\l "_Tc3534" 常見典型問題 PAGEREF _Tc3534 \h 2
\l "_Tc11206" 考點一 歸一、歸總問題 PAGEREF _Tc11206 \h 2
\l "_Tc770" PAGEREF _Tc770 \h 2
\l "_Tc14484" PAGEREF _Tc14484 \h 2
\l "_Tc14847" 考點二 和差、和倍、差倍問題 PAGEREF _Tc14847 \h 3
\l "_Tc4996" PAGEREF _Tc4996 \h 3
\l "_Tc24852" 考點三 行程問題 PAGEREF _Tc24852 \h 3
\l "_Tc20412" 考點四 工程問題 PAGEREF _Tc20412 \h 5
\l "_Tc3246" PAGEREF _Tc3246 \h 6
\l "_Tc20038" 考點五 植樹問題 PAGEREF _Tc20038 \h 6
\l "_Tc9889" 智慧錦囊 PAGEREF _Tc9889 \h 7
\l "_Tc29399" 考點六 雞兔同籠問題 PAGEREF _Tc29399 \h 7
\l "_Tc18517" 智慧錦囊 PAGEREF _Tc18517 \h 8
\l "_Tc11182" 考點七 利潤問題 PAGEREF _Tc11182 \h 8
\l "_Tc24473" 考點八 利率問題 PAGEREF _Tc24473 \h 8
\l "_Tc19880" 考點九 稅率問題 PAGEREF _Tc19880 \h 9
\l "_Tc15095" 考點十 濃度問題 PAGEREF _Tc15095 \h 9
\l "_Tc3519" 解決問題的策略 PAGEREF _Tc3519 \h 10
\l "_Tc16828" 考點一 列表的策略 PAGEREF _Tc16828 \h 10
\l "_Tc27516" 考點二 列舉的策略 PAGEREF _Tc27516 \h 10
\l "_Tc32007" 考點三 畫圖策略 PAGEREF _Tc32007 \h 10
\l "_Tc15414" 考點四 替換的策略 PAGEREF _Tc15414 \h 11
\l "_Tc676" 考點五 轉(zhuǎn)化的策略 PAGEREF _Tc676 \h 11
\l "_Tc17685" PAGEREF _Tc17685 \h 11
\l "_Tc6021" 考點六 假設(shè)的策略 PAGEREF _Tc6021 \h 11
綜合與實踐
常見典型問題
考點一 歸一、歸總問題
1．歸一問題
（1）意義：根據(jù)已知的條件，解題時先求出單一量（歸一）是多少，再根據(jù)題中的條件和“單一量”去算所求的問題。
（2）基本數(shù)量關(guān)系：
總量÷份數(shù)＝單一量
單一量x新的份數(shù)＝新的總量
新的總量÷單一量＝新的份數(shù)
（3）解題關(guān)鍵：確定不變的每份量。
歸一問題暗含著“單一量”不變的關(guān)系，因此也可以用正比例的知識解答。
2．歸總問題
（1）意義：題中的總數(shù)量保持不變，解題時先求總數(shù)量，再求未知數(shù)量。
（2）基本數(shù)量關(guān)系：每份量x份數(shù)＝總量
（3）解題關(guān)鍵：確定不變的總數(shù)量。
考點二 和差、和倍、差倍問題
1．和差問題
（1）意義：已知大、小兩個數(shù)的和與差，求這兩個數(shù)。
（2）基本數(shù)量關(guān)系：
(和+差)÷2=大數(shù)
(和一差)÷2=小數(shù)
2．和倍問題
（1）意義：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)。
（2）基本數(shù)量關(guān)系：
和÷（倍數(shù)＋1）＝較小數(shù)（1倍數(shù)）
較小數(shù)x倍數(shù)＝較大數(shù)（幾倍數(shù)）
和一較小數(shù)＝較大數(shù)
3．差倍問題
（1）意義：已知兩個數(shù)的差及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)。
（2）基本數(shù)量關(guān)系：
差÷（倍數(shù)-1）＝較小數(shù)（1倍數(shù)）
較小數(shù)x倍數(shù)＝較大數(shù)（幾倍數(shù)）
較小數(shù)＋差＝較大數(shù)
差倍問題的特點和數(shù)量關(guān)系與和倍問題類似，解決此類問題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)倍數(shù)
考點三 行程問題
行程問題的意義
研究路程、速度、時間這三者之間的關(guān)系的問題，叫行程問題。解決行程問題時，經(jīng)常利用線段圖或者簡單的圖示來形象地表示題中的情節(jié)和運動現(xiàn)象。
2．行程問題的基本數(shù)量關(guān)系
( )X時間=路程
路程÷速度=( )
( )÷時間=速度
3．行程問題的幾種類型
（1）相遇問題
①兩個對象從兩地相對而行，經(jīng)過一定的時間相遇，這種行程問題稱為相遇問題。
②線段圖基本模型：
③基本數(shù)量關(guān)系：
速度和X相遇時間＝總路程
④解題關(guān)鍵：兩個運動物體的速度和。
（2）相離問題
①兩個人或物體從相同或不同的地點出發(fā)，背向而行，這種行程問題稱為相離問題。
②線段圖基本模型：
③基本數(shù)量關(guān)系：
相離距離＝（ ）x相離時間
④解題關(guān)鍵：兩個運動物體的速度和。
（3）追及問題
①兩個對象同向運動，在后面的如果速度快，在一定的時間內(nèi)就能追上前面的人或物體，這種行程問題稱為追及問題。
②線段圖基本模型：
③基本數(shù)量關(guān)系：
（ ）X追及時間＝追及距離
④解題關(guān)鍵：追及距離和兩個物體在相同單位時間內(nèi)的速度差。
（4）火車過橋問題
火車過橋問題是行程問題中的一種，火車在行駛中經(jīng)常發(fā)生過橋與通過隧道、兩車對開錯車與快車超越慢車等情況。也有路程、速度與時間之間的數(shù)量關(guān)系，同時還涉及車長、橋長等問題。
基本數(shù)量關(guān)系：
火車速度x過橋時間＝車長＋橋長
考點四 工程問題
1．工程問題的意義
研究的是工作總量、工作效率與 工程問題工作時間三者之間的關(guān)系，通常工作總量不是具體的數(shù)量。
2．工程問題的基本數(shù)量關(guān)系
（1）單人工程問題。
工作效率×( )=工作總量
( )÷工作效率=工作時間
工作總量÷工作時間=( )
合作工程問題。
工作效率和×合作時間=工作總量
工作總量÷( )=合作時間
( )÷合作時間=工作效率和
甲的工作效率十乙的工作效率＝甲、乙的工作效率和
考點五 植樹問題
植樹問題
在一條路上等距離植樹，路線長（全長）、植樹的棵樹（株數(shù)）及相鄰兩棵樹之間的距離（株距）這三個量之間存在著特殊關(guān)系。在這三個量中，已知其中兩個量，求另一個未知量的實際問題叫做植樹問題。
植樹問題的兩種情況
在非封閉的路線上植樹。
①兩端都植樹。
株數(shù)=段數(shù)+1=全長÷株距+1
全長=株距×（株數(shù)-1）
株距=全長÷（株數(shù)-1）
②只有一段植樹。
株數(shù)=段數(shù)=全長÷株距
全長=株距×株數(shù)
株距=全長÷株數(shù)
③兩端都不植樹。
株數(shù)=段數(shù)-1=全長÷株距-1
全長=株距×（株數(shù)+1）
株距=全長÷（株數(shù)+1）
在封閉的路線上植樹。
株距=段數(shù)=全長÷株距
全長=株距×株數(shù)
株距=全長÷株數(shù)
解題關(guān)鍵：要分清楚是不是封閉路線
智慧錦囊
有些應(yīng)用題，如鋸木頭、爬樓梯、插彩旗等問題，實質(zhì)上是研究線段的長度、分點的個數(shù)及每段長度之間的關(guān)系，均可轉(zhuǎn)化成植樹問題。
考點六 雞兔同籠問題
1．雞兔同籠：已知雞和兔的總頭數(shù)和總足數(shù)，求雞和兔各多少只。
2．雞兔同籠問題的常用解法
(1）假設(shè)法
①假設(shè)全是雞
兔的只數(shù)＝（總腳數(shù)﹣2x總頭數(shù)）÷(4-2)
雞的只數(shù)＝總頭數(shù)一兔的只數(shù)
②假設(shè)全是兔
雞的只數(shù)＝(4x總頭數(shù)一總腳數(shù)）÷(4-2)
兔的只數(shù)＝總頭數(shù)一雞的只數(shù)
(2）方程法
列方程解雞兔同籠問題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式。
兔的只數(shù)＋雞的只數(shù)＝總頭數(shù)
兔的腳數(shù)＋雞的腳數(shù)＝總腳數(shù)
3．解題關(guān)鍵：保證其中一個量（總頭數(shù)）不變。
智慧錦囊
還有一些問題，如乘船（車）問題、買票問題等，也可以按照解決雞兔同籠問題的方法來解決。
考點七 利潤問題
1．基本概念
折扣與成數(shù)：幾折、幾成就是表示十分之幾，也就是百分之幾十。
成本：指購進(jìn)商品的價格。
定價：指商家在成本的基礎(chǔ)上提高價格，定出一個價格來出售。
利潤：定價與成本之間的差額。
利潤率：利潤與成本的比率。
2．?dāng)?shù)量關(guān)系
售價＝定價x折扣 利潤＝售價-成本利潤率=(售價?成本)÷成本×100%
考點八 利率問題
1．基本概念
本金：存入銀行的錢。
利息：取款時銀行多支付的錢。
利率：單位時間（如1年、1月、1日等）內(nèi)的利息與本金的比率。
本息和：“到期時拿到手的錢”或“到期時一共取得的錢”，它包括存入銀行的（ ）和（ ）兩部分。
2．?dāng)?shù)量關(guān)系
利息=本金×利率×( )
本息和=( )+利息
考點九 稅率問題
1．基本概念
稅收主要分為消費稅、增值稅和個人所得稅等幾類。繳納的稅款叫應(yīng)納稅額，根據(jù)納稅種類的不同，應(yīng)納稅額的計算方法也不同。應(yīng)納稅額與應(yīng)納稅部分的比率叫稅率。
2．?dāng)?shù)量關(guān)系
應(yīng)納稅額＝應(yīng)納稅部分x（ )
考點十 濃度問題
1．濃度問題的意義
糖與糖水質(zhì)量的比值叫糖水的濃度，鹽與鹽水質(zhì)量的比值叫鹽水的濃度，藥與藥水質(zhì)量的比值叫藥水的濃度。我們習(xí)慣上把糖、鹽、藥叫溶質(zhì)（被溶解的物質(zhì)），把溶解這些物質(zhì)的液體，如水、汽油等叫溶劑，把溶質(zhì)和溶劑混合成的液體，如糖水、鹽水、藥水等叫溶液。
一些與濃度有關(guān)的實際問題叫濃度問題。
2．濃度問題的基本數(shù)量關(guān)系
溶液質(zhì)量＝溶質(zhì)質(zhì)量＋溶劑質(zhì)量
溶劑質(zhì)量＝溶液質(zhì)量-溶質(zhì)質(zhì)量
溶質(zhì)質(zhì)量＝溶液質(zhì)量-溶劑質(zhì)量
百分比濃度=溶質(zhì)質(zhì)量溶液質(zhì)量×100%
溶質(zhì)質(zhì)量＝溶液質(zhì)量x百分比濃度
溶劑質(zhì)量=溶液質(zhì)量×(1?百分比濃度)
溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量÷百分比濃
解決問題的策略
考點一 列表的策略
在解決問題時，可以用表格將條件和問題整理出來，便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，順利解題。
考點二 列舉的策略
根據(jù)題目要求，將符合條件的結(jié)果不重復(fù)、不遺漏地一一列舉出來，從而找出解決問題的方法。
溫馨提示：用列表、一一列舉的策略解決問題，通常要按一定的順序去列舉，如從小到大、從左到右，這樣就容易做到不重復(fù)、不遺漏。
考點三 畫圖策略
用畫線段圖和直觀圖的方法把數(shù)量關(guān)系表示出來，使題意形象、具體、一目了然，以便較快找到解題的途徑，對解答條件隱蔽、復(fù)雜疑難的問題，能起到化難為易的作用。解分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，常用此方法找比較量和分率的對應(yīng)關(guān)系，正確解答。
溫馨提示：畫圖解題，除了一般意義上的畫線段圖，還可以用數(shù)形結(jié)合畫面積圖等來幫助解題。
考點四 替換的策略
“替”即替代，“換”即更換，就是將實際問題中的數(shù)量用別的數(shù)量來代替，從而使問題簡化。通常替換問題會涉及兩種甚至三種物品的數(shù)量計算，解決這樣的問題，可以根據(jù)他們的組合關(guān)系，用一種物品代替其他物品，使數(shù)量關(guān)系單一化。
考點五 轉(zhuǎn)化的策略
把題中的條件或問題進(jìn)行改造，使復(fù)雜問題變成較簡單的問題，生疏問題變成熟悉問題，從而化難為易、化抽象為具體，使問題得以順利解決。
替換法與轉(zhuǎn)化法不同，轉(zhuǎn)化法是把不常規(guī)圖形轉(zhuǎn)化為常規(guī)圖形、把原問題轉(zhuǎn)化為基本概念、基本公式或基本圖形的問題。
考點六 假設(shè)的策略
對條件和問題進(jìn)行假定和預(yù)設(shè)，然后根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系，對假定和預(yù)設(shè)進(jìn)行調(diào)整，從而得到問題的答案

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