針對(duì)15題：與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何圖形的計(jì)算
1. 在邊長為6的菱形ABCD中，∠B＝60°，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上的點(diǎn)，且AE＝2OE，則BE的長為________．
2. 如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在直線AC上(E不與A，C重合)，連接DE，GF⊥DE于點(diǎn)E，交直線AB，BC于點(diǎn)F，G.若直線GF與直線AD相交于點(diǎn)H，當(dāng)△AEH∽△ADE時(shí)，則∠ADE的度數(shù)為_____________．
22.5°或112.5°
3. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝4　 ，AD＝4，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)，連接PD，過點(diǎn)P作PE⊥PD，交直線AB于點(diǎn)E.若△AEP是等腰三角形，則　　的值為__________．
4. (2023鄭州一模)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，點(diǎn)P為斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合)，過點(diǎn)P作PD⊥ AC，PE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，連接DE，PC交于點(diǎn)Q，連接AQ，當(dāng)△APQ為直角三角形時(shí)，AP的長是______．
5. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，取PQ的中點(diǎn)E，連接DE，設(shè)AP＝x，則AQ＝2x.當(dāng)DE與△ABC的直角邊平行時(shí)，DQ的長為_____．
6. 如圖，在△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與A，O，C重合)，連接BP.過點(diǎn)A，C分別作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接OE，OF.當(dāng)90°＜∠ABC＜180°時(shí)，若|AE－CF|＝2，EF＝2　 ，且△POF是等腰三角形，則線段OP的長為___________．
針對(duì)23題：與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的探究鏈接：微專題13　特殊三角形的分類討論；微專題14　線段或直線上點(diǎn)位置不確定產(chǎn)生的分類討論
1. 綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“中點(diǎn)”為主題展開討論．如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是邊DC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上(不與點(diǎn)A重合)，且滿足OP＝　AB，連接BP.(1)問題提出判斷△ABP的形狀，并說明理由；
(1)解：△ABP是直角三角形，理由如下：∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB＝ AB.∵OP＝ AB，∴OP＝OA＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO. ∵∠OAP＋∠APO＋∠OBP＋∠OPB＝180°，∴∠APO＋∠OPB＝90°，∴∠APB＝90°，∴△ABP是直角三角形；
(2)類比探究如圖②，當(dāng)點(diǎn)M為邊DC中點(diǎn)時(shí)，連接CP并延長交AD于點(diǎn)N.求證：PN＝AN；
(2)證明：如圖，延長AM，BC交于點(diǎn)Q.
∵點(diǎn)M是DC的中點(diǎn)，∴DM＝CM.∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC，∴△ADM≌△QCM，∴AD＝QC＝BC.
由(1)可知∠BPQ＝∠APB＝90°，∴PC＝ BQ＝BC，∴∠CPB＝∠CBP.∵∠OPB＝∠OBP，∴∠OBC＝∠OPC＝90°，∴∠OPN＝∠OPA＋∠APN＝90°.∵∠OAP＋∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA，∴∠APN＝∠PAN，∴PN＝AN；
(3)拓展應(yīng)用在(2)的條件下，若AB＝5，AD＝4，作點(diǎn)N關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接AN′并延長交矩形的邊所在的直線于點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出CE的長．
∴四邊形NPN′A為菱形，∴PN′∥AN∥CE1，NC∥AE1，∴四邊形PCE1N′是平行四邊形，∴CE1＝PN′＝AN.設(shè)CE1＝AN＝x，則DN＝4－x，由(2)知，CP＝BC＝4，PN＝AN＝x，∴在Rt△DNC中，由勾股定理得，(4－x)2＋52＝(4＋x)2，解得x＝ ；
②當(dāng)AN′的延長線與DC所在的直線交于點(diǎn)E時(shí)，記為E2.∵△ADE2∽△E1CE2，∴ .設(shè)CE2＝y(tǒng)，∴，解得y＝ .綜上所述，CE的長為 或 .
2. (2022葫蘆島)在?ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，點(diǎn)P為射線CD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合)，連接AP，過點(diǎn)P作EP⊥AP交直線BD于點(diǎn)E.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出PA，PE的數(shù)量關(guān)系；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，∵AD＝BD，∴∠BDC＝∠C＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
【解法提示】如圖，連接BP，
∵點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，∴DP＝BP，∠CPB＝90°，∴∠CDB＝∠PBD＝45°，∴∠ADP＝90°＋45°＝135°，∠PBE＝180°－45°＝135°.∴∠ADP＝∠PBE，∵PA⊥PE，∴∠APE＝∠DPB＝90°，∴∠APD＝∠EPB，∴△ADP≌△EBP(ASA)，∴PA＝PE.
(1)解：PA＝PE；
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，求證：DA＋　 DP＝DE；
(2)證明：如圖，過點(diǎn)P作PF⊥CD交DE于點(diǎn)F，
∵PF⊥CD，EP⊥AP，∴∠DPF＝∠APE＝90°，∴∠DPA＝∠FPE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，又∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∴∠PFD＝45°，∴∠PFD＝∠PDF，∴PD＝PF，∴∠PDA＝∠PFE＝135°，∴△ADP≌△EFP(ASA)，∴AD＝EF，在Rt△FDP中，∠PDF＝45°，∵cs∠PDF＝ ，∴DF＝ ＝ DP，∵DE＝DF＋EF，∴DA＋ DP＝DE；
(3)點(diǎn)P在射線CD上運(yùn)動(dòng)，若AD＝3　，AP＝5，請(qǐng)直接寫出線段BE的長．
【解法提示】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，如圖，作AG⊥CD交CD延長線于G，則△ADG是等腰直角三角形，
②當(dāng)點(diǎn)P在CD的延長線上時(shí)，如解圖，作AG⊥CD，交CD延長線于G，過P作PF⊥CD交DE于點(diǎn)F，同理可得△ADP≌△EFP，∴AD＝EF，∵PD＝PG＋DG＝4＋3＝7，∴DF＝ PD＝7 ，∴BE＝BD＋DF－EF＝DF＝7 ，綜上所述，BE的長為 或7 .
3. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接CD，在CD的右側(cè)以CD為斜邊作等腰Rt△CDE，點(diǎn)H是BD的中點(diǎn)，連接EH.【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，線段EH與AD的數(shù)量關(guān)系是________，EH與AD的位置關(guān)系是________；
【解法提示】∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，∵∠DCE＝45°，∴點(diǎn)E在線段CB上，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠B＝45°，∵DH＝HB，∴EH⊥DB，EH＝ DB＝ AD.∴EH＝ AD，EH⊥AD.
【猜想論證】(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上且不是AB的中點(diǎn)時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)僅就圖②中的情況給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
(2)結(jié)論仍然成立．證明如下：如圖，延長DE到點(diǎn)F，使得EF＝DE，連接CF，BF.
∵DE＝EF，CE⊥DF，∴CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD＝45°，
∵DE＝EF，CE⊥DF，∴CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD＝45°，∴∠ECF＝∠ECD＝45°，∴∠ACB＝∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠BCF，∵CA＝CB，∴△ACD≌△BCF(SAS)，∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，
∵∠ABC＝45°，∴∠ABF＝90°，∴BF⊥AB，∵DE＝EF，DH＝HB，∴EH是△DBF的中位線，∴EH＝ BF，EH∥BF，∴EH＝ AD，EH⊥AD，即(1)中的結(jié)論仍然成立；
【拓展應(yīng)用】(3)若AC＝BC＝2　 ，其他條件不變，連接AE，BE.當(dāng)△BCE是等邊三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出AD的長．
∵∠CAB＝45°，∴∠EAH＝30°，∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，∴∠DEB＝150°，∴∠EDB＝∠EBD＝15°，∵∠EAH＝∠ADE＋∠AED，∴∠ADE＝∠AED＝15°，∴AD＝AE，設(shè)EH＝x，則AD＝AE＝2x，AH＝ x，∵EH2＋DH2＝DE2，∴x2＋(2x＋ x)2＝8，∴x＝ －1(負(fù)值已舍)，∴AD＝2 －2；
4. 如圖，菱形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，AC＝8，BD＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF＝　∠BAD，連接EF(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè))．(1)【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)O重合時(shí)，　 ＝__________；如圖②，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，　 ＝__________；
【解法提示】∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC＝ ∠BAD，∠DAC＝∠DCA，∵∠EDF＝ ∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC＝∠DAC.∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AD＝5，
①當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)O重合時(shí)，∵∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠EDB＋∠ABO＝90°，∴∠DEB＝90°，∵OD＝OB，BD＝6，∴OE＝OD＝ BD＝3，∴∠FDE＝∠FED，∵∠DAC＝∠DCA＝∠FDE，∴△DEF∽△ACD，∴ ，即 ；
②當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)B重合時(shí)，由菱形的對(duì)稱性可得，DF＝EF，∴∠FDE＝∠FED，同①可證△DEF∽△ACD，∴，即.
(2)【猜想驗(yàn)證】如圖③，根據(jù)(1)中的結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)E為直線AB上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想　　的值是否為定值？若是定值，就圖③的情況進(jìn)行證明；若不是定值，請(qǐng)說明理由；
使得∠BDH＝∠EDF，則∠EDB＝∠FDH，
∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC＝∠ACD＝ ∠BAD，DH＝BH，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AD＝5，∵∠EDF＝ ∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC＝∠BDH＝∠DAC＝∠ACD，∵∠AOB＝∠DOH，∴∠ABO＝∠DHO，即∠EBD＝∠FHD，
∵∠EDB＝∠FDH，∴△EDB∽△FDH，∴ ，∵DH＝BH，∴∠BDH＝∠DBH，又∵∠BDH＝∠EDF＝∠DAC＝∠ACD，∴△DBH∽△ACD，∴ ，即，∴ ；
(3)【拓展應(yīng)用】若DF的長為　 ，直接寫出BE的長．
【解法提示】①在OC上取點(diǎn)H，連接BH，DH，
在Rt△DOF中，∵DF＝ ，OD＝3，∴OF＝ ，∴HF＝ － ＝1, 由(2)可知，△EDB∽△FDH，∴，即 ，∴BE＝ ；
5. 中華文明源遠(yuǎn)流長，如圖①是漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的圖形，人們稱之為趙爽弦圖，被譽(yù)為中國數(shù)學(xué)界的圖騰.2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)依據(jù)趙爽弦圖制作了會(huì)標(biāo)，該圖有4個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形和中間一個(gè)小正方形，巧妙地證明了勾股定理．問題發(fā)現(xiàn)(1)如圖①，若直角三角形的直角邊BC＝3，斜邊AB＝5，則中間小正方形的邊長CD＝________，連接BD，△ABD的面積為________；
【解法提示】如圖，連接BD，
知識(shí)遷移(2)如圖②，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，當(dāng)∠BPC＝90°，BP＝　 時(shí)，△PAB的面積為__；
拓展延伸如圖③，已知∠MBN＝90°，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交射線BM，BN于A，C兩點(diǎn)．(3)已知D為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，在CE上取一點(diǎn)F，使EF＝BE，過點(diǎn)F作GF⊥CD交BC于點(diǎn)G，試判斷三條線段BE，DE，GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)BE＝DE＋GF.理由：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥BE于點(diǎn)H，
∵BE⊥CD，GF⊥CD，∴∠BHG＝∠EHG＝∠HEF＝∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH為矩形，∴EH＝GF，EF＝GH，∵EF＝BE，∴GH＝BE，∵∠MBN＝90°，∴∠DBE＋∠GBE＝90°，
∵∠BGH＋∠GBE＝90°，∴∠BGH＝∠DBE，∵∠BHG＝∠DEB＝90°，∴△GBH≌△BDE(ASA)，∴BH＝DE，∵BE＝BH＋EH，∴BE＝DE＋GF；
(4)在(3)的條件下，若D為射線BM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為射線EC上一點(diǎn)，當(dāng)AB＝10，CF＝2時(shí)，直接寫出線段DE的長．
【解法提示】如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，設(shè)BE＝EF＝x，∵CF＝2，∴CE＝x＋2，在Rt△BEC中，∵BE2＋EC2＝BC2，∴x2＋(x＋2)2＝100，解得x＝6或－8(舍去)，設(shè)DE＝a，EH＝b，則由(3)得BE＝DE＋EH＝a＋b＝6，
∵∠DBE＋∠BDE＝∠BDE＋∠FCG＝90°，∴∠DBE＝∠FCG，∵∠BED＝∠CFG＝90°，∴△CFG∽△BED，∴，∴ ，∴b＝ ，∴a＋b＝a＋ ＝6，解得a＝ ，即DE＝ ；
如解圖④，過點(diǎn)G作GH⊥BE交BE延長線于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F在EC的延長線上，與(3)同理可證△GBH≌△BDE(ASA)，∴DE＝BH，∴BE＝BH－EH＝DE－GF，設(shè)EF＝BE＝x，∴EC＝EF－CF＝x－2，∵BE2＋EC2＝BC2，∴x2＋(x－2)2＝100，解得x＝8或－6(舍去)，

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