精品解析：江蘇省五市十一校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月階段聯(lián)測數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考試時間120分鐘試卷總分150分
命題人：審核人：
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 下列各式中，值為的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別計算或考慮四個選項的值，再比對選項.
【詳解】對于A，有，故A錯誤；
對于B，有，故B錯誤；
對于C，有，故C錯誤；
對于D，有，故D正確.
故選：D.
2. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】計算出，再用共軛復(fù)數(shù)的定義得到答案.
【詳解】由已知有，，故.
故選：A.
3. 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cs B＝（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理求即可.
【詳解】由b2＝ac，
又c＝2a，
得，
由余弦定理，
得cs B＝＝.
故選：B.
4. 在中，是邊上一點，且是的中點，記，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則進行運算即可.
【詳解】
，
故選：D．

5. 一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出此平面圖形的直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則原平面圖形的周長為（）
A. 8B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】畫出直觀圖對應(yīng)的原圖，由此求得原平面圖形的周長.
【詳解】直觀圖中，，
由此畫出直觀圖對應(yīng)的原圖如下圖所示，其中，
所以，
所以原平面圖形的周長為.
故選：A.
6. 已知向量滿足，則（）
A. 13B. 7C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用數(shù)量積與模的關(guān)系可得，進而可求的值.
【詳解】由得，即，得，
所以，.
故選：A.
7. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先證明，再逆向使用正切差公式和余弦差公式推出.
【詳解】假設(shè)，則，
則，
矛盾，所以.
由已知有，
故，而，故，即.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于對三角函數(shù)和差公式的逆用.
8. 設(shè)表示不同的直線，表示不同的平面，下列命題中正確的是（）
A. 若，則
B. 若，且，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間直線，平面的位置關(guān)系及其性質(zhì)逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A，若，則與可能會相交或平行，故選項A錯誤；
對于選項B，若，且，根據(jù)線面垂直可知，.故選項B正確；
對于選項C，若，則可能會平行、相交或異面，故選項C錯誤；
對于選項D，若，則與可能會相交或平行，故選項D錯誤.
故選：B
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的命題是（）
A. 若，，，則符合條件的有兩個
B. 若，，，則符合條件的有且只有一個
C. 若，則一定是銳角三角形
D. 若，則一定是等腰三角形
【答案】AB
【解析】
【分析】對于A，解出可能即可；對于B，求出可能的即可；對于C，給出反例即可；對于D，給出反例即可.
【詳解】對于A，由余弦定理可知，即.
所以或，經(jīng)驗證和均滿足條件，從而的三邊共有兩種可能的取值情況，所以A正確；
對于B，由余弦定理可知，即，且經(jīng)驗證符合條件，從而的三邊有唯一的取值情況，所以B正確；
對于C，若，則是直角三角形，但，所以C錯誤；
對于D，若，則不是等腰三角形，但此時由可知，故，所以D錯誤.
故選：AB.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于利用余弦定理確定三角形的三邊取值情況數(shù)量，進而確定滿足條件的三角形數(shù)量.
10. 如圖，正方體的棱長為1，動點在線段上，分別是的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）
A.
B. 當(dāng)為中點時，
C. 存在點，使得平面平面
D. 三棱錐的體積為定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，直接使用中位線的性質(zhì)即可證明；對于B，使用等腰三角形的中線性質(zhì)即可證明；對于C，使用反證法即可否定結(jié)論；對于D，直接計算出三棱錐的體積即可驗證.
【詳解】對于A，由于分別是的中點，故.
而，所以，故A正確；
對于B，當(dāng)是的中點時，由于，故，而，所以，故B正確；
對于C，假設(shè)平面平面，則兩平面沒有公共點，從而兩直線沒有公共點，又由于兩直線都在下底面內(nèi)，故.
而，這意味著和重合，矛盾，故C錯誤；
對于D，設(shè)到平面的距離和到直線的距離分別為和，則，從而三棱錐的體積，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于C選項對線面平行和線線平行定義的運用.
11. 下列四個命題為真命題的是（）
A. 若向量滿足，，則
B. 若向量，，則在上的投影向量為
C. 若向量是與向量共線的單位向量，則
D. 已知向量，，則的最大值為
【答案】BD
【解析】
【分析】對于A，給出作為反例即可；對于B，直接計算出投影向量的值即可；對于C，直接給出反例即可；對于D，先證明，再說明當(dāng)，時即可.
【詳解】對于A，若，則顯然有，，但沒有任何限制條件，從而未必有，故A錯誤；
對于B，在上的投影向量為，故B正確；
對于C，注意到也是與向量共線的單位向量，故C錯誤；
對于D，由于
，
其中，
且當(dāng)，時，有.
所以的最大值是，故D正確.
故選：BD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于對向量共線和向量平行定義的辨析.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在中，滿足，則_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得，得到以為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，即可求解.
【詳解】在中，由，可得，
所以為直角三角形，
以為原點，以所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，可得，
所以.
故答案為：.
13. ____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用正弦的倍角公式和兩角差的正弦公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.
【詳解】由.
故答案：.
14. 已知圓錐的頂點和底面圓周都在球的球面上，該圓錐的底面直徑為2，側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則球的表面積等于____________．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)圓錐母線長為，根據(jù)題意，求得，得到圓錐的高為，設(shè)外接球的半徑為，作出軸截面，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，列出方程，求得的值，利用球的表面積公式，即可求解
【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，因為圓錐底面直徑為，且側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，
可得，解得，則圓錐的高為，
設(shè)外接球的半徑為，作出組合體的軸截面，如圖所示，
在直角中，可得，即，
解得，所以球的表面積為.
故答案：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知復(fù)數(shù) 是虛數(shù)單位．
（1）若對應(yīng)的點在實軸上，求實數(shù)的值；
（2）設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，化簡復(fù)數(shù)由復(fù)數(shù)，得到，即可求解；
（2）由（1）得到，根據(jù)題意，列出不等式組，即可求解.
【小問1詳解】
解：由復(fù)數(shù)，可得，
因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在實軸上，可得，解得.
【小問2詳解】
解：由，可得
因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，可得，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
16. 在中，是角分別所對的邊，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理得出，即可求解；
（2）由余弦定理，求得，求得的值，結(jié)合兩角差的余弦公式，即可求解.
【小問1詳解】
解：在中，因為，
由余弦定理得，即，
整理得，解得或（舍去），所以的值為.
【小問2詳解】
解：在中，由余弦定理得，
因為，可得，
又因為，所以
.
17. 設(shè)△ABC是邊長為3的正三角形，點、三等分線段（如圖所示）.
（1）求的值；
（2）在線段的何處時，取得最小值，并求出此最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)向量的運算法則，求得和，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，準(zhǔn)確計算，即可求解；
（2）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【小問1詳解】
解：如圖所示，設(shè)，可得且
因為點、三等分線段，可得，
，
則.
【小問2詳解】
解：以線段所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖所示，
因為是邊長為3的等邊三角形，可得，，
又因為在線段上，設(shè)，其中，
則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，最小值為.
18. 如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點為的中點，點為上靠近的三分點.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正切值.（先找角再證明最后計算）
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造底面的中心并證明，再使用線面平行的判定定理；
（2）證明，，然后直接計算即可.
【小問1詳解】
已知底面是菱形，如圖，設(shè)其中心為，則是線段和的中點.
由于是的中點，故，而在平面內(nèi)，不在平面內(nèi)，所以平面.
【小問2詳解】
我們有，.
而是的中點，所以，，從而二面角的正切值就是.
而由于，，
故.
所以二面角的正切值為.
19. 作為一種新的出游方式，近郊露營在疫情之后成為市民休閑度假的“新風(fēng)尚”.我市城市規(guī)劃管理局?jǐn)M將近郊的一直角三角形區(qū)域按如圖所示規(guī)劃成三個功能區(qū)：區(qū)域為自由活動區(qū)，區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣，區(qū)域規(guī)劃供游客餐飲休息用.為安全起見，預(yù)在魚塘四周圍筑護欄.已知，，，.
（1）若時，求護欄的長度（的周長）；
（2）若魚塘的面積是“餐飲休息區(qū)”的面積的倍，求；
（3）當(dāng)為何值時，魚塘的面積最小，最小面積是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在中求出，，再在中，利用余弦定理求出，進而由得，從而求，可得護欄的長度（的周長）；
（2）設(shè)（），利用三角形的面積公式可得，又在中，由正弦定理得，從而由可求；
（3）設(shè)，在中，利用正弦定理求出，再利用三角形的面積公式和三角恒等變換即可求解.
小問1詳解】
由，，，
得，又，則，，
所以，
在中，
由余弦定理可得
，則，
因為，所以，
∵，∴，
∴，
∴護欄的長度（的周長）為.
【小問2詳解】
設(shè)，
因為魚塘的面積是“餐飲休息區(qū)”的面積的倍
所以，即，
在中，，
由，得，
從而，即，而，
由，得，所以，即.
【小問3詳解】
設(shè)，由（2）知，
又在中，由，得，
所以
，
所以當(dāng)且僅當(dāng)，
即時，的面積取最小值為.
【點睛】思路點睛：本題考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用與三角恒等變換的綜合問題，在解題此類問題時，認(rèn)真觀察轉(zhuǎn)化為解三角形問題，在應(yīng)用正弦定理和余弦定理時候要注意具體在用哪一個三角形，要善于結(jié)合三角恒等變換化簡求解.

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