針對(duì)15題：與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的幾何圖形的計(jì)算
1. 如圖，四邊形ABCD是正方形，且AB＝　 ，將正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形AEFG，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，G，C三點(diǎn)共線時(shí)，則點(diǎn)F到BC的距離為____________．
2. (2023平頂山二模)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，且AB＝　　　　　，BE＝1，連接AE，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜360°)，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在直線AD上時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑　　的長(zhǎng)為______． (結(jié)果保留π)
3. 如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，過點(diǎn)A的射線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥射線l于點(diǎn)D，連接BD，當(dāng)AD＝CD時(shí)，△BCD的面積為______________．
4. (2023河南黑白卷)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將DE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到DF，連接AF，G為AF的中點(diǎn)，連接BG，若AB＝2　 ，AD＝4，當(dāng)DF∥BG時(shí)，BG的長(zhǎng)為_____．
5. 如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△AMN，連接BN，P是BN的中點(diǎn)，連接AP.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠CBN＝15°時(shí)，　 的值為________．
6. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，將Rt△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到Rt△A′B′C，若其中一個(gè)三角形較長(zhǎng)的直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊垂直，則A′B的長(zhǎng)為______．
針對(duì)23題：與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究鏈接：微專題4　手拉手模型；微專題13　特殊三角形的分類討論；微專題14　線段或直線上點(diǎn)位置不確定產(chǎn)生的分類討論；微專題16　與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的分類討論
1. 綜合與實(shí)踐問題情境：如圖①，在矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，且AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)M是邊AB上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，點(diǎn)N為線段AE上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，將∠ANM繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到∠QNP，兩邊分別交直線AD于點(diǎn)Q，P.(1)獨(dú)立思考：試判斷線段AM與PQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(1)解：AM＝PQ；理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝ ∠BAD＝ ×90°＝45°，由旋轉(zhuǎn)可知：∠MNP＝∠ANQ＝90°，∠ANM＝∠QNP，∴∠AQN＝∠DAE＝∠BAE＝45°，∴AN＝QN，又∵∠AQN＝∠BAE＝45°，∠ANM＝∠QNP，∴△AMN≌△QPN(ASA)，∴AM＝PQ；
(2)如圖②，當(dāng)MN∥BC時(shí)，判斷四邊形AMNP的形狀，并說明理由；
∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN＝∠B＝90°，∠ANM＝90°－∠BAE＝90°－45°＝45°，∴AM＝MN，由旋轉(zhuǎn)可知：∠MNP＝90°，∴四邊形AMNP是矩形，又∵AM＝MN，∴四邊形AMNP是正方形；
(3)解決問題：如圖③，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，且AN＝AM時(shí)，求證：△APN≌△ENM；
又∵AN＝AM＝AB，∴AN＝EM，∠AMN＝∠ANM，由旋轉(zhuǎn)可知：∠MNP＝90°，∴∠MNP－∠ANM＝∠ABC－∠AMN，∴∠ANP＝∠EMN，又∵AN＝EM，∠DAE＝∠AEB＝45°，∴△APN≌△ENM(ASA)；
(4) 探索發(fā)現(xiàn)：當(dāng)以點(diǎn)A，N，P為頂點(diǎn)的三角形是以AN為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出　　的值．
2. 綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓學(xué)生們以“直角三角形”為背景展開數(shù)學(xué)活動(dòng)．問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AO平分∠BAC.(1)操作判斷如圖①，當(dāng)AB＝AC時(shí)，過點(diǎn)O作OD∥AB交AC于點(diǎn)D，連接BD，則∠BOD的度數(shù)是______，線段BD與OD的數(shù)量關(guān)系是________；
【解法提示】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°.∵OD∥AB，∴∠BAC＝∠ODC＝90°，∴∠COD＝45°，∴∠BOD＝135°.∵AO平分∠BAC，∴OB＝OC.∵OD∥AB，∴CD＝AD，設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝a，OD＝ AB＝a.在Rt△ABD中，BD＝ ＝ a，∴BD＝ OD.
(2)遷移探究如圖②，若AB≠AC，點(diǎn)P是AO上任一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，O重合)，過點(diǎn)P作PD∥AB交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，且AE＝2AD，連接PE，DE，請(qǐng)寫出∠EPD的度數(shù)及線段DE與PD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
∵∠BAC＝90°，AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO＝45°.
∵PD∥AB，∴∠ADP＝∠BAC＝90°.∴四邊形ADPF為正方形，∴AD＝AF，∠DPF＝90°.∵AE＝2AD，∴AF＝EF＝PF.∵PF⊥AB，∴AP＝EP，∴∠BAP＝∠AEP＝45°，∴∠EPF＝45°，∴∠EPD＝135°；設(shè)AE＝2b，則AD＝PD＝b，在Rt△ADE中，DE＝ ＝ b，∴DE＝ PD；
(3)拓展應(yīng)用在(2)的條件下，將△EAD繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)得到△EA′D′，當(dāng)點(diǎn)P，E，A′在同一直線上，且DE＝　 時(shí)，連接A′D，請(qǐng)直接寫出△PA′D的面積．
∵∠BAC＝90°，AO平分∠BAC，∴∠PGD＝45°，∴AG＝AE＝2PD＝2，PG＝PE＝ AE＝ ，∴△PA′D中A′P邊上的高為 PG＝ .由旋轉(zhuǎn)可得AE＝A′E＝2，∴A′P＝A′E－PE＝2－ ，∴△PA′D的面積為 (2－ )× ＝ ；
3. (2023南陽二模)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展如下探究活動(dòng)：(1)【操作探究】如圖①，△ABC為等邊三角形，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，得到△ADE，連接BE，則∠EBC＝______°.若F是BE的中點(diǎn)，連接AF，則AF與DE的數(shù)量關(guān)系是________；
【解法提示】∵△ABC為等邊三角形，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，得到△ADE，∴AC＝AE＝AB＝AD，∠ABC＝∠C＝∠ADE，∴∠AEB＝∠ABE，∴2(∠ABE＋∠ABC)＝180°，∴∠EBC＝90°；∵F是BE的中點(diǎn)，A是BD的中點(diǎn)，∴AF＝ DE.
(2)【遷移探究】如圖②，將(1)中的△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到△ADE，其他條件不變，求出此時(shí)∠EBC的度數(shù)及AF與DE的數(shù)量關(guān)系；
(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，連接BE，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，連接AF.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠EBC＝15°時(shí)，直接寫出線段AF的長(zhǎng)．
4. 綜合與實(shí)踐(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖①，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，在△ABC的外部作等邊三角形CDE，且CD＜AB，連接AE，BD，取BD的中點(diǎn)F，連接AF.如圖②，將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在線段AC上．猜想并填空：①　　 的值是________；②∠EAF的度數(shù)是________；
【解法提示】如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為G，連接FG，
過點(diǎn)F作FH⊥CD于點(diǎn)H，
又∵△CDE是等邊三角形，F(xiàn)H⊥CD，∴F，E，H三點(diǎn)共線，∴FE∥BC，F(xiàn)H⊥AG.∴∠AEF＝∠ACB＝30°，∴ ＝ ，∠EAF＝60°.
(2)問題探究在(1)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在線段BC上時(shí)，如圖③，(1)中猜想的結(jié)論①與②是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
(2)(1)中猜想的結(jié)論①與②都成立，證明如下：如解圖②，延長(zhǎng)BA到M，使AM＝AB，連接MD，MC，
∵AB＝AC，AM＝AB，∴AC＝AM.又∵∠BAC＝120°，∴∠CAM＝180°－∠BAC＝60°，∴△ACM是等邊三角形，∴CM＝CA，∠ACM＝∠AMC＝60°，∵△CDE是等邊三角形，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴∠ACM＝∠ECD，
∴∠ACM－∠ACD＝∠ECD－∠ACD，即∠DCM＝∠ECA，∴△DCM≌△ECA，∴MD＝AE，∠DMC＝∠EAC.∵AF＝ DM，∴AF＝ AE，即 ＝ .∵AF∥DM，∴∠BAF＝∠AMD.又∵∠EAC＝∠DMC，∴∠BAF＋∠EAC＝∠AMD＋∠DMC＝∠AMC＝60°，∵∠BAC＝120°，∴∠EAF＝∠BAC－(∠BAF＋∠EAC)＝60°；
(3)問題解決在△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中，若AB＝6，CD＝2，當(dāng)CE⊥BC時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AF的長(zhǎng)度．
在Rt△ANE中，AE＝ ＝2 ，由(1)(2)易得AF＝ AE，∴AF＝ ；②當(dāng)點(diǎn)E在BC下方時(shí)，如解圖④，過點(diǎn)E作EP⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∵∠ACB＝30°，CE⊥BC，∴∠ECP＝60°，∴CP＝ CE＝ CD＝1，
∴AP＝7，EP＝ .在Rt△APE中，AE＝ ＝2 ，由(1)(2)易得AF＝ AE，∴AF＝ .綜上所述，AF的長(zhǎng)為 或 .
5. 在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，D為邊BC的中點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF.(1)如圖①，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為__________；
(2)在(1)的條件下，①如果正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無變化？請(qǐng)僅就圖②的情形給出證明；
在Rt△CEF中，∠CFE＝90°，sin∠FEC＝ ，∴ ，∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴ ，∴BE＝ AF，∴線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系無變化；
②正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)以點(diǎn)A，B，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出線段AF的長(zhǎng)．

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