黃石市2024年九年級四月調(diào)研考試
數(shù)學試卷
（本試卷共6頁，滿分120分，考試時間120分鐘）
祝考試順利
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上指定位置。
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效，作圖一律用2B鉛筆或黑色簽字筆。
4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題（共10題，每題3分，共30分。在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1.月球表面的白天平均溫度零上記作，夜間平均溫度零下應(yīng)記作（ ）
A.B.C.D.
2.我國民間建筑裝飾圖案中，蘊含著豐富的數(shù)學之美.下列圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A.B.C.D.
3.如圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，則它的俯視圖是（ ）
A.B.C.D.
4.在下列計算中，正確的是（ ）
A.B.
C.D.
5.下列事件中，必然事件是（ ）
A.太陽從東方升起，西方落下
B.射擊運動員射擊一次，命中靶心
C.任意買一張電影票，座位號是單號
D.擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是7
6.光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，，則的度數(shù)為（ ）
A.B.C.C.
7.不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A.B.C.D.
8.已知關(guān)于的方程的兩實數(shù)根為，，若，則的值為（ ）
A.B.C.或1D.或3
9.如圖，平行四邊形中，，交于點，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線，交于點，交于點，連接，若，的周長為7，則的長為（ ）
A.3B.4C.5D.6
10.已知拋物線與軸交于點，，其中.下列四個結(jié)論：①；②；③；④不等式的解集為.其中正確結(jié)論的序號為（ ）
A.①②B.①③C.②③D.①④
二、填空題（共5題，每題3分，共15分）
11.分解因式：______.
12.函數(shù)中自變量的取值范圍是______.
13.有四張完全一樣正面分別寫有漢字“中”“考”“必”“勝”的卡片，將其背面朝上并洗勻，從中隨機抽取一張，記下卡片正面上的漢字后放回，洗勻后再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上的漢字相同的概率是______.
14.《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是弦的中點，在上，.“會圓術(shù)”給出長的近似計算公式：，當，時，______.（結(jié)果保留根號）
15.如圖，在中，，，點，，分別在邊，，上，連接，，，已知點和點關(guān)于直線對稱.若，，則______.
三、解答題（共9題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16.（6分）
計算：.
17.（6分）
將兩個完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放，其中點，，，依次在同一直線上，連接，.
求證：四邊形是平行四邊形.
18.（6分）
【問題情境】筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.
【問題設(shè)置】把筒車抽象為一個半徑為的，如圖2，始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米，當時，某盛水筒恰好位于水面處，此時，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點處.
【問題解決】
圖1圖2
（1）求的度數(shù)；
（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至處時，它到水面的距離.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：，）
19.（8分）
某洗車公司安裝了，兩款自動洗車設(shè)備，工作人員從消費者對，兩款設(shè)備的滿意度評分中各隨機抽取20份，并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析（評分分數(shù)用表示，分為四個等級：不滿意，比較滿意，滿意，非常滿意），下面給出了部分信息：
①抽取的對款設(shè)備的評分數(shù)據(jù)中“滿意”包含的所有數(shù)據(jù)：83，85，85，87，87，89；
②抽取的對款設(shè)備的評分數(shù)據(jù)：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100；
③抽取的對，款設(shè)備的評分統(tǒng)計表與抽取的對款設(shè)備的評分扇形統(tǒng)計圖：
抽取的對，款設(shè)備的評分統(tǒng)計表
抽取的對款設(shè)備的評分扇形統(tǒng)計圖
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：______，______.
（2）5月份，有600名消費者對款自動洗車設(shè)備進行評分，估計其中對款自動洗車設(shè)備“比較滿意”的人數(shù)；
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪一款自動洗車設(shè)備更受消費者歡迎？請說明理由（寫出一條理由即可）.
20.（8分）
如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，反比例函數(shù)的圖象分別與，交于點和點，且點為線段的中點.
（1）求反比例函數(shù)的表達式和點的坐標；
（2）若一次函數(shù)與（1）中所求的反比例函數(shù)的圖象相交于點，當點在反比例函數(shù)圖象上的點，點之間的部分時（點可與點，重合），請直接寫出的取值范圍.
21.（8分）
如圖，是的直徑，點，是上異側(cè)的兩點，，交的延長線于點，且平分.
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求圖中陰影部分的面積.
22.（10分）
某公司的化工產(chǎn)品成本為30元/千克.銷售部門規(guī)定：一次性銷售1000千克以內(nèi)時，以50元/千克的價格銷售；一次性銷售不低于1000千克時，每增加1千克降價0.01元.考慮到降價對利潤的影響，一次性銷售高于1750千克時，均以固定價格42.5元銷售.設(shè)一次性銷售利潤為元，一次性銷售量為千克.
（1）當一次性銷售量為800千克時，求利潤為多少元？
（2）當一次性銷售量為時，求一次性銷售利潤的最大值；
（3）當一次性銷售利潤為多少元時，其對應(yīng)的銷售量的值有且只有兩個？請你直接寫出此時一次性銷售利潤的值.
23.（11分）
如圖1，在正方形中，點是對角線上一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點落在射線上的點處，連接.
圖1圖2
【問題引入】
（1）證明：；
【探索發(fā)現(xiàn)】
（2）延長交直線于點，請將圖1補充完整，猜想此時線段和線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖2，若，延長至點，使，連接.當?shù)闹荛L最小時，請求線段的長.
24.（12分）
如圖1，直線與軸，軸分別交于點，，拋物線的頂點在直線上，與軸的交點為，，其中點的坐標為，直線與直線相交于點.
圖1 圖2 備用圖
（1）如圖2，若拋物線經(jīng)過原點.
①求該拋物線的函數(shù)表達式；
②求的值；
拋物線的頂點在直線上運動的過程中，請問與能否相等？若能，請直接寫出符合條件的點的橫坐標；若不能，試說明理由.
2024年九年級四月調(diào)考
數(shù)學參考答案及評分說明
說明：本評分說明一般只給出一種解法，對其他解法，只要推理嚴謹，運算合理，結(jié)果正確，均給滿分；對部分正確的，參照此評分說明，酌情給分.
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1-5CADDA6-10BCABD
二、填空題（每小題3分，共15分）
11.；12.且；13.；14.；15..
三、解答題（共75分）
16.解：原式
17.證明：由題意可知，
，，，
四邊形是平行四邊形.
18.解：（1）筒車每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.
每秒轉(zhuǎn)過，
經(jīng)過95秒后轉(zhuǎn)過，
，
（2）過點，點分別作的垂線，垂足分別為點，，
在中，，米，
（米）.
在中，，米，
（米），
（米），
即該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時到水面的距離約為0.3米.
19.解：（1）88；98
由題意得，把款設(shè)備的評分數(shù)據(jù)從小到大排列，“非常滿意”的有（人）
故排在中間的兩個數(shù)是按從小到大排列在“滿意”的最后兩個數(shù)，即87，89，
故中位數(shù)；
在款設(shè)備的評分數(shù)據(jù)中，98出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù).
故答案為：88；98；
（2）由題意得，，即；
故（名），
答：估計其中對款自動洗車設(shè)備“比較滿意”的人數(shù)大約為90名；
（3）（答案不唯一）只要言之有理，答對其中一方面即可。
款自動洗車設(shè)備更受消費者歡迎，
理由如下：因為兩款自動洗車設(shè)備的評分數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，但款自動洗車設(shè)備的評分數(shù)據(jù)的中位數(shù)比款高，所以款自動洗車設(shè)備更受消費者歡迎.
或款自動洗車設(shè)備更受消費者歡迎，
理由如下：因為兩款自動洗車設(shè)備的評分數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，但款自動洗車設(shè)備的“非常滿意”所占百分比比款高，所以款自動洗車設(shè)備更受消費者歡迎（答案不唯一）
或款自動洗車設(shè)備更受消費者歡迎，
理由如下：因為兩款自動洗車設(shè)備的評分數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，但款自動洗車設(shè)備的評分數(shù)據(jù)的眾數(shù)比款高，所以款自動洗車設(shè)備更受消費者歡迎（答案不唯一）
20.解：（1）四邊形是矩形，點，且點為的中點，，
點的縱坐標為2，
反比例函數(shù)的圖象分別與，交于點和點，
，
反比例函數(shù)解析式為，
把代入得，，
解得，；
（2）把代入得，，解得，
把代入得，，解得，
的取值范圍是.
21.（1）證明：如圖，連接，
，，
平分，，
，，，
，，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：連接，過點作，垂足為，
，，
是等邊三角形，
，，
在中，，
，
圖中陰影部分的面積為.
22.解：（1）根據(jù)題意，當時，，
當一次性銷售量為800千克時利潤為16000元；
（2）一次性銷售量時，
銷售價格為，
，
，，
當時，有最大值，最大值為，
一次性銷售量時的最大利潤為22500元；
（3）21875或22500
①當一次性銷售量時，利潤，故；
②當一次性銷售量時，由（2）知，當時，有最大值22500，
當時，，右端點，
又當時，，即左端點，
當一次性銷售量時，，
當一次性銷售量時，，
③當一次性銷售量時，均以某一固定價格銷售，
又，故由圖象可知，；
由上述分析可得，當或時，其對應(yīng)的銷售量的值有且只有1個；當或時，其對應(yīng)的銷售量的值有且只有兩個；當時，其對應(yīng)的銷售量的值有且只有3個.
23.（1）證明：四邊形是正方形，
，，
，，
.
由旋轉(zhuǎn)得：，
（2）解：圖1補充完整
圖1
猜想.
理由如下：過點作交于點，
則，
四邊形是正方形，，
，
，，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，，，
，.
（3）解：如圖2，取的中點，連接，
圖2
，點是的中點，，
的周長，
當?shù)闹荛L最小時，最小，此時，，，三點共線，
四邊形是正方形，，，，
在中，，
點是的中點，，，
，，
，，
，，即，
.
24.解：（1）①拋物線經(jīng)過原點，，
對稱軸為直線，
當時，，
拋物線的頂點，
設(shè)拋物線的解析式為，把代入，得，
解得：，
，
該拋物線的函數(shù)表達式為；
②設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，
直線的解析式為，
直線與軸，軸分別交于點，，
，，
如圖，過點作軸交于點，則點的縱坐標與點的縱坐標相同，
，解得：，
，，
，，
，
的值為.
（2）點的橫坐標為6或或或.
附答案如下：設(shè)點的橫坐標為，
①如圖2-1，當，存在，
圖2-1
設(shè)，，則，
，
，，
，
過點作軸于點，則，
在中，，，.
②如圖2-2中，當時，存在.
圖2-2
過點作軸于點，
同法，，.
圖
③如圖2-3中，當時，存在，
圖2-3
，，
，，，
同法，，.
④當時，同法，
，
圖2-4
綜上所述.點的橫坐標為6或或或.設(shè)備
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
“非常滿意”所占百分比
88
96
88
87

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