一、單選題
1．（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知實數(shù)，滿足，則下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因為,是定義在上的偶函數(shù)，
所以當(dāng)實數(shù)滿足時，,不一定成立，故不符合題意；
因為是定義在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，
所以當(dāng)實數(shù)滿足時，則，故符合題意；
因為在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)實數(shù)滿足時，不一定成立，不符合題意.
故選：.
【點睛】判斷不等式恒成立問題，方法有以下幾種：1、可借助函數(shù)的單調(diào)性判斷；2、可帶特殊值說明不等式不成立；3、根據(jù)不等式關(guān)性質(zhì)判斷；4、作差比較大??；5、作商比較大小.對于選擇題我們一般采用排除法.
2．（2024上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）英國數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．對于任意實數(shù)，下列命題是真命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】D
【分析】借助不等式的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】對A：因為，可能，故錯誤；
對B：當(dāng)時，若，則，故錯誤；
對C：當(dāng)，時，則，故錯誤；
對D：若，，則，故正確.
故選：D.
3．（2024上·上海浦東新·高三統(tǒng)考期末）如果，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)并結(jié)合特殊值法，即可逐項判斷.
【詳解】對A、B：由，不妨設(shè)，，則，，故A、B項錯誤；
對于C：由，所以，故C項錯誤；
對于D：由，所以，故D項正確.
故選：D.
4．（2024·上海閔行·統(tǒng)考一模）已知a，，，則下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)可判斷A，B；舉反例可判斷C；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D.
【詳解】對于A，B，a，，，則,一定成立；
對于C，取，滿足，則，
當(dāng)時，，故C中不等式不一定成立；
對于D，由，由于在R上單調(diào)遞增，則成立，
故選：C
5．（2024·上海崇明·統(tǒng)考一模）若，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】ABD舉反例即可判斷，C結(jié)合反比例函數(shù)即可判斷.
【詳解】對A，若，則，但，A錯誤；
對B，若，則，但，B錯誤
對D，若，則，，D錯誤；
對C，結(jié)合反比例函數(shù)知其在單調(diào)遞減，則，有，C正確.
故選：C
二、填空題
6．（2024上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為
【答案】
【分析】根據(jù)對數(shù)運算求得的關(guān)系，利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以且，
所以，
當(dāng)時等號成立.
故答案為：
7．（2024·上海嘉定·統(tǒng)考一模）不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，準(zhǔn)確計算，即可求解.
【詳解】由不等式，可得，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
8．（2024·上海徐匯·統(tǒng)考一模）若實數(shù)滿足，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式計算即可.
【詳解】由，
當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，即的最小值為2.
故答案為：2
9．（2024·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知實數(shù)a、b滿足，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】運用基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由且且a、b異號，
由，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即當(dāng)或時取等號，
故答案為：
10．（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知（、為正整數(shù)）對任意實數(shù)都成立，若，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由題得,，根據(jù)組合數(shù)公式和基本不等式即可求解.
【詳解】,
=,
因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，的最小值為，
故答案為：.
11．（2024·上海長寧·統(tǒng)考一模）若“存在，使得”是假命題，則實數(shù)的取值范圍 .
【答案】
【分析】由題意可得：“任意，使得”是真命題，參變分離結(jié)合基本不等式運算求解.
【詳解】由題意可得：“任意，使得”是真命題，
注意到，整理得，
原題意等價于“任意，使得”是真命題，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍.
故答案為：.
12．（2024·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知不平行的兩個向量滿足，．若對任意的，都有成立，則的最小值等于 ．
【答案】
【分析】先由數(shù)量積的定義推得，再將問題轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立的問題，從而得解.
【詳解】依題意，設(shè)與的夾角為，，
因為，，所以，即，
則，所以，
因為對任意的，都有成立，
所以，即，即對于恒成立，
故，又，解得，
綜上，，則的最小值為.
故答案為：.
13．（2024·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知正實數(shù)滿足，，則當(dāng)取得最小值時， ．
【答案】
【分析】將轉(zhuǎn)化為與兩點間距離的平方，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為與圓心的距離，結(jié)合基本不等式求得最小值，進(jìn)而分析求解即可.
【詳解】可將轉(zhuǎn)化為與兩點間距離的平方，
由，得，
而表示以為圓心，1為半徑的圓，為圓上一點，
則與圓心的距離為：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
此時與圓心的距離最小，即與兩點間距離的平方最小，
即取得最小值.
當(dāng)時，，
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為圓上的點到上的點的距離的最小值的求解問題，進(jìn)而求解.
三、問答題
14．（2024上·上海浦東新·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中．
(1)是否存在實數(shù)，使函數(shù)是奇函數(shù)？若存在，請寫出證明．
(2)當(dāng)時，若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，證明見解析
(2)
【分析】（1）是奇函數(shù)，利用解出并檢驗即可．
（2）利用基本不等式求的最小值解決恒成立問題.
【詳解】（1）函數(shù)定義域為R，若是奇函數(shù)，則，解得，
此時，，符合題意，
故.
（2）當(dāng)時，，
由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以，又不等式恒成立，得，
則實數(shù)的取值范圍為.
15．（2024上·上海虹口·高三統(tǒng)考期末）已知與都是定義在上的函數(shù)，若對任意，，當(dāng)時，都有，則稱是的一個“控制函數(shù)”．
(1)判斷是否為函數(shù)的一個控制函數(shù)，并說明理由；
(2)設(shè)的導(dǎo)數(shù)為，，求證：關(guān)于的方程在區(qū)間上有實數(shù)解；
(3)設(shè)，函數(shù)是否存在控制函數(shù)？若存在，請求出的控制函數(shù)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)是，理由見解析
(2)證明見解析
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)已知控制函數(shù)的定義，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)，，由其導(dǎo)數(shù)得出其在上的最大值為0，則，，變形化簡得出，而在區(qū)間上的值域為，即可證明；
（3）由上面兩問可看出控制函數(shù)可能是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，證明，根據(jù)不等式的運算可以證明，發(fā)現(xiàn)控制函數(shù)可能是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)去掉常數(shù)項.
【詳解】（1）對任意，則，且，
故是函數(shù)的一個控制函數(shù)；
（2）因為，則，
則，
，，
設(shè)，
在上，在上，
則在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
最大值，
，，，，，
，，
則，
，即，
同理，，
，即
綜上：，
，在區(qū)間上的值域為，
則在區(qū)間上有實數(shù)解.
（3），則，其中
，
，
，
，，
，則，即，
同理，
即，
則是的一個控制函數(shù).
【點睛】關(guān)鍵點睛：對于函數(shù)的新定義題要理解好定義的內(nèi)容，不等式運算時注意不等式的要求，變號時要多注意，一般的大題在前面的問題和后面的問題有聯(lián)系，后面的問題沒有思路時看看前面的問題，

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