理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)。
2、了解線段的垂直平分線和角平分線的概念，探索并掌握其性質(zhì)與判定方法。
【基礎(chǔ)知識(shí)】
1．角平分線的性質(zhì)
角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
2．線段垂直平分線的性質(zhì)
（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．
（2）性質(zhì)：
①垂直平分線垂直且平分其所在線段．
②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．
③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．
【考點(diǎn)剖析】
一．角平分線的性質(zhì)（共6小題）
1．（真題?焦作期末）點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于5，點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．PQ＜5B．PQ＞5C．PQ≥5D．PQ≤5
2．（真題?澠池縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若AB＝8，△ABD的面積為16，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（真題?錫山區(qū)期末）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是10，∠B和∠C的平分線交于P點(diǎn)，過P點(diǎn)作BC的垂線交BC于點(diǎn)D，且PD＝2，則△ABC的面積是 ．
4．（真題?石城縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)．
（1）求∠B的度數(shù)．
（2）若DE＝5，求BC的長(zhǎng)．
5．（真題?如皋市期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，對(duì)角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為 cm2．
6．（2022春?丹徒區(qū)月考）如圖，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求證：DC⊥BC．
二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共7小題）
7．（真題?高青縣期末）如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．若AB＝10cm，AC＝8cm，則△ACD的周長(zhǎng)是（ ）
A．12cmB．18cmC．16cmD．14cm
8．（真題?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，若∠BAC＝114°，則∠EAF為（ ）
A．40°B．44°C．48°D．52°
9．（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直線DE是邊AB的垂直平分線，連接BE．
（1）若∠A＝35°，則∠CBE＝ °；
（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面積．
10．（真題?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G．若BC＝15，求△AEG的周長(zhǎng)．
11．（真題?梁溪區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．
（1）求∠DAF的度數(shù)；
（2）如果BC＝8，求△DAF的周長(zhǎng)．
12．（2022?建湖縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，若AC＝5cm，BC＝12cm，則△ACD的周長(zhǎng)為 cm．
13．（2022?宿城區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，則∠EAC＝ ．
【過關(guān)檢測(cè)】
一、單選題
1．（2020·江蘇八年級(jí)月考）三名同學(xué)分別站在一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，他們?cè)谕鎿尩首拥挠螒?，要求在他們中間放一個(gè)凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚模? ）
A．三條角平分線的交點(diǎn)B．三邊中線的交點(diǎn)
C．三邊上高所在直線的交點(diǎn)D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)
2．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，，于點(diǎn)B，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接AE，CE，則AE與CE的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（ ）的交點(diǎn)．
A．三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)B．三角形三條高的交點(diǎn)
C．三角形三條中線的交點(diǎn)D．三角形三條角平分線的交點(diǎn)
4．（2021·江蘇泰州中學(xué)附屬初中八年級(jí)月考）如圖，在中，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M、N，直線與相交于點(diǎn)E．過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)F．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，分別為邊上的高，相交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)．其中正確的有（ ）
A．①②B．①③④C．①③D．②③④
二、填空題
6．（2020·南京市金陵匯文學(xué)校八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，E，AD與BE相交于點(diǎn)F，若BF=AC，則∠ABC=___________°．
7．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、D，AC＝5，△AEC的周長(zhǎng)為12，則AB＝___．
8．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：
①以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于D，交BC于E；
②分別以D，E為圓心，以大于DE的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；
③作射線BF交AC于G．
如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面積為18，則△CBG的面積為_____．
9．（2019·江蘇）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD= 6 ，連接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為__________．
10．（2019·江蘇蘇州·八年級(jí)月考）如圖，在中，，O為的兩角平分線的交點(diǎn)，且，，，則點(diǎn)O到邊AB的距離為__________．

三、解答題
11．（2018·江蘇）作圖題：
（1）在圖1中，畫出關(guān)于直線的對(duì)稱圖形．
（2）在圖2中，已知和、兩點(diǎn)，在內(nèi)部找一點(diǎn)，使，且到的兩邊、的距離相等．
12．（2018·蘇州市吳江區(qū)青云中學(xué)八年級(jí)月考）作圖題：（1）近年來，國(guó)家實(shí)施農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革，某縣計(jì)劃在甲村、乙村之間設(shè)立一座定點(diǎn)醫(yī)療站點(diǎn)，甲、乙兩村坐落在兩相交公路內(nèi)（如圖所示）．醫(yī)療站必須符合下列條件：①到兩公路、的距離相等；②到甲、乙兩村的距離也相等．請(qǐng)確定點(diǎn)的位置．（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）
（2）如圖，先將向下平移3個(gè)單位得到，再以直線為對(duì)稱軸將翻折得到，請(qǐng)?jiān)谒o的方格紙中依次作出和．
13．（2019·江蘇）已知，如圖，在△ACB中，∠C=90°．
（1） 作∠B的平分線BD交AC于點(diǎn)D．（要求尺規(guī)作圖，保留痕跡）
（2） 過點(diǎn)D作斜邊AB的垂線段，垂足為點(diǎn)E． （要求尺規(guī)作圖，保留痕跡）
（3） 求證：CD=ED．
第04講 線段、角的軸對(duì)稱性
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)。
2、了解線段的垂直平分線和角平分線的概念，探索并掌握其性質(zhì)與判定方法。
【基礎(chǔ)知識(shí)】
1．角平分線的性質(zhì)
角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
2．線段垂直平分線的性質(zhì)
（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．
（2）性質(zhì)：
①垂直平分線垂直且平分其所在線段．
②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．
③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．
【考點(diǎn)剖析】
一．角平分線的性質(zhì)（共6小題）
1．（真題?焦作期末）點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于5，點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．PQ＜5B．PQ＞5C．PQ≥5D．PQ≤5
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得點(diǎn)P到OB的距離為5，再根據(jù)垂線段最短解答．
【解答】解：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于5，
∴點(diǎn)P到OB的距離為5，
∵點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，
∴PQ≥5．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（真題?澠池縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若AB＝8，△ABD的面積為16，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)三角形的面積公式求出DE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出CD．
【解答】解：作DE⊥AB于E，如圖所示：
則AB×DE＝16，即8×DE＝16，
解得，DE＝4，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝4，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
3．（真題?錫山區(qū)期末）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是10，∠B和∠C的平分線交于P點(diǎn)，過P點(diǎn)作BC的垂線交BC于點(diǎn)D，且PD＝2，則△ABC的面積是 10 ．
【分析】過P點(diǎn)分別作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，由角平分線的性質(zhì)可求PE＝PF＝PD＝2，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)，利用S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC可求解．
【解答】解：過P點(diǎn)分別作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接AP，
∵∠B和∠C的平分線交于P點(diǎn)，PD⊥BC，
∴PE＝PF＝PD＝2，
∵△ABC的周長(zhǎng)是10，
∴AB+BC+AC＝10，
∴S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC



＝10．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)求解PE＝PF＝PD＝2是解題的關(guān)鍵．
4．（真題?石城縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)．
（1）求∠B的度數(shù)．
（2）若DE＝5，求BC的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠2＝∠B，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，得到答案；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出CD，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB于點(diǎn)E，E為AB的中點(diǎn)，
∴DE是線段AB的垂直平分線，
∴DA＝DB，
∴∠2＝∠B，
∵AD平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；
（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝10，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝5，
∴BC＝CD+BD＝15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
5．（真題?如皋市期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，對(duì)角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為 14 cm2．
【分析】過D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝AD＝4cm，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可．
【解答】解：過D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，對(duì)角線BD平分∠ABC，
∴AD＝DE，
∵AD＝4cm，
∴DE＝4cm，
∵BC＝7cm，
∴S△BCD14（cm2），
故答案為：14．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．
6．（2022春?丹徒區(qū)月考）如圖，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求證：DC⊥BC．
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和垂直的定義、三角形內(nèi)角和，可以得到∠DCE的度數(shù)，從而可以證明結(jié)論成立．
【解答】證明：∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，
∴∠ABE＝90°，∠AED＝90°，∠4+∠1＝90°，
∴∠3+∠6＝90°，∠6+∠5＝90°，
∴∠3＝∠5，
∴∠4+∠5＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°，
∴DC⊥BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和、平分線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．
二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共7小題）
7．（真題?高青縣期末）如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．若AB＝10cm，AC＝8cm，則△ACD的周長(zhǎng)是（ ）
A．12cmB．18cmC．16cmD．14cm
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝DC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：∵DE是線段BC的垂直平分線，
∴DB＝DC，
∴△ACD的周長(zhǎng)＝AD+DC+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝18（cm），
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
8．（真題?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，若∠BAC＝114°，則∠EAF為（ ）
A．40°B．44°C．48°D．52°
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，結(jié)合圖形計(jì)算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝114°，
則∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，
∵EG是AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理：∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
9．（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直線DE是邊AB的垂直平分線，連接BE．
（1）若∠A＝35°，則∠CBE＝ 20 °；
（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面積．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，進(jìn)而得到∠EBA＝∠A＝35°，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝90°﹣35°＝55°，
∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝35°，
∴∠CBE＝55°﹣35°＝20°，
故答案為：20；
（2）∵EB＝EA＝3，
∴BC2，
∴△ABC的面積CA×BC＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，掌握垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
10．（真題?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G．若BC＝15，求△AEG的周長(zhǎng)．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，GA＝GC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，
∵GF是線段AC的垂直平分線，
∴GA＝GC，
∴△AEG的周長(zhǎng)＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．
11．（真題?梁溪區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．
（1）求∠DAF的度數(shù)；
（2）如果BC＝8，求△DAF的周長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠B+∠C＝75°，然后利用∠DAF＝∠BAC﹣（∠B+∠C）進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）由于DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，則利用等線段代換得到△DAF的周長(zhǎng)＝BC．
【解答】解：（1）∵DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，
∴DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，
∴∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵∠BAC＝105°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝75°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝105°﹣75°＝30°；
（2）∵DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，
∴DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，
∴△DAF的周長(zhǎng)＝DA+DF+FA＝DB+DF+CF＝BC＝8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．
12．（2022?建湖縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，若AC＝5cm，BC＝12cm，則△ACD的周長(zhǎng)為 18 cm．
【分析】由勾股定理先求解AB的長(zhǎng)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得CD＝BD，繼而可得△ACD的周長(zhǎng)為：AC+AB，則可求得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，
∴AB（cm），
∵DE是BC的垂直平分線，
∴CD＝BD，
∴△ACD的周長(zhǎng)為：AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18（cm），
故答案為：18．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
13．（2022?宿城區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，則∠EAC＝ 70° ．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAE＝∠B＝30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，
∵∠C＝50°，
∴∠EAC＝180°﹣∠C﹣∠AEC＝70°，
故答案為：70°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【過關(guān)檢測(cè)】
一、單選題
1．（2020·江蘇八年級(jí)月考）三名同學(xué)分別站在一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，他們?cè)谕鎿尩首拥挠螒?，要求在他們中間放一個(gè)凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚模? ）
A．三條角平分線的交點(diǎn)B．三邊中線的交點(diǎn)
C．三邊上高所在直線的交點(diǎn)D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知，凳子的位置應(yīng)該到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，從而可確定答案．
【詳解】因?yàn)槿叺拇怪逼椒志€的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，這樣就能保證凳子到三名同學(xué)的距離相等，以保證游戲的公平，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的應(yīng)用，掌握垂直平分線的性質(zhì)是關(guān)鍵．
2．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，，于點(diǎn)B，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接AE，CE，則AE與CE的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以得到，再根據(jù)垂線段最短即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，E是BD的中點(diǎn)，
∴．
又∵于點(diǎn)B，
∴AE是斜線段，BE是垂線段．
∴AE>BE．
∴AE>CE．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，和垂線段最短的定理，正確理解并應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
3．（2021·江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（ ）的交點(diǎn)．
A．三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)B．三角形三條高的交點(diǎn)
C．三角形三條中線的交點(diǎn)D．三角形三條角平分線的交點(diǎn)
【答案】A
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等即可判斷．
【詳解】解：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，
到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，
故選：Ａ．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．
4．（2021·江蘇泰州中學(xué)附屬初中八年級(jí)月考）如圖，在中，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M、N，直線與相交于點(diǎn)E．過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)F．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接DE，如圖，利用基本作圖得到AE=CE，則DE為斜邊AC的中線，所以DE=AE=CE，則∠ADE=∠A=34°，接著證明BD=DE，所以∠DBE=∠DEB=17°，然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠BFC的度數(shù)．
【詳解】解：連接DE，如圖，
由作法得MN垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDE=90°，
∵DE為斜邊AC的中線，
∴DE=AE=CE，
∴∠ADE=∠A=34°，
∵BD=CE，
∴BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB=∠ADE=17°，
∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=17°+90°=107°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．
5．（2021·江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，分別為邊上的高，相交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)．其中正確的有（ ）
A．①②B．①③④C．①③D．②③④
【答案】B
【分析】證明△BDF≌△ADC，可判斷①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延長(zhǎng)CF交AB于H，證明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判斷③；根據(jù)①可以得到E是AC的中點(diǎn)，然后可以推出EF是AC的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質(zhì)可判斷④．
【詳解】解：∵△ABC中，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，F(xiàn)D=CD，故①正確，
∵∠FDC=90°，
∴∠DFC=∠FCD=45°，
∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，
∴∠FCD≠∠DAC，故②錯(cuò)誤；
延長(zhǎng)CF交AB于H，
∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，
∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，
∴CH⊥AB，
即CF⊥AB，故③正確；
∵BF=2EC，BF=AC，
∴AC=2EC，
∴AE=EC=AC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，BA=BC，
∴△FDC的周長(zhǎng)=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，
即△FDC的周長(zhǎng)等于AB，故④正確，
綜上：①③④正確，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，也考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，也利用了三角形的周長(zhǎng)公式解題，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求比較高．
二、填空題
6．（2020·南京市金陵匯文學(xué)校八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，E，AD與BE相交于點(diǎn)F，若BF=AC，則∠ABC=___________°．
【答案】45
【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)，先證△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．
【詳解】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE（對(duì)頂角相等）
∴∠EAF=∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD=AD，
∵∠ADB=90°．
∴∠ABC=∠BAD=45°．
故答案為：45．
【點(diǎn)睛】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．
7．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、D，AC＝5，△AEC的周長(zhǎng)為12，則AB＝___．
【答案】7
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：∵DE是線段BC的垂直平分線，
∴EB＝EC，
∵△AEC的周長(zhǎng)為12，
∴AC+AE+EC＝12，
∴AC+AE+EB＝AC+AB＝12，
∴AB＝12﹣5＝7，
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：
①以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于D，交BC于E；
②分別以D，E為圓心，以大于DE的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；
③作射線BF交AC于G．
如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面積為18，則△CBG的面積為_____．
【答案】24
【分析】如圖，過點(diǎn)作于，于．證明，求出，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，于．
由作圖可知，平分，
，，
，
，
，
，
，
故答案為24．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖基本作圖，角平分線的性質(zhì)定理，三角形的面積等知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題是解題的關(guān)鍵．
9．（2019·江蘇）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD= 6 ，連接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為__________．
【答案】6
【分析】根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)DP⊥BC時(shí)，DP的長(zhǎng)度最小，求出∠ABD=∠CBD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出AD=DP=6，即可得出選項(xiàng)．
【詳解】解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠C+∠CBD=90°，
∵∠A=90°
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∵∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，
當(dāng)DP⊥BC時(shí)，DP的長(zhǎng)度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP=AD，
∵AD=6，
∴DP的最小值是6，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，能知道當(dāng)DP⊥BC時(shí)，DP的長(zhǎng)度最小是解此題的關(guān)鍵．
10．（2019·江蘇蘇州·八年級(jí)月考）如圖，在中，，O為的兩角平分線的交點(diǎn)，且，，，則點(diǎn)O到邊AB的距離為__________．


【答案】2．
【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE＝OD＝OF，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接OC，
∵點(diǎn)O為∠ABC與∠CAB的平分線的交點(diǎn)，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
∴×AC×BC＝×AC×OE+×BC×OF+×AB×OD，
∴×6×8＝×6×OD+×8×OD+×10×OD，
解得，OD＝2，即點(diǎn)O到邊AB的距離為2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，利用等積法求高．
三、解答題
11．（2018·江蘇）作圖題：
（1）在圖1中，畫出關(guān)于直線的對(duì)稱圖形．
（2）在圖2中，已知和、兩點(diǎn)，在內(nèi)部找一點(diǎn)，使，且到的兩邊、的距離相等．
【分析】（1）利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，得到C、D、E關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)、、，順次連接即可．
（2）連接CD，作CD的中垂線，再作的角平分線，的角平分線與線段CD的中垂線的交點(diǎn)即是點(diǎn)P．
【詳解】（1）如圖，即是所求圖形．
（2）如圖，點(diǎn)P即是所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了畫軸對(duì)稱圖形，用尺規(guī)作圖畫中垂線、畫角平分線，掌握畫軸對(duì)稱圖形及用尺規(guī)作圖畫中垂線、角平分線的方法是解題關(guān)鍵．
12．（2018·蘇州市吳江區(qū)青云中學(xué)八年級(jí)月考）作圖題：（1）近年來，國(guó)家實(shí)施農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革，某縣計(jì)劃在甲村、乙村之間設(shè)立一座定點(diǎn)醫(yī)療站點(diǎn)，甲、乙兩村坐落在兩相交公路內(nèi)（如圖所示）．醫(yī)療站必須符合下列條件：①到兩公路、的距離相等；②到甲、乙兩村的距離也相等．請(qǐng)確定點(diǎn)的位置．（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）
（2）如圖，先將向下平移3個(gè)單位得到，再以直線為對(duì)稱軸將翻折得到，請(qǐng)?jiān)谒o的方格紙中依次作出和．
【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析．
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線上點(diǎn)到線段兩端距離相等和角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等，所以只需作∠AOB的平分線OE，甲、乙兩村所在的線段的垂直平分線MN，OE交MN于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；
（2）根據(jù)要求畫出△A1B1C1和△A2B2C2即可；
【詳解】解：（1）如圖點(diǎn)P即為所求；
（2）如圖△A1B1C1和△A2B2C2即為所求；
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-軸對(duì)稱變換、平移變換、角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
13．（2019·江蘇）已知，如圖，在△ACB中，∠C=90°．
（1） 作∠B的平分線BD交AC于點(diǎn)D．（要求尺規(guī)作圖，保留痕跡）
（2） 過點(diǎn)D作斜邊AB的垂線段，垂足為點(diǎn)E． （要求尺規(guī)作圖，保留痕跡）
（3） 求證：CD=ED．
【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析；（3）證明見解析．
【分析】（1）利用角平分線的作法作圖即可；
（2）利用過直線外一點(diǎn)做已知直線的垂線的作法作圖即可；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可證得結(jié)論．
【詳解】解：（1）如下圖，BD平分線∠ABC；
（2）如下圖，DE⊥AB；
（3）∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
又∵BD平分線∠ABC，DE⊥AB，
∴CD=ED(角平分線上的點(diǎn)，到角兩邊距離相等)．
【點(diǎn)睛】本題考查作角平分線、過直線外一點(diǎn)作直線的垂線和角平分線的性質(zhì)．熟練掌握五種基本尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．

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