵點是的中點，
∴，，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，故結(jié)論（1）正確；
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故結(jié)論（2）正確；
∵，
∴，
∵是的中點，，，
∴，
∴，故結(jié)論（3）正確；
當(dāng)，時，、分別取小值，
∵，
∴，此時的值最小，
又∵，
∴四邊形是矩形，
∴，故結(jié)論（4）正確；
綜上所述，正確的個數(shù)是4個．
故選：D．
【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定，垂線段最短等知識點．綜合運用定理進行推理是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022秋·陜西西安·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，將矩形沿直線折疊，使得點A恰好落在邊上的點G處，且點E、F分別在邊上（含端點），連接，當(dāng)取得最小值時，折痕的長為___________．
【答案】
【分析】由時的值最小，即此時能取得最小值，顯然四邊形是正方形，從而根據(jù)勾股定理可得答案．
【詳解】解：由折疊易知：，
∵當(dāng)時，的值最小，
∴此時能取得最小值，
又∵當(dāng)時，點E與點B重合，如圖所示：
∵四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
根據(jù)折疊可知，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴折痕．
故答案為：．
【點睛】本題考查了折疊變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022春·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）如圖，在中，，，，為邊上一動點，于，于，為中點，則的最小值為__．
【答案】
【分析】先根據(jù)矩形的判定得出是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，互相平分，且，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出時，的值最小，即的值最小，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
，，，
，
于，于，
四邊形是矩形，
，互相平分．且，
，的交點就是點．
當(dāng)?shù)闹底钚r，的值就最小，
當(dāng)時，的值最小，即的值最?。?br>，
，
，，，
，
，
；
故答案為：．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，垂線段最短的性質(zhì)的運用，解答時求出的最小值是關(guān)鍵．
【變式4】（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形中，點為邊的上一動點，作交、分別于、點，連接．
(1)若點為的中點，求證：點為的中點；
(2)若點為的中點，，，求的長；
(3)若正方形邊長為4，直接寫出的最小值________．
【答案】(1)見解析
(2)2
(3)
【分析】（1）由，推出，由，，推出，即可證明F點為的中點；
（2）延長到N，使得，連接，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．
（3）取的中點M，連接，，由直角三角形的性質(zhì)求出，由勾股定理求出，當(dāng)C、P、M共線時，的值最小，則可求出答案．
【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵點為的中點，
∵，
∵，
∴，
∴F點為的中點；
（2）延長到，使得，連接，

∵，
∴．
∵點為的中點，
∴由（1）可知，
∵在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）取的中點M，連接，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴C、P、M共線時，的值最小，最小值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．
【變式5】（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）【推理】
如圖1，在邊長為10的正方形中，點是上一動點，將正方形沿著折疊，點落在點處，連結(jié)，，延長交于點，與交于點．
(1)求證：．
【運用】
(2)如圖2，在【推理】條件下，延長交于點．若，求線段DH的長．
【拓展】
(3)如圖3，在【推理】條件下，連結(jié)．則線段的最小值為 ．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用證明，得；
（2）連接，利用等角對等邊證明，設(shè)，則，由勾股定理得，，解方程即可；
（3）取的中點，連接，，利用勾股定理求出，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得的長，再利用三角形三邊關(guān)系可得答案．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵正方形沿折疊，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：連接，
∵正方形沿折疊，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
由勾股定理得，，
解得，
∴；
（3）解：取的中點，連接，，
則，，
∵，為的中點，
∴，
∵，
∴的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系等知識，運用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題十 特殊平行四邊形中的折疊問題】
【例10】（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，，點、分別在邊、上，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)和正方形及勾股定理的有關(guān)性質(zhì)求解．
【詳解】解：在正方形中，，，，
，
，
，
，
，
又，，
，，
，
故選：B．
【點睛】本題考查了翻折及正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D是一張長方形紙片，點是對角線的中點，點在邊上，把沿直線折疊，使點落在對角線上的點處，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由折疊的性質(zhì)可得，從而得到，進而得到，繼而得到，再由三角形外角的性質(zhì)可得，，從而得到，設(shè)，則，，再由，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
在長方形中，，
∵點是對角線的中點，
∴，
∴，
∵沿直線折疊，使點落在對角線上的點處，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∵，
∴，解得：，
即．
故選：C
【點睛】本題主要考查了折疊問題，三角形的內(nèi)角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022·黑龍江哈爾濱·?？级＃┤鐖D，矩形中，，M為的中點，把矩形沿著過點M的直線折疊，點A剛好落在邊上的點E處，則的長為 ___________．
【答案】或
【分析】如圖1，連接，過M作于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，求得，由折疊的性質(zhì)知是線段的垂直平分線，得到，根據(jù)勾股定理得到，如圖2，連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵M為的中點，
∴，
如圖1，連接，過M作于H，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴四邊形是矩形，，
∴，
∴，
由折疊的性質(zhì)知是線段的垂直平分線，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
如圖2，連接，
∵把矩形沿著過點M的直線折疊，點A剛好落在邊上的點E處，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴BF=，
∴，
∴，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形，，將矩形沿對角線折疊，點落在點處，連接，若三角形為等腰三角形，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)翻折可證明，即可得到，再由三角形內(nèi)角和為180°解得，從而可得，進而得，利用含的直角三角形即可求解．
【詳解】∵將矩形沿對角線折疊，
∴，，
∵三角形為等腰三角形，
∴，，，
在和中，，
∴（SSS），
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，，
在中，
，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，即：，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了翻折問題，含的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，能根據(jù)題意求出是解題關(guān)鍵．
【變式4】（2023秋·河南鄭州·九年級?？计谀嵺`與探究
操作一：如圖①，已知正方形紙片，將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABCD的內(nèi)部點M，再將紙片沿過點A的直線AF折疊，使與重合，此時______度．
操作二：如圖②，將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點N．當(dāng)點E在邊某一位置時，點N恰好落在折痕上，此時______度．
在圖②中，運用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：
（1）設(shè)與的交點為點P．求證：；
（2）若，則線段的長______．
【答案】操作一：45；操作二：60；（1）見解析；（2）
【分析】操作一：由正方形的性質(zhì)得，再由折疊的性質(zhì)得：，，即可求解；
操作二：先證是等腰直角三角形，得，則，求出，即可求解；
（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得，再證，由即可得出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得，再證，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得，，設(shè)，，由得出方程即可
【詳解】操作一：
解：∵四邊形是正方形，
∴，
由折疊的性質(zhì)得：，，
∴
∴；
操作二：
解：∵四邊形是正方形，
∴，
由折疊的性質(zhì)得：，
∴，
由操作一得：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（1）證明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
設(shè)，
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式5】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點E為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．
(1)求證：．
(2)如圖2，E為的中點，連接．
①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)①證明見解析，②線段的長為2
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得．，由折疊的性質(zhì)得出，，，再求出，，然后由“”證明，由全等三角形對應(yīng)角相等得出，得出即可；
（2）①由折疊的性質(zhì)和線段中點的定義可得，，再由三角形的外角性質(zhì)得出，然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；
②設(shè)，表示出、，根據(jù)點是的中點求出、，從而得到的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可；
【詳解】（1）證明：如圖1：∵四邊形是正方形，
．，
沿折疊得到，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）證明：如圖2所示：
沿折疊得到，為的中點，
，，
，
，
，
，
即，
；
②解：設(shè)，則，，
正方形邊長為6，為的中點，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理得：，
解得：，
即線段的長為2．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題十一 四邊形其他綜合問題】
【例11】（2022·遼寧營口·校考模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，E是邊上的一點，，，將正方形邊沿折疊到，延長交于G，連接，，現(xiàn)在有如下4個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①正確．證明，即可；
②錯誤．求得，進而可得結(jié)論；
③正確．證明，，即可證明結(jié)論；
④錯誤．證明，求出的面積即可判斷．
【詳解】解：如圖，連接，
∵四邊形是正方形，
，，
由翻折可知：，，，，
，，，
，
，，
，故①正確；
設(shè)，
∵，
∴，，
在中，，
，
，
，
，
，
若，則為正三角形，，顯然不合題意，
故②錯誤；
，
，
，
，，
，G都在線段的垂直平分線上，
垂直平分，
，
，故③正確；
，，
，
，故④錯誤，
故正確的有2個，
故選：B．
【點睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022·山東濟南·山東省實驗初級中學(xué)?？寄M預(yù)測）矩形紙片中，，，將紙片折疊，使點B落在邊上的處，折痕為．延長交的延長線于M，折痕上有點P，下列五個結(jié)論中正確的有（ ）
①；②；③；④；⑤若，則四邊形是菱形．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】②借助軸對稱可知；③利用勾股定理求，構(gòu)造方程，求，在構(gòu)造勾股定理求；①④由相似，，在計算，進而可判斷①；⑤證得，再證菱形即可．
【詳解】解：點P在對稱軸上，點B與點是對稱點，
則；
故②正確；
連結(jié)，由翻折，，，
由勾股定理，
∴，
設(shè)，
在中，，
由勾股定理，
解得，
∴，
在中，，
；
故③正確；
過M作，交延長線于F，
由，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
則，
∴
故④不正確；
∵
∴
∴；
故①不正確；
連接，由對稱性可知，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
又，
∴四邊形是菱形，
故⑤正確．
五個結(jié)論中正確的是②③⑤．
故選：B．
【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)等知識的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是能夠證明．
【變式2】（2022秋·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平面內(nèi)三點，，，，，以為對角線作正方形，連接，則的最大值是______．
【答案】
【分析】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，由此可得是等腰直角三角形，則，由此可得當(dāng)?shù)闹底畲髸r，的值最大，利用三角形的三邊關(guān)系求出的最大值即可解決問題．
【詳解】解：如圖，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
則，
∴是等腰直角三角形，，
∴(舍負(fù))，
∴當(dāng)?shù)闹底畲髸r，的值最大，
∵， ，，
∴，（A、C、M三點共線時取等號）
∴的最大值為，
∴的最大值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想解決問題．
【變式3】（2022秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，以直角三角形的三條邊為邊長，向形外分別作正方形，連接，其中正方形和正方形的面積分別為1和5，則長為_____．
【答案】
【分析】連接，由正方形和正方形的面積分別為1和5，得，，則，而，由勾股定理得，則，所以，再證明、、三點在同一條直線上，則，根據(jù)勾股定理求得，再證明，得．
【詳解】解：連接，
正方形和正方形的面積分別為1和5，
，，，
，
，
，
，
四邊形是正方形，
，，，
，
、、三點在同一條直線上，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的長為，
故答案為：．
【點睛】此題重點考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線并且證明是解題的關(guān)鍵．
【變式4】（2023秋·陜西西安·九年級西安市曲江第一中學(xué)校考期末）在菱形中，，是直線上一動點，以為邊向右側(cè)作等邊（，，按逆時針排列），點的位置隨點的位置變化而變化．
(1)如圖1，當(dāng)點在線段上，且點在菱形內(nèi)部或邊上時，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是________；
(2)如圖2，當(dāng)點在線段上，且點在菱形外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；
(3)當(dāng)點在直線上時，其他條件不變，連接，若，，請直接寫出的面積．
【答案】(1)
(2)（1）中結(jié)論仍然成立，證明見解析
(3)或
【分析】（1）連接，延長交于H，證明，得到
，再證明，即可得到：，再由，
即可證明；
（2）連接，與交于點，證明，得到
，再證明，即可得到：，再由即
可證明；
（3）分兩種情形：當(dāng)點P在的延長線上時或點P在線段的延長線上時，連接交于點
O，由，根據(jù)勾股定理求出的長即得到的長，再求的長及
等邊三角形 的邊長可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，連接，延長交于H，
∵四邊形是菱形，，
∴，都是等邊三角形，，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可證是等邊三角形，
∴，
∴，即
又∵，
∴．
故答案為：；
（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：
如圖，連接，
∴，為等邊三角形，
在和中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
設(shè)與交于點H，
同理可得，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：如圖3中，當(dāng)點P在的延長線上時，連接交于點O，連接，作于F，
∵四邊形是菱形，
∴，平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，
∵，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，，
∴，
∴；
如圖4中，當(dāng)點P在的延長線上時，同法可得，
∴；
綜上所述，的面積為或．
【點睛】此題是四邊形的綜合題，重點考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，將菱形的性質(zhì)與三角形全等的條件聯(lián)系起來，此題難度較大，屬于考試壓軸題．
【變式5】（2021春·浙江寧波·八年級校考期中）如圖1，點是正方形對角線的延長線上任意一點，以線段為邊作一個正方形，線段和相交于點．
(1)求證：，．
(2)若，，求的長．
(3)如圖2，正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、，與的面積之差是否會發(fā)生變化？若不變，請求出與的面積之差；若變化，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)；
(3)與的面積之差不變，且．
【分析】（1）根據(jù)證明，得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等可得；
（2）由，在中求得，從而得和的長，最后利用勾股定理即可求得結(jié)果；
（3）如圖3，過A作于P，過C作于Q，先證明，得，可得，從而得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形和是正方形，
∴，，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如圖2，連接與交于點M，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：與的面積之差不變，且，
如圖3，過A作于P，過C作交其延長線于Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
又，
∴，
∴．
【點睛】本題是四邊形的綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識，本題綜合性強，難度適中，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
原圖形
中點四邊形的形狀
任意四邊形
平行四邊形
矩形
菱形
菱形
矩形
正方形
正方形
對角線相等的四邊形
菱形
對角線垂直的四邊形
矩形
對角線垂直且相等的四邊形
正方形