考試時間120分鐘，總分150分
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1. （ ）．
A. 15B. 30C. 45D. 60
2. 設(shè)點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點是B，則等于（ ）
A. 4B. C. D. 2
3. 的展開式中項的系數(shù)為（ ）
A. 32B. C. 64D.
4. 如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點，則等于（ ）
A. B. C. D.
5. 樓道里有9盞燈，為了節(jié)約用電，需關(guān)掉3盞互不相鄰的燈，為了行走安全，第一盞和最后一盞不關(guān)，則關(guān)燈方案的種數(shù)為
A 10B. 15C. 20D. 24
6. 某早餐店發(fā)現(xiàn)加入網(wǎng)絡(luò)平臺后，每天小籠包的銷售量（單位：個），估計300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個的天數(shù)大約是（ ）
（若隨機變量，則，，）
A. 236B. 246C. 270D. 275
7. 已知向量不共面，則使向量共面的實數(shù)x的值是（ ）
A. B. C. D. 4
8. 若，則（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 若3男3女排成一排，則下列說法正確的是（ ）
A. 共計有360種不同的排法B. 男生甲在排頭或在排尾的排法總數(shù)為240種
C. 男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為240種D. 男女生相間排法總數(shù)為72種
10. 已知某足球運動員每次定點射門的命中率為0.5，則下述正確的是（ ）
A. 若共進行10次射門，則命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于5B. 若共進行10次射門，則命中5次的概率最大
C. 若共進行5次射門，則命中次數(shù)的方差等于1D. 若共進行5次射門，則至少有兩次命中的概率為
11. 在直三棱柱中，，，分別是的中點，在線段上，則下面說法中正確的有（ ）
A 平面
B. 若是上的中點，則
C. 直線與平面所成角正弦值為
D. 直線與直線所成角最小時，線段長為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知集合，，，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，可以確定的不同點的坐標(biāo)個數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）
13. 在空間直角坐標(biāo)系中，、，平面的一個法向量是，則點到平面的距離為______________．
14. 甲、乙兩同學(xué)玩擲骰子游戲，規(guī)則如下：
（1）甲、乙各拋擲質(zhì)地均勻的骰子一次，甲得到的點數(shù)為，乙得到的點數(shù)為；
（2）若的值能使二項式的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則甲勝，否則乙勝.
那么甲勝的概率為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答補充完整的題目.
問題：已知，且__________（只需填序號）.
（1）求的值；
（2）求展開式中的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
16. 已知空間三點，設(shè)．
（1）若，，求；
（2）求與夾角的余弦值；
（3）若與互相垂直，求k．
17. 端午節(jié)吃粽子是我國傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個.
（1）求三種粽子各取到1個的概率；
（2）設(shè)表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求的分布列.
18. 如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為．
（1）若為棱的中點，求證：平面；
（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.
19. 某水表制造有限公司，是一家十分優(yōu)質(zhì)的水表制造公司，該公司有3條水表表盤生產(chǎn)線.
（1）某檢驗員每天從其中的一條水表表盤生產(chǎn)線上隨機抽取100個表盤進行檢測，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為該條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的水表表盤尺寸服從正態(tài)分布N（μ，）.記X表示一天內(nèi)抽取的100個表盤中其尺寸在之外的個數(shù)，求P及X的數(shù)學(xué)期望；
（2）該公司的3條水表表盤生產(chǎn)線其次品率和生產(chǎn)的表盤所占比例如下表：
現(xiàn)從所生產(chǎn)的表盤中隨機抽取一只，若已知取到的是次品，試求該次品分別由三條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的概率，并分析該次品來自哪條生產(chǎn)線的可能性最大（用頻率代替概率）.
附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（），則，生產(chǎn)線編號
次品率
所占比例
1
0.02
35%
2
0.01
50%
3
0.04
15%
2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期階段聯(lián)測
高二數(shù)學(xué)試題
考試時間120分鐘，總分150分
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1. （ ）．
A. 15B. 30C. 45D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】由排列數(shù)公式，組合數(shù)公式及性質(zhì)計算即可．
【詳解】，
故選：C．
2. 設(shè)點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點是B，則等于（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
求出點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點是B，再利用兩點之間的距離即可求得結(jié)果.
【詳解】點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點是
故選：A
3. 的展開式中項的系數(shù)為（ ）
A. 32B. C. 64D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二項式定理求解即可
【詳解】展開式的通項公式為，
所以展開式中項的系數(shù)為，
故選：B
4. 如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求解．
【詳解】由已知，
故選：D．
5. 樓道里有9盞燈，為了節(jié)約用電，需關(guān)掉3盞互不相鄰的燈，為了行走安全，第一盞和最后一盞不關(guān)，則關(guān)燈方案的種數(shù)為
A. 10B. 15C. 20D. 24
【答案】A
【解析】
分析】
將問題等價轉(zhuǎn)化為將盞關(guān)著的燈插入盞亮著的燈所形成的除最左端和最右端的空擋以外的個空檔之內(nèi)，進而求得結(jié)果.
【詳解】問題等價于將盞關(guān)著的燈插入盞亮著的燈所形成的除最左端和最右端的空擋以外的個空檔之內(nèi)
關(guān)燈方案共有：種
故選：
【點睛】本題考查組合數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}進行等價轉(zhuǎn)化為符合插空法的形式.
6. 某早餐店發(fā)現(xiàn)加入網(wǎng)絡(luò)平臺后，每天小籠包的銷售量（單位：個），估計300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個的天數(shù)大約是（ ）
（若隨機變量，則，，）
A. 236B. 246C. 270D. 275
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布在特定區(qū)間的概率及正態(tài)曲線的對稱性進行計算即可得解.
【詳解】由題可知，，，.
所以300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個的天數(shù)大約是天．
故選：B．
7. 已知向量不共面，則使向量共面的實數(shù)x的值是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量共面得到線性表示，再化簡求值即可.
【詳解】因為共面，所以存在實數(shù)，使得，所以，解得.
故選：A.
8. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用條件概率的公式即可求解.
【詳解】因為，所以，所以.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 若3男3女排成一排，則下列說法正確的是（ ）
A. 共計有360種不同的排法B. 男生甲在排頭或在排尾的排法總數(shù)為240種
C. 男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為240種D. 男女生相間排法總數(shù)為72種
【答案】BCD
【解析】
【分析】由全排列公式判斷A，B；由捆綁法判斷C；由插空法判斷D.
【詳解】對于A，3男3女排成一排共有種不同的排法，故A錯誤；
對于B，男生甲在排頭或在排尾的排法總數(shù)為種，故B正確；
對于C，男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為種，故C正確；
對于D，男女生相間排法總數(shù)為種，故D正確.
故選：BCD.
10. 已知某足球運動員每次定點射門的命中率為0.5，則下述正確的是（ ）
A. 若共進行10次射門，則命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于5B. 若共進行10次射門，則命中5次的概率最大
C. 若共進行5次射門，則命中次數(shù)的方差等于1D. 若共進行5次射門，則至少有兩次命中的概率為
【答案】AB
【解析】
【分析】由二項分布的概率公式以及期望方差公式依次判斷即可.
【詳解】設(shè)表示運動員命中次數(shù)為次，由題意可知，隨機變量服從二項分布，若進行10次射門，則，
，若進行5次射門，則，
；
對于A，由二項分布期望公式得數(shù)學(xué)期望為，A正確；
由二項式系數(shù)性質(zhì)知中最大，則命中5次的概率最大，B正確；
對于C，由二項分布方差公式知，命中次數(shù)的方差等于，C錯誤；
對于D，至少命中兩次的概率，D錯誤.
故選：AB.
11. 在直三棱柱中，，，分別是的中點，在線段上，則下面說法中正確的有（ ）
A. 平面
B. 若是上的中點，則
C. 直線與平面所成角的正弦值為
D. 直線與直線所成角最小時，線段長為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題意寫出空間中的點的坐標(biāo)，利用與平面法向量的數(shù)量積等于零可判斷A；根據(jù)可判斷B；求出平面的一個法向量，利用空間向量數(shù)量積求線面角可判斷C；利用異面直線所成角的空間向量求法可判斷D.
【詳解】由題意可得，，，，
，，，設(shè)，
，，
直三棱柱中，，
可得為平面的一個法向量，
為平面的一個法向量，
對于A，，，
即，又平面，所以平面，故A正確；
對于B，若是上的中點，則，
所以，所以與不垂直，故B不正確；
對于C，由為平面的一個法向量，，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，故C正確；
對于D，設(shè)，
則，

當(dāng)時，即時，取最大值，
即直線與直線所成角最小，此時，
，故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知集合，，，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，可以確定的不同點的坐標(biāo)個數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）
【答案】36
【解析】
【分析】先從三個集合中各取一個元素，計算出所構(gòu)成的點的總數(shù)即可得出答案.
【詳解】首先取出三個數(shù)的方法是，構(gòu)成不同的坐標(biāo)的方法，
則再乘以，所以共有種方法．
故答案為：36.
13. 在空間直角坐標(biāo)系中，、，平面的一個法向量是，則點到平面的距離為______________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用點到平面的距離公式（為平面的一個法向量）可求得點到平面的距離.
【詳解】由已知條件可得，平面的一個法向量為，
所以，點到平面的距離為.
因此，點到平面的距離為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求點到平面的距離，方法如下：
（1）等體積法：先計算出四面體的體積，然后計算出的面積，利用錐體的體積公式可計算出點到平面的距離；
（2）空間向量法：先計算出平面的一個法向量的坐標(biāo)，進而可得出點到平面的距離為.
14. 甲、乙兩同學(xué)玩擲骰子游戲，規(guī)則如下：
（1）甲、乙各拋擲質(zhì)地均勻的骰子一次，甲得到的點數(shù)為，乙得到的點數(shù)為；
（2）若的值能使二項式的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則甲勝，否則乙勝.
那么甲勝的概率為______.
【答案】
【解析】
【分析】列舉基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解.
【詳解】甲、乙各拋擲質(zhì)地均勻的骰子一次，共有基本事件種基本事件；
要使二項式的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，只需：
i. ，共有共6種情況；
ii.，共有共5種情況；
iii.，共有共4種情況；
一共15種情況.
所以甲勝的概率為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答補充完整的題目.
問題：已知，且__________（只需填序號）.
（1）求的值；
（2）求展開式中的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】（1）；
（2）30.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件列出方程，即得；
（2）利用賦值法即得；或根據(jù)通項依次求奇次冪項系數(shù)即得.
【小問1詳解】
選擇條件①：
由題得中項為，
中項為，
所以，
即，整理得，
由，解得.
選擇條件②：
由，
得，
解得.
選擇條件③：
令得，
即，
解得.
【小問2詳解】
方法一：由（1）得，
令得，
令得，
兩式相減得，
所以，
所以展開式中的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為.
方法二：由（1）得，
由題得中項為，
中項為，項為，項為，
所以，
所以展開式中奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為.
16. 已知空間三點，設(shè)．
（1）若，，求；
（2）求與的夾角的余弦值；
（3）若與互相垂直，求k．
【答案】（1）或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量共線設(shè)出向量的坐標(biāo)，由模長公式列出方程，求解即可；
（2）利用向量的坐標(biāo)公式和向量的夾角公式即可得出；
（3）根據(jù)向量垂直時數(shù)量積為0，結(jié)合向量平方即為模的平方，計算即可得到k．
【小問1詳解】
因為，
所以，又因為，
所以，又因為，
所以，
因此或；
【小問2詳解】
因為
所以與的夾角的余弦值為；
【小問3詳解】
因為與互相垂直，
所以
或.
17. 端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個.
（1）求三種粽子各取到1個的概率；
（2）設(shè)表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求的分布列.
【答案】（1）；（2）分布列見解析
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；
（2）易得的所有可能取值為0，1，2，分別求得其相應(yīng)概率，列出分布列.
【詳解】（1）令表示事件“三種粽子各取到1個”，
則由古典概型的概率計算公式有.
（2）由題意，得的所有可能取值為0，1，2，則
，
，
.
所以的分布列為
18. 如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為．
（1）若為棱的中點，求證：平面；
（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；
（2）存在點，位于靠近點的三等分點處滿足題意.
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，得到，然后利用線面平行的判定定理得到平面；（2）假設(shè)在棱上存在點滿足題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面與平面的夾角的余弦值為，則兩平面法向量所成角的余弦值的絕對值等于，求出，即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
取中點，連接，
分別為的中點，
，
底面四邊形是矩形，為棱的中點，
，．
，，
故四邊形是平行四邊形，
．
又平面，平面，
平面．
【小問2詳解】
假設(shè)在棱上存在點滿足題意，
在等邊中，為中點，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，則是四棱錐的高．
設(shè)，則，，
，所以.
以點為原點，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
故，，．
設(shè)，
．
設(shè)平面PMB的一個法向量為，
則
?。?br>易知平面的一個法向量為，，
，
故存在點，位于靠近點的三等分點處滿足題意.
19. 某水表制造有限公司，是一家十分優(yōu)質(zhì)的水表制造公司，該公司有3條水表表盤生產(chǎn)線.
（1）某檢驗員每天從其中的一條水表表盤生產(chǎn)線上隨機抽取100個表盤進行檢測，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為該條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的水表表盤尺寸服從正態(tài)分布N（μ，）.記X表示一天內(nèi)抽取的100個表盤中其尺寸在之外的個數(shù)，求P及X的數(shù)學(xué)期望；
（2）該公司3條水表表盤生產(chǎn)線其次品率和生產(chǎn)的表盤所占比例如下表：
現(xiàn)從所生產(chǎn)的表盤中隨機抽取一只，若已知取到的是次品，試求該次品分別由三條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的概率，并分析該次品來自哪條生產(chǎn)線的可能性最大（用頻率代替概率）.
附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（），則，
【答案】（1），；
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到抽取的一個表盤的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9973，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0027，判斷服從二項分布，結(jié)合參考數(shù)據(jù)，即可求解；
（2）設(shè)A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的產(chǎn)品是由第i條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)結(jié)合全概率公式得到，再分別求出次品分別由三條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的概率，比較大小即可.
【小問1詳解】
抽取的一個表盤的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9973，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0027，
由題可知，
所以，
且X的數(shù)學(xué)期望為，
【小問2詳解】
設(shè)A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的產(chǎn)品是由第i條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，
由題意得：，，，
，
，
所以，
，
，
故該次品來自第1條生產(chǎn)線的可能性最大.
0
1
2
生產(chǎn)線編號
次品率
所占比例
1
0.02
35%
2
0.01
50%
3
0.04
15%

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河南省開封市五校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

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江蘇省百校大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月階段檢測數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

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江蘇省十一校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期階段聯(lián)測數(shù)學(xué)試題及答案

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