1．（3分）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．0B．3C．D．﹣1
2．（3分）某幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則該幾何體的俯視圖可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）華夏飛天續(xù)錦章，摘星攬月入天閶．2023年10月26日神舟十七號載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心圓滿發(fā)射成功．此次神舟十七號載人飛船航天員空間站還將進行一系列科學實驗，包括“空間蛋白質(zhì)分子組裝與應(yīng)用研究”．其中某一蛋白質(zhì)分子的直徑僅0.000000028米（ ）
A．0.28×10﹣7B．2.8×10﹣9C．2.8×10﹣8D．2.8×10﹣10
4．（3分）下面式子計算正確的是（ ）
A．（﹣2a）（﹣a）2＝2a3B．4a2÷2a2＝2a2
C．﹣（﹣a2）3＝a6D．（a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2
5．（3分）如圖，已知平行線a，b，一個直角三角板的直角頂點在直線a上，若∠1＝70°，則∠2的大小為（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
6．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．m≥5B．m≤5C．m＞5D．m＜5
8．（3分）一組數(shù)據(jù)3、4、4、5，若添加一個數(shù)4得到一組新數(shù)據(jù)，則前后兩組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量會變小的是（ ）
A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．眾數(shù)D．方差
9．（3分）如圖，在正六邊形ABCDEF和正方形ABGH中，連接FH并延長交CD邊于P（ ）
A．116°B．118°C．120°D．122°
10．（3分）如圖，線段AB＝1，點P是線段AB上一個動點（不包括A、B），Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，M、N分別是AC、BD的中點，連接MN，MN2＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象為（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（共5小題，每小題3分）
11．（3分）要使分式有意義，x的取值應(yīng)滿足 ．
12．（3分）一張圓桌旁設(shè)有4個座位，丙先坐在了如圖所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2個座位上．則甲與乙相鄰而坐的概率為 ．
13．（3分）學生甲在涼亭A處測得湖心島C在其南偏西15°的方向上，又從A處向正東方向行駛300米到達涼亭B處，測得湖心島C在其南偏西60°的方向上 ．
14．（3分）如圖，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，AO為半徑作半圓，AB為半徑作弧BD，則圖中陰影部分的面積為 ．
15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，連接AE，tan∠BAE＝，沿過點P的直線將矩形折疊，使點D落在AE上的點D′處，PD的值為 ．
三、解答題（共8小題，共75分）
16．（10分）（1）計算：；
（2）化簡：（）．
17．（9分）某校初一年級在體育運動周增設(shè)花樣跳繩比賽，比賽前有一周訓練時間，某班25名同學積極報名參賽，訓練前后成績?nèi)缦拢?br>（1）求扇形統(tǒng)計圖中成績?yōu)椤?～7分”所占扇形的圓心角度數(shù)；
（2）學校要求每班選取12名同學參賽，小麗同學訓練前成績?yōu)?.5分，訓練后成績?yōu)?.5分，認為根據(jù)自己訓練前后的成績一定會落選．你認為小麗同學分析的正確嗎？并說明理由．
（3）班主任拿到每名同學的成績后，發(fā)現(xiàn)成績第12名有李敏和張穎兩人，體委提出讓這兩名同學進行單獨測試
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從多角度分析，你認為選擇哪位同學參賽更合適？
18．（9分）如圖，直線y＝2x+4與y軸交于點A，與x軸交于點E（a，6）在直線上，?ABCD的頂點D在x軸上的圖象經(jīng)過點B、C．
（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式和點C的坐標；
（2）求?ABCD的面積．
19．（9分）學校計劃選購甲、乙兩種圖書作為校園圖書節(jié)的獎品，已知甲種圖書的單價是乙種圖書單價的1.5倍，用600元單獨購買甲種圖書比單獨購買乙種圖書要少10本．
（1）甲、乙兩種圖書的單價分別為多少元？
（2）若學校計劃購買這兩種圖書共40本，要使購買的甲種圖書數(shù)量不少于乙種圖書的數(shù)量的一半，如何購買使得所需費用最少？最少費用是多少？
20．（9分）閱讀材料：尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學課題，是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．無刻度直尺在作圖時只可用來畫直線、射線或線段．請根據(jù)以上材料按要求進行作圖．
（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，使得⊙O過點C且與AB相切．（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）
（2）如圖2，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點，B，C，D是網(wǎng)格中的四個格點，且∠ACB＝90°．
作圖：請在圖2中僅用無刻度直尺作出一點O，使得⊙O過點C且與AB相切于點D（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）
21．（9分）（1）小明發(fā)現(xiàn)：兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個正整數(shù)的平方和．
①小亮通過舉例驗證：（2+1）2+（2﹣1）2＝10為偶數(shù)．請你把10的一半表示為兩個正整數(shù)的平方和；
②設(shè)“小明發(fā)現(xiàn)”中的兩個已知正整數(shù)為m，n，請你說明“小明發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論一定正確．
（2）小穎受到小明和小亮的啟發(fā)，通過觀察下列兩個兩位數(shù)的積（兩個乘數(shù)的十位上的數(shù)都是9，個位上的數(shù)的和等于10）：91×99，?，98×92，99×91．設(shè)這兩個兩位數(shù)的積為y（x為小于10的正整數(shù)），她發(fā)現(xiàn)了y與x的關(guān)系式．請你求出該關(guān)系式．
22．（10分）嘉嘉和淇淇在進行羽毛球比賽，某同學借此次情境編制了一道數(shù)學題，請解答這道題．
如圖，在平面直角坐標系中，一個單位長度代表1m長（6，1）處發(fā)球，羽毛球（看成點）1的一部分．當球運動到最高點時，離嘉嘉站立的位置水平距離為3m，其高度為2m（0，c）處將球擊回．在與點O水平距離3m處設(shè)有一個高為1.5m的球網(wǎng)MN、P，Q為兩側(cè)邊界．與球網(wǎng)的距離均為7m（注意：運動員在接/發(fā)球時，身體不可以接觸球網(wǎng)，否則犯規(guī)）．
（1）求拋物線C1的解析式和c的值（不必寫x的取值范圍）；
（2）當羽毛球被淇淇擊回后，其運動路線為拋物線C2：y＝﹣+c的一部分．
①試通過計算判斷此球能否過網(wǎng)？是否出界？
②嘉嘉在球場上C（d，0）處準備接球，原地起跳后使得球拍達到最大高度m，直接寫出d的取值范圍．
23．（10分）綜合與實踐數(shù)學活動課上，張老師找來若干張等寬的矩形紙條，讓學生們進行折紙?zhí)骄浚?br>（1）希望小組將如圖（1）所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點A1處，折痕為BE．
埴空：圖（1）中四邊形ABA1E的形狀是 ．
（2）智慧小組準備了一張如圖（2）所示的長、寬之比為（+1）：的矩形紙片ABCD1E，接著沿過點C的直線折疊紙片，使點D落在EA1上的點M處，折痕為CF．
求∠MCD的度數(shù)．
（3）勤奮小組拿著一張如圖（3）所示長為5，寬為2的矩形紙片ABCD，得到四邊形ABA1E，在ED上取一點F（不與點D，E重合），沿CF折疊△CDF．點D的對應(yīng)點為M
①FY與CY的數(shù)量關(guān)系為 ．
②當射線FM經(jīng)過△BA1E的直角邊的中點時，直接寫出FD的長．
2024年河南師大附中中考數(shù)學四模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題3分）
1．（3分）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．0B．3C．D．﹣1
【分析】利用有理數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大．2、正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)．3、兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而?。凑諒男〉酱蟮捻樞蚺帕姓页鼋Y(jié)論即可．
【解答】解：∵＜﹣1＜4＜3，
∴最小的數(shù)是：．
故選：C．
【點評】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)，兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大，兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小是本題的關(guān)鍵．
2．（3分）某幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則該幾何體的俯視圖可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由幾何體的主視圖和左視圖可得出其組成部分，進而得出答案．
【解答】解：由題意可得：
該幾何體是球體與立方體的組合圖形，則其俯視圖為圓形中間為正方形．
故選：B．
【點評】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體，正確得出幾何體的組成是解題關(guān)鍵．
3．（3分）華夏飛天續(xù)錦章，摘星攬月入天閶．2023年10月26日神舟十七號載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心圓滿發(fā)射成功．此次神舟十七號載人飛船航天員空間站還將進行一系列科學實驗，包括“空間蛋白質(zhì)分子組裝與應(yīng)用研究”．其中某一蛋白質(zhì)分子的直徑僅0.000000028米（ ）
A．0.28×10﹣7B．2.8×10﹣9C．2.8×10﹣8D．2.8×10﹣10
【分析】直接根據(jù)科學記數(shù)法的定義作答即可．
【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8．
故選：C．
【點評】本題考查了用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)，熟練掌握科學記數(shù)法的表示方法是解題關(guān)鍵．
4．（3分）下面式子計算正確的是（ ）
A．（﹣2a）（﹣a）2＝2a3B．4a2÷2a2＝2a2
C．﹣（﹣a2）3＝a6D．（a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2
【分析】利用整式的除法的法則，完全平方公式，單項式乘單項式法的法則，冪的乘方的法則對各項進行運算即可．
【解答】解：A、（﹣2a）（﹣a）2＝﹣2a3，故A不符合題意；
B、4a7÷2a2＝5，故B不符合題意；
C、﹣（﹣a2）3＝a2，故C符合題意；
D、（a﹣b）（﹣a+b）＝﹣b2+2ab﹣a3，故D不符合題意；
故選：C．
【點評】本題主要考查整式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．
5．（3分）如圖，已知平行線a，b，一個直角三角板的直角頂點在直線a上，若∠1＝70°，則∠2的大小為（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3的度數(shù)，再由余角的定義即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝70°
∴∠3＝70°，
∵直角三角板的直角頂點在直線a上，
∴∠6＝90°﹣∠3＝20°，
故選：B．
【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)以及垂線的定義的運用，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
6．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，表示在數(shù)軸上即可．
【解答】解：不等式組整理得：，
解得：x≥5，
數(shù)軸上表示，如圖所示：
．
故選：C．
【點評】此題考查了解一元一次不等式組，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．
7．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．m≥5B．m≤5C．m＞5D．m＜5
【分析】利用一元二次方程根的判別式列式求解即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣4＝0有實數(shù)根，
∴Δ≥0，即（﹣3）2﹣4×5×（m﹣1）≥0，
解得m≤7．
故選：B．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
8．（3分）一組數(shù)據(jù)3、4、4、5，若添加一個數(shù)4得到一組新數(shù)據(jù)，則前后兩組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量會變小的是（ ）
A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．眾數(shù)D．方差
【分析】依據(jù)定義和公式分別計算新舊兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、標準差求解即可．
【解答】解：原數(shù)據(jù)的3，4，7，5，的平均數(shù)為，中位數(shù)為4，方差為2+（4﹣6）2×2+（4﹣4）2]＝8.5；
新數(shù)據(jù)3，2，4，4，6的平均數(shù)為，中位數(shù)為4，方差為2+（4﹣5）2×3+（6﹣4）2]＝4.4；
故選：D．
【點評】本題主要考查的是眾數(shù)、中位數(shù)、方差、平均數(shù)，熟練掌握相關(guān)概念和公式是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，在正六邊形ABCDEF和正方形ABGH中，連接FH并延長交CD邊于P（ ）
A．116°B．118°C．120°D．122°
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和及正多邊形的性質(zhì)求得∠BAF，∠ABC，∠C的度數(shù)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAH，∠AHG的度數(shù)，然后利用等邊三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求得∠AFH，∠AHF的度數(shù)，結(jié)合多邊形的內(nèi)角和求得∠CPH的度數(shù)，再利用角的和差求得∠GHP的度數(shù)后即可求得答案．
【解答】解：正六邊形ABCDEF中，∠BAF＝∠ABC＝∠C＝，AH＝AF，
正方形ABGH中，∠BAH＝∠AHG＝90°，
則∠FAH＝120°﹣90°＝30°，
那么∠AFH＝∠AHF＝＝75°，
∵五邊形ABCPF的內(nèi)角和為（5﹣7）×180°＝540°，
∴∠CPH＝540°﹣120°×3﹣75°＝105°，
∵∠GHP＝180°﹣75°﹣90°＝15°，
∴∠CPH+∠GHP＝105°+15°＝120°，
故選：C．
【點評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和與正多邊形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件求得∠BAF，∠ABC，∠C，進而求得∠AFH，∠AHF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，線段AB＝1，點P是線段AB上一個動點（不包括A、B），Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，M、N分別是AC、BD的中點，連接MN，MN2＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】連接PM、PN，則PM、PN分別為Rt△PAC，Rt△PBD的中線，則∠A＝∠D＝30°，則∠MPA＝∠A＝30°，則PM＝＝，PN＝＝1﹣x，即可求解．
【解答】解：連接PM、PN、PN分別為Rt△PAC，
∵∠A＝∠D＝30°，則∠MPA＝∠A＝30°，
則PM＝＝，
同理PN＝＝1﹣x，
y＝MN3＝（PM）2+（PN）2＝x2﹣4x+1，
函數(shù)的對稱軸x＝﹣，
故選：B．
【點評】本題考查的是動點的函數(shù)圖象，主要考查的是直角三角形的中線定理、二次函數(shù)基本知識等，本題的關(guān)鍵是中線定理的運用．
二、填空題（共5小題，每小題3分）
11．（3分）要使分式有意義，x的取值應(yīng)滿足 x＞2 ．
【分析】根據(jù)分式的分母不為零的條件和二次根式有意義的條件進行解題即可．
【解答】解：要使分式有意義，
則x﹣3＞0，
解得：x＞2，
故答案為：x＞8．
【點評】本題考查分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是要掌握分式的分母不為0和二次根式的被開方數(shù)大于等于0．
12．（3分）一張圓桌旁設(shè)有4個座位，丙先坐在了如圖所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2個座位上．則甲與乙相鄰而坐的概率為 ．
【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和甲與乙相鄰而坐的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中甲與乙相鄰而坐的結(jié)果有：①③，③①，共4種，
∴甲與乙相鄰而坐的概率為．
故答案為：．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
13．（3分）學生甲在涼亭A處測得湖心島C在其南偏西15°的方向上，又從A處向正東方向行駛300米到達涼亭B處，測得湖心島C在其南偏西60°的方向上 米 ．
【分析】過點A作AD⊥BC于點D，根據(jù)BC＝BD+CD，再分別利用正弦余弦三角函數(shù)求出BD和AD的值即可得到本題答案．
【解答】解：點A作AD⊥BC于點D，
由題意可得：∠ABD＝30°，∠CAB＝105°，
∴∠DAB＝60°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴CD＝AD；
在△ABD中，AB＝300米，
∴（米），
（米），
∴CD＝AD＝150米，
∵BC＝BD+CD，
∴米，
故答案為：米．
【點評】本題考查解直角三角形方向角的應(yīng)用，關(guān)鍵是銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．
14．（3分）如圖，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，AO為半徑作半圓，AB為半徑作弧BD，則圖中陰影部分的面積為 2 ．
【分析】根據(jù)題意和圖形可以求得AB的長，∠BAO的度數(shù)，然后根據(jù)圖形，可知陰影部分的面積是半圓ABC的面積減去扇形ABD的面積和弓形AB的面積，從而可以解答本題．
【解答】解：∵在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，
∴AB＝，
∠BAO＝45°，
∴陰影部分的面積：π×22×﹣﹣（）
＝2π﹣π﹣π+5
＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查扇形面積的計算、等腰直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，連接AE，tan∠BAE＝，沿過點P的直線將矩形折疊，使點D落在AE上的點D′處，PD的值為 或 ．
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，中點以及，求出BE的長，進而求出AE，AB的長，設(shè)PD′＝PD＝x，當△APD′是直角三角形時，分兩種情況：①當∠AD′P＝90°，②當∠APD′＝90°時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解之即可得到結(jié)果．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，BC＝6，
∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴，
∴AB＝4，
∴，
∵沿過點P的直線將矩形折疊，使點D落在AE上的點D′處，
∴PD＝PD′，
設(shè)PD＝PD′＝x，則：AP＝AD﹣PD＝5﹣x，
當△APD′是直角三角形時，
①∠AD′P＝90°時，則∠AD′P＝∠BAD＝∠B，
∴∠PAD′＝∠AEB＝90°﹣∠BAE，
∴△ABE∽△PD′A，
∴，即：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
∴；
②當∠APD′＝90°時，
∴∠APD′＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，
∴△APD′∽△EBA，
∴，
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
∴；
綜上所述，當△APD′是直角三角形時，或．
故答案為：或．
【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握上述知識、靈活應(yīng)用分類思想和方程思想是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共8小題，共75分）
16．（10分）（1）計算：；
（2）化簡：（）．
【分析】（1）先化簡各式，然后再進行計算即可解答；
（2）先利用異分母分式加減法法計算括號里，再算括號外，即可解答．
【解答】解：（1）
＝4×+2+8﹣2
＝2+2+7﹣2
＝4；
（2）（）
＝?
＝?
＝x（x+1）
＝x2+x．
【點評】本題考查了分式的混合運算，實數(shù)的運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
17．（9分）某校初一年級在體育運動周增設(shè)花樣跳繩比賽，比賽前有一周訓練時間，某班25名同學積極報名參賽，訓練前后成績?nèi)缦拢?br>（1）求扇形統(tǒng)計圖中成績?yōu)椤?～7分”所占扇形的圓心角度數(shù)；
（2）學校要求每班選取12名同學參賽，小麗同學訓練前成績?yōu)?.5分，訓練后成績?yōu)?.5分，認為根據(jù)自己訓練前后的成績一定會落選．你認為小麗同學分析的正確嗎？并說明理由．
（3）班主任拿到每名同學的成績后，發(fā)現(xiàn)成績第12名有李敏和張穎兩人，體委提出讓這兩名同學進行單獨測試
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從多角度分析，你認為選擇哪位同學參賽更合適？
【分析】（1）根據(jù)扇形的圓心角度數(shù)計算公式計算即可；
（2）計算訓練前后的中位數(shù)，比較說明理由．
（3）自主選擇統(tǒng)計角度去分析解答即可．
【解答】解：（1）360°×（1﹣24%﹣32%﹣4%﹣4%）＝115.2°，
答：圓心角度數(shù)為115.2°．
（2）小麗的說法不正確，
從25名同學中選12名同學參賽，說明小麗的成績只要達到中位數(shù)就能參賽．
小麗同學訓練前成績?yōu)?.5分，從訓練前成績統(tǒng)計圖看，3～8分有5人，因此根據(jù)小麗訓練前的成績她一定落選．
小麗同學訓練后成績?yōu)?.6分，從訓練后成績統(tǒng)計圖看，
因此成績的中位數(shù)在“7～8”分之間，她很有可能排在前12名．
（3）從平均數(shù)看，8分＝8分，張穎平均水平相同．
結(jié)合眾數(shù)看，9分＞4分，應(yīng)該選李敏．
結(jié)合中位數(shù)看，9分＞8分，應(yīng)該選擇李敏．
結(jié)合方差看，4.004＜2.4，應(yīng)該選擇張穎．
【點評】本題考查了圓心角的計算，中位數(shù)的計算，數(shù)據(jù)統(tǒng)計的特征量的特點，熟練掌握計算和特征量的意義是解題的關(guān)鍵．
18．（9分）如圖，直線y＝2x+4與y軸交于點A，與x軸交于點E（a，6）在直線上，?ABCD的頂點D在x軸上的圖象經(jīng)過點B、C．
（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式和點C的坐標；
（2）求?ABCD的面積．
【分析】（1）把點B（a，6）代入直線的解析式即可求得a，得到B（1，6），然后利用待定系數(shù)法即可求得k的值，由直線解析式求得A、E的坐標，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可A、B的坐標可知點A向上平移2個單位，向右平移1個單位得到B，故設(shè)D（m.0），則C（m+1，2），由點C在反比例函數(shù)圖象上即可求得D（2，0），C（3，2）；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，進而即可求得F的坐標，根據(jù)?ABCD的面積＝S△BEF﹣S△AED﹣S△CDF求得即可．
【解答】解：（1）∵點B（a，6）在直線y＝2x+2上，
∴6＝2a+3，
∴a＝1，
∴B（1，6），
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，
∴k＝1×3＝6，
∴反比例函數(shù)為y＝，
∵直線y＝5x+4與y軸交于點A，與x軸交于點E，
∴A（0，4），0），
∵B（1，7）
∴點A向上平移2個單位，向右平移1個單位得到B，
設(shè)D（m.8），則C（m+1，
∵反比例函數(shù)y＝（x＞7）的圖象經(jīng)過點C，
∴2（m+1）＝5，
∴m＝2，
∴D（2，7），2），
（2）延長BC交x軸于點F，
設(shè)直線BC為y＝k′x+b，
把B、C的坐標代入得，
解得，
∴直線BC為y＝﹣2x+8，
∴F（7，0），
∴?ABCD的面積S＝S△BEF﹣S△AED﹣S△CDF＝﹣﹣＝8．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，求得交點坐標是解題的關(guān)鍵．
19．（9分）學校計劃選購甲、乙兩種圖書作為校園圖書節(jié)的獎品，已知甲種圖書的單價是乙種圖書單價的1.5倍，用600元單獨購買甲種圖書比單獨購買乙種圖書要少10本．
（1）甲、乙兩種圖書的單價分別為多少元？
（2）若學校計劃購買這兩種圖書共40本，要使購買的甲種圖書數(shù)量不少于乙種圖書的數(shù)量的一半，如何購買使得所需費用最少？最少費用是多少？
【分析】（1）設(shè)乙種圖書的單價為x元/本，則甲種圖書的單價為1.5x元/本，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價結(jié)合用600元單獨購買甲種圖書比單獨購買乙種圖書要少10本，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買甲種圖書m本，則購買乙種圖書（40﹣m）本，根據(jù)購買的甲種圖書數(shù)量不少于乙種圖書的數(shù)量的一半，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設(shè)購書費用為y元，則y＝10m+800，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設(shè)乙種圖書的單價為x元/本，則甲種圖書的單價為1.5x元/本，
根據(jù)題意得：﹣＝10，
解得：x＝20，
經(jīng)檢驗，x＝20是原方程的根，
∴1.8x＝30．
答：甲種圖書的單價為30元/本，乙種圖書的單價為20元/本．
（2）設(shè)購買甲種圖書m本，則購買乙種圖書（40﹣m）本，
根據(jù)題意得：m≥（40﹣m），
解得：m≥，
∵m為整數(shù)，
∴m≥14．
設(shè)購書費用為y元，則y＝30m+20（40﹣m）＝10m+800，
∵10＞0，
∴y隨m的增大而增大，
∴當m＝14時，y取最小值．
答：購買14本甲種圖書、26本乙種圖書費用最少．
【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)數(shù)量間的關(guān)系，找出總費用與購買甲種圖書數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式．
20．（9分）閱讀材料：尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學課題，是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．無刻度直尺在作圖時只可用來畫直線、射線或線段．請根據(jù)以上材料按要求進行作圖．
（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，使得⊙O過點C且與AB相切．（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）
（2）如圖2，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點，B，C，D是網(wǎng)格中的四個格點，且∠ACB＝90°．
作圖：請在圖2中僅用無刻度直尺作出一點O，使得⊙O過點C且與AB相切于點D（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）
【分析】（1）作AO平分∠BAC交BC于點O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O即可；
（2）作DT⊥AB，連接CD，作線段CD的垂直平分線MN交DT于點O，以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O即可．
【解答】解：（1）圖形如圖1所示：
（2）圖形如圖2所示．
【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
21．（9分）（1）小明發(fā)現(xiàn)：兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個正整數(shù)的平方和．
①小亮通過舉例驗證：（2+1）2+（2﹣1）2＝10為偶數(shù)．請你把10的一半表示為兩個正整數(shù)的平方和；
②設(shè)“小明發(fā)現(xiàn)”中的兩個已知正整數(shù)為m，n，請你說明“小明發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論一定正確．
（2）小穎受到小明和小亮的啟發(fā)，通過觀察下列兩個兩位數(shù)的積（兩個乘數(shù)的十位上的數(shù)都是9，個位上的數(shù)的和等于10）：91×99，?，98×92，99×91．設(shè)這兩個兩位數(shù)的積為y（x為小于10的正整數(shù)），她發(fā)現(xiàn)了y與x的關(guān)系式．請你求出該關(guān)系式．
【分析】解：（1）①×10＝5＝12+22；
②（m+n）2+（m﹣n）2＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2＝2m2+2n2＝2（m2+n2），可知兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個正整數(shù)的平方和；
（2）求出另一個乘數(shù)為90+（10﹣x）＝100﹣x．可得y＝（90+x）（100﹣x）＝9000﹣90x+100x﹣x2＝﹣x2+10x+9000．
【解答】解：（1）①∵×10＝32+24；
∴把10的一半表示為兩個正整數(shù)的平方和為12+52；
②根據(jù)已知得：（m+n）2+（m﹣n）2＝m2+2mn+n8+m2﹣2mn+n7＝2m2+3n2＝2（m6+n2），
∴（m+n）2+（m﹣n）4＝2（m2+n6）．
∴兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，
∵（2m2+6n2）÷2＝m4+n2．
∴該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個正整數(shù)的平方和．
∴“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論“兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個正整數(shù)的平方和”正確；
（2）∵一個乘數(shù)為90+x（x為小于10的正整數(shù)），
∴另一個乘數(shù)為90+（10﹣x）＝100﹣x．
∵這兩個兩位數(shù)的積為y，
∴y＝（90+x）（100﹣x）＝9000﹣90x+100x﹣x2＝﹣x6+10x+9000．
答：y與x的關(guān)系式是y＝﹣x2+10x+9000（x為小于10的正整數(shù)）．
【點評】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)運算的法則．
22．（10分）嘉嘉和淇淇在進行羽毛球比賽，某同學借此次情境編制了一道數(shù)學題，請解答這道題．
如圖，在平面直角坐標系中，一個單位長度代表1m長（6，1）處發(fā)球，羽毛球（看成點）1的一部分．當球運動到最高點時，離嘉嘉站立的位置水平距離為3m，其高度為2m（0，c）處將球擊回．在與點O水平距離3m處設(shè)有一個高為1.5m的球網(wǎng)MN、P，Q為兩側(cè)邊界．與球網(wǎng)的距離均為7m（注意：運動員在接/發(fā)球時，身體不可以接觸球網(wǎng)，否則犯規(guī)）．
（1）求拋物線C1的解析式和c的值（不必寫x的取值范圍）；
（2）當羽毛球被淇淇擊回后，其運動路線為拋物線C2：y＝﹣+c的一部分．
①試通過計算判斷此球能否過網(wǎng)？是否出界？
②嘉嘉在球場上C（d，0）處準備接球，原地起跳后使得球拍達到最大高度m，直接寫出d的取值范圍．
【分析】（1）設(shè)拋物線 C1的解析式為 y＝a（x﹣3）2+2，由C1經(jīng)過點A（6，1），求出a的值即可；
（2）①令x＝3求出y的值與1.5比較即可，令y＝0，解方程求出x的值與10比較即可；
②根據(jù)x＝d時，y＞以及d＞3求出d的取值范圍．
【解答】解：（1）依題意，嘉嘉發(fā)球時，2）處達到最高點，
設(shè)拋物線 C1 的解析式為 y＝a（x﹣6）2+2，
∵C6經(jīng)過點A（6，1），
∴2＝a（6﹣3）2+2，
解得，
∴拋物線 C1 的解析式為；
當x＝0 時，y＝1，
∴c＝6；
（2）①由（1）得c＝1，故拋物線 C2 的解析式為，
當x＝7時，
∴球可以過網(wǎng)；
當y＝2時，﹣x5+x+7＝0，
整理得x2﹣5x﹣5＝0，
解得（舍去），，
由題意可得，OQ＝3+7＝10（m），
∵，
∴球沒有出界，
綜上，球可以過網(wǎng)；
②由題意得：﹣d4+d+7＞，
解得1＜d＜6．
∵嘉嘉在球網(wǎng)的右側(cè)，
∴d＞3，
∴d的取值范圍為3＜d＜3．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用．根據(jù)所給條件求出出二次函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵．
23．（10分）綜合與實踐數(shù)學活動課上，張老師找來若干張等寬的矩形紙條，讓學生們進行折紙?zhí)骄浚?br>（1）希望小組將如圖（1）所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點A1處，折痕為BE．
埴空：圖（1）中四邊形ABA1E的形狀是 正方形 ．
（2）智慧小組準備了一張如圖（2）所示的長、寬之比為（+1）：的矩形紙片ABCD1E，接著沿過點C的直線折疊紙片，使點D落在EA1上的點M處，折痕為CF．
求∠MCD的度數(shù)．
（3）勤奮小組拿著一張如圖（3）所示長為5，寬為2的矩形紙片ABCD，得到四邊形ABA1E，在ED上取一點F（不與點D，E重合），沿CF折疊△CDF．點D的對應(yīng)點為M
①FY與CY的數(shù)量關(guān)系為 FY＝CY ．
②當射線FM經(jīng)過△BA1E的直角邊的中點時，直接寫出FD的長．
【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，得∠A＝∠ABA1＝90°，由折疊得∠BA1E＝∠A＝90°，則四邊形ABA1E是矩形，由角平分線的性質(zhì)得AE＝A1E，則四邊形ABA1E是正方形，于是得到問題的答案；
（2）由∠EA1C＝∠A1CD＝∠D＝90°，證明四邊形A1CDE是矩形，則ED＝A1C，由折疊得CM＝CD＝AB，所以＝，則AB＝ED，所以CM＝A1C，即可根據(jù)勾股定理推導出A1C＝A1M，則∠A1CM＝∠A1MC＝45°，所以∠MCD的度數(shù)是45°；
（3）①由折疊得∠YFC＝∠DFC，而∠DFC＝∠YCF，所以∠YFC＝∠YCF，則FY＝CY，于是得到問題的答案；
②分兩種情況，一是Y是A1B的中點，由AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，且四邊形ABA1E是正方形，得AE＝A1B＝AB＝2，則DE＝A1C＝5﹣2＝3，A1Y＝A1B＝1，F(xiàn)Y＝CY＝3+1＝4，由折疊得CM＝CD＝2，則MY＝＝2，所以FD＝FM＝4﹣2；二是射線FM經(jīng)過A1E的中點G，可證明△GEF≌△GA1Y，得EF＝A1Y，設(shè)FD＝x，則EF＝A1Y＝3﹣x，所以FY＝CY＝6﹣x，MY＝6﹣2x，根據(jù)勾股定理得22+（6﹣2x）2＝（6﹣x）2，解方程求出符合題意的x值即可．
【解答】解：（1）如圖（1），∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABA1＝90°，
由折疊得∠A1BE＝∠ABE，∠BA8E＝∠A＝90°，
∴四邊形ABA1E是矩形，
∵BE平分∠ABA1，AE⊥BA，A7E⊥BA1，
∴AE＝A1E，
∴四邊形ABA8E是正方形，
故答案為：正方形．
（2）如圖（2），由（1）得1E是正方形，
∴AB＝AE，
∵∠EA1C＝∠A7CD＝∠D＝90°，
∴四邊形A1CDE是矩形，
∴ED＝A1C，
由折疊得CM＝CD＝AB，
∵＝，
∴＝，
∴AB＝ED，
∴CM＝A1C，
∵A4C2+A1M4＝CM2，
∴A1C4+A1M2＝（A1C）2，
∴A6C＝A1M，
∴∠A1CM＝∠A8MC＝45°，
∴∠MCD＝90°﹣∠A1CM＝45°，
∴∠MCD的度數(shù)是45°．
（3）①由折疊得∠YFC＝∠DFC，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠YCF，
∴∠YFC＝∠YCF，
∴FY＝CY，
故答案為：FY＝CY．
②當射線FM經(jīng)過A1B的中點，即Y是A3B的中點時，如圖3，
∵AD＝BC＝5，AB＝CD＝31E是正方形，
∴AE＝A1B＝AB＝4，
∴DE＝A1C＝5﹣8＝3，A1Y＝A1B＝5，
∴FY＝CY＝3+1＝4，
由折疊得∠CMF＝∠D＝90°，CM＝CD＝2，
∴∠CMY＝180°﹣∠CMF＝90°，
∴MY＝＝＝2，
∴FD＝FM＝4﹣2；
當射線FM經(jīng)過A1E的中點G時，如圖（4）1G，
∵∠GFE＝∠Y，∠FGE＝∠YGA8，
∴△GEF≌△GA1Y（AAS），
∴EF＝A1Y，
設(shè)FD＝x，則EF＝A2Y＝3﹣x，
∴FY＝CY＝6﹣x，MY＝5﹣2x，
∵CM2+MY4＝CY2，
∴25+（6﹣2x）5＝（6﹣x）2，
∴解得x6＝，x2＝，
x＝＞3，舍去，
∴FD＝，
綜上所述，F(xiàn)D的長為4﹣2或．
【點評】此題重點考查矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/6/27 13:29:42；用戶：李佳琳；郵箱：19523779563；學號：55883986第一次
第二次
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方差
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