考點一：梯形
考點二：直角梯形
考點三：等腰梯形的性質(zhì)
考點四：等腰梯形的判定
考點五：三角形中位線定理
考點六：梯形中位線定理
考點考向
1.梯形
2.等腰梯形
3.三角形、梯形的中位線
4.梯形常用輔助線的添法
梯形添輔助線目的：將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形的問題來解決.
考點精講
一．梯形（共5小題）
1．（2022春?青浦區(qū)校級期末）已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝6，AB＝9，當(dāng)∠A＝60°時，對角線BD＝ ．
2．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，對角線AC、BD交于點E．點F在DA延長線上，且∠FBA＝∠BDC，BD＝BC．
求證：四邊形AFBC是菱形．
3．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）梯形的四條邊長分別為4、5、6、7，這樣不同形狀的梯形可以畫出 個．
4．（2022春?寶山區(qū)校級月考）如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD于點O，AD＝2，BC＝6，AC＝5．則BD＝ ．
5．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AH是高，已知AB＝，AD＝3，CD＝5，AH＝4，則梯形ABCD的面積是 ．
二．直角梯形（共4小題）
6．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17，則CD的長是 ．
7．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD，E是對角線BD上一點，且EA＝EC．求證：四邊形ABCD是正方形．
8．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝CD＝10．
求：梯形ABCD的周長．
9．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，CD＝3，那么∠C＝ ．
三．等腰梯形的性質(zhì)（共6小題）
10．（2022春?閔行區(qū)校級月考）等腰梯形的對角線互相垂直，兩底之和為16，那么這個梯形的面積是 ．
11．（2022春?長寧區(qū)校級期末）若等腰梯形的兩條對角線互相垂直，則一條對角線與底邊的夾角是 ．
12．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知：如圖，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延長線于E，EF⊥AD交AD的延長線于F，下列結(jié)論：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
13．（2022春?寶山區(qū)校級月考）等腰梯形的一個銳角等于45°，腰長為5cm，下底為11cm，則上底為 cm．
14．（2022春?靜安區(qū)期中）已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC，對角線AC⊥BD，垂足為O，若CD＝4，AB＝8，梯形的高為 ．
15．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，對角線AC與BD互相垂直，且AD＝3，BC＝7，求梯形的高．
四．等腰梯形的判定（共4小題）
16．（2022春?長寧區(qū)校級期末）菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且DE∥AC，CE∥DB，則四邊形OCED是（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．梯形
17．（2022春?寶山區(qū)校級月考）在下列說法中不正確的是（ ）
A．一組鄰邊相等的矩形是正方形
B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形
D．有兩個底角相等的梯形是等腰梯形
18．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＞BC，AB＝DC，E是AD．上方一點，分別聯(lián)結(jié)EA、ED、EB、EC，已知EA＝ED，點F、G分別是EB、EC與AD的交點．
求證：四邊形FBCG是等腰梯形．
19．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）如圖，已知四邊形ABCD中，點E是CD上的點（不與CD的中點重合），DE＝AB，∠BAC＝∠D，AD＝AC．
（1）求證：四邊形AECB是等腰梯形；
（2）點F是AB延長線上一點，且BC＝CF，聯(lián)結(jié)CF、EF，若AC⊥EF，求證：四邊形AECF是菱形．
五．三角形中位線定理（共6小題）
20．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．
（1）求證：BM＝MN；
（2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的長．
21．（2022春?徐匯區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D、E分別是邊AB、AC的中點，那么四邊形DBCE的周長為 ．
22．（2022春?長寧區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，順次連接四邊形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2；…；如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBn?nDn，那么四邊形A15B15C15D15的周長為 ．
23．（2022春?虹口區(qū)校級月考）我們把聯(lián)結(jié)四邊形對邊中點的線段稱為“中對線”．凸四邊形ABCD的對角線AC＝BD＝12，且這兩條對角線的夾角為60°，那么該四邊形較長的“中對線”的長度為 ．
24．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）如圖所示，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，則EF的長為 ．
25．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，點D在AB上，BD＝AC，E、F、G分別是BC、AD、CD的中點，EF、CA的延長線相交于點H．
求證：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）AH＝AF．
六．梯形中位線定理（共7小題）
26．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知梯形的面積為20平方厘米，高為4厘米，那么梯形的中位線長為 ．
27．（2022春?長寧區(qū)校級期末）已知梯形的上底長為6cm，中位線長為10cm，則它的下底為 cm．
28．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，對角線AC⊥BD，如果高DE＝8cm，那么等腰梯形ABCD的中位線的長為 cm．
29．（2021春?靜安區(qū)期末）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的長為3，高AH的長為，那么梯形的中位線長為 ．
30．（2021春?虹口區(qū)校級期末）如圖，梯形的對角線將中位線EF分成EG、GH、HF三段，AD＝7，BC＝9，則GH＝ ．
31．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位線長．
（2）求梯形的面積．
32．（2020春?徐匯區(qū)期末）如圖，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．
（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面積；
（2）若CD＝3，M、N分別是對角線AC、BD的中點，聯(lián)結(jié)MN，MN＝2，求AB的長．
鞏固提升
一、單選題
1．（2022春·上海浦東新·八年級?？计谥校┑妊菪蔚难L為，周長為，則它的中位線長為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，則這個梯形的周長是（ ）
A．16cmB．20cmC．24cmD．18cm
3．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ秀籼林袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）在下列說法中不正確的是（ ）
A．一組鄰邊相等的矩形是正方形；B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．
C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形；D．有兩個底角相等的梯形是等腰梯形．
4．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，ADBC，，，，則BC=（ ）
A．10B．12C．14D．16
5．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，ABCD，AD=BC=3cm，，平分，則梯形的周長（ ）cm．
A．12B．15C．18D．21
6．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谀╉槾芜B接四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形，那么與只需滿足（ ）
A．垂直B．相等C．互相平分D．互相平分且垂直
7．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谥校┫铝忻}中，錯誤的是（ ）
A．有兩個角相等的梯形是等腰梯形
B．順次聯(lián)結(jié)矩形各邊中點所成四邊形是菱形
C．對角線相等的平行四邊形是矩形
D．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
二、填空題
8．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谀┢叫兴倪呅沃?，兩條鄰邊長分別為和，與的平分線交于點，點是的中點，連接，則______．
9．（2022春·上海青浦·八年級?？计谀┮阎菪?，，，，當(dāng)時，對角線______．
11．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，梯形中，ABCD，，，于，且，那么梯形的周長為___，面積為___．
12．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谀┤鐖D，已知中，，，，以邊的中點為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，將A、B、C的對應(yīng)點記為、、，當(dāng)時，點B與點的距離為__________．
13．（2022秋·上海普陀·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，平分，且于點，交于點E，，，那么的周長為___________cm．
14．（2022春·上海浦東新·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，是的中點．若，則等于______．
15．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知線段，．是上兩點，且，是線段上一動點，在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，為線段的中點，點由點移動到點時，點移動的路徑長度為___．
16．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谀┤鐖D，梯形ABCD中對角線，，，點E為BC邊上一點，如果，那么BE：BC=_______．
三、解答題
17．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谀┤鐖D，四邊形中，AD∥BC，，，是上方一點，分別聯(lián)結(jié)、、、，已知，點、分別是、與的交點．求證：四邊形是等腰梯形．
18．（2022春·上海奉賢·八年級?？计谀┤鐖D，在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，過點D作DE⊥BC，垂足為E，并延長DE至F，使EF＝DE，聯(lián)結(jié)BF、CF、AC．
(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形．
(2)聯(lián)結(jié)BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求證：四邊形ABFC是矩形．
19．（2022春·上海·八年級期末）已知梯形中，，，點、分別是對角線、的中點．求證：四邊形為等腰梯形．
20．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知等腰梯形ABCD中，，E、F分別是兩腰的中點，聯(lián)結(jié)AF，過點F作，交BC于點G，聯(lián)結(jié)EG．
(1)求證：四邊形AEGF是平行四邊形；
(2)當(dāng)∠GFC＝2∠EGB時，求證：四邊形AEGF是矩形．
21．（2022春·上海奉賢·八年級校考期末）已知：如圖，在中，點D在上，，E、F、G分別是、、的中點，、的延長線相交于點H．求證：
(1)；
(2)．
22．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，點D是上一點，，過點B作，分別交于點E，交于點F.
(1)求證：；
(2)如果，求證：.
23．（2022春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在中，點、分別是邊、的中點，點、是邊的三等分點，、的延長線相交于點．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如果平分，求證：四邊形是菱形．
24．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┮阎喝鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足為點D，M是邊AB的中點，AB＝20，AC＝10，求線段DM的長．
核心考點05 梯形
目錄
考點一：梯形
考點二：直角梯形
考點三：等腰梯形的性質(zhì)
考點四：等腰梯形的判定
考點五：三角形中位線定理
考點六：梯形中位線定理
考點考向
1.梯形
2.等腰梯形
3.三角形、梯形的中位線
4.梯形常用輔助線的添法
梯形添輔助線目的：將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形的問題來解決.
考點精講
一．梯形（共5小題）
1．（2022春?青浦區(qū)校級期末）已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝6，AB＝9，當(dāng)∠A＝60°時，對角線BD＝ 3 ．
【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ADE，進(jìn)而求出AE，根據(jù)勾股定理求出DE，再根據(jù)勾股定理計算，得到答案．
【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，
在△ADE中，∠A＝60°，
則∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝AD＝×6＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝9﹣3＝6，DE＝＝＝3，
∴BE＝＝＝3，
故答案為：3．
【點評】本題考查的是梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，對角線AC、BD交于點E．點F在DA延長線上，且∠FBA＝∠BDC，BD＝BC．
求證：四邊形AFBC是菱形．
【分析】根據(jù)梯形的性質(zhì)和SSS可證△ABC≌△DCB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)菱形的判定即可求解．
【解答】證明：在梯形ABCD中，∵AD//BC，AB＝CD，
∴AC＝BD，
∵BD＝BC，
∴AC＝BC，
在△ABC與△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠CAB＝∠BDC，
∵∠FBA＝∠BDC，
∴∠CAB＝∠FBA，
∴FB//AC，
∵FA//BC，F(xiàn)B//AC，
∴四邊形AFBC是平行四邊形，
又∵AC＝BC，
∴四邊形AFBC是菱形．
【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．
3．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）梯形的四條邊長分別為4、5、6、7，這樣不同形狀的梯形可以畫出 6 個．
【分析】運用數(shù)字組合的規(guī)律結(jié)合梯形的定義可解決此問題．
【解答】解：由4做梯形的一個底，有以下三種情況：
5做另一個底，6、7做腰；6做另一個底，5、7做腰；7做另一個底，5、6做腰；
由5做梯形的一個底，有以下三種情況：4做另一個底，6、7做腰；6做另一個底，4、7做腰；7做另一個底，4、6做腰；
由6做梯形的一個底，有以下三種情況：4做另一個底，5、7做腰；5做另一個底，4、7做腰；7做另一個底，4、5做腰；
由7做梯形的一個底，有以下三種情況：4做另一個底，5、7做腰；5做另一個底，4、7做腰；6做另一個底，4、5做腰；
以上情況，除去形狀相同的，能畫出的圖形數(shù)量是：3×4÷2＝6（個）．
故答案為：6．
【點評】本題主要考查梯形的定義，找規(guī)律，分類討論是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春?寶山區(qū)校級月考）如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD于點O，AD＝2，BC＝6，AC＝5．則BD＝ ．
【分析】過D作DE∥AC交BC的延長線于E，證得四邊形ACED是平行四邊形，△BDE是直角三角形，由平行四邊形的性質(zhì)求出CE，DE，進(jìn)而求出BC，根據(jù)勾股定理即可求出BD
【解答】解：過D作DE∥AC交BC的延長線于E，
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴CE＝AD＝2，DE＝AC＝5，
∴BE＝BC+CE＝6+2＝8，
在Rt△BDE中，
BD＝＝＝，
故答案為：．
【點評】本題主要考查了梯形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形和直角三角形問題是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AH是高，已知AB＝，AD＝3，CD＝5，AH＝4，則梯形ABCD的面積是 20或8或16 ．
【分析】分三種情況進(jìn)行討論，先根據(jù)勾股定理和線段的和差關(guān)系求出下底，再根據(jù)梯形的面積公式即可求解．
【解答】解：過D點作DE⊥BC于E，
∵AH是高，AH＝4，
∴DE＝4，
∵CD＝5，
∴CE＝＝3，
∵AB＝，
∴BH＝＝1，
∵AD∥BC，
∴HE＝AD＝3，
①梯形ABCD的面積＝（（3+1+3+3）×4÷2＝20；
②梯形ABCD的面積＝（（3+1+3﹣3）×4÷2＝8；
③梯形ABCD的面積＝（（3+3+3﹣1）×4÷2＝16．
故梯形ABCD的面積是20或8或16．
故答案為：20或8或16．
【點評】本題考查了梯形，關(guān)鍵是求出梯形的下底，注意分類思想的應(yīng)用．
二．直角梯形（共4小題）
6．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17，則CD的長是 8或24 ．
【分析】分兩種情況畫圖：①過點C作CE⊥AB于E，再根據(jù)勾股定理求出BE的長，進(jìn)而可得CD的長；②過點C作BE⊥CD于E，再根據(jù)勾股定理求出CE的長，進(jìn)而可得CD的長．
【解答】解：①如圖，過點C作CE⊥AB于E，
得四邊形DAEC為矩形，
∴CE＝AD＝15，CD＝AE，
在Rt△ABE中，BC＝17，根據(jù)勾股定理，得
BE＝＝＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝16﹣8＝8，
∴CD＝8；
②如圖，過點C作BE⊥CD于E，
得四邊形ADEB為矩形，
∴BE＝AD＝15，DE＝AB＝16，
在Rt△CBE中，BC＝17，根據(jù)勾股定理，得
CE＝＝＝8，
∴CD＝DE+CE＝16+8＝24，
綜上所述：CD的長為8或24．
故答案為：8或24．
【點評】本題考查了直角梯形，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想畫圖解答．
7．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD，E是對角線BD上一點，且EA＝EC．求證：四邊形ABCD是正方形．
【分析】證明△ADE≌△CDE（SSS），推出∠ADE＝∠CDE，由∠ADC＝90°，推出∠ADB＝∠CDB＝45°，由AD∥CD，推出∠ADB＝∠DBC＝45°，推出∠CDB＝∠CBD＝45°，推出CD＝CB，再證明四邊形ABCD是平行四邊形，可得結(jié)論．
【解答】證明：在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵AD∥CD，
∴∠ADB＝∠DBC＝45°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴CD＝CB，
∵AD∥CB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ADC＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵AD＝DC，
∴四邊形ABCD是正方形．
【點評】本題考查直角梯形，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
8．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝CD＝10．
求：梯形ABCD的周長．
【分析】先作DH⊥BC于點H，得四邊形ABHD是矩形，則BH＝AD＝2，CH＝8，再由勾股定理求出DH，即求出AB，從而求出梯形ABCD的周長．
【解答】解：作DH⊥BC于點H，
根據(jù)題意，得四邊形ABHD是矩形，BH＝AD＝2，
∵BC＝10，
∴CH＝BC﹣BH＝10﹣2＝8，
∵CD＝10，
∴DH＝＝6，
∴AB＝DH＝6，
∴梯形ABCD的周長為：AD+AB+BC+CD＝2+6+10+10＝28．
答：梯形ABCD的周長為28．
【點評】此題考查的知識點是直角梯形、勾股定理及矩形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是先作輔助線得矩形，再用勾股定理求AB．
9．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，CD＝3，那么∠C＝ 60°或120° ．
【分析】可分兩種情況：當(dāng)∠C為銳角時，當(dāng)∠C為鈍角時，過D（C）作垂線，結(jié)合矩形的判定與性質(zhì)，利用勾股定理可求解∠CDF（∠DCF）的度數(shù)，進(jìn)而可求解．
【解答】解：當(dāng)∠C為銳角時，如圖，過D作DF⊥BC，垂足為F，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴DF＝AB＝，
∵CD＝3，
∴CF＝，
∴CD＝2CF，
∴∠CDF＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°；
當(dāng)∠C為鈍角時，如圖，過C作CF⊥AD，垂足為F，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴四邊形ABCF是矩形，
∴CF＝AB＝，∠BCF＝90°，
∵CD＝3，
∴DF＝，
∴∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝90°+30°＝120°．
綜上，∠BCD＝60°或120°，
故答案為：60°或120°．
【點評】本題主要考查直角梯形，矩形的判定與性質(zhì)，含30° 角的直角三角形，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．
三．等腰梯形的性質(zhì)（共6小題）
10．（2022春?閔行區(qū)校級月考）等腰梯形的對角線互相垂直，兩底之和為16，那么這個梯形的面積是 64 ．
【分析】過點D作DE∥AC交BC的延長線于E，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝CE，AC＝DE，S△DCE＝S△DAB，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算，得到答案．
【解答】解：過點D作DE∥AC交BC的延長線于E，
則四邊形ACED為平行四邊形，
∴AD＝CE，AC＝DE，
∴BE＝BC+CE＝BC+AD＝16，S△DCE＝S△DAB，
∴S梯形ABCD＝S△DBE，
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AC＝BD，
∴BD＝DE＝BE＝8，
∴S△DBE＝×8×8＝64，
∴S梯形ABCD＝64，
故答案為：64．
【點評】本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算，正確作出輔助線、根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到AC＝BD是解題的關(guān)鍵．
11．（2022春?長寧區(qū)校級期末）若等腰梯形的兩條對角線互相垂直，則一條對角線與底邊的夾角是 45° ．
【分析】過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AC＝DE，進(jìn)而得到DE＝DB，根據(jù)的原直角三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACED為平行四邊形，
∴AC＝DE，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AC＝BD，
∴DE＝DB，
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC＝45°，即一條對角線與底邊的夾角是45°，
故答案為：45°．
【點評】本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記等腰梯形的對角線相等是解題的關(guān)鍵．
12．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知：如圖，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延長線于E，EF⊥AD交AD的延長線于F，下列結(jié)論：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)已知利用等腰梯形的性質(zhì)對各個結(jié)論進(jìn)行分析從而得出最后的答案．
【解答】解：根據(jù)四邊形ABCD是等腰梯形，可得出的條件有：AC＝BD，∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠OCD（可通過全等三角形ABD和BAC得出），OA＝OB，OC＝OD，∠ACB＝∠ADB＝90°（三角形ACB和BDA全等）．
①要證BD∥EF就要得出∠ADB＝∠EFD，而∠ADB＝90°，∠EFD＝90°，因此∠ADB＝∠EFD，此結(jié)論成立；
②由于BD∥EF，∠AEF＝∠AOD，而∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，因此∠AEF＝2∠OAB，此結(jié)論成立．
③在直角三角形ABE中，∠OAB＝∠OBA，∠OAB+∠OEB＝∠OBA+∠OBE＝90°，因此可得出∠OEB＝∠OBE，因此OA＝OB＝OE，那么O就是直角三角形ABE斜邊AE的中點，由于OD∥EF，因此OD就是三角形AEF的中位線，那么D就是AF的中點，因此此結(jié)論也成立．
④由③可知EF＝2OD＝2OC，而OA＝OE＝OC+CE．那么AC＝OA+OC＝OC+OC+CE＝2OC+CE＝EF+CE，因此此結(jié)論也成立．
故選：D．
【點評】本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)．根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出的角和邊相等是解題的基礎(chǔ)．
13．（2022春?寶山區(qū)校級月考）等腰梯形的一個銳角等于45°，腰長為5cm，下底為11cm，則上底為 （11﹣5） cm．
【分析】首先過點A作AE∥CD交BC于點E，即可得四邊形AECD是平行四邊形；根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得AD＝CE，AE＝CD，又由∠B＝45°，易得△ABE是等腰直角三角形，即可求得BE的長，即可求出AD的長．
【解答】解：過點A作AE∥CD交BC于點E，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AD＝CE，AE＝CD，
∵AB＝CD，
∴AB＝AE＝5cm，
∵∠B＝45°，
∴∠AEB＝∠B＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE＝＝5cm，
∵BC＝BE+CE＝BE+AD＝11cm，
∴AD＝BC﹣BE＝（11﹣5）cm．
∴這個梯形的上底為（11﹣5）cm，
故答案為：（11﹣5）．
【點評】此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．解此題的關(guān)鍵是要注意平移梯形的腰，構(gòu)造三角形與平行四邊形．
14．（2022春?靜安區(qū)期中）已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC，對角線AC⊥BD，垂足為O，若CD＝4，AB＝8，梯形的高為 6 ．
【分析】過點D作DF∥AC，交BA的延長線于點F，并過點D作DE⊥AB交AB于點E．由已知可證△BDF是等腰直角三角形，可得BF＝AF+AB＝12，繼而求出DE的長．
【解答】解：如圖，過點D作DF∥AC，交BA的延長線于點F，并過點D作DE⊥AB交AB于點E．
∵AC∥DF，
∴四邊形ACDF是平行四邊形，
∴AF＝CD，
又AC⊥BD，且AC＝BD，
∴BD⊥DF，BD＝DF，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF+AB＝12，
∴DE＝BF＝6，
故答案為：6．
【點評】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是平移一條對角線，兩條對角線與上、下底的和構(gòu)成三角形，再根據(jù)梯形的條件解這個三角形求高或者求梯形的面積．
15．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，對角線AC與BD互相垂直，且AD＝3，BC＝7，求梯形的高．
【分析】本題要靠輔助線的幫助．首先求出△BDE是等腰直角三角形，推出DF與BE的關(guān)系．
【解答】解：過D作DE∥AC交BC的延長線于E，過D作DF⊥BE于F．
∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴DE＝AC，CE＝AD＝3，
在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，
∴BD＝AC，
∴DE＝BD，
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴DE⊥DB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DF＝BE＝（BC+CE）＝×（7+3）＝5，即梯形的高為5．
【點評】此題是一個綜合題，考查了等腰梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是得到△BDE是等腰直角三角形．
四．等腰梯形的判定（共4小題）
16．（2022春?長寧區(qū)校級期末）菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且DE∥AC，CE∥DB，則四邊形OCED是（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．梯形
【分析】根據(jù)平行四邊形的定義得到四邊形OCED是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，根據(jù)矩形的判定定理得出結(jié)論．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥DB，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，
∴平行四邊形OCED是矩形，
故選：B．
【點評】本題考查的是菱形的性質(zhì)、矩形的判定，熟記菱形的對角線相等是解題的關(guān)鍵．
17．（2022春?寶山區(qū)校級月考）在下列說法中不正確的是（ ）
A．一組鄰邊相等的矩形是正方形
B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形
D．有兩個底角相等的梯形是等腰梯形
【分析】先畫出圖形，再根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定逐個判斷即可．
【解答】解：A．如圖，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四邊形ABCD是正方形，故本選項不符合題意；
B．如圖，
∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC＝BD，
∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；
C．如圖，
∵四邊形FGH是平行四邊形，
∴∠EHG＝∠EFG，
∵FH分別平分∠EFG和∠EHG，
∴∠EHF＝EHG，∠EFH＝EFG，
∴∠EHF＝∠EFH，
∴EH＝EF，
∴平行四邊形EFGH是菱形，故本選項不符合題意；
D．如圖，
當(dāng)?shù)捉恰螦＝∠B時，梯形ABCD不是等腰梯形，故本選項符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定，能熟記平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定是解此題的關(guān)鍵．
18．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＞BC，AB＝DC，E是AD．上方一點，分別聯(lián)結(jié)EA、ED、EB、EC，已知EA＝ED，點F、G分別是EB、EC與AD的交點．
求證：四邊形FBCG是等腰梯形．
【分析】證明△ABE≌△CDE（SAS），可得EB＝EC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFG＝∠EGF，所以EF＝EG，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】證明：∵AB＝DC，
∴∠BAD＝∠CDA，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAB＝∠BAD+∠EAD，∠EDC＝∠CDA+∠EDA，
∴∠EAB＝∠EDC，
在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠EFG，∠ECB＝∠EGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝EG，
∴FB＝GC，
∵FG∥BC，
∴四邊形FBCG是等腰梯形．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．
19．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）如圖，已知四邊形ABCD中，點E是CD上的點（不與CD的中點重合），DE＝AB，∠BAC＝∠D，AD＝AC．
（1）求證：四邊形AECB是等腰梯形；
（2）點F是AB延長線上一點，且BC＝CF，聯(lián)結(jié)CF、EF，若AC⊥EF，求證：四邊形AECF是菱形．
【分析】（1）由AD＝AC，證得∠D＝∠ACD，由∠BAC＝∠D，推出∠ACD＝∠BAC，由平行線的判定推出AB∥DE，根據(jù)三角形的判定證得△ADE≌△CAB，即可證得AE＝BC，由等腰梯形的判定即可證得結(jié)論；
（2）通過全等三角形的性質(zhì)得到AF＝CE，推出四邊形AECF是平行四邊形，然后由菱形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵AD＝AC，
∴∠D＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠D，
∴∠ACD＝BAC，
∴AB∥DE，
在△ADE和△CAB中，，
∴△ADE≌△CAB，
∴AE＝BC，
∴四邊形AECB是等腰梯形；
（2）由（1）得AE＝BC，∠AEC＝∠BCE，AB∥EC，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵BC＝CF，
∴AE＝CF，∠FBC＝∠BFC，
∴∠BFC＝∠AEC，
在△AEC和△CFA中，，
∴△AEC≌△AFC，
∴AF＝CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴?AECF是菱形．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
五．三角形中位線定理（共6小題）
20．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．
（1）求證：BM＝MN；
（2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的長．
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得MN＝AD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得BM＝AC，由此即可證明．
（2）首先證明∠BMN＝90°，根據(jù)BN2＝BM2+MN2即可解決問題．
【解答】（1）證明：在△CAD中，∵M(jìn)、N分別是AC、CD的中點，
∴MN∥AD，MN＝AD，
在Rt△ABC中，∵M(jìn)是AC中點，
∴BM＝AC，
∵AC＝AD，
∴MN＝BM．
（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
由（1）可知，BM＝AC＝AM＝MC，
∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝60°，
∵M(jìn)N∥AD，
∴∠NMC＝∠DAC＝30°，
∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝90°，
∴BN2＝BM2+MN2，
由（1）可知MN＝BM＝AC＝1，
∴BN＝
【點評】本題考查三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
21．（2022春?徐匯區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D、E分別是邊AB、AC的中點，那么四邊形DBCE的周長為 11 ．
【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)線段中點的概念分別求出DB、EC，計算即可．
【解答】解：∵D、E分別是邊AB、AC的中點，AB＝AC＝5，
∴DE是△ABC的中位線，DB＝AB＝2.5，EC＝AC＝2.5，
∴DE＝BC，
∵BC＝4，
∴DE＝2，
∴四邊形DBCE的周長＝DB+BC+EC+DE＝2.5+4+2.5+2＝11，
故答案為：11．
【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
22．（2022春?長寧區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，順次連接四邊形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2；…；如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBn?nDn，那么四邊形A15B15C15D15的周長為 ．
【分析】根據(jù)三角形中位線性質(zhì)定理可得每一次去各邊中點所形成新的四邊形周長都為前一個的；并且四邊形是平行四邊形，即可計算四邊形A15B15C15D15的周長，
【解答】解：根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，A15B15＝A13B13×A11B11…×A1B1＝××…×AC；
B15C15＝B13C13×A11B11×…＝×B1C1＝××…×BD，
∴四邊形A15B15C15D15的周長是2×（a+b）＝．
故答案為．
【點評】本題考查了三角形的中位線性質(zhì)定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
23．（2022春?虹口區(qū)校級月考）我們把聯(lián)結(jié)四邊形對邊中點的線段稱為“中對線”．凸四邊形ABCD的對角線AC＝BD＝12，且這兩條對角線的夾角為60°，那么該四邊形較長的“中對線”的長度為 6 ．
【分析】連接EF、FG、GH、HE，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥BD，EF＝6，GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，證明四邊形EFGH為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理計算，得到答案．
【解答】解：設(shè)四邊形ABCD的“中對線”交于點O，連接EF、FG、GH、HE，
∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，
∴EF∥BD，EF＝BD＝×12＝6，
同理可得：GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，
∴四邊形EFGH為菱形，∠EFG＝60°，
∴∠EFO＝30°，
∴OE＝EF＝3，
在Rt△OEF中，OF＝＝＝3，
∴FH＝6，即該四邊形較長的“中對線”的長度為6，
故答案為：6．
【點評】本題考查的三角形中位線定理、菱形的判定定理和性質(zhì)定理，根據(jù)三角形中位線定理和菱形的判定定理證明四邊形EFGH為菱形是解題的關(guān)鍵．
24．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）如圖所示，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，則EF的長為 2 ．
【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，計算即可．
【解答】解：∵DE為△ABC的中位線，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中點，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故答案為：2
【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
25．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，點D在AB上，BD＝AC，E、F、G分別是BC、AD、CD的中點，EF、CA的延長線相交于點H．
求證：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）AH＝AF．
【分析】（1）由題目的已知條件可得EG是△BDC的中位線，所以EG∥BD，由此可得∠CGE＝∠BDC，再根據(jù)三角形外角和定理即可證明∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）連接FG，易證△FGE是等腰三角形，所以∠GFE＝∠GEF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對頂角相等可證明∠H＝∠AFE，進(jìn)而可得：AH＝AF，
【解答】證明（1）∵E，G分別是BC，CD的中點，
∴EG是△BDC的中位線，
∴EG∥BD，
∴∠CGE＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠ACD+∠CAD，
∴∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）連接FG，
∵E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，CD的中點，
∴EG＝BD，F(xiàn)G＝AC，
∵BD＝AC，
∴GE＝GF，
∴∠GFE＝∠GEF，
∵FG∥HC，
∴∠GFE＝∠H，
∵∠GEF＝∠BFE＝∠AFH，
∴∠H＝∠AFE，
∴AH＝AF．
【點評】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．
六．梯形中位線定理（共7小題）
26．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知梯形的面積為20平方厘米，高為4厘米，那么梯形的中位線長為 5厘米 ．
【分析】根據(jù)梯形面積求出（AD+BC）＝5厘米，根據(jù)梯形的中位線旋轉(zhuǎn)得出EF＝（AD+BC），求出即可．
【解答】解：
∵梯形的面積為20平方厘米，高為4厘米，
∴（AD+BC）×4＝20，
∴（AD+BC）＝5厘米，
∵EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF＝（AD+BC）＝5厘米，
故答案為：5厘米
【點評】本題考查了梯形中位線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出（AD+BC）的值和得出EF＝（AD+BC）．
27．（2022春?長寧區(qū)校級期末）已知梯形的上底長為6cm，中位線長為10cm，則它的下底為 14 cm．
【分析】根據(jù)梯形中位線定理列式計算即可．
【解答】解：設(shè)梯形的下底為xcm，
由題意得：×（6+x）＝10，
解得：x＝14，
故答案為：14．
【點評】本題考查的是梯形中位線定理，熟記梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半是解題的關(guān)鍵．
28．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，對角線AC⊥BD，如果高DE＝8cm，那么等腰梯形ABCD的中位線的長為 8 cm．
【分析】過D點作DF∥AC交BC的延長線于F，如圖，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到AC＝BD，再證明四邊形ACFD為平行四邊形得到DF＝AC＝BD，AD＝CF，接著判斷△DBF為等腰直角三角形，所以DE＝BF＝（BC+AD）＝8cm，然后根據(jù)梯形的中位線定理求解．
【解答】解：過D點作DF∥AC交BC的延長線于F，如圖，
∵梯形ABCD為等腰梯形，
∴AC＝BD，
∵AD∥BC，DF∥AC，
∴四邊形ACFD為平行四邊形，
∴DF＝AC＝BD，AD＝CF，
∵AC⊥BD，
∴DF⊥BD，
∴△DBF為等腰直角三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE＝BF＝（BC+CF）＝（BC+AD）＝8cm，
∴等腰梯形ABCD的中位線的長＝（BC+AD）＝8cm．
故答案為8．
【點評】本題考查了梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．也考查了等腰梯形的性質(zhì)．通過平移把兩條對角線組成一個三角形的兩邊是解決問題的關(guān)鍵．
29．（2021春?靜安區(qū)期末）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的長為3，高AH的長為，那么梯形的中位線長為 6 ．
【分析】過點D作DG⊥BC于G，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到HG＝AD＝3，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)勾股定理求出BH，根據(jù)梯形的中位線定理計算，得到答案．
【解答】解：過點D作DG⊥BC于G，
∵AH⊥BC，
∴AH∥DG，
∵AD∥BC，
∴四邊形AHGD為平行四邊形，
∵DG⊥BC，
∴平行四邊形AHGD為矩形，
∴HG＝AD＝3，
在Rt△ABH中，∠B＝30°，AH＝，
∴AB＝2AH＝2，
由勾股定理得：BH＝＝＝3，
同理可得：GC＝3，
∴BC＝BH+HG+GC＝9，
∴梯形的中位線長＝×（3+9）＝6，
故答案為：6．
【點評】本題考查的是梯形的中位線、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半是解題的關(guān)鍵．
30．（2021春?虹口區(qū)校級期末）如圖，梯形的對角線將中位線EF分成EG、GH、HF三段，AD＝7，BC＝9，則GH＝ 1 ．
【分析】根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)，計算出EF的長，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，求出EG和HF的長，從而計算出GH的長．
【解答】解：∵EF是梯形ABCD的中位線，
∵EF∥AD∥BC，
∴E、G、H、F分別為AB、BD、AC、DC的中點，
又∵AD＝7，BC＝9，
∴EF＝（7+9）÷2＝8，EG＝HF＝7÷2＝3.5，
∴GH＝EF﹣EG﹣HF＝8﹣3.5﹣3.5＝1．
故答案為：1，
【點評】本題考查梯形的中位線定理，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握梯形中位線定理，屬于中考?？碱}型．
31．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位線長．
（2）求梯形的面積．
【分析】（1）過A作AE∥CD交BC于E，則四邊形AECD是平行四邊形，得AD＝EC，AE＝DC，證出△ABE是等邊三角形，得BE＝AB＝8，則AD＝EC＝4，即可得出答案；
（2）作AF⊥BC于F，則∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面積公式即可得出答案．
【解答】解：（1）過A作AE∥CD交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AD＝EC，AE＝DC，
∵AB＝DC，
∴AB＝AE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴BE＝AB＝8，
∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，
∴梯形ABCD的中位線長＝（AD+BC）＝（4+12）＝8；
（2）作AF⊥BC于F，
則∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，
∴梯形ABCD的面積＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32．
【點評】本題考查了梯形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及梯形面積公式等知識；熟練掌握梯形中位線定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
32．（2020春?徐匯區(qū)期末）如圖，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．
（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面積；
（2）若CD＝3，M、N分別是對角線AC、BD的中點，聯(lián)結(jié)MN，MN＝2，求AB的長．
【分析】（1）如圖1，過C作CE∥BD，交AB的延長線于E，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CE＝BD，CD＝BE，求得AC＝BD，推出△ACE是等腰直角三角形，得到AC＝CE＝6，求得CH＝AE＝3，根據(jù)梯形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，延長NM交AD于G，連接DM并延長交AB于H，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCM＝∠HAM，根據(jù)線段中點的定義得到AM＝CM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DM＝HM，求得DN＝BN，得到AG＝DG，根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，過C作CE∥BD，交AB的延長線于E，過點C作CH⊥AB于H，∵AB∥CD，
∴四邊形DBEC是平行四邊形，
∴CE＝BD，CD＝BE，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥CE，
∵AD＝BC，AB∥CD，
∴AC＝BD，
∴AC＝CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝CE＝6，
∴AE＝AC＝6，
∴CH＝AE＝3，
∴梯形ABCD的面積＝×6×3＝18；
（2）如圖2，延長NM交AD于G，連接DM并延長交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠DCM＝∠HAM，
∵M(jìn)是對角線AC的中點，
∴AM＝CM，
∵∠CMD＝∠AMH，
∴△AMH≌△CMD（ASA），
∴DM＝HM，
∵N是對角線BD的中點，
∴DN＝BN，
∴MN∥AB∥CD，
∴AG＝DG，
∴GM＝CD＝，
∵M(jìn)N＝2，
∴GN＝，
∴AB＝2GN＝7．
【點評】本題考查了梯形的中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
鞏固提升
一、單選題
1．（2022春·上海浦東新·八年級校考期中）等腰梯形的腰長為，周長為，則它的中位線長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】等腰梯形的周長等于四邊之和，那么據(jù)此可求上下底之和，而梯形中位線等于上下底和的一半，又可求中位線．
【詳解】解：上底下底兩腰周長，
上底下底，
上底下底，
中位線．
故選：C．
【點睛】本題利用了梯形的周長公式以及梯形中位線定理．解題的關(guān)鍵是牢記中位線與兩底的數(shù)量關(guān)系．
2．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，則這個梯形的周長是（ ）
A．16cmB．20cmC．24cmD．18cm
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)推出，得出，推出，過作交于，推出四邊形是平行四邊形，得出，，，證是等邊三角形，求出即可．
【詳解】解：，
，
平分，
，
，
，
過作交于，
，，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，，
，
，
是等邊三角形，
，
這個梯形的周長是，
故選：B．
【點睛】本題主要考查對等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
3．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ秀籼林袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）在下列說法中不正確的是（ ）
A．一組鄰邊相等的矩形是正方形；B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．
C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形；D．有兩個底角相等的梯形是等腰梯形．
【答案】D
【分析】運用正方形、矩形、菱形、等腰梯形的判定依次排查即可．
【詳解】解：A、已經(jīng)是矩形，根據(jù)鄰邊相等可以判定是菱形，繼而判定是正方形，故此選項正確，不符合題意；
B、對角線互相平分可以判定是平行四邊形，對角線相等可以繼續(xù)判定是矩形，故此選項正確，不符合題意；
C、平行四邊形可以得出對邊平行，推導(dǎo)內(nèi)錯角相等，再結(jié)合對角線平分一組對角可以得到鄰邊相等，繼而判定是菱形，故此選項正確，不符合題意；
D、“同一底的兩個底角相等才叫等腰梯形”，若同側(cè)上下兩個底角相等，則是直角梯形，故此選項不正確，符合題意；
故選D．
【點睛】本題考查正方形、矩形、菱形、等腰梯形的判定，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，ADBC，，，，則BC=（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【分析】過作交于，得出四邊形是平行四邊形，推出，，證出是等邊三角形，得到，即可求出答案．
【詳解】解：過作交于，
，，
四邊形是平行四邊形，
，，
∵，
是等邊三角形，
，
．
故選：C．
【點睛】本題主要考查對等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，把等腰梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形是解此題的關(guān)鍵．
5．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，ABCD，AD=BC=3cm，，平分，則梯形的周長（ ）cm．
A．12B．15C．18D．21
【答案】B
【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)求出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出，求出，即可求出答案．
【詳解】解：四邊形是等腰梯形，，，
，
平分，
，
，
，，
，
，
梯形的周長為
故選：B．
【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出和是解此題的關(guān)鍵．
6．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谀╉槾芜B接四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形，那么與只需滿足（ ）
A．垂直B．相等C．互相平分D．互相平分且垂直
【答案】B
【分析】連接、，根據(jù)三角形中位線定理得到，，，，根據(jù)菱形的判定定理解答即可．
【詳解】解：連接、，
、分別是、的中點，
，
同理可得，，，，
當(dāng)時，，
四邊形為菱形，
順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形，只需滿足，
故選：B．
【點睛】本題考查的是菱形的判定、三角形中位線定理，熟記三角形中位線定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
7．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谥校┫铝忻}中，錯誤的是（ ）
A．有兩個角相等的梯形是等腰梯形
B．順次聯(lián)結(jié)矩形各邊中點所成四邊形是菱形
C．對角線相等的平行四邊形是矩形
D．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
【答案】A
【分析】利用等腰梯形的判定方法、菱形及矩形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：A、有兩個角相等的梯形可能是等腰梯形，也可能是直角梯形，故錯誤，符合題意；
B、順次聯(lián)結(jié)矩形各邊中點所成四邊形是菱形，正確，不符合題意；
C、對角線相等的平行四邊形是矩形，正確，不符合題意；
D、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，正確，不符合題意．
故選：A．
【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解等腰梯形的判定方法、菱形及矩形的判定方法，難度不大．
二、填空題
8．（2022春·上海楊浦·八年級校考期末）平行四邊形中，兩條鄰邊長分別為和，與的平分線交于點，點是的中點，連接，則______．
【答案】5或2
【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題：如圖中，當(dāng)，時，延長交于如圖中，當(dāng)，時；由直角三角形的性質(zhì)，梯形的中位線定理可得出答案．
【詳解】如圖中，當(dāng)，時，延長交于．

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如圖中，當(dāng)，時，

同法可證，，，
可得，
綜上所述，的長為或．
故答案為：或．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、梯形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)建梯形中位線解決問題，屬于中考?？碱}型．
9．（2022春·上海青浦·八年級?？计谀┮阎菪?，，，，當(dāng)時，對角線______．
【答案】
【分析】過點作于，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理計算，得到答案．
【詳解】解：過點作于，
在中，，
則，
，
，，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是梯形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｌ锛冶袑W(xué)校考期中）已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD=BC，對角線AC⊥BD，垂足為O，若CD=4，AB=8，梯形的高為________．
【答案】6
【分析】過點D作DF∥AC，交BA的延長線于點F，并過點D作DE⊥AB交AB于點E．由已知可證△BDF是等腰直角三角形，可得BF=AF+AB=12，繼而求出DE的長．
【詳解】解：如圖，過點D作DF∥AC，交BC的延長線于點F，并過點D作DE⊥AB交AB于點E．
∵AC∥DF，
∴ACDF是平行四邊形，
∴AF=CD，
又AC⊥BD，且AC=BD，
∴BD⊥DF，BD=DF，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF=AF+AB=12，
∴DE=BF=6，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是平移一條對角線，兩條對角線與上、下底的和構(gòu)成三角形，再根據(jù)梯形的條件解這個三角形求高或者求梯形的面積．
11．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，梯形中，ABCD，，，于，且，那么梯形的周長為___，面積為___．
【答案】
【分析】過點作，可得四邊形是矩形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得出，求出后問題即可解決．
【詳解】解：如圖，過點作，垂足為點，
∵，梯形是等腰梯形，
∴四邊形是矩形，．
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴梯形的周長，
．
故答案為：，．
【點睛】本題考查等腰梯形的定義和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．
12．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谀┤鐖D，已知中，，，，以邊的中點為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，將A、B、C的對應(yīng)點記為、、，當(dāng)時，點B與點的距離為__________．
【答案】或##或
【分析】由勾股定理可得，由旋轉(zhuǎn)可知，，，分點在右側(cè)和左側(cè)兩種情況，可知，根據(jù)三角形中位線逆定理可知為的中位線，求出，，的長度即可求得點B與點的距離．
【詳解】∵，，，
∴
如圖，當(dāng)點在右側(cè)時，連接，
由旋轉(zhuǎn)可知，，，
∵
∴
∵為的中點，
∴，為的中位線，
∴，，
∴，
則：；
如圖，當(dāng)點在左側(cè)時，連接，
同理可得：，，，
則：；
綜上，點B與點的距離為或．
故答案為：或．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理及三角形的中位線相關(guān)知識，能夠推導(dǎo)出
為的中位線是解決問題的關(guān)鍵．
13．（2022秋·上海普陀·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，平分，且于點，交于點E，，，那么的周長為___________cm．
【答案】4
【分析】先由等腰三角形的性質(zhì)得，再證，然后由三角形中位線定理得，即可解決問題．
【詳解】解：∵平分，
∴，
∵于D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴是的中位線，
∴，
∴的周長．
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、熟練掌握三角形中位線定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2022春·上海浦東新·八年級校考期中）如圖，在中，，是的中點．若，則等于______．
【答案】
【分析】取的中點，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，由三角形的中位線定理即可得．
【詳解】解：取的中點，連接，

，
是的中點，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的中點，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知線段，．是上兩點，且，是線段上一動點，在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，為線段的中點，點由點移動到點時，點移動的路徑長度為___．
【答案】3
【分析】分別延長、交于點，易證四邊形為平行四邊形，得出為中點，則的運行軌跡的中位線，運用中位線的性質(zhì)求出的長度即可．
【詳解】
解：如圖，分別延長、交于點，
，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
與互相平分．
為的中點，
為的中點，
即在的運動過程中，始終為的中點，
的運行軌跡為的中位線，
，
點移動的路徑長度為3．
故答案為：3
【點睛】本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到點移動的規(guī)律，判斷出其運動路徑，綜合性較強(qiáng)．
16．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谀┤鐖D，梯形ABCD中對角線，，，點E為BC邊上一點，如果，那么BE：BC=_______．
【答案】
【分析】根據(jù)平行線與等腰三角形證明，進(jìn)而證明，得到AD=DF，再證明EF=CE，根據(jù)線段的和差關(guān)系求得CE，進(jìn)而得到BE即可得出答案．
【詳解】，，
∵梯形ABCD中，，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查梯形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判斷，互余的性質(zhì)，求出CE的長是關(guān)鍵．
三、解答題
17．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谀┤鐖D，四邊形中，AD∥BC，，，是上方一點，分別聯(lián)結(jié)、、、，已知，點、分別是、與的交點．求證：四邊形是等腰梯形．
【答案】證明見詳解
【分析】證明≌（SAS），可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，所以，進(jìn)而可以解決問題．
【詳解】由題意得四邊形ABCD為等腰梯形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌（SAS），
，
，
，
，，
，
，
，
，
四邊形是等腰梯形．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．
18．（2022春·上海奉賢·八年級?？计谀┤鐖D，在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，過點D作DE⊥BC，垂足為E，并延長DE至F，使EF＝DE，聯(lián)結(jié)BF、CF、AC．
(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形．
(2)聯(lián)結(jié)BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求證：四邊形ABFC是矩形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC＝BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝FB，從而得到AC＝BF，然后證得ACBF，利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形；
（2 ）先證明△BDF是等邊三角形，再證明∠ABF＝90°，即可得到結(jié)論．
（1）
證明：連接BD．
∵梯形ABCD中，ADBC，AB＝DC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD，
∵△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBC．
又∵DE⊥BC，EF＝DE，
∴△BDF是等腰三角形，
∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，
∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，
∴ACBF，
∴四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）
∵BC垂直平分DF，
∴BD＝BF，∠BED＝90°，
∵BD＝DF，
∴△BDF是等邊三角形，
∴∠BDE＝60°，∠DBE＝30°，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵ADBC，
∴∠ADB＝∠DBE＝∠ABD＝30°，
∴∠ABF＝90°，
∵四邊形ABFC是平行四邊形，
∴四邊形ABFC是矩形
【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的定義、等邊三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握平行四邊形的判定和矩形的定義是解題的關(guān)鍵．
19．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┮阎菪沃?，，，點、分別是對角線、的中點．求證：四邊形為等腰梯形．
【答案】證明見解析
【分析】由題意得到四邊形為等腰梯形，得到對角線相等，再由點、分別是對角線、的中點，等量代換得到，利用三線合一得到垂直于，垂直于，利用得到與全等，利用全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等得到，，再利用得到與全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到，進(jìn)而得到與平行，與不平行，即四邊形為梯形，再利用對角線相等的梯形為等腰梯形即可得證．
【詳解】證明：∵梯形中，，，
∴四邊形是等腰梯形，
∴，
∵點、分別是對角線、的中點，
∴，，
∴，
∵，點、分別是對角線、的中點，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
設(shè)對角線交于點O，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴和都是銳角，
∴與不平行，
∴四邊形為梯形，
又∵，
∴四邊形為等腰梯形．
【點睛】本題考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，梯形的判定以及平行線的判定等知識．熟練掌握等腰梯形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
20．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知等腰梯形ABCD中，，E、F分別是兩腰的中點，聯(lián)結(jié)AF，過點F作，交BC于點G，聯(lián)結(jié)EG．
(1)求證：四邊形AEGF是平行四邊形；
(2)當(dāng)∠GFC＝2∠EGB時，求證：四邊形AEGF是矩形．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FGC＝∠B，得到∠FGC＝∠C，則AE＝FG，進(jìn)而可證四邊形AEGF是平行四邊形；
（2）連接DG，根據(jù)直角三角形的判定得到∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，由三角形的外角的性質(zhì)得到∠CFG＝2∠DGF，等量代換得到∠DGF＝∠BGE，求得∠EGF＝90°，進(jìn)而可得結(jié)論．
（1）
證明：∵梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，
∴∠B＝∠C，
∵ABFG，
∴∠FGC＝∠B，
∴∠FGC＝∠C，
∴FG＝FC，
∵AB＝CD，E、F分別是腰AB、CD的中點，
∴AE＝CF，
∴AE＝FG，
∴四邊形AEGF是平行四邊形；
（2）
證明：連接DG，
由（1）得：FG＝DF＝CF，

∴∠DGC＝90°，
∵∠CFG＝∠FDG+∠DGF，
∴∠CFG＝2∠DGF，
∵∠GFC＝2∠EGB，
∴∠DGF＝∠BGE，
∵∠DGF+∠FGC＝90°，
∴∠FGC+∠BGE＝90°，
∴∠EGF＝90°，
∴四邊形AEGF是矩形．
【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定，直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
21．（2022春·上海奉賢·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，在中，點D在上，，E、F、G分別是、、的中點，、的延長線相交于點H．求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由題目的已知條件可得是的中位線，所以，由此可得，再根據(jù)三角形外角和定理即可證明；
（2）連接，易證是等腰三角形，所以，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對頂角相等可證明，進(jìn)而可得：，
【詳解】（1）證明，分別是，的中點，
是的中位線，
，
，
，
；
（2）解：連接，
，，分別是，，的中點，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，解題的關(guān)鍵是掌握中位線的性質(zhì)．
22．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，點D是上一點，，過點B作，分別交于點E，交于點F.
(1)求證：；
(2)如果，求證：.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由，推出，，再由三角形內(nèi)角和定理即可證明；
（2）取中點G，連接，證明即可解決問題．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：取中點G，連接，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，中位線定理，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．
23．（2022春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在中，點、分別是邊、的中點，點、是邊的三等分點，、的延長線相交于點．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如果平分，求證：四邊形是菱形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由三角形中位線知識可得DF∥BG，GH∥BF，根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形FBGH是平行四邊形.
（2）連接BH，交AC于點O，利用平行四邊形的對角線互相平分可得OB=OH，OF=OG，又AF=CG，所以O(shè)A=OC，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得證四邊形ABCH是平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可求解．
（1）
證明：∵點F、G是邊AC的三等分點，
∴AF=FG=GC，
又∵點D是邊AB的中點，
∴DH∥BG，
同理：EH∥BF，
∴四邊形FBGH是平行四邊形；
（2）
連接BH，交AC于點O，
∵四邊形FBGH是平行四邊形，
∴BO=HO，F(xiàn)O=GO，
又∵AF=FG=GC，
∴AF+FO=GC+GO，即：AO=CO，
∴四邊形ABCH是平行四邊形，
∴AH∥BC，
∴∠HAC=∠BCA，
∵AC平分∠BAH，
∴∠HAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
又∵四邊形ABCH是平行四邊形，
∴四邊形ABCH是菱形．
【點睛】本題考查菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，注意運用三角形的中位線定理．
24．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┮阎喝鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足為點D，M是邊AB的中點，AB＝20，AC＝10，求線段DM的長．
【答案】．
【分析】延長AD交BC于E，如圖，先利用勾股定理計算出AC=，再證明△CDA≌△CDE得到AD=ED，CE=CA=10，然后利用三角形中位線定理求解．
【詳解】解：延長AD交BC于E，如圖，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴BC=，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
∵CD⊥AD，
∴∠CDA=∠CDE=90°，
在△CDA和△CDE中，
，
∴△CDA≌△CDE（ASA），
∴AD=ED，CE=CA=10，
∵點M是AB的中點，
∴DM為△ABE的中位線，
∴，
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．構(gòu)建中位線定理的基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．

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