一、函數(shù)及其性質(zhì)，17題
1．（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)于任意都有，（常數(shù)，）.給出以下兩個(gè)命題：①無(wú)論取何值，函數(shù)不是上的嚴(yán)格增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，存在無(wú)窮多個(gè)開(kāi)區(qū)間，使得，且集合對(duì)任意正整數(shù)都成立，則（ ）
A．①②都正確B．①正確②不正確C．①不正確②正確D．①②都不正確
2．（2024·上海奉賢·統(tǒng)考一模）函數(shù)在定義域上是（ ）
A．嚴(yán)格增的奇函數(shù)B．嚴(yán)格增的偶函數(shù)
C．嚴(yán)格減的奇函數(shù)D．嚴(yán)格減的偶函數(shù)
3．（2024·上海崇明·統(tǒng)考一模）若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·上海金山·統(tǒng)考一模）若函數(shù) 的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且該函數(shù)有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，則的值為 ．
5．（2024·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）設(shè)，記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為 .
6．（2024·上海青浦·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
7．（2024·上海嘉定·統(tǒng)考一模）己知等差數(shù)列，公差為，則下列命題正確的是（ ）
A．函數(shù)可能是奇函數(shù)
B．若函數(shù)是偶函數(shù)，則
C．若，則函數(shù)是偶函數(shù)
D．若，則函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形
8．（2024·上海徐匯·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，其中，存在實(shí)數(shù) 使得 成立，若正整數(shù)的最大值為8，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
9．（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）函數(shù)的最小值為 .
10．（2024上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)是定義在上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則 ．
11．（2024上·上海浦東新·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中．
(1)是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)是奇函數(shù)？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出證明．
(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
12．（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，（其中常數(shù)，），無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足：首項(xiàng)，.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；
(2)若數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，求證：當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列；
(3)當(dāng)時(shí)，數(shù)列是否可能為公比小于0的等比數(shù)列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
13．（2024上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用氣，某市對(duì)燃?xì)馐召M(fèi)實(shí)行階梯計(jì)價(jià)，普通居民燃?xì)馐召M(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：
第一檔：年用氣量在（含）立方米，價(jià)格為元/立方米；
第二檔：年用氣量在（含）立方米，價(jià)格為元/立方米；
第三檔：年用氣量在立方米以上，價(jià)格為元/立方米.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出普通居民的年度燃?xì)赓M(fèi)用（單位：元）關(guān)于年度的燃?xì)庥昧浚▎挝唬毫⒎矫祝┑暮瘮?shù)解析式（用含的式子表示）；
(2)已知某戶(hù)居民年部分月份用氣量與繳費(fèi)情況如下表，求的值.
14．（2024·上海徐匯·統(tǒng)考一模）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是以為周期的函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)具有“性質(zhì)”．
(1)試判斷函數(shù)和是否具有“性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；
(2)已知函數(shù)，其中具有“性質(zhì)”，求函數(shù)在上的極小值點(diǎn)；
(3)若函數(shù)具有“性質(zhì)”，且存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意都有成立，求證：為周期函數(shù)．
（可用結(jié)論：若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足，則（常數(shù)）．）
15．（2024上·上海虹口·高三統(tǒng)考期末）已知與都是定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，都有，則稱(chēng)是的一個(gè)“控制函數(shù)”．
(1)判斷是否為函數(shù)的一個(gè)控制函數(shù)，并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)的導(dǎo)數(shù)為，，求證：關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解；
(3)設(shè)，函數(shù)是否存在控制函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出的控制函數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
16．（2024·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）若函數(shù)與滿(mǎn)足：對(duì)任意，都有，則稱(chēng)函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.已知函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.
(1)若，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由：
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若為嚴(yán)格減函數(shù)，，且函數(shù)的圖像是連續(xù)曲線(xiàn)，求證：是上的嚴(yán)格增函數(shù).
17．（2024·上海金山·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，給定區(qū)間，若存在，使得，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，為函數(shù)的“均值點(diǎn)”．
(1)試判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，如果是，請(qǐng)求出其“均值點(diǎn)”；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)已知函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若函數(shù)（常數(shù)）是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點(diǎn)”．將區(qū)間任意劃分成（）份，設(shè)分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，記，，．再將區(qū)間等分成（）份，設(shè)等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，記．求使得的最小整數(shù)的值．二、指對(duì)數(shù)函數(shù)，8題
18．（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為，數(shù)列滿(mǎn)足（是正整數(shù)），若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和取得最大值，則取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·上海崇明·統(tǒng)考一模）若，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·上海青浦·統(tǒng)考一模）已知，，則“”是“”的（ ）.
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
21．（2024·上海閔行·統(tǒng)考一模）已知a，，，則下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2024上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為
23．（2024上·上海虹口·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)? ．
24．（2024·上海寶山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足，則
25．（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，.
(1)求方程的實(shí)數(shù)解；
(2)若不等式對(duì)于一切都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
三、函數(shù)的應(yīng)用，6題
26．（2024·上海青浦·統(tǒng)考一模）若函數(shù)是奇函數(shù)，則該函數(shù)的所有零點(diǎn)是 ．
27．（2024上·上海虹口·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
28．（2024·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）在有聲世界，聲強(qiáng)級(jí)是表示聲強(qiáng)度相對(duì)大小的指標(biāo).其值（單位：）定義為.其中為聲場(chǎng)中某點(diǎn)的聲強(qiáng)度，其單位為為基準(zhǔn)值.若，則其相應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為 .
29．（2024·上海徐匯·統(tǒng)考一模）函數(shù)的零點(diǎn)是 ．
30．（2024·上海青浦·統(tǒng)考一模）上海各中學(xué)都定期進(jìn)行緊急疏散演習(xí)：當(dāng)警報(bào)響起，建筑物內(nèi)師生馬上有組織、盡快地疏散撤離．對(duì)于一個(gè)特定的建筑物，管理人員關(guān)心房間內(nèi)所有人疏散完畢（房間最后一個(gè)人到達(dá)安全出口處）所用時(shí)間．?dāng)?shù)學(xué)建模小組準(zhǔn)備對(duì)某教學(xué)樓第一層樓兩間相同的教室展開(kāi)研究．為此，他們提出如下模型假設(shè)：
1.疏散時(shí)所有人員有秩序地撤離建筑物；
2.所有人員排成單列行進(jìn)撤離；
3.隊(duì)列中人員的間隔是均勻的；
4.隊(duì)列勻速地撤離建筑物．
(1)上述模型假設(shè)是否合理，請(qǐng)任選兩個(gè)模型假設(shè)說(shuō)明理由；
(2)如圖，設(shè)第一間教室（圖中右）的人數(shù)為，第二間教室（圖中左）的人數(shù)為，每間教室的長(zhǎng)度為，其中，都是正整數(shù)，，忽略教室門(mén)的寬度及忽略教室內(nèi)人群到教室門(mén)口的時(shí)間．請(qǐng)?jiān)僖脒m當(dāng)?shù)淖兞?，建立兩個(gè)教室內(nèi)的人員完全撤離所用時(shí)間的數(shù)學(xué)模型．31．（2024·上海寶山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
(2)設(shè)函數(shù)，
①若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并寫(xiě)出函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍；
②當(dāng)時(shí)，分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
月份
1
2
3
4
5
9
10
12
當(dāng)月燃?xì)庥昧浚⒎矫祝?br>56
80
66
58
60
53
55
63
當(dāng)月燃?xì)赓M(fèi)（元）
168
240
198
174
183
174.9
186
264.6

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