一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．空間中有三條直線a、b、c，則“a、b、c兩兩相交”是“a、b、c共面”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充分且必要條件D．既非充分也非必要條件
2．已知復(fù)數(shù)，則z的虛部是（ ）
A．－2B．2C．D．
3．下列命題中正確的是（ ）
A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體叫做棱柱
B．用一個(gè)面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺(tái)
C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體叫棱錐
D．以圓的直徑為軸，將圓面旋轉(zhuǎn)180度形成的旋轉(zhuǎn)體叫球
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
5．如圖所示，在邊長為的正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使之恰好圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的高為（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，且，則（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
7．對(duì)于任意的平面向量，，，下列說法中正確的是（ ）
A．若且，則
B．若，且，則
C．
D．在上的投影向量為
8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同實(shí)根，，，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選項(xiàng)的得0分．
9．已知復(fù)數(shù)，，，下列敘述中錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
10．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．D．在上的值域?yàn)?br>11．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種阿基米德多面體．已知，則關(guān)于圖中的半正多面體，
下列說法正確的有（ ）
A．該半正多面體的體積為
B．該半正多面體過A，B，C三點(diǎn)的截面面積為
C．該半正多面體外接球的表面積為
D．該半正多面體的表面積為
三、填空題，本題共3小題，每小題5分，共15分
12．函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心坐標(biāo)是______．
13．已知復(fù)數(shù)z滿足，且是純虛數(shù)，試寫出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)______．
14．已知，函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是______，若函數(shù)的圖象上有且只有兩對(duì)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則a的取值范圍是______．
四、解答題．本題共5小題，共77分
15．如圖所示，正方體的棱長為2，連接，，BD，，得到一個(gè)三棱錐．求：
（1）三棱錐'的表面積與正方體表面積的比值；
（2）三棱錐的外接球的表面積和體積．
16．已知復(fù)數(shù)z滿足，的虛部為2．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求b的值；
（3）若復(fù)數(shù)z的實(shí)部大于0，設(shè)z、設(shè)z、、在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C，求的面積．
17．已知函數(shù)，直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知函數(shù)的圖象是由的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再向左平移個(gè)單位長度得到的，若，，求的值．
18．如圖，扇形ABC是一塊半徑（單位：千米），圓心角的風(fēng)景區(qū)，點(diǎn)P在弧BC上（不與B，C重合）．現(xiàn)欲在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條商業(yè)街道，要求街道PQ與AB垂直于點(diǎn)Q，街道PR與AC垂直于點(diǎn)R，線段RQ表示第三條街道．記．
（1）若點(diǎn)P是弧BC的中點(diǎn)，求三條街道的總長度；
（2）通過計(jì)算說明街道RQ的長度是否會(huì)隨θ的變化而變化；
（3）由于環(huán)境的原因，三條街道PQ、PR、RQ每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每千米300、200、400（單位，萬元），求這三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益的最大值．（精確到1萬元）
19．定義非零向量，若函數(shù)解析式滿足，則稱為向量的“件生函數(shù)”，向量為函數(shù)的“源向量”．
（1）已知向量為函數(shù)的“源向量”，若方程在上有且僅有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）已知點(diǎn)滿足，向量的“伴生函數(shù)”在時(shí)取得最大值，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍；
（3）已知向量的“件生函數(shù)”在時(shí)的取值為．若中，，點(diǎn)O為該三角形的外心，求的最大值．
2023-2024學(xué)年度大連市第八中學(xué)高一下6月階段測(cè)試
數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析
1．【答案】A
2．【答案】B
【解答】解：，
則z的虛部為2．
故選：B．
3．【答案】D
【解答】解：對(duì)于A，如圖所示，不表示棱柱；
對(duì)于B，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺(tái)，故不正確；
對(duì)于C，棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體，故不正確；
對(duì)于D，以圓的直徑為軸，將圓面旋轉(zhuǎn)180度形成的旋轉(zhuǎn)體叫球，故正確，
故選：D．
4．【答案】A
【解答】解．因?yàn)椋?br>所以，，
兩邊平方得
則．
故選．A．
5．【答案】B
【解答】解．根據(jù)題意，圖1中，設(shè)圓B的半徑為R，圓F的半徑為r，
則有，變形可得，
正方形ABCD的邊長為，則其對(duì)角線，
即，
解可得：，
在圖2中，，，
則該圓錐的高．
故選：B．
6．【答案】D
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以的角平分線與BC垂直，
所以，
因?yàn)?，且?br>所以，
所以．
故選：D．
7．【答案】D
【解答】解：對(duì)于A，時(shí)，，不共線時(shí)，滿足，，不能得出，選項(xiàng)A錯(cuò)誤：
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，且?br>所以，不能得出，選項(xiàng)B錯(cuò)誤：
對(duì)于C，根據(jù)向量數(shù)量積的定義知，與不一定相等，與不一定共線，所以不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在上的投影向量為，選項(xiàng)D正確．
故選：D．
8．【答案】A
【解答】解：由，
若，則，可得，，
所以，
若，則，可得，
所以，，
所以，其函數(shù)圖象如圖，
要使有4個(gè)不同實(shí)根，，，，則，
由圖知：，，故，且，
所以的范圍為．
故選：A．
9．【答案】ABD
【解答】解：對(duì)于A，取，，滿足，但此時(shí)，都不是實(shí)數(shù)，都不能比較大小，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，取，，，滿足，但此時(shí)，故B錯(cuò)誤：
對(duì)于C，若，而，，則，故C正確；
對(duì)于D，取，，，滿足，
但此時(shí)，，兩兩互不相等，故D錯(cuò)誤．
故選：ABD．
10．【答案】AC
【解答】解．根據(jù)函數(shù)（其中，，）的部分圖象可得，
可得，求得，故A正確，
由題意結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得，求得，
可得，故C正確，
可得，可得的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤，
若，則，可得，可得，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
11．【答案】ABD
【解答】解：A：如圖，因?yàn)椋?br>所以該半正多面體是由棱長為的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，
所以該半正多面體的體積為：，故A正確；
B：根據(jù)該半正多面體的對(duì)稱性可知，過A，B，C三點(diǎn)的截面為正六邊形ABCFED，
又，所以正六邊形面積為，故B正確；
C：根據(jù)該半正多面體的對(duì)稱性可知，該半正多面體的外接球的球心為正方體的中心，
即正六邊形ABCFED的中心，故半徑為，
所以該半正多面體外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤：
D：因?yàn)樵摪胝嗝骟w的八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形，棱長皆為1，
所以其表面積為，故D正確．
故選，ABD．
12．【答案】
【解答】解：，對(duì)稱中心
13．【答案】或
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)（、），
若，即，則有，
變形可得，
又由是純虛數(shù)，即是純虛數(shù)，
設(shè)，變形可得，則有，解可得，
故或，
故答案為：或．
14．【答案】，．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
令，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
即當(dāng)時(shí)，，
令，
又因?yàn)椋?br>則；
（2）圖象僅有兩對(duì)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，
即的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)圖象
與僅有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，．
設(shè)其關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為，
∴
∵，
由（1）可知近似圖象如圖所示：
當(dāng)與僅有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，
綜上，a的取值范圍是，
故答案為：，．
15．【解答】解：（1）正方體的棱長為2，
則三棱錐的棱長為，
表面積為，正方體表面積為，
∴三棱錐的表面積與正方體表面積的比值為；
（2）三棱錐的外接球與正方體的外接球是同一個(gè)球，
設(shè)正方體的外接球直徑為，則，
所以，
所以三棱錐的外接球的表面積，
體積是．
16．【解答】解：設(shè)，
由已知可得：，即，
解得或．
∴或；
（2）中，
（3）當(dāng)時(shí)，，，
∴，，，
故的面積．
17．【解答】解：（1）函數(shù)
∴直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，
∴，，∴，故．
令，求得，
可得函數(shù)的增區(qū)間為，．
（2）已知函數(shù)的圖象是由的圖象上
各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，
可得的圖象；
然后再向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，
∵，，
∴，∴，
∴．
18．【解答】解：∵若P是弧BC的中點(diǎn)，∴P位于的角平分線上，
∵，∴，
則，
，
∵，
∴為等邊三角形，
則，
三條街道的總長度．
（2），，
則，，
，
由余弦定理可知：，
，
則，為定值，
即RQ的長度不會(huì)隨θ的變化而變化．
（3）設(shè)三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益W，
，
設(shè)，，則，
則，
當(dāng)時(shí)，W取最大值，最大值為，
即三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高約為1222萬元．
19．【解答】解．（1）因?yàn)橄蛄繛楹瘮?shù)的“源向量”，所以，
則方程在上有且僅有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以在上有且僅有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
令，，
①當(dāng)時(shí)，
，
②當(dāng)時(shí)，，
所以
其圖象為：
結(jié)合，，，
故當(dāng)在上有且僅有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，
k的取值范圍為．
（2）由題意得：
，其中，
當(dāng)，即時(shí)，取最大值，
故，
則，
令，由于，故，
即，則，解得，
所以，因?yàn)閱握{(diào)遞增，
所以，所以的取值范圍為；
（3）由題意得，，則，
在三角形ABC中，，，因此，
設(shè)三角形ABC外接圓半徑為R，根據(jù)正弦定理，，故，
所以，
，
，，，
代入得：，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值3．

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