課標(biāo)要求1. 掌握等式的基本性質(zhì)，能解一元一次方程；掌握消元法，能解二元一次方程組；2. 能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義，能針對(duì)具體問(wèn)題列出方程；理解方程解的意義，經(jīng)歷估計(jì)方程解的過(guò)程；3. 能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理．(2022年版課標(biāo)將“解是否合理”調(diào)整為“解的合理性”)
命題點(diǎn)2　二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用(9年5考，常在一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用中涉及考查)
課標(biāo)要求能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
命題點(diǎn)4　一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用(9年5考，常在一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用中涉及考查)
方程(組)與不等式(組)的實(shí)際應(yīng)用
一、應(yīng)用方程(組)與不等式(組)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟
(1)審題：明確問(wèn)題中的已知量、未知量以及各個(gè)量之間的等量或不等量關(guān)系
(2)設(shè)元：用字母表示未知數(shù)，并嘗試用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的未知量
(3)建模：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型：等量關(guān)系→方程(組)，不等關(guān)系→不等式
(5)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所求結(jié)果是否正確，是否符合實(shí)際意義
(4)求解：解方程(組)或不等式，得到未知數(shù)的值或取值范圍
(6)作答：規(guī)范作答，看清楚是否含單位，若含單位則注意單位名稱
(a－2x)(b－2x)
三、解決不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的關(guān)鍵詞與不等號(hào)的對(duì)應(yīng)表
類型一　增長(zhǎng)率問(wèn)題
例1　據(jù)了解，某水果店7月的水果總銷量為300千克，水果店8月水果總銷量的月增長(zhǎng)率為a.(1)8月水果總銷量為_(kāi)__________；
設(shè)m是基礎(chǔ)量，x為平均增長(zhǎng)率，n為一次增長(zhǎng)后的量，則： ，變形得n＝m(1＋x)．
(2)若水果店9月的月增長(zhǎng)率為b，則9月份的水果總銷量為_(kāi)_____________；若9月水果總銷量的目標(biāo)是不低于363千克，則可列不等式為_(kāi)____________________；
300(1＋a)(1＋b)
300(1＋a)(1＋b)≥363
若第一次的增長(zhǎng)率為x，第二次的增長(zhǎng)率為y，n為增長(zhǎng)兩次后的量．①n＝m(1＋x)(1＋y)；
設(shè)m是基礎(chǔ)量，x為平均增長(zhǎng)率，n為一次增長(zhǎng)后的量，則： ，變形得n＝m(1＋x)．
(3)若8，9月份增長(zhǎng)率相同，按照(2)中9月份水果總銷量的最低目標(biāo)銷售，則此月增長(zhǎng)率為_(kāi)_______，按此月平均增長(zhǎng)率，則10月份的水果總銷量為_(kāi)_______________；
若第一次的增長(zhǎng)率為x，第二次的增長(zhǎng)率為y，n為增長(zhǎng)兩次后的量．②當(dāng)x＝y(tǒng)(兩次增長(zhǎng)率相同)時(shí)，n＝m(1＋x)2；
(4)若8，9月份增長(zhǎng)率相同，且7，8，9三個(gè)月水果總量為1 500千克，則可列方程為_(kāi)___________________________________．
300＋300(1＋a)＋300(1＋a)2＝1 500
若第一次的增長(zhǎng)率為x，第二次的增長(zhǎng)率為y，n為增長(zhǎng)兩次后的量．②當(dāng)x＝y(tǒng)(兩次增長(zhǎng)率相同)時(shí)，n＝m(1＋x)2；總量為m＋m(1＋x)＋m(1＋x)2
設(shè)m是基礎(chǔ)量，x為平均增長(zhǎng)率，n為一次增長(zhǎng)后的量，則： ，變形得n＝m(1＋x)．
類型二　費(fèi)用、利潤(rùn)問(wèn)題(9年6考)
例2　(2022河南20(1)題改編)近日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》和課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)，將勞動(dòng)從原來(lái)的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來(lái)．某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開(kāi)辟了一處耕種園，需要采購(gòu)一批菜苗開(kāi)展種植活動(dòng)．菜苗可在菜苗基地購(gòu)買，也可在市場(chǎng)上購(gòu)買．
(1)若學(xué)校決定在菜苗基地購(gòu)買A，B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過(guò)B種菜苗的捆數(shù)．問(wèn)題①：若購(gòu)買A種菜苗x捆，根據(jù)“菜苗總捆數(shù)為100捆”，可知B種菜苗________捆；根據(jù)“A種菜苗的捆數(shù)不超過(guò)B種菜苗的捆數(shù)”，可列關(guān)系式____________；問(wèn)題②：設(shè)購(gòu)買A種菜苗x捆，B種菜苗y捆．根據(jù)“菜苗總捆數(shù)為100捆”，可列關(guān)系式為_(kāi)_______________；根據(jù)“A種菜苗的捆數(shù)不超過(guò)B種菜苗的捆數(shù)”，可列關(guān)系式____________；
(2)設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格為x元，市場(chǎng)上每捆A種菜苗的價(jià)格比菜苗基地貴5元，用180元在菜苗基地購(gòu)買A種菜苗，能買________捆，在市場(chǎng)上購(gòu)買A種菜苗能買________捆；若用180元在菜苗基地購(gòu)買的A種菜苗比在市場(chǎng)上購(gòu)買的多3捆，則可列關(guān)系式為_(kāi)______________________；
－ ＝3；
①總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量；②售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×折扣；③利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)(或成本)．
－ ＝數(shù)量差
(3)若分別在菜苗基地和市場(chǎng)上購(gòu)買數(shù)量相同的A種菜苗，其中，在菜苗基地購(gòu)買A種菜苗需花費(fèi)200元，在市場(chǎng)上購(gòu)買A種菜苗需花費(fèi)250元，已知市場(chǎng)上每捆A種菜苗的價(jià)格比菜苗基地貴5元，若菜苗基地每捆A種菜苗m元，則可列方程為_(kāi)_______________；
＝
(4)已知菜苗基地的種菜苗為每捆20元，市場(chǎng)上的A種菜苗為每捆25元，小李在菜苗基地購(gòu)買了m捆A菜苗，在市場(chǎng)上購(gòu)買了n捆A菜苗，①小李在菜苗基地購(gòu)買了m捆A種菜苗花費(fèi)了________元；小李又在市場(chǎng)購(gòu)買了n捆菜苗，兩次購(gòu)買共花費(fèi)了650元，一共買了30捆，則可列關(guān)系式為_(kāi)_______________；②現(xiàn)因菜苗存量過(guò)多，市場(chǎng)上開(kāi)始打八折促銷，菜苗基地每捆降價(jià)2元，若總花費(fèi)不變，一共買了35捆，則可列關(guān)系式為_(kāi)__________________________；
①總數(shù)量＝甲數(shù)量＋乙數(shù)量；②總價(jià)＝甲單價(jià)×甲數(shù)量＋乙單價(jià)×乙數(shù)量③總價(jià)＝甲單價(jià)×甲折扣×甲數(shù)量＋(乙原售價(jià)－乙降價(jià))×乙數(shù)量
(5)已知菜苗基地的 A 種菜苗為每捆 20 元， 市場(chǎng)上的 A 種菜苗為每捆 25元， 菜苗基地和市場(chǎng)上的 A 種菜苗每捆菜苗的成本均為 16 元， 若李老板在菜苗基地和在市場(chǎng)上共售出 60 捆的 A 種菜苗， 設(shè)李老板所獲得的利潤(rùn)為 w 元， 在菜苗基地售出的菜苗為 x 捆， 則 w 與 x 的關(guān)系式為_(kāi)___________________________； 若李老板想實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)不低于500元的銷售目標(biāo)，則可列不等式為_(kāi)_______________________________.
w＝(20－16)x＋(25－16)(60－x)
(20－16)x＋(25－16)(60－x)≥500
總利潤(rùn)＝(甲售價(jià)－甲成本)×甲數(shù)量＋(乙售價(jià)－乙成本)×乙數(shù)量
針對(duì)方程(組)與不等式的實(shí)際應(yīng)用 (9年6考)
例3　 端午節(jié)是我國(guó)入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．某商家購(gòu)進(jìn)甜粽子與咸粽子進(jìn)行銷售．
(1)若甜粽子的進(jìn)價(jià)比咸粽子的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元①，該商家用32 000元購(gòu)買了500盒咸粽子和400盒甜粽子②.求咸粽子和甜粽子每盒的進(jìn)價(jià)；
第一步：讀完題，先看設(shè)問(wèn)；
問(wèn)什么，設(shè)什么：設(shè)咸粽子每盒進(jìn)價(jià)x元，甜粽子每盒進(jìn)價(jià)y元；
第二步：轉(zhuǎn)化題干信息；
a：根據(jù)題干①中信息及假設(shè)條件，可列方程為_(kāi)____________；b：根據(jù)題干②中信息及假設(shè)條件，可列方程為_(kāi)_________________；
500x＋400y＝32 000
第三步：解方程組及作答．
解：設(shè)咸粽子每盒進(jìn)價(jià)x元，甜粽子每盒進(jìn)價(jià)y元，由題意得 解得答：咸粽子每盒進(jìn)價(jià)40元，甜粽子每盒進(jìn)價(jià)30元；
(2)現(xiàn)商家進(jìn)行促銷活動(dòng)，所有種類粽子按照售價(jià)的八折銷售③，已知打折前每盒咸粽子比每盒甜粽子貴10元④，打折后3盒咸粽子與2盒甜粽子共224元⑤，求咸粽子與甜粽子每盒的售價(jià)；
問(wèn)什么，設(shè)什么：設(shè)咸粽子每盒售價(jià)x元，甜粽子每盒售價(jià)y元；
a：根據(jù)題干④中信息及假設(shè)條件，可列方程為_(kāi)__________________；b：根據(jù)題干③⑤中信息及假設(shè)條件，可列方程為_(kāi)_________________；
0.8(3x＋2y)＝224
解：設(shè)咸粽子每盒的售價(jià)為x元，甜粽子每盒的售價(jià)為y元，由題意可得 ，解得∴咸粽子每盒的售價(jià)60元，甜粽子每盒的售價(jià)50元；
(3)該商家將甜粽子的售價(jià)提高20%作為咸粽子的售價(jià)，已知甜粽子的銷售額為300元，咸粽子的銷售額為180元⑥，甜粽子比咸粽子多銷售3盒⑦，求咸粽子的售價(jià)；
【分層分析】設(shè)甜粽子的售價(jià)為x，則咸粽子的售價(jià)為(1＋20%)x元，根據(jù)題干信息⑥⑦可列等量關(guān)系為_(kāi)___________________．
解：設(shè)甜粽子的售價(jià)為x元，則咸粽子的售價(jià)為(1＋20%)x元，根據(jù)題意可得： ，解得x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原分式方程的解，且符合實(shí)際，∵(1＋20%)×50＝60，∴咸粽子的售價(jià)為60元；
(4)若該商家按照(1)中的進(jìn)價(jià)進(jìn)行購(gòu)進(jìn)，按照(2)中的售價(jià)進(jìn)行出售，已知咸粽子比甜粽子多售4盒⑧，要使總利潤(rùn)不低于700元⑨，則至少應(yīng)出售多少盒咸粽子？
【分層分析】第一步：讀完題，先看設(shè)問(wèn)；問(wèn)什么，設(shè)什么：設(shè)應(yīng)出售x盒咸粽子；第二步：轉(zhuǎn)化題干信息；根據(jù)題干⑧⑨中信息及假設(shè)條件，可列不等式為_(kāi)_____________________________________；第三步：解不等式及作答．
(60－40)x＋(50－30)(x－4)≥700
解：設(shè)至少應(yīng)出售x盒咸粽子，根據(jù)題意，得(60－40)x＋(50－30)(x－4)≥700，解得：x≥19.5，∵x為正整數(shù)，∴至少應(yīng)出售20盒咸粽子；
(5)若小華計(jì)劃從該商家購(gòu)買15盒粽子⑩，購(gòu)買咸粽子的數(shù)量不少于甜粽子數(shù)量的4倍?，則小華應(yīng)選擇哪種購(gòu)買方案才能使得小華最愛(ài)的甜粽子數(shù)量最多？
【分層分析】第一步：讀完題，先看設(shè)問(wèn)；問(wèn)什么，設(shè)什么：設(shè)小華購(gòu)買x盒咸粽子，則購(gòu)買(15－x)盒甜粽子；第二步：轉(zhuǎn)化題干信息；根據(jù)題干⑩?中信息及假設(shè)條件，可列不等式為_(kāi)___________；第三步：解不等式及作答．
解：設(shè)小華購(gòu)買x盒咸粽子，則購(gòu)買(15－x)盒甜粽子，由題意得x≥4(15－x)，解得x≥12，∴小華有4種購(gòu)買方案：①購(gòu)買咸粽子12盒，購(gòu)買甜粽子3盒；②購(gòu)買咸粽子13盒，購(gòu)買甜粽子2盒；③購(gòu)買咸粽子14盒，購(gòu)買甜粽子1盒；④購(gòu)買咸粽子15盒，購(gòu)買甜粽子0盒；∵甜粽子的數(shù)量最多，∴應(yīng)選擇第①種購(gòu)買方案，即購(gòu)買咸粽子12盒，購(gòu)買甜粽子3盒．
一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
1. 國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加. 2021年至2023年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)收入由5 000億元增加到7 500億元. 設(shè)我國(guó)2021年至2023年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為(　　)
A. 5 000(1＋2x)＝7 500 B. 5 000×2(1＋x)＝7 500C. 5 000(1＋x)2＝7 500 D. 5 000＋5 000(1＋x)＋5 000(1＋x)2＝7 500
二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用 9年5考，常在一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用中涉及考查
2. (2022河南6題3分)《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢．問(wèn)合伙人數(shù)、羊價(jià)各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價(jià)為y錢，根據(jù)題意，可列方程組為(　　)
A. B. C. D.
分式方程的實(shí)際應(yīng)用 2022.20(1)
3. 某校為了改善辦公條件，計(jì)劃從廠家購(gòu)買A，B兩種型號(hào)電腦．已知每臺(tái)A種型號(hào)電腦價(jià)格比每臺(tái)B種型號(hào)電腦價(jià)格多0.1萬(wàn)元，且用10萬(wàn)元購(gòu)買A種型號(hào)電腦的數(shù)量與用8萬(wàn)購(gòu)買B種型號(hào)電腦的數(shù)量相同．求A，B兩種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格各為多少萬(wàn)元？
解：設(shè)A種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格為x萬(wàn)元，則B種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格(x－0.1)萬(wàn)元．根據(jù)題意，得 ＝ ，解得x＝0.5.經(jīng)檢驗(yàn)：x＝0.5是原方程的解，x－0.1＝0.4，答：A，B兩種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格分別是0.5萬(wàn)元和0.4萬(wàn)元．
一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用 9年5考，常在一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用中涉及考查
4. 某電子購(gòu)物平臺(tái)銷售A，B兩種型號(hào)的電子手環(huán)．購(gòu)買1個(gè)A種型號(hào)的電子手環(huán)和1個(gè)B種型號(hào)的電子手環(huán)共需600元，購(gòu)買3個(gè)A種型號(hào)的電子手環(huán)和5個(gè)B種型號(hào)的電子手環(huán)共需2 500元．
解：設(shè)A種型號(hào)的電子手環(huán)的單價(jià)為x元，B種型號(hào)的電子手環(huán)的單價(jià)為y元，依題意得 解得答：A種型號(hào)的電子手環(huán)的單價(jià)為250元，B種型號(hào)的電子手環(huán)的單價(jià)為350元；
(1)求A，B兩種型號(hào)的電子手環(huán)的單價(jià)；
解：設(shè)購(gòu)買m個(gè)B種型號(hào)的電子手環(huán)，則購(gòu)買(50－m)個(gè)A種型號(hào)的電子手環(huán)，依題意得：350m＋250(50－m)≤14 000，解得m≤15.又∵m為整數(shù)，∴m可以取得的最大值為15.答：最多購(gòu)買15個(gè)B種型號(hào)的電子手環(huán)．
(2)某單位準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的電子手環(huán)共50個(gè)，且總費(fèi)用不超過(guò)14 000元，求最多購(gòu)買多少個(gè)B種型號(hào)的電子手環(huán)？

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