1.已知復數(shù)z滿足1?3iz=1+i，z?是z的共軛復數(shù)，則z+z?等于( )
A. ?2iB. ?2C. ?4iD. ?1
2.如圖，空間圖形A1B1C1?ABC是三棱臺，在點A1，B1，C1，A，B，C中取3個點確定平面α，α∩平面A1B1C1=m，且m/?/AB，則所取的這3個點可以是( )
A. A，B1，C
B. A1，B，C1
C. A，B，C1
D. A，B1，C1
3.已知圓錐側面積為6πcm2，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為( )
A. 9πB. 6 2πC. 3πD. 3π
4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ac=16 3,acsC+3ccsA=0，則△ABC面積的最大值為( )
A. 6 3B. 4 3C. 3 5D. 6
5.空中有一氣球，在它的正西方A點測得它的仰角為45°，同時在它南偏東60°的B點，測得它的仰角為30°，若A、B兩點間的距離為266米，這兩個觀測點均離地1米，那么測量時氣球到地面的距離是( )
A. 266 77米B. (266 77+1)米C. 266米D. 266 7米
6.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥面ABC，2AB=AA1，則異面直線A1C與AB1所成角的余弦值為( )
A. 710B. 45C. 12D. 13
7.半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，它是由正方體的各條棱的中點連接形成的幾何體．它由八個正三角形和六個正方形圍成(如圖所示)，若它的棱長為2，則下列說法錯誤的是( )
A. 該二十四等邊體的外接球的表面積為16π
B. 該半正多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E，滿足關系式V+F?E=2
C. 直線AH與PN的夾角為60°
D. QH⊥平面ABE
8.某地開展植樹造林活動，擬測量某座山的高.勘探隊員在山腳A測得山頂B的仰角為45°，他沿著坡角為15°的斜坡向上走了100米后到達C，在C處測得山頂B的仰角為60°.設山高為BD，若A，B，C，D在同一鉛垂面，且在該鉛錘面上A，C位于直線BD的同側，則BD=( )
A. 50 6?50 2米B. 50 6+50 2米
C. 100 6?100 2米D. 100 6+100 2米
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法正確的是( )
A. 若a=(1,?3)，b=(?2,6)，則{a,b}可作為平面向量的一組基底
B. 若a，b都是非零向量，且|a+b|=|a?b|，則a⊥b
C. 已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a與a+λb的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是(?53,+∞)
D. 若a=(5,0)，b=(4,3)，則a在b上的投影向量的坐標是(165,125)
10.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AB=4，BC=2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，則下列說法正確的是( )
A. M，N，A，B四點共面
B. 直線BN與平面ADM相交
C. 直線BN和B1M所成的角為60°
D. 平面ADM和平面A1B1C1D1的夾角的正切值為2
11.已知復數(shù)z1，z2(z2≠0)，下列命題中正確的是( )
A. 若z12∈R，則z1∈RB. 若z1z2∈R，則z?1z2∈R
C. 若|z1z2|=2z2，則z1z1?=4D. 若z1z2=|z1|2，則z1=z2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.三棱錐P?ABC的高為PH，若三個側面兩兩垂直，則H為△ABC的______心.
13.廈門一中為提升學校食堂的服務水平，組織全校師生對學校食堂滿意度進行評分，按照分層抽樣方法，抽取200位師生的評分作為樣本，在這200個樣本中，所有學生評分樣本的平均數(shù)為x?，方差為sx2，所有教師評分樣本的半均數(shù)為y?，方差為sy2，總樣本的平均數(shù)為z?，方差為s2，若x?=y?,s2=45sxsy，抽取的學生樣本多于教師樣本，則總樣本中學生樣本的個數(shù)至少為______．
14.如圖所示，直角三角形ABC所在平面垂直于平面α，一條直角邊AC在平百α內(nèi)，另一條直角邊BC長為 33且∠BAC=π6，若平面α上存在點P，使得△ABP的面積為 33，則線段CP長度的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題15分)
已知m∈R，復數(shù)z=m2?m?6+(m2?11m+24)i(i是虛數(shù)單位)．
(1)若z是純虛數(shù)，求m的值；
(2)若z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，求m的取值范圍．
16.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，點E在棱PD上．
(1)求證：AC⊥平面PBD；
(2)若OP=2，點E為PD的中點，求二面角P?AC?E的余弦值．
17.(本小題15分)
如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AB=1，AA1=2，∠BAD=60°，點P為DD1的中點．
(1)求證：直線BD1//平面PAC；
(2)求證：BD1⊥AC；
(3)求二面角B1?AC?P的余弦值．
18.(本小題15分)
在某抽獎活動中，初始時的袋子中有3個除顏色外其余都相同的小球，顏色為2白1紅.每次隨機抽取一個小球后放回.抽獎規(guī)則如下：設定抽中紅球為中獎，抽中白球為未中獎；若抽到白球，放回后把袋中的一個白色小球替換為紅色；若抽到紅球，放回后把三個球的顏色重新變?yōu)?白1紅的初始狀態(tài).記第n次抽獎中獎的概率為Pn．
(1)求P2，P3；
(2)若存在實數(shù)a，b，c，對任意的不小于4的正整數(shù)n，都有Pn=aPn?1+bPn?2+cPn?3，試確定a，b，c的值，并證明上述遞推公式；
(3)若累計中獎4次及以上可以獲得一枚優(yōu)勝者勛章，則從初始狀態(tài)下連抽9次獲得至少一枚勛章的概率為多少？
19.(本小題17分)
在△ABC中，BC=3，AB?AC=1.M為邊BC上一點，BM=1，D為邊AB上一點，AM交CD于P．
(1)若AC=3，AD=2，求cs∠APC；
(2)若BD=32,CD=52，求△APD和△MPC的面積之差．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1?3iz=1+i，
則z=1?3i1+i=(1?3i)(1?i)(1+i)(1?i)=?1?2i，z?=?1+2i，
故z+z?=?1?2i+(?1+2i)=?2．
故選：B．
根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，以及共軛復數(shù)的定義，即可求解．
本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及共軛復數(shù)的定義，屬于基礎題．
2.【答案】C
【解析】解：由空間圖形A1B1C1?ABC是三棱臺，可得平面ABC/?/平面A1B1C1，
當平面ABC1為平面α，平面α∩平面A1B1C1=m時，又平面α∩平面ABC=AB，
所以由面面平行的性質(zhì)定理可知m/?/AB，所以選項C符合要求．
故選：C．
根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可判斷．
本題考查了平面的基本性質(zhì)以及推論，屬于基礎題．
3.【答案】C
【解析】解：設圓錐母線長為lcm，底面半徑為rcm，如圖所示，
由題意得：πl(wèi)22=6π，所以母線l=2 3cm，
所以側面展開半圓的弧長為2 3πcm，
所以底面圓的周長為2 3π，即2πr=2 3π，所以底面半徑r= 3cm，
所以該圓錐的高h= l2?r2= 12?3=3cm，
所以圓錐的體積V=13Sh=13×π×3×3=3πcm3．
故選：C．
設圓錐母線長為l，底面半徑為r，根據(jù)題意可求得母線l，底面半徑r，根據(jù)勾股定理，可求得圓錐的高h，代入體積公式，即可求得答案．
本題考查圓錐的結構特征及其應用，屬于中檔題．
4.【答案】B
【解析】解：因為acsC+3ccsA=0，
由余弦定理可得a×a2+b2?c22ab+3c×b2+c2?a22bc=0，
整理可得：2b2+c2?a2=0，則csB=a2+c2?b22ac=32c2+12a22ac≥2 34a2c22ac= 32，
當且僅當a= 3c，即a=4 3,c=4時，等號成立，
又sin2B+cs2B=1，所以sinB≤12，則△ABC的面積S=12acsinB≤4 3，
所以△ABC面積的最大值為4 3．
故選：B．
由題意，根據(jù)余弦定理可得csB=32c2+12a22ac，結合基本不等式和sin2B+cs2B=1可得sinB≤12，即可求解．
本題考查正弦定理，余弦定理的應用，基本不等式的性質(zhì)的應用，屬于中檔題．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查三角形的解法、余弦定理的應用，考查實際問題的求解，考查計算能力，屬于較難題．
由題意畫出圖形，設CD=x米，推出AD=x米，在△ABD中，由余弦定理得到關于x的方程，解得x，即可求出結果．
【解答】
解：如圖，D為氣球C在過AB且與地面平行的平面上的正投影，
設CD=x米，依題意知：∠CAD=45°，∠CBD=30°，∠ADB=150°，
則AD=x米，BD= 3x米．
在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2?2AD?BD?cs∠ADB，
即2662=x2+( 3x)2?2x×( 3x)×cs 150°=7x2，
解得x=266 77，
故測量時氣球到地面的距離是(266 77+1)米．
故選：B．
6.【答案】A
【解析】解：分別取A1B1，AA1，AB，AC的中點F，E，H，G，
連接EF，F(xiàn)H，EG，GH，F(xiàn)G，所以EF/?/AB1，EG//A1C，
所以異面直線A1C與AB1所成角即為EF與EG所成角(或其補角)，
即∠FEG，設2AB=AA1=2，所以EF=EG= 1+(12)2= 52，
FG= FH2+GH2= 4+(12)2= 174= 172，
所以在△EFG中，所以cs∠FEG=EF2+EG2?FG22EF?EG=54+54?1742? 52? 52=?7452=?710，
所以異面直線A1C與AB1所成角的余弦值為710．
故選：A．
分別取A1B1，AA1，AB，AC的中點F，E，H，G，可得∠FEG是異面直線A1C與AB1所成角即為EF與EG所成角(或其補角)，在△EFG中，由余弦定理求解即可．
本題考查異面直線所成的角，屬于中檔題．
7.【答案】D
【解析】解：由已知，補齊二十四等邊體所在的正方體如圖所示：
記正方體體心為O，取下底面ABCD中心為O1，二十四等邊體的棱長為2，
易知OO1=BO1= 2，則外接球半徑R=OB= 2+2=2，
所以外接球的表面積S=4πR2=16π，故A正確；
由歐拉公式可知：頂點數(shù)+面數(shù)?棱數(shù)=2，故B正確；
又因為PN//AD，易知直線AH與PN的夾角即為∠HAD=60°，
直線AH與PN的夾角為60°，故C正確；
又因為QH//EN，AB/?/MN，易知直線QH與直線AB的夾角為∠ENM=60°，
可知直線QH與直線AB不垂直，故直線QH與平面ABE不垂直，故D錯誤．
故選：D．
將二十四等邊體補齊成正方體，根據(jù)空間幾何相關知識進行判斷．
本題主要考查命題真假的判斷，幾何體的結構特征，異面直線所成的角，線面位置關系的判斷，考查邏輯推理與運算求解能力，屬于中檔題．
8.【答案】B
【解析】解：勘探隊員在山腳A測得山頂B的仰角為45°，他沿著坡角為15°的斜坡向上走了100米后到達C，在C處測得山頂B的仰角為60°，
則在△ABC中，∠ACB=135°,∠ABC=15°,AC=100,AB= 2BD，
由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，解得BD=50sin15°=50( 6+ 2)米．
故選：B．
由題意得∠ACB=135°,∠ABC=15°,AC=100,AB= 2BD，利用正弦定理即可求解．
本題考查了正弦定理的實際應用，屬于中檔題．
9.【答案】BD
【解析】解：對于A，因為b=?2a，所以a，b不能作為基底，A錯誤；
對于B，根據(jù)向量的加法與減法的幾何意義，當|a+b|=|a?b|時，以a,b為鄰邊的平行四邊形為矩形，所以a⊥b，故B正確；
對于C，由題意知a+λb=(1+λ,2+λ)，當a//(a+λb)時，2(1+λ)=2+λ，解得λ=0，
又a與a+λb的夾角為銳角，所以a?(a+λb)=1+λ+2(2+λ)>0且λ≠0，解得λ>?53且λ≠0，所以C錯誤；
對于D，由題意a?b=20，|b|= 42+32=5，所以a在b上的投影向量為a?b|b|2?b=45(4,3)=(165,125).D正確．
故選：BD．
利用基底的性質(zhì)、向量垂直的充要條件、向量的夾角與數(shù)量積的關系以及投影向量的概念，逐項計算和判斷．
本題考查平面向量的有關概念和性質(zhì)，屬于中檔題．
10.【答案】BCD
【解析】解：A：連接AD1，BC1，如圖AM?面ABC1D1，而B∈面ABC1D1，N?面ABC1D1，
所以M，N，A，B四點不共面，錯誤；
B：若F為DD1中點，連接AF，N為棱CC1的中點，
由長方體性質(zhì)知：AF//BN，顯然BN?面ADM，
若BN/?/面ADM，而AF∩面ADM=A，顯然有矛盾，
所以直線BN與平面ADM相交，正確；
C：若H，G分別是a，b，c中點，連接HD1，GD1，
由長方體性質(zhì)易知：HD1//AF，GD1//B1M，
而AF//BN，故HD 1//BN，即直線BN和B1M所成的角為∠GD1H，
由題設A1G=A1H=A1D1=2，易知HD1=GD1=AG=2 2，即△HD1G為等邊三角形，
所以∠GD1H為60°，正確；
D：若G分別是A1B1中點，顯然MG//A1D1//AD，易知A，D，M，G共面，
所以平面ADM和平面A1B1C1D1的夾角，即為面ADMG和面A1B1C1D1的夾角，
而面ADMG∩面A1B1C1D1=MG，長方體中AA1⊥A1G，AA1⊥MG，
如圖，∠AGA1為ADMG和面A1B1C1D1夾角的平面角，tan∠AGA1=AA1GA1=2，正確．
故選：BCD．
A：連接AD1，BC1，根據(jù)AM、B、N與面ABC1D1位置關系即可判斷；B：F為DD1中點，連接AF，易得AF//BN，根據(jù)它們與面ADM的位置關系即可判斷；C：若H，G分別是a，b，c中點，連接HD1，GD1，易知直線BN和B1M所成的角為∠GD1H，再證明△HD1G為等邊三角形即可得大小；D：若G分別是A1B1中點，求面ADMG和面A1B1C1D1的夾角即可，根據(jù)面面角的定義找到其平面角即可．
本題考查立體幾何知識的綜合運用，考查邏輯推理能力以及運算求解能力，屬于中檔題．
11.【答案】BC
【解析】解：對于A，取復數(shù)z1=i，則z12=?1∈R，z1?R，選項A錯誤；
對于B，由z1z2=z1z2?z2z2?=z1?z2?|z2|2=z1??z2|z2|2∈R，所以z?1z2∈R，選項B正確；
對于C，因為|z1z2|=|z1|z2|=2z2，所以z2∈R，且z2>0，所以|z2|=z2，且|z1|=2，所以z1z1?=|z1|2=4，選項C正確；
對于D，取z1=i，z2=?i，則z1z2=|z1|2=1，z1≠z2，選項D錯誤．
故選：BC．
選項A，取復數(shù)z1=i，判斷即可；
選項B，由復數(shù)與它的共軛復數(shù)的積是實數(shù)，判斷即可；
選項C，根據(jù)復數(shù)的定義與運算性質(zhì)，判斷即可；
選項D，取z1=i，z2=?i，判斷即可．
本題考查了復數(shù)的概念與應用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎題．
12.【答案】垂
【解析】解：因為三個側面兩兩垂直可知三條側棱兩兩垂直，
所以PA⊥PB⊥PC，
連接AH并延長交BC于點D，
由PA⊥PB⊥PC，知PA⊥BC①，
由PH是三棱錐P?ABC的高，
所以PH⊥BC②，
由①②得AD⊥BC，
同理，連接BH并延長AC交AC于點E，連接CH并延長AB于點F，
則BE⊥AC，CF⊥AB，
所以點H是三角形三邊上高的交點，
即H是三角形的垂心，
故答案為：垂．
由三個側面兩兩垂直可知三條側棱兩兩垂直，得PA⊥PB⊥PC，連接AH并延長交BC于點D，由線面垂直的性質(zhì)和線線垂直的判定定理，可得AD⊥BC，同理可得BE⊥AC，CF⊥AB，即可得出答案．
本題考查三棱錐的幾何體性質(zhì)，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
13.【答案】160
【解析】解：假設在樣本中，學生、教師的人數(shù)分別為m，n(1≤n

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